´ de problemas con la tecnica ´ Resolucion de invariantes. ´ Pedro Sanchez. http://br.campus.vt.edu/∼drini/omm
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1 de mayo de 2001
Invariantes comunes. ´ ´ utiles Una de las tecnicas mas para resolver problemas se denomina ´ ´ busqueda de invariantes. Esta tecnica se aplica en su mayor´ıa para re´ ´ se aplica repetisolver problemas en los que una tarea o transformacion damente, y consiste en analizar las caracter´ısticas y valores que per´ de la transformacion. ´ manecen sin cambio en la aplicacion ´ El problema clasico de invariantes, consiste en calcular la suma de los primeros n numeros naturales: ´ 1 Sea n un n´umero entero positivo. Calcular la suma 1 + 2 + 3 + · · · + n. ´ sino una gu´ıa hacia la misEl invariante por s´ı mismo no es la solucion ´ ´ ma. En su mayor´ıa, esta tecnica es aplicable a problemas de Aritmetica o Combinatoria. En algunos problemas se pregunta si es posible que un sistema alcance cierto estado. Si uno descubre algun ´ invariante que no posee el estado final, entonces podemos estar seguros que ese estado es inalcanzable. 2
(Yuc97) En un tablero de ajedrez es posible hacer dos tipos de operaciones: 1
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i Intercambiar dos renglones. ii Intercambiar dos columnas. ¿Es posible, mediante una serie de estas operaciones el llegar a un tablero donde la mitad izquierda del tablero sea blanco y la mitad derecha negra?
´ En el problema anterior, el invariante fue un valor numerico, pero en muchos casos los invariantes se presentan como propiedades de los numeros ´ ´ que como valores constantes. Algunos de los invariantes mas ´ emmas pleados son el de paridad. El uso de los principales invariantes de paridad viene ejemplificado en el siguiente problema. 3 Supongamos que se escriben 100 n´umeros en la pizarra. Entonces se toman dos n´umeros a y b, se borran, y se escribe |a − b| en la pizarra, quedando 99 n´umeros. Este proceso se repite hasta que s´olo queda un n´umero en la pizarra. Este n´umero, ¿es par o impar? Un invariante de paridad es que sumar un numero impar a otro numero ´ ´ ´ siempre le cambia su paridad. Existe un analogo con productos: multiplicar un numero por uno negativo le cambia el signo. ´ 4 Se tiene el arreglo mostrado en la tabla de la izquierda. Se puede cambiar el signo a todos los n´umeros de una fila, una columna o una paralela a las diagonales. La tabla de la derecha muestra un posible cambio. Pruebe que sin importar cu´antos cambios se hagan, siempre queda un −1 en la tabla. 1 1 1 1 1 1 1 -1
1 1 1 1
1 1 1 1
⇒
1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 1
´ la que perEn algunos casos, no es una propiedad sino una situacion manece sin cambio, lo que nos permite en algunos casos probar que un sistema alcanza cierto estado. 2
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5 Se tiene una barra de chocolate con divisiones como cuadr´ıcula de 8 × 5. Dos personas se turnan a romper alg´un pedazo de chocolate a lo largo de las l´ıneas. La primera persona que ya no pueda romper alg´un pedazo de chocolate pierde. Demuestra que la primera persona siempre pierde.
Problemas. 6 Coloquemos un caballo en la esquina inferior izquierda del tablero de ajedrez. ¿Ser´a posible llevarlo hasta la esquina superior derecha pasando por todos los dem´as cuadrados exactamente una vez? 7 El producto de 50 n´umeros enteros es 1. Pruebe que su suma no puede ser cero. 8 Un drag´on tiene 100 cabezas. Sir Drini puede cortarle 15, 17, 21 o 5 cabezas en un ataque con su espada. En cada caso, al drag´on le crecen 24, 2, 12 o 17 cabezas nuevas respectivamente. Si al final de un ataque el drag´on queda si cabezas, muere. ¿Es posible que el drag´on muera? 9
(Yuc01) A un libro de 1000 p´aginas se le arrancaron 25 hojas. ¿Ser´a posible que la suma de los 50 n´umeros de p´agina que aparecen en las hojas arrancadas sea 2000?
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(Yuc94) ¿Es posible acomodar los signos + o − de alguna manera en los espacios de la siguiente f´ormula para que la igualdad se cumpla? 1
2
3
4
···
99
100 = 132
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(Yuc00) Considere una cuadr´ıcula de 6 × 6. En cada casilla se escribe un 1 o un −1, y despu´es se calcula la suma de todos estos n´umeros. ¿De cu´antas maneras se pueden acomodar los n´umeros para que la suma sea igual a 5? ¿Y para que la suma sea igual a 6?
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(Yuc99) Una cuadr´ıcula de 8x8 se numera del 1 al 64 en el sentido usual. Decimos que 8 casillas de la cuadr´ıcula forman un arreglo mitol´ogico, si cualesquiera dos de estas casillas no est´an ni en la misma fila ni en la misma columna. Demostrar que en cualquier arreglo mitol´ogico, la suma de los n´umeros de sus casillas es siempre 260. 3
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(Yuc01) Encuentra todas las parejas de n´umeros enteros a y b tales que a2 − 10b2 = 2.
14 Se escriben en una pizarra los n´umeros de 1 a 1000. Se cambia cada n´umero por la suma de sus d´ıgitos y se repite este proceso hasta que todos los n´umeros escritos sean de una sola cifra. (Ejemplo: 542 → 11 → 2). Al final, ¿qu´e habr´a m´as, unos o doses?
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Soluciones 1 Llamemos S a la suma que queremos calcular. Entonces podemos escribir S = 1 + 2 + 3 + · · · + (n-2) + (n-1) + n + S = n + (n-1) + (n-2) + · · · + 3 + 2 + 1 2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + · · · + (n+1) + (n+1) + (n+1) La tercera l´ınea nos dice que 2S = n(n + 1) y concluimos que S=
n(n + 1) . 2
´ El invariante aqu´ı es la suma de parejas de numeros en posiciones simetricas. ´ 2 Es imposible llegar al arreglo pedido. Consideremos una columna cualquiera. ´ y cambiamos dos filas, el numero Si aplicamos la primera operacion de cuadros ´ blancos en la columna (4) no cambia. Y si intercambiamos dos columnas tampoco alteramos el numero de cuadros blancos en cada una. Por tanto, es imposi´ ble obtener un arreglo donde toda una columna sea blanca. En este problema, el invariante es el numero de cuadros blancos en cada columna. ´ 3 Imaginemos que al inicio escogemos 45 y 80. Si S representa la suma de los numeros en la pizarra, al borrar 45 y 80 la suma total disminuye en 45 + 80, pero ´ luego la aumentamos 80 + 45 y as´ı, al final de la primera etapa, la suma total es S − (45 + 80) + (80 − 45) = S − 45 − 80 + 80 − 45 = S − 2(45). En general, si en algun ´ momento quitamos a y b, al final de esa etapa la suma total disminuye en el doble del menor de los numeros escogidos, es decir, ´ disminuye en un numero par. As´ı, un invariante es la paridad de la cantidad en la ´ que disminuye la suma de los numeros en la pizarra. ´ Ahora, si a un numero par se le resta un numero par, obtenemos un numero ´ ´ ´ par, y si a un numero impar se le resta un numero par, obtenemos otro numero ´ ´ ´ impar (¡otro invariante!). Esto nos dice que el ultimo numero tiene la misma ´ ´ ´ paridad que la suma de todos los numeros al inicio del proceso. Con la formula ´ del primer problema calculamos la suma inicial 1+2+3+· · ·+98+99+100 = 5050 y vemos que es par, por lo que el ultimo numero que queda en la pizarra siempre ´ ´ es par. 4 En cualquiera de los cambios posibles, el producto de los numeros del borde ´ ´ suficiente para asegurar que al menos uno de ellos es siempre es −1, condicion −1.
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5 Notemos que en cada etapa el numero de pedazos de chocolate siempre au´ ´ menta en 1, este es nuestro invariante. As´ı, el primer jugador comienza con un pedazo, el segundo recibe dos, el primero recibe luego tres, y as´ı sucesivamente. Podemos ver que el juego acabara´ cuando se haya dividido la barra en los 40 cuadritos. Como 40 es par, la ultima jugada la hace el segundo jugador y ´ siempre pierde el primero. 6 Si el caballo esta´ en una casilla negra, al siguiente movimiento esta´ en una blanca y viceversa. Las casillas inicial y final tienen el mismo color, por lo que necesitamos un numero par de saltos. Por otro lado hay que visitar 63 casillas, ´ por lo que es imposible hacer el recorrido. 7 Si el producto es 1, todos los numeros o son 1 o son −1. Para que la suma ´ fuera cero, tendr´ıa que haber 25 que son 1 y 25 que son −1, pero en este caso, el producto es −1. Por tanto la suma no puede ser cero. ´ le corta 15 cabezas y crecen 24, al final del ataque tiene 9 cabezas 8 Si al dragon ´ mas. Si le cortan 17 y le crecen dos, en ese ataque pierde 15 cabezas. ´ queda con 9 cabezas menos. Si le cortan 21 y le crecen 12, el dragon ´ aumenta el numero Finalmente, si le cortan 5 y le crecen 17, el dragon de ´ cabezas en 12. Ahora, los numeros 9,15,9,12 son todos divisibles por 3. Entonces el numero ´ ´ de cabezas en cada etapa deja el mismo residuo al dividirse entre tres. Sin embargo, 100 no es divisible por 3, lo que significa que el numero de cabezas nunca ´ es divisible entre 3 y por tanto nunca llega a ser cero. Por tanto, aseguramos que ´ nunca muere. el dragon 9 En cada hoja aparece un numero par y uno impar, cuya suma siempre es ´ impar. Sumando 25 numeros impares obtenemos un numero impar. Por tanto, la ´ ´ ´ suma de los numeros de pagina no puede ser 2000. ´ 10 Supongamos que inicialmente ponemos signos + en todos los espacios. La suma sera´ 5050. Ahora, usamos el invariante que dice que la suma de dos numeros tiene la misma paridad que su diferencia. Esto quiere decir que co´ mo poniendo signos + en todos los espacios nos da un numero par, al cambiar ´ cualquier suma por resta el resultado siempre es par. As´ı, es imposible obtener 132 . 11 Si llenamos el tablero con unos, la suma total es 36. Cada vez que cambiamos un 1 por un −1 la suma de los numeros del tablero disminuye en 2. Entonces ´
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tenemos que la suma del tablero siempre es par y por tanto no hay ningun ´ arreglo en el que la suma sea igual a 5. Por otra parte, cualquier arreglo que tenga 15 numeros −1 y 21 numeros 1 tiene suma 6. Calcular el numero de tales arreglos ´ ´ ´ equivale al numero de maneras de escoger 15 casillas para ponerles numeros ´ ´ −1. Este numero es claramente 36 = 5567902560. ´ 15 12 Notemos que si una ficha se coloca en la fila f y columna c entonces esta´ en la casilla 8(f − 1) + c. Por ejemplo, si una ficha se pone en la segunda fila con ´ podemos segunda columna, el numero que le toca es 8(2 − 1) + 2 = 10. Tambien ´ hacerlo a la inversa. Si una ficha cae en la casilla n, podemos dividir n entre 8 y ´ como mediante el cociente y residuo, seremos capaces de escribir una expresion la de arriba. Como ejemplo, tomemos la casilla con el numero 30. Al dividir 30 entre 8 obtenemos cociente 3 y residuo 6. Entonces 30 = 8·3 + 6 que indica que la casilla 36 esta´ en la cuarta fila, sexta columna. Separamos de esta manera todas las fichas. Como hay una ficha en la primera columna, una en la segunda, y as´ı hasta la octava, en la suma total aparecen los sumandos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36. Ahora vemos que hay una ficha en la primera fila, una en la segunda, y as´ı hasta la octava y tenemos que la otra parte de la suma es 0·8 + 1·8 + 2·8 + · · · + 7·8 = (1 + 2 + · · · + 7)8 = 28·8. Por tanto, la suma total es 28·8 + 36 = 260. Aqu´ı los invariantes son las contribuciones por fila y por columna. 13 Todo numero al cuadrado siempre termina en 0, 1, 4, 5, 6, 9. (Verif´ıquese). ´ 2 ´ 10b siempre es un multiplo Ademas de 10 por lo que termina en 0. As´ı, la resta ´ termina otra vez en 0, 1, 4, 5, 6, 9. Concluimos que no hay una pareja de enteros para la que la resta valga 2. ´ de cambiar un numero 14 La operacion por la suma de sus cifras posee uno de ´ ´ usados: los invariantes mas Todo numero deja el mismo residuo que la suma de sus d´ıgitos al dividirse entre ´ 3 o 9. Como ejemplo, 1979 deja residuo 8 al dividirse entre 9, lo mismo que 1 + 9 + 7 + 9 = 26. Un breve razonamiento con ese invariante nos muestra que al final en la pizarra aparece: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4 . . . Se tiene un ciclo de longitud nueve, por lo que en cada multiplo de nueve aparece ´ un cero y en ese momento en la pizarra ya se ha escrito la misma cantidad de ´ 999 es divisible entre nueve, por lo que en ese momento cada cifra. Ademas, hay la misma cantidad de unos y de doses. El 1000 se convierte en 1 al final del ´ unos que doses. proceso y en la pizarra quedan mas
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