Comunicaciones Analógicas Densidad espectral y correlación
1
Densidad espectral de energía t ) y • Teorem ema a de de P Pa arseval => rel rela ación ión en entre tre f ( t F ( ( ω ω ) , energía de una señal. E =
∞
∫
t = −∞
2
f (t ) dt =
1
∞
2π ∫
ω = −∞
2
F (ω ) d ω
• |F (ω )| )|2 => densidad espectral de energía, permite calcular la energía en una banda de frecuencias • F ((-ω)=F (ω)* => |F ((-ω)|2= |F (ω)|2 => |F (ω)|2 es par 2
Densidad espectral de energía
f (t )
y (t )
h(t)
• Aten Atenua uaci ción ón d de e la ene energ rgía ía de de una una señ señal al a all pasa pasarr por un sistema 2
2
Y (ω ) = F (ω ) H (ω ) ⇒ Y (ω ) = F (ω ) H (ω )
2
• Energía en la salida: E Y =
1
∞
2π ∫
ω = −∞
2
2
H (ω ) F (ω ) d ω 3
Densidad espectral de energía • Si el filtro es un pasabandas estrecho: 1
− ω 0 ± Δω / 2 EY =
= E Y
1
2π ∫
− ω0 +Δω
ω =− ω0 −Δω
1
ω 0 ± Δω / 2
∞
2π ∫
ω = −∞
F(ω )
/ 22
H (ω )
H(ω )
dω +
/2
1
2
F(ω )
2
dω
ω0 +Δω
ω = ω0 −Δω
2π ∫
F(ω )
/ 22
dω
/2
4
Densidad espectral de energía • Si el filtro es un pasabandas estrecho: 1
− ω 0 ± Δω / 2
E Y =
1
ω 0 + Δω / 2
π ∫
ω =ω 0 − Δω / 2
H (ω ) ω 0 ± Δω / 2 2
F (ω ) d ω
5
Densidad espectral de energía E Y =
1
ω 0 + Δω / 2
π ∫
2
ω =ω 0 − Δω / 2
F (ω ) d ω
• Si Δω pequeño: E Y =
1
2
F (ω 0 ) Δω
π • Densidad espectral de energía: se grafica usando un banco de filtros pasabanda
6
Densidad espectral de energía Pasabanda #1 Pasabanda #2
f (t )
Medidor de energía Medidor de energía
Pasabanda #3
Medidor de energía
• • •
• • •
Pasabanda #N
Medidor de energía
F (ω 1 ) F (ω 2 ) F (ω 3 )
F (ω N )
2
2
2
2
7
Densidad espectral de energía
F (ω )
2
8
Densidad espectral de energía • Ej: Una señal f (t ) se aplica a un filtro pasabajos ideal, de ganancia de 1 y ancho de banda 5 [rad/s]. Determinar la energía de la señal a la entrada y a la salida. − t
f ( t) = e 5 u( t)
H (ω )
9
Densidad espectral de energía
∞ −5 t 1 −5t − jω t f ( t) = e u( t) ⇒ F (ω ) = ∫ t =0 e dt = jω + 5
1
2
⇒ F (ω ) = F (ω ) F * (ω ) = F (ω ) F (−ω ) = H (ω )
ω 2 + 25
⎧1 ω ∈ [−5,5] ⇒ H (ω ) = ⎨ ⎩0 otro caso 2
10
Densidad espectral de energía
F (ω )
2
F (ω ) =
2
1 ω 2 + 25
H (ω )
2
Y (ω )
2
⎧1 ω ∈ [ −5,5] 2 H (ω ) = ⎨ ⎩0 otro caso 11
Densidad espectral de energía Energía de la señal de entrada
−5 t
f ( t) = e u( t) ⇒ EF =
∞
−5t 2
∫ ( ) t = 0
e
dt =
1 10
12
Densidad espectral de energía Energía de la señal de salida
⎧1 ω ∈ [ −5,5] , H (ω ) = ⎨ F (ω ) = 2 fuera ω + 25 ⎩0 1
2
EY = EY =
1
5
π ∫
ω = 0
1
5
π ∫
ω = 0
2
2
F(ω )
1
H(ω )
2
dω
11
−1
1 π
1
tan (1) = d ω = = = 0.05 5π 4 20 ω + 25 π 5 2
13
Densidad espectral de potencia • No todas las señales tienen energía finita • Algunas de ellas tienen potencia media finita => señales de potencia P = lim t →∞
1 T
T / 2
∫
−T / 2
2
f (t ) dt = f (t ) 2
• Se puede definir una densidad espectral de potencia: 1 ∞ P= S f (ω )d ω 2π −∞
∫
14
Densidad espectral de potencia • Cálculo de Sf: Supongamos que se tiene una señal f (t ), y cortamos un trozo
f (t )
f T (t )
−
T
T
2
2 15
Densidad espectral de potencia f (t )
f T (t )
−
T /2
E f =
∫−T /2
P f =
1
T
T
∫
f( )t
T /2
T −T /2
2
dt=
2
1
∞
2π ∫ −∞
f (t ) dt =
T
T
2
2
F T (ω )
1 1 ∞
∫
2π T −∞
2
dω
2
FT (ω ) d ω 16
Densidad espectral de potencia f (t )
f T (t )
−
P = lim
T →∞
⇒P=
1
1
T / 2
T ∫
−T / 2
∞
S ∫ 2π −∞
f
T
T
2
2
1 1
∞
f (t ) dt = lim
2π T ∫
(ω )d ω = lim
1 1
2
T →∞
T →∞
2
−∞
F T (ω ) d ω
∞
2π T ∫
−∞
2
F T (ω ) d ω 17
Densidad espectral de potencia
2 ⎛ ⎞ ( ) ω F 1 1 T ⎜ lim ⎟d ω ω ω ⇒P= ( ) = S d − ∞ f − ∞ ⎜ T →∞ ⎟ 2π ∫ 2π ∫ T ⎝ ⎠
∞
∞
2 ⎛ ⎞ ( ) ω F 1 1 T ⎜ lim ⎟d ω ⇒ P[ −∞ ,ω ] = ( ) = ω ω S d − ∞ f − ∞ ⎜ T →∞ ⎟ 2π ∫ 2π ∫ T ⎝ ⎠ ω 0
ω 0
0
18
Densidad espectral de potencia
S f (ω ) = lim
T →∞
F T (ω )
2
T
= Espectro de potencia de f (t ) Se puede estimar usando T grande
19
Densidad espectral de potencia f T (t )
• Si se usa un trozo de largo T para aproximar S f => la resolución en frecuencia es del orden de 1/ T • Se requieren T grandes para buena resolución de S f .
−
T
T
2
2
f T (t ) = f (t ) rect (t / T ) F T (ω ) = F (ω ) ∗ T Sa (ω T / 2) Filtro pasabajos, baja la resolución en frecuencia. El espectro se “aplana” y pierde detalles 20
Densidad espectral de potencia • Ej: Cálculo de S f para señal periódica ∞
f ( t) =
∑
Fn e
jnω o t
n =−∞
La transformada de Fourier es: F (ω ) = 2π
∞
∑ F δ (ω − nω ) n
0
n =−∞
21
Densidad espectral de potencia Para obtener f t (t ) se multiplica f(t) por una función pulso fT ( t) = GT ( t) f ( t)
Recordar que en freq. es una convolución: ⎛ ω T ⎞ ∗ F (ω ) FT (ω ) = T ⋅ Sa ⎜ ⎟ 2π ⎝ 2 ⎠ 1
ℑ ( GT (t ) )
22
Densidad espectral de potencia ⎛ ω T ⎞ ∗ F (ω ) FT (ω ) = T ⋅ Sa ⎜ ⎟ 2π ⎝ 2 ⎠ 1
∞ ⎞ ⎛ ω T ⎞ ⎛ ω T ⎞ ⎛ ∞ ⎞ ⎛ FT (ω ) = T ⋅ Sa ⎜ ∗ ⎜ 2π ∑ Fnδ ( ω − nω0 ) ⎟ = T ⋅ Sa ⎜ F n δ ω ω ∗ − ( ) ⎟ ∑ n 0 ⎟ ⎟ ⎜ 2π ⎝ 2 ⎠ ⎝ n =−∞ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ n =−∞ ⎠
1
∞
=T
∑
n =−∞
=T
⎛ ω T ⎞ ⎟ ∗ δ (ω − nω 0 ) ⎝ 2 ⎠
Fn ⋅ Sa ⎜
∞
∑ n =−∞
⎛ (ω − nω 0 ) T ⎞ ⎟ 2 ⎝ ⎠
Fn ⋅ Sa ⎜
23
Densidad espectral de potencia Por lo tanto se tiene:
S f (ω ) = lim
T →∞
F T (ω ) T
2
= lim T T → ∞
S f (ω ) = 2π
∞
∑
Fn
n = −∞
∞
∑
2
⎛ (ω − nω 0 ) T ⎞ ⋅ Sa Sa ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2
2
Fn δ (ω − nω0 )
n = −∞
24
Densidad espectral de potencia • Ej: Hallar la S f y la potencia promedio para un coseno: f (t ) = A cos(ω 0t + θ )
Solución: descomponiéndolo en exponenciales: f ( t) =
F1 =
A
2
A
2
jθ
e e
jθ e , F−1 =
ω j0 t
A
2
+
A
2
j0 t − jθ − ω
e
e
jθ e − , Fn = 0 para otro n
25
Densidad espectral de potencia S f (ω ) = 2π
∞
∑
2
Fn δ (ω − nω0 )
n = −∞
2 A ⎛ A jθ ⎞ ⎛ A − jθ ⎞ F1 = F1 ⋅ F1 = ⎜ e ⎟ ⎜ e ⎟ = ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 4 2
∗
2
F−1 = F−1 ⋅ S f = 2π
S f =
1 2
A2
4
F−∗1
2 ⎛ − jθ ⎞ ⎛ A jθ ⎞ A = ⎜ e ⎟⎜ e ⎟ = ⎝2 ⎠⎝ 2 ⎠ 4
δ (ω − ω0 ) + 2π
A2
4
δ (ω + ω0 )
π A2 (δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 ) )
26
Densidad espectral de potencia Finalmente, se tiene la potencia promedio
P=
f( )t=
2
f 2 ( t) =
1
∞
S ∫ 2π −∞
1
∞
2π ∫
1
−∞
2
1
1
4
A2 +
4
f
(ω )d ω
d π 2A(δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 ) ) ω
A2 =
1 2
A2 27
Densidad espectral de potencia • Ej 2: Encontrar, para T finito e infinito, la expresión para la densidad espectral de potencia de: f (t ) = Ae
⎛ t ⎞ rect ⎜ ⎟ ⎝ T ⎠
jω 0t
28
Densidad espectral de potencia Solución: ⎧
⎛ t ⎞⎫ ⎛ ω T ⎞ = ⋅ ⋅ A T Sa ⎟⎬ ⎜ 2 ⎟ T ⎝ ⎠⎭ ⎝ ⎠
F (ω ) = ℑ ⎨ A rect ⎜
⎩
⎧
⎛ t ⎞ jω t ⎫ ⎛ (ω − ω 0 )T ⎞ e A T Sa = ⋅ ⋅ ⎬ ⎟ ⎜ ⎟ T 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭
F (ω ) = ℑ ⎨ A rect ⎜
⎩
F (ω ) T
2
0
2 ⎛ (ω − ω 0 )T ⎞ = A T ⋅ Sa2 ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
29
Funciones de correlación • La densidad espectral de potencia es: S f (ω ) = lim
T →∞
1 T
F T (ω )
2
• Se desea encontrar su representación en el tiempo: −1
ℑ {S f (ω )} = R f (τ ) = R f (τ ) = lim
T →∞
1 1
1 2π ∞
T 2π ∫
−∞
∞
∫
lim
1
− ∞ T →∞ T
2
ωτ
jωτ
d ω
F T (ω ) e j d ω
F T * (ω ) F T (ω )e
30
Funciones de correlación
R f (τ ) = lim
T →∞
R f (τ ) = lim
T →∞
1 1 T 2π
1
T ∫
R f (τ ) = lim
T →∞
∫
∞
ω =−∞
t1 =−T
T ∫
T
t1 =−T
f* ( 1t) /2
ω
f * ( 1t ) e j 1t dt1
t1 =− T
/2
T
1
(∫
/2
T
/2
∫
/2
t2 =−T
f * ( 1t) /2
/2
T
f( 2t )
T
∫
t2 =− T
/2
)( ∫
1
/2
T
t1 =−T
∞
2π ∫
ω =−∞
− ω j 2t
f( t2 ) e
/2
jω ( t1 − t2 +τ )
e
)
dt2 ejωτ dω
dω dt2 dt1
/2
f( 2t )δ ( 1t − 2t + τ ) dt2 dt1 /2
31
Funciones de correlación R f (τ ) = lim
T →∞
1
T ∫
T
t1 =−T
/2
f * ( 1t) /2
T
∫
t2 =− T
/2
f( 2t )δ ( 1t − 2t + τ ) dt2 dt1 /2
t 1 − t 2 + τ = 0 ⇒ t 2 = t 1 + τ
R f (τ ) = lim
T →∞
1
T / 2
T ∫
⇒ R f (τ ) = lim
T →∞
t1 =−T / 2
1
T / 2
T ∫
−T / 2
f * ( 1t) f( 1t + τ ) dt1
f * ( t) f( t+ τ ) dt 32
Funciones de correlación • Función de autocorrelación de f : R f (τ ) = lim
T →∞
1
T / 2
T ∫
−T / 2
f * (t ) f (t + τ )dt , ℑ{ R f (τ )} = S f (ω )
• Nueva forma de calcular S f . • La autocorrelación también equivale a la convolución de f (t ) con f (-t ) para señales reales. 33
Funciones de correlación • En promedio, el signo de f (t ) es igual al signo de f (t + Δt ) para Δt pequeño (por continuidad por tramos de la función), pero puede ser distinto para Δt grande t 0
t 0 + Δt 2
t 0 + Δt 1
f (t )
R f (τ ) = f * (t ) f (t + τ ) 34
Funciones de correlación t 0
t 0 + Δt 2
f (t )
t 0 + Δt 1
R f (τ ) = f * (t ) f (t + τ )
Correlación: entre f (t ) y f (t +τ ) Para f (·) real
R f (τ 0 ) > 0 ⇒ En promedio, f (t ) y f (t +t 0) tienen el mismo signo
R f (τ 1 ) < 0 ⇒ En promedio, f (t ) y f (t +t 1) tienen signo opuesto
35
Funciones de correlación • Ej: Encontrar la autocorrelación para: f (t ) =
f
f
1
T / 2
(R τ ) = lim
T ∫
(τ R ) = lim
1
T →∞
T →∞
−T / 2
T∫
T
−T
2 cos(ω 0t + θ 0 )
2cos(ω0 + θ t ) cos(ω0 + tω0τ + θ ) dt /2
cos(ω0τ ) /2
+ lim dt
T →∞
1
T
T ∫
−T
/2
cos(2ω0 + ω0tτ + 2θ ) /2
dt
R f (τ ) = cos (ω0τ )
Notar que se pierde la información de la fase
36
Funciones de correlación • En general, los ruidos n(t ) cambian de signo rápidamente con el tiempo => Rn(τ) es positiva para τ muy pequeño • Tiene un “peak” grande en t=0 => permite separar la señal del ruido
37
Funciones de correlación • Ejemplo: Una señal de onda periódica cuadrada con ruido aleatorio.
38
Funciones de correlación
39
Funciones de correlación
Aunque el ruido sea tal que no permita distinguir la señal, al usar la correlación se puede “ver”.
40
Funciones de correlación • Para separar (y no sólo distinguir) la señal del ruido se debe definir otro promedio para señales: la correlación cruzada. R fg (τ ) = lim
T →∞
1
T / 2
T ∫
−T / 2
f * (t ) g (t + τ )dt
(s(t ) + n1 (t ) )(s(t + τ ) + n2 (t + τ )) = = s (t ) s (t + τ ) + s (t )n2 (t + τ ) + n1 (t ) s(t + τ ) + n1 (t )n2 (t + τ ) = s (t ) s (t + τ ) si s, n1, n2 no correlacionados
(generados por fuentes independientes) 41
Funciones de correlación • Veamos el caso de una señal con ruido aditivo: f ( t) = s( t) + n( t) Analicemos
R f (τ ) = f ( t) f ( t + τ ) *
= ( s (t ) + n1 (t ) )( s(t + τ ) + n2 (t + τ ) )
si s, n1, n2 no correlacionados (generados por fuentes independientes)
= s (t ) s (t + τ ) + s (t )n2 (t + τ ) + n1 (t )s (t + τ ) + n1 (t )n2 (t + τ )
= s (t ) s (t + τ )
42
Funciones de correlación • Simetría: 1
T / 2
R f (−τ ) = lim
T ∫
f * (t ) f (t − τ )dt
R f (−τ ) = lim
1
f * (t '+τ ) f (t )dt
T →∞
T → ∞
−T / 2 T / 2
T ∫
−T / 2
R f (−τ ) = R f * (τ )
• Parte real par, imaginaria impar 43
Funciones de correlación • Valor cuadrático medio: 1 T / 2 R f (τ ) = lim f * (t ) f (t + τ )dt T →∞
R f (0) = lim
T →∞
T 1 T
∫
−T / 2 T / 2
∫
−T / 2
f * (t ) f (t ) dt = f 2 (t ) = P
• Periodicidad:
f (t + T ) = f (t ) ⇒ R f (t + T ) = R f (t ) 44
Funciones de correlación • Valor promedio: Sean f(t), g(t) dos señales. Sea f(t)=x(t)+m1, g(t)=y(t)+m2; x(t), y(t) con media cero. R fg (τ ) = lim
T →∞
1
T ∫
R fg (τ ) = lim
T →∞
R fg (τ ) = lim
T ' →∞
T / 2
1
−T / 2
1
[ x( t) + m1 ] * [ y( t + τ ) + m2 ] dt
T / 2
T ∫
− T / 2
T'∫
T '/ 2
τ =− T '/ 2
x* ( t) y( t + τ ) dt + m1 m2 lim
T →∞
1
T / 2
T ∫
t =−T / 2
x* ( t) y( t + τ ) dt dτ + m1 m2 45
Funciones de correlación 1
T / ' 2
R fg (τ ) = lim
T ' ∫
R fg (τ ) = lim
1
T '→ ∞
T →∞
τ = −T / ' 2
T ∫
T / 2
t = −T / 2
lim
T → ∞
1
T / 2
T ∫
x * (t ) lim
t = −T / 2
T '→∞
1
x * (t ) y (t + τ ) dt d τ + m1m2
T / ' 2
T ' ∫
τ = −T / ' 2
y (t + τ ) d τ dt + m1m2
R fg (τ ) = m1m2
• El valor medio de la correlación cruzada de f(t) y g(t) es el producto de sus valores medios. • =>El valor medio de la autocorrelación de f(t) es el cuadrado de su valor medio.
46
Funciones de correlación • Valor máximo: R f (0)
es el máximo R de f (τ )
• Idea: desigualdad de Schwarz
2
2
2
2
a • b ≤ a b ⇒ Σai bi ≤ Σ ai Σ bi
lim
T →∞
1 T
T / 2
∫
−T / 2
2
f * (t ) f (t + τ )dt ≤ lim
T →∞
1 T
T / 2
∫
−T / 2
2
f (t ) dt lim
T →∞
1 T
2
T / 2
∫
−T / 2
2
f * (t + τ ) dt
R f (τ ) ≤ R f (0) R f (0) 2
47
Funciones de correlación • Aditividad: R x + y (τ ) = ( x * ( t) + y * ( t) )( x( t + τ ) + y( t + τ ) ) R x + y (τ ) = x * ( t) x( t + τ ) + x * ( t) y( t + τ ) + y * ( t) x( t + τ ) + y * ( t) y( t + τ )
R +x (yτ ) = R (xτ ) + R xy(τ ) + R yx(τ ) + R (yτ )
• Si x e y no correlacionadas entre si:
R x + y (τ ) = R x (τ ) + R y (τ ) 48
Correlación para señales de energía finita • Extensión para señales de energía finita r f (τ ) =
∞
∫ f * (t ) f (t + τ )dt , −∞
r fg (τ ) =
∞
∫ f * (t ) g (t + τ )dt −∞
• Para señales reales, se parece a la convolución con una de las funciones “dada vuelta” horizontalmente: ∞
( f ∗ g )(τ ) = ∫ −∞ f (t ) g (τ − t )dt 49
Correlación para señales de energía finita • La transformada de Fourier de la correlación para energía finita da. ∞
∞
ℑ{r f (τ )} = ∫
∫
τ = −∞
ℑ{r f (τ )} = ∫
∞
t = −∞
t = −∞
f * (t ) f (t + τ )dt e
f * (t )
∞
∫
τ = −∞
f (t + τ ) e
− jωτ
− jωτ
d τ
d τ dt
∞
ℑ{r f (τ )} = ∫ f * (t ) F (ω ) e jω t dt t = −∞
ℑ{r f (τ )} = F (ω )
2
50
Ruido promediado en el tiempo • Ruidos: poco predecibles, contaminan la señal, fluctuaciones erráticas • Se pueden describir de forma estadística, pero no analítica.
51
Ruido promediado en el tiempo • Algunos promedios para ruidos de potencia: - Valor medio:
n(t ) = lim
-Valor cuadrático medio:
T →∞
1
T / 2
T ∫
−T / 2
n(t )dt
n (t ) = lim 2
T →∞
-Raíz cuadrática media (rms):
1 T
∫
n (t ) = lim 2
T →∞
-Componente alterna (ca): (no es un promedio)
T / 2
−T / 2
1 T
2
n(t ) dt T / 2
∫
−T / 2
2
n(t ) dt
σ (t ) = n(t ) − n(t ) 52
Ruido promediado en el tiempo • Notar que los promedios (que tienen la barra arriba) son constantes y no funciones de t
n(t )
σ (t )
53
Ruido promediado en el tiempo n (t ) = lim 2
t →∞
n (t ) = lim 2
t →∞
n (t ) = lim 2
t →∞
1
T / 2
T ∫
−T / 2
1
T / 2
T ∫
−T / 2
1 T
∫
T
−T
2
n(t ) dt 2
n(t ) + σ (t ) dt
/22
n(t ) dt + 2lim /2
t →∞
1 T
∫
T
−T
/2
n (t )σ (t )dt + lim /2
t →∞
1 T
T
∫
−T
/2 2
σ (t ) dt /2
2
n (t ) = n(t ) + σ 2 (t ) 2
54
Ruido promediado en el tiempo • Ejemplo: Calcular el valor medio, la potencia de ca y el valor rms para:
v(t ) = 1 + cos(ω 0t )
55
Ruido promediado en el tiempo Solución v(t ) = 1 + cos(ω 0t ) v(t ) = 1 + cos(ω0t ) =
T / 2
T ∫
−T / 2
(1 + cos(ω 0t ) ) dt = 1
1 cos (ω 0t )dt = σ (t ) = / 2 − T 2 T 2
1
1
T / 2
∫
2
2
2 v (t ) = v(t ) + σ (t ) = 2
v RMS
= v (t ) = 2
3 2
3 2
56
Ruido promediado en el tiempo • Razón señal a ruido: S N
Potencia de la señal limpia
= s 2 (t ) / n 2 (t )
• En decibeles: S N
(
)
= 10log s 2 (t ) / n 2 (t ) [ dB]
57
Ruido blanco de banda limitada • Ruido blanco ideal(RB): su espectro de potencia contiene todas las frecuencias. S n (ω ) =
η 2
= cte
• No se puede generar físicamente (voltaje, corriente, etc) ya que: P=
1
∞
S (ω )d ω = ∞ ∫ 2π −∞
n
• => ¡tiene potencia media infinita! 58
Ruido blanco de banda limitada • Además, su correlación es: η −1 ⎧η ⎫ Rn (τ ) = ℑ ⎨ ⎬ = δ (τ ) ⎩2⎭ 2
τ
• Recordar que, en promedio, f(t) y f(t+Dt) tienen el mismo signo si f es continua por tramos. • En el caso de ruido blanco caso, Rn(t)=0 para todo t>0 59
Ruido blanco de banda limitada ⇒¡El ruido blanco varía infinitamente rápido! (es discontinuo en todo punto del eje real), “nube” de puntos, no es realizable ni siquiera usando un computador. • Utilidad del ruido blanco ideal: Cualquier señal de potencia (ruido) se puede modelar como ruido blanco filtrado.
60
Ruido blanco de banda limitada • Si se desea un ruido f(t) con un espectro de potencia Sf(ω), se puede obtener filtrando ruido blanco, el filtro debe tener el espectro deseado:
f (t ) = n(t ) ∗ h(t )
⇒ S f (ω ) =
η 2
H (ω )
2
• Se puede usar este método con una aproximación al ruido blanco ideal. 61
Ruido blanco de banda limitada • Ruido blanco de banda limitada(RBBL): Tiene un espectro constante, pero con un ancho de banda B finito (pero grande) • Su valor cuadrático medio (potencia) es: Pn =
1
2π B
η
− 2π B
2
2π ∫
d ω = η B
• Usualmente se crea usando un generador de números aleatorios, o bien mediante ruido térmico
62
Ruido blanco de banda limitada RBBL
RBBL
RBideal
τ n(k)=nº al azar en [-2,2]
Corrrbbl.txt
Correlación de n(k)
Rn (τ ) =
η 2
δ (τ )
Se “parecen” 63
Ruido blanco de banda limitada • También se puede usar para generar ruidos con un espectro de potencia arbitrario simplemente filtrándolo: η 2 f (t ) = n(t ) ∗ h(t ) ⇒ S f (ω ) = H (ω ) 2 • Condición: el ancho de banda del RBBL debe ser mayor que el ancho de banda del filtro => el filtro lo “ve” como ruido blanco ideal. 64
Ruido blanco de banda limitada • Otro posible uso del RBBL es identificar respuestas en frecuencia de filtros. Si H(w) es desconocido:
f (t ) = n(t ) ∗ h(t ) H (ω ) = S f (ω )
2
⇒ H (ω ) =
2 η
S f (ω )
• Es decir, la respuesta en frecuencia del filtro se puede identificar analizando la señal de salida. 65
