Síntesis del Libro “Como entender y hacer demostraciones Matemáticas” Prof.: René Piedra. Asignatura: Lógica Matemática
Sustentante: Leomar Reyes Abreu
Una demostración es una forma de comunicar una verdad matemática, lo que supone conocer primero las técnicas de demostración, para luego entenderla y hacer posteriores demostraciones, cuyo objetivo es determinar la veracidad o falsedad de un planteamiento a través de las técnicas de demostración. Una de las técnicas fundamentales de demostración es el Método Progresivo-
→ ), la cual supone asumir la hipótesis (en este caso identificada como A)
Regresivo (
como verdadera, para concluir que que la proposición B también es verdadera. En el proceso regresivo (partir de B para llegar a A) se parte con una pregunta abstracción, lo cual supone preguntarse como poder demostrar que la proposición B es verdadera, y la respuesta a esta interrogante, normalmente conlleva a plantearse otras preguntas de abstracción derivadas de la anterior y que permitirán conjunto al proceso progresivo (asumir la proposición A como verdadera para llegar a B) demostrar que A implica B, lo
→ . Si la última de la secuencia progresiva es la última de la secuencia regresiva, entonces quedara por demostrado que → . Esta última cual puede representarse como
parte hace evidente la importancia de seleccionar adecuadamente la pregunta de abstracción y los planteamientos derivados de de ella. Por ejemplo: Ejercicio 2.6. Para cada uno de los siguientes problemas, 1) Plantee una pregunta de abstracción, 2) contéstela abstractamente, y 3) Aplique su respuesta al problema específico.
> , < y =, entonces la solución a la ecuación + + = es positiva.
a) Si a, b y c son números reales para los cuales
1) ¿Cómo se puede demostrar que la solución de una ecuación de segundo grado es positiva? 2) Demostrando que la formula formula general para para resolver una ecuación de segundo segundo grado es un valor positivo
−
=0,
3) Partiendo de la hipótesis, se debe demostrar que puesto que la formula −±√ −±√ − general es pero según la hipótesis considerada como
=
,
verdadera esto se puede reducir a la parte planteada que
− = 0.
b) En la siguiente figura, si
̿
es la bisectriz perpendicular de
̅, ̅=̅,
entonces el triángulo RST es equilátero.
1) ¿Cómo puede demostrarse que un triángulo es equilátero? 2) Demostrando que las longitudes de los tres lados o las medidas de los tres ángulos son iguales. 3) Demostrar que los segmentos
̅ ̅ son ̅ ,
iguales. También se podría
demostrar que los ángulos R, S y T son iguales.
Ejercicio 1.3 Si usted está tratando de demostrar que “A implica B” es verdadero y sabe que B es falso, ¿Quiere demostrar que la proposición A es verdadera o falso? Explique.
Si se quiere demostrar que
→ es verdadera y se sabe que B es falsa, entonces
A también debe ser falsa. Por otro lado, si A es verdadera y B es falsa, entonces “A implica B” seria falsa.
Cuando se está trabajando con el método progresivo-regresivo, la respuesta a una pregunta de abstracción normalmente conlleva a utilizar definiciones que contienen los cuantificadores “existe” y “para todo o para cada”, lo cual supone que sea conveniente utilizar otros métodos de demostración.
Cuando aparece el cuantificador “existe” se utiliza el método por construcción. Este método supone que existe un “objeto” con una “cierta propiedad” tal que “algo sucede”. Este método parte de la suposición que la hipótesis es verdadera, para generar el objeto deseado en base a dicha propiedad, y que se produzca ese algo.
Ejercicio 4.3 Demuestre que:
⁄ + ⁄ = . ¿Es único este entero? Utilizando el método por construcción, se resuelve la ecuación 5 ⁄2 + 3⁄2 = 0 por factorización ( 1) =0, de la cual se obtiene que el valor de la variable = ó = 1 . De esta forma queda demostrado que existe un entero (el numero 1) que cumple con que 5 ⁄2 + 3⁄2 = 0. Y además, este entero es único.
a) Existe un número tal que
b) Existe un número real
tal que ⁄ + ⁄ = . ¿Es único este número
real?
Utilizando el método por construcción,
3⁄2 = 0
por factorización
se resuelve la ecuación
( 1) =0,
5⁄2 +
de la cual se obtiene que el valor de
= ó = 1 . De esta forma queda demostrado que existe un real x que cumple con que 5 ⁄2 + 3⁄2 = 0. Y además, el número real x no es único. la variable
Ejercicio 4.5 Demuestre que si s y t son números raciones y
≠
entonces
⁄ es un numero
racional.
Esta demostración da lugar a formular la pregunta de abstracción ¿Cómo puedo demostrar que un número real es racional? La respuesta a esta pregunta conlleva a utilizar
≠ 0 tales que ⁄ = ⁄ . uesto que s y t son racionales, existen los enteros b, c, d, e con ≠ 0 ≠ 0 tales que = ⁄ y = ⁄. la siguiente definición: Existen los enteros p y q con
≠ 0 ≠ 0 , entonces ≠0 . Si se sustituyen los valores de s y t, se tiene que ⁄ = (⁄ )⁄(/ ) = ⁄ . De modo que los enteros p y q son = y = y ≠ 0, queda demostrado que ⁄ es un numero racional. Además,
Por otro lado, cuando en el proceso regresivo surge el cuantificador universal expresado como “para todo” o “para cada” se utiliza el método por selección, la cual consiste en particularizar para objetos específicos que cumplen la propiedad delimitada en el problema, la definición utilizada para responder a la pregunta de abstracción. Cuando la lista de objetos es finita, una manera razonable de proceder es tratar de demostrar que todos los objetos cumplen con cierta propiedad.
Es importante tener presente destacar que en una demostración se pueden utilizar varias técnicas de demostraciones, lo cual hace que identificar que técnica utilizar, sea un recurso más para la demostración.
Ejercicio 5.5 Para cada uno de los siguientes enunciados, indique cuales técnicas para hacer demostraciones usaría usted (Selección, construcción o ambas) y en qué orden. Además, explique cómo se aplicaría la técnica al problema en particular, es decir, que construiría, que seleccionaría, etc.
> tal que, para todos los elementos en el conjunto S de números reales, || ≤ . Primero se podría aplicar el método por construcción para generar > 0 y luego se utilizaría el método por selección para particularizar el problema y elegir un , en S para la que debe demostrarse que | , | ≤ . a) Existe un número real
b) Para todos los números reales numero reales tal que
> , existe un elemento x en el conjunto S de
|| >
´ > 0. Luego se podría aplicar el método por construcción para producir una x en el conjunto S tal que | | > . Ejercicio 5.8. Demuestre que si m y b son números reales y es una función definida por () = + , entonces es convexa. Primero se debe aplicar el método por selección y se elegirí a
Utilizando el método progresivo-regresivo se genera la pregunta de abstracción ¿Cómo se puede demostrar que una función es convexa? La respuesta a esta pregunta requiere el uso de la siguiente definición, a la cual se identificara como B1
: Para todos los números reales ( + (1 )) ≤ () + (1 ) ()
y
,
y para toda t con
0≤≤1.
Utilizando el método por selección, particularizamos esta definición. Entonces debe demostrarse que
( ́ ́ + (1 ́ ) ́ ) ≤ ́ ( ́ ) + (1 ́ ) ( ) Partiendo de la hipótesis,
() = + ( ́ ́ + (1 ́ ) ́ ( ́ ́ + (1 ́ ) ́ ( ́ ́ + (1 ́ ) ́ ( ́ ́ + (1 ́ ) ́ ( ́ ́ + (1 ́ ) ́
) = ( ́ ́ + (1 ́ ) ́ ) + ) = ́ ́ + ́ ́ ́ + ) = ́ ́ + ́ + ́ ́ ́ + ́ ) = ́ (́ +)+ ́ (1 ́ )+(1 ́ ) ) = ́ (́ + ) + (1 ́ )(́ + )
Ejercicio 5.7. Demuestre que para todo número real
> , existe un número real < tal que
= ⁄( + ). Partiendo del método por selección, existe un número real
́ > 2 . Utilizando el
método por construcción, se tiene que
́ = 2 ⁄(1 + ) ́ = 2 ́ = ́ ⁄(2 ́ )
́ > 2 , < 0 se puede verificar que se cumple ́ = 2 ⁄(1 + ) y por lo tanto también para = 2⁄(1 + ) Puesto que
Cuando el cuantificador “para todo” aparece también otra técnica de demostración útil lo es el método por inducción, la cual se utiliza para números enteros que son mayores que 1. El método por inducción básicamente consiste en demostrar que para el primer valor posible de n, y luego demostrar que si
() es verdadero
() es verdadero, entonces
(+1) también es verdadero. Ejercicio 6.1. ¿Para cuáles de las siguientes proposiciones seria directamente aplicable el método por inducción? Cuando no sea aplicable, explique el por qué.
+ ∙ − . Es Aplicable. Existe un entero ≥ tal que > . No es aplicable porque debería tener el
a) Para cada entero positivo n, 8 divide a b)
cuantificador para todo, en lugar del cuantificador existencial. c) Para cada entero
d) e)
≥, (!) + ⋯ + (!) = ( + )!. (donde ! =
( + ) … ). Aplicable Para cada entero ≥ , ! > . Aplicable Para cada número real ≥ , ≥ .
No es aplicable, porque la inducción solo se aplica para números enteros.
Ejercicio 6.3. Demuestre por inducción que para cada entero
≥, (!) + ⋯ + (!) =
( + )!. () es verdadera, en este caso tomaremos para n=2. Si () = 1(1!) + ⋯ + (!) = ( + 1)!1. (1) = 1(1!) = (1 + 1)!1 Y se verifica que 1=1. Tomando a () como verdadera, se debe demostrar que (+1) . Dado que ( + 1) = 1(1!) +⋯+(+1)( + 1)! = ( + 2)!1. Partiendo que 1(1!) + ⋯ + (!) +(+1) ( + 1)! ( + 1)!1+(+1)( + 1)! (+1+1)( + 1)! 1 (+2)( + 1)! 1 (+2)!1 Por lo tanto ( + 1) también es verdadera. Se comienza comprobando si
Ejercicio 6.7.
≥, 6 divide a estableciendo que 1) el enunciado es verdadero para = , y 2) Si el enunciado es verdadero para () entonces, también es verdadera para . Demuestre que para cada entero
() es verdadera para n=1, 1 1 = 0 Entonces se debe cumplir que ( 1) ( 1), y aplicando algunos procedimientos Partiendo que
algebraicos, se tiene que es igual a
3 + 3 1 + 1 (3 3) =3 3 Entonces = [( 1) ( 1)] + 3 3 . Según la hipótesis [( 1) ( 1)] es divisible entre 6, lo que supone que hay que demostrar que 3 3 también es divisible entre 6.
es divisible entre 2 pues establece el producto de dos números consecutivos (1). Por lo tanto, = [( 1) ( 1)] +3( ) = 6 + 6 =(+) Partiendo que
Cuando el cuantificador “para todo” surge en el proceso progresivo, un método que podría utilizar es el método por particularización, el cual consiste en verificar y asegurarse que los objetos satisfagan cierta propiedad, y de esa forma poder concluir que B es verdadera.
Ejercicio 7.4. Demuestre que si S y T son conjuntos convexos, entonces S intersección T es un conjunto convexo.
Partiendo del proceso progresivo-regresivo se genera la pregunta de abstracción ¿Cómo puedo demostrar que un conjunto es convexo? La respuesta a esta pregunta requiere el uso de la siguiente definición, a la cual se identificara como B1
: Para toda y de S intersección T, y para toda t con ≤ ≤ . + (1 ) esta en S intersección T. Particularizando la definición anterior por el método de selección, se tiene que
: ́ ́ + (1 ́ ) ́
Está en S intersección T.
Trabajando progresivamente y partiendo de la hipótesis que S es convexo, se tiene que:
: Para toda y de S, y para toda t con ≤ ≤ . + (1 ) esta en S. Particularizando la expresión anterior por el método de selección, se tiene que ́ ́ + (1 ́ ) ́ esta en S. De forma parecida se infiere que ́ ́ + (1 ́ ) ́ también está en T, por tanto, queda demostrada la proposición.
Ejercicio 7.7. Demuestre que 1 es un límite mínimo superior del conjunto
= { ⁄ ,
⁄ , ⁄ , … } (sugerencia: el conjunto S se puede escribir como { : ≥ = ⁄}) Partiendo del método progresivo-regresivo, se plantea la pregunta de abstracción ¿Cómo puede demostrarse que un número es la mínima cota o límite superior de un conjunto? La respuesta a esta pregunta requiere el uso de la siguiente definición, a la cual se identificara como B1
B1: 1 es cota superior de S y, para toda
∈> 0, existe una x en S tal que >1∈.
Esto conlleva a la formulación de otra pregunta de abstracción, que es ¿Cómo puede demostrarse que un número es cota superior de un conjunto? Utilizando la siguiente definición, se tiene que B2: para toda x de S,
≤1.
Trabajando regresivamente, se tiene que B3 :
≤ 1 . Para ∈ .
= { : ≥ 2 = 1 1⁄}) Puesto que ∈ , existe un entero ≥ 2 = 1 1⁄ , y como ≥ 2, = 1 1⁄ ≤1, de donde se comprueba que B es verdadera. Pero el conjunto S puede expresarse como
3
Para demostrar que B1 es verdadera, es preciso demostrar que: B4: para
∈> 0, existe x en S tal que >1∈. Aplicando nuevamente el método por
selección se debe demostrar que B5: existe x en S tal que
>1∈.
Aplicando nuevamente el proceso progresivo, la x de S buscada se generaría
≥ 2 elemento de los enteros para el que 1 1⁄ >1∈ porque se podría construir que = 1 1⁄. encontrando un
Cuando se trató el proceso progresivo-regresivo en los inicios de este documento, se asumía la hipótesis A como verdadera, para concluir que la proposición B es verdadera. Pero ahora surge una nueva técnica de demostración la cual supone negar a la proposición B y determinar por qué no se puede demostrar que A es verdadero. Es decir, suponer A verdadero, y B falso y ver por qué esto no puede ser posible.
Ejercicio 8.1. ¿Qué debería usted suponer cuando se aplique el método por contradicción a las siguientes proposiciones?
, y son tres números consecutivos, entonces 24 no divide a + + + . Suponer que , y son tres números consecutivos, y 24 divide a + + + 1.
a) Si
b) Si la matriz M no es singular, entonces los renglones de M no son linealmente dependientes.
Suponer que M no es singular, y que los renglones de M son linealmente dependientes.
c) Si y son dos funciones tales que 1)
≥ y 2 no esta acotada superiormente,
no esta acotada superiormente. Suponer que y son dos funciones tales que ≥ , no tiene cota superior y g entonces
tiene cota superior.
Ejercicio 8.3.
es un entero y es par, entonces es par. Se parte haciendo una contradicción de B, es decir, que n es impar y es par. Entonces existe un entero k tal que = 2 + 1. Por lo que, = (2+1) = 4 + 4 + 1 =2(2 +2)+1 Siendo = 2 + 2 entonces = 2 + 1, contradiciendo la proposición que era un Demuestre por contradicción que si
número par. Ejercicio 8.5.
son dos líneas rectas en un plano, las cuales son perpendiculares a una tercera línea recta en el plano, entonces Demuestre por contradicción que si son paralelas.
Contradiciendo la proposición B, se tiene que
no son paralelas y que
ambas son perpendiculares a una recta en el plano, lo que supone que ambas se deben intersecar con la recta formando ángulos de 90 grados, y como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados, esto conduce a la contradicción que hay un ter cer ángulo que mide cero grados. Cuando se utiliza el método por contradicción, no se puede trabajar regresivamente porque no se sabe que contradicción se va a generar y además se toma la proposición A como fundamento para lograr la contradicción. Pero en otros casos, surge otra técnica de demostración que es el método contrapositivo, la cual consiste en trabajar progresivamente a partir de NO B y regresivamente a partir de No A. En el método contrapositivo, se supone que No B es verdadero para llegar a la contradicción que la proposición A es falsa. Ejercicio 9.3. Si el método contrapositivo se utiliza para demostrar la proposición:
“Si la derivada de la función en el punto x no es igual a cero, entonces x no es un minimo relativo de
”,
entonces ¿Cuál de las siguientes
es la pregunta de
abstracción más correcta? ¿Qué es incorrecto en las otras alternativas?
a) ¿Cómo puedo demostrar que el punto x es un mínimo relativo de la función ?
Es incorrecta, pues contiene expresiones específicas del problema y además, el proceso de abstracción en el método contrapositivo no debe aplicarse a NO B. b) ¿Cómo puedo demostrar que la derivada de la función en el punto x es cero?
Es incorrecta, pues contiene expresiones específicas del problema.
c) ¿Cómo puedo demostrar que un punto es un mínimo relativo de una función?
Es incorrecta. El proceso de abstracción en el método contrapositivo no debe aplicarse a NO B. d) ¿Cómo puedo demostrar que la derivada de una función en un punto es cero?
Es correcta. Ejercicio 9.4. Demuestre que si c es un entero impar, entonces la solución de la ecuación
= , no es un entero impar.
+
Aplicando el método contrapositivo, se asume la existencia de un entero m impar que es la solución de la ecuación. Por lo tanto, la ecuación se puede reescribir como
=
+ . Pero como m se asumió como un número impar, puesto que la suma de dos
números impares es un número par, se deduce que C es un número par, terminando así la demostración. Algo muy importante que se tiene que tomar en consideración, principalmente para el método por contradicción y contrapositivo, y es que es necesario saber cómo plantear las negación de una proposición, de tal forma que no se generen confusiones al momento de trabajar a partir de No A, o No B. Ejercicio 10.3. Si se utiliza el método por contradicción para demostrar las s iguientes proposiciones, ¿Qué debería usted suponer?
≥ , ! > . Suponer que existe un entero ≥ 4, ! ≤ a) Para cada entero
b) A implica (B O C).
Suponer A, No B y No C c) A implica (B Y C).
Suponer A, No B o No C
∗ es un numero real y existe un número real > tal que para todo numero real x con la propiedad | ∗ | < ,() ≥ (∗), entonces para todo numero real y, () ≥ (∗).
d) Si es una función convexa de una variable,
∗ es un número real y existe un número real > 0 tal que para todo numero real x con la propiedad | ∗ | < , () ≥ ( ∗). y además, suponer que existe un número real y, tal que () < ( ∗). Suponer que es una función convexa de una variable,
10.4. Si el método contrapositivo se utiliza para demostrar las siguientes proposiciones, ¿A partir de cuál(es) proposición(es) trabajaría progresivamente, a partir de cuál(es) trabajaría regresivamente? a) A implica (B O C).
Progresivamente a partir de: No B y No C Regresivamente a partir de: No A b) A implica (B Y C).
Progresivamente a partir de: No B o No C Regresivamente a partir de: No A
c) Si es un entero par y
es un entero impar, entonces es divisible entre o
no es divisible entre 4. Progresivamente a partir de: mí no es divisible entre 4 y n es divisible entre 4. Regresivamente a partir de: n es un entero impar o m es un entero par.
y son números reales tales que ≥ ,≥ y + = , entonces = y = . 10.5. Demuestre por contradicción que si
≥ 0 , ≥ 0 y + = 0 , y que ≠ 0 y ≠ 0. Pero si ≠ 0, entonces > 0 y = < 0, pero esto genera una contradicción en el hecho que ≥ 0. Partiendo que
Además de las técnicas presentadas anteriormente, existen otras técnicas especiales que son muy útiles en las demostraciones. Una de ellas es el método de unicidad, la cual consiste en demostrar existe un objeto con cierta propiedad tal que algo sucede, pero que ese objeto es único. Una forma efectiva de demostrar la unicidad del objeto, se hace suponiendo que existen dos objetos para los cuales dicha propiedad se cumple, y luego demostrar que esos objetos son iguales. Otra técnica especial es el método de la disyunción exclusiva, la cual consiste en demostrar la proposición A es verdadera para concluir que una proposición B o C es verdadera, pero no ambas. La última técnica es el método máx. /min el cual se utiliza cuando aparecen problemas de máximos y mínimos. Este consiste en transformar el problema en otro equivalente que contenga cuantificadores y luego utilizar el método por selección o el método por construcción.
11.2 Demuestre, usando el segundo método de unicidad, que si m y b son números reales con
≠ , entonces existe un numero real único tal que +=.
Según el segundo método de unicidad, primero debe construirse un número real x
+ = 0. Pero en la hipótesis se establece que ≠ , y es ()/. Para establecer la unicidad, supóngase que y satisfacen + = 0 y + = 0, asi como ≠ . Se llega a una contradicción al demostrar que = 0. Específicamente, como + = 0 = + , se infiere que m(x-y)=0. Al dividir entre el número diferente de cero se llega a que = 0. Y esto contradice la hipótesis planteada.
para el que
12.1 Para cada una de las siguientes proposiciones, indique qué técnica utilizaría usted para hacer demostraciones al comenzar la demostración, y explique por qué.
son enteros impares, entonces la ecuación ++= no tiene como solución para un número racional.
a) Si
El método contrapositivo o por contradicción, ya que en la conclusión se encuentra presente la palabra “no”. b) Para cada entero
≥ , ! > .
El método de inducción, ya que la proposición B es verdadera para cualquier
n ≥ 4. Si y son funciones convexas, entonces + es una función convexa. entero
c)
El método progresivo-regresivo, ya que B no presenta ninguna forma evidente.
, Y son números reales, entonces al máximo valor de ++ sujeto a la condición de que + + =, es ≤
d) Si
El método máx/mín, ya que en B aparece la palabra “máximo”.
e) En un plano existe una y sólo una recta perpendicular a una recta dada que pasa por un punto
en .
El método de unicidad, que se supone la presencia de una y solo una recta.
y son dos funciones tales que: 1) para todos los números reales ,()≤() y 2) no existe un número real tal que para todo ,()≤ , entonces no existe un número real > tal que , () ≤ .
f) Si
El método de contradicción o el contapositivo, ya que en la conclusión se encuentra presente la palabra “no”.
son funciones continuas en el punto x, entonces la función ± es continua también en .
g) Si y
El método progresivo-regresivo, ya que B no presenta ninguna forma evidente.
son funciones continuas en el punto , entonces para cada número real > , existe un número real > tal que para todos los números reales y con | | < , | () + () (() +()) | < .
h) Si y
El método por selección, ya que el primer cuantificador de B es “para todo”. , entonces i) Si es una función de una variable definida por
() = + existe un número real ∗ entre y tal que para todo ,(∗ ) ≤ ().
El método por construcción, ya que el primer cuantificador d B es “exis te”.
12.2 Describa como podría usted utilizar cada uno de los siguientes métodos para demostrar la proposición: “para cada entero
≥ , ! > ”. Establezca lo que
debería suponer y lo que debería concluir.
a) Método por inducción.
Al utilizar el método de inducción se supondría que intentaría demostrar que por supuesto, que
! > y que ≥ 4, y se
(+1)!>(+1). También, tendría que demostrarse,
4 ! > 4 .
b) Método por selección.
Al utilizar el método por selección se elegiría un entero Intentaría demostrase que
′ para el que ′ ≥ 4.
(′)! > (′).
c) Método progresivo-regresivo. (sugerencia: convierta el problema en uno equivalente de la forma “si… entonces…” ).
es un entero mayor o igual que 4 entonces ! > ”. Por lo tanto, se supondría que es un entero mayor o igual a 4 y se intentaría demostrar que ! > . Al convertir la proposición a la forma “si…, entonces…” se obtiene “si
d) Método por contradicción.
Al utilizar el método por contradicción se supone que exist e un entero
! ≤ , y se intentaría llegar a una contradicción.
≥ 4 tal que
