Densidad Espectral de Energia y Potencia

UPSE- MATERIA: MATERIA: COMUNICACIONES OMUNICACIONES II Santa Elena, 5 de julio del 2011

Profesor : Ing. Milton Bravo B. MAE

LA FUNCION DENSIDAD ESPECTRAL y

Los métodos de Fourier de análisis de señales dan

algunas valiosas perspectivas sobre la transmisión de seña eñales les a través de sistema emas de comun municac caciones ones y

La Transformada de Fourier puede verse como la

representación en términos de una suma infinita de exponenciales exponenciales complejos complejos g

y

F( [)=F _f(t)a= ´ f(t). e-j[t .dt - g


Los métodos de Fourier de análisis de señales dan

algunas valiosas perspectivas sobre la transmisión de seña eñales les a través de sistema emas de comun municac caciones ones y

La Transformada de Fourier puede verse como la

representación en términos de una suma infinita de exponenciales exponenciales complejos complejos g

y

F( [)=F _f(t)a= ´ f(t). e-j[t .dt - g


y

y

Una señal de energía f inita puede describirse por una func funció ión n conti ontin nua de Densidad Espectral . Esta función se hall hallaa tom oman ando do la Tr Transf ansfor orma mada da de Fouri ourier er. Una señal periódica de potencia media f inita puede describirse tanto por un conjunto de líneas en un gráfic fico Espectral, como por un conjunto de funciones impulso en un gráfi gráficco de Dens Densid idad ad Espe Espect ctrral. al. Cada impulso del grafico de Densidad Espectral tiene un área que corresponde a la altura de cada línea del gráf ico Espectral Espectral,, respecti respectivame vament nte. e.

HALLAR LA DENSIDAD ESPECTRAL (TRANSFORMADA DE FOURIER) DE LA FUNCION PUENTE UNITARIA ( T (t)) y

La función puente unitaria se define por: y

Rect (t ) = y

1

t<½

0

t >½ f(t)=rect(t) 1

t 1/2

0

1/2

GRAFICO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA FUNCION COMPUERTA UNITARIA


Ejercicio: Halle la Transformada de Four ier de

y

exponencial de dos lados f(t) = exp (- a t ), a >0 at -j[t -at -j[t F ([) ´ e.e.dt + ´ e.e.dt g

=

- g

la

GRAFICO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA EXPONENCIAL DE 2 LADOS


Ejemplo: Determinar los coeficientes de la serie exponencial de Fourier (los Fn ) para la función puente

unitario si se repite cada 4 segundos; y y

y

Realice los gráficos Espectral y de Densidad Espectral. Nota: Los coeficientes de la serie exponencial compleja de Fourier pueden evaluarse en términos de la Transformada de Fourier y

Fn = (1/T). F([) [=n[o

GRAFICO DEL ESPECTRO DE LINEA Y LA DENSIDAD ESPECTRAL DE LA FUNCION COMPUERTA PERIODICA

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA y

y

Un tópico de particular importancia es el de la distribución de la energía y la potencia, tanto en el tiempo como en las frecuencias. La representación

Espectral de la potencia puede aplicarse también a la descripción de señales aleatorias y ruido.

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIA y

El teorema de Parseval para señales de Energía da una relación entre una señal temporal f( t) y su Transformada de Fourier F([) g

y

´ f( t) 2dt = (1/ 2T ) ´ F([) 2d [ - g

y

y y

g

- g

De aquí puede hallarse la Energía de una señal tanto en el dominio del tiempo como en el de las frecuencias En el sistema SI(MKS), la Energía se mide en Joules, y La Densidad de Energía se mide en Joules/Hz


y

Para cargas diferentes de un ohmio, puede introducirse una escala de resistencia usando la conocida ley de Ohm: V(t)=R . I ( t) Supóngase por ejemplo que f( t) represente un voltaje, del teorema de Parseval, las relaciones de energía son: g

y

Ef = (1/R )´

- g

f( t) 2dt

g

2

=(1/ 2T R )´ F([) d[ - g

R laciones análogas pueden escribirse en caso de que f(t) represente una corriente : (Realizar en clase para corriente)


y

y

Para una resistencia de un ohm, la cantidad |F()|² está en términos de energía por unidad de frecuencia (Joules/Hertz). Por está razón se llama d ensidad espectr al d e energí a ( d.e.e ) de la señal f( t), a menudo reducida al término densidad de energía. NOTA :

La cantidad |F()|² describe sólo la cantidad relativa de

energía a varias frecuencias y que la energía a una frecuencia dada es cero; es el área bajo |F()|² la que denota energía. Entonces para calcularla debe darse un rango de frecuencias sobre el que integrar y la cantidad de energía dependerá del cuadrado de la magnitud de |F()|² sobre dicho rango de frecuencias

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍ A y

Ejercicio: Calcule la Energía de la señal exponencial

de dos lados f(t) = exp (- a t ), a>o (a través de una resistencia de un ohm) tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.

MEDICION DE LA DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIA


El concepto de Densidad Espectral de Energía es importante por que permite explicar atenuaciones relativas de la energía espectral a través de sistemas lineales. f(t)

LTI

H()

G()=F()H()


Por tanto, la d.e.e (normalizada) de G() es y

y y y

y

Y

|G( )|² = |F()|² |H ()|² ,

la energía(normalizada) en la señal de salida es g

E g = 1/2|F()|² |H ()|²d - g

En otras palabras, la densidad de energía de la respuesta del sistema está dada por la densidad de energía de la entrada multiplicada por el cuadrado de la magnitud de la función transferente del sistema.


Ejercicio: t Una señal de voltaje descrita por f(t)= e -5.u(t ) se aplica a la entrada de un filtro pasa-bajos ideal. La ganancia de baja frecuencia del filtro es uno, el ancho de banda 5 radianes/seg y los niveles de resistencia 50 ohmios. Calcular la energía de las señales de entrada y salida?

DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIA y y

y

Ejercicio

-at

Se aplica una señal f(t)= e .u(t) a la entrada de un filtro pasa-bajos con una función transferente de frecuencias de magnitud H([) =b /¥[2+ b 2 Determine las relaciones necesarias entre las constantes a y b para que exactamente el 50% de la energía de la señal de entrada se transfiera a la salida, sobre la base de un ohm.

Problemas y

y y

El ancho de banda de un filtro pasa-bajos ideal es 4 rad/s y la ganancia a baja frecuencia es uno. Calcule la energía de salida sobre la base de un ohm, si la entrada f( t) es: a) f( t)=(t); b) f( t)= exp (-4t).(t).

Problemas y

La señal pulso f( t) de la figura se aplica a la entrada de

un filtro pasa-bajos ideal con frecuencia de corte variable, f c. Halle la energía aproximada, sobre la base de un ohm, en la señal de salida para y

a) f c = 0.1 Hz

y

b) f c = 10 Hz

f(t)

1

fig

t

0

1

Conclusiones y

La Densidad Espectral de Energía de una señal

representa su energía por unidad de frecuencia (Joules/Hertz) y muestra las contribuciones relativas de energía de los distintos componentes de frecuencia. y

El área bajo la Densidad Espectral de Energía da la energía dentro de una banda o rango de frecuencias dada.

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA Función que dice como está distribuida la potencia de la señal sobre el espectro. La potencia media en el tiempo de una señal (de nuevo se supone una resistencia de 1 ohmio), viene dada por: T/2

P= lím 1 ´ f( t) dt T

g

T

2

-T/2

En una señal periód ica, cada period o tiene una replica d e l a f unción , y l a oper ación d e llevar al limite P  pued e omitirse siempre que T se tome como period o.


y

y

Por analogía con las señales de energía analizadas en las laminas anteriores, sería util y conveniente definir alguna nueva función de la frecuencia que diera alguna indicación de las contribuciones relativas de potencia a diversas frecuencias. Esta se definirá como f unción d ensidad espectr al d e potencia S f ( [ ) Está f unción tiene unidad es d e potencia (W att)/Hz


y

Matemáticamente se tiene P =( 1 -´ 2T

Sf ([) d[

S ([) f

=Tlímg

F ([)

2

T

T

³La función densidad espectral de potencia S([) describe la distribución de la potencia en función de la frecuencia, que es una medida importante en los sistemas prácticos´


Para una señal periódica f(t) de potencia que está representada por la serie de Fourier j n[ot

g

y

f (t)= 7 Fn e n=- g

Del teorema de Parseval se tiene 2

g

f (t) = 7 Fn

2

n=- g

Esta ecuación da la potencia a través de un resistor de un ohm a cada frecuencia armónica para una f(t) dada y , al sumar todos los términos, la potencia media total.

ESPECTRO DE POTENCIA ACUMULATIVO

G(f [) y

El espectro de potencia acumulativo es siempre una función no decreciente de [ por que la potencia no puede ser una cantidad negativa [/[o

y

2

G ([) = 7 Fn u([ - n[o ) f

n= g -

g

S ([) = 2T 7 Fn f

2

H

([ - n[o )

n=- g

La Densidad espectral de potencia (S f ) de una función

periódica es una serie de funciones impulso cuyos pesos (áreas) corresponden al cuadrado de la magnitud de los respectivos coeficientes de Fourier

ESPECTROS DE POTENCIA DE FUNCIONES PERIODICAS Y APERIODICAS

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DE LA SEÑAL PERIODICA Ejemplo: Hallar la densidad espectral de potencia de la señal periódica f (t) = A cos ([ t + U )

y

y

o

SISTEMA LINEAL INVARIANTE CON EL TIEMPO y

El concepto de densidad espectral de energía o potencia es importante por que permite explicar atenuaciones relativas de la energía a través de sistemas lineales F ([)

LTI H ([)

T

G ([) =F([)H([) T

T

ENTONCES LA DENSID AD ESPECTR AL DE POTENCI A DE LA SEÑAL DE S ALID A ES: Sg ([) = Sf ( ) H( ) 2 [

[


Ejercicio: Obtenga una relación entre la densidad

espectral de potencia de la entrada Sf ([), y la salida Sg ([), de un derivador ideal.. 2

y

Repuesta: Sg ([) = [ Sf ([)

RESUMEN y

y

2

La cantidad F([) describe el monto relativo de energía de una señal dada f(t) en función de la frecuencia y se llama Densidad espectral de energía de f(t)

De igual forma, la función que describe la contribución relativa de potencia de una señal f(t) contra la frecuencia, se llama Densidad espectral de potencia, S

f

([). y

La Sf ([) aperiódica es una función continua de la

frecuencia

Densidad Espectral de Energia y Potencia

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