LEYESDELALÓGI CAPROPOS OSI CI ONALYDEMO MOSTRACI ONES MATEMA MATI CAS( GRUPO No.3) LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Leyes de La Lógica:
Una proposición lógica, compuesta por varias proposiciones representadas con letras y unidas entre sí con símbolos lógicos, que tenga la propiedad de que cuand cu andoo se re reem empl plaz azan an la lass le letr tras as por pr prop oposi osici cione oness re real ales es si siem empr pree re resu sultltaa verdadera aunque algunas o todas esas proposiciones sean falsas, es lo que se l lama una LEY LÓG!"# $onn e% $o e%pr presi esion ones es fo form rmal ales es o fó fórm rmul ulas as &r &rop oposi osici ciona onale less cuy cuyaa fu funci nción ón veritativa es una tautología que se utiliza para organizar un c'lculo a%iom'tico# Principios Lógicos Básicos:
En el c'lculo de inferencia es necesario tener en cuenta los siguientes principios lógicos# () de dent ntiidad* esta ley per ermi mitte +ac aceer equ quiv ivaalencia ent ntrre dos proposiciones de un mismo argumento# ) -o contradicción* una proposición no puede ser simult'neamente verdadera y falsa* p . /p# 0) 1ercer 1ercer e%cluido* una proposición es verdadera o es falsa# p 2 /p# 3) 4ob 4oble le neg negaci ación* ón* una pro propos posici ición ón afi afirma rmativ tivaa equ equiva ivale le a la mis misma ma proposición negada dos veces# LEYES DE INERENCIA: Las leyes de inferencia que corresponden a formas de razonamiento elementales cuya validez es f'cil de demostrar# demos trar# !" #OD$S PONENDO PONENS %#PP&
p 5 q, p 6 q El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa)efecto# La regla 7ponendo ponens8 significa, 9afirmando afirmo: y en un condicional establece, que si el antecedente ;primer t
p entonces q 9$i llueve, entonces las calles se mo>an: ;premisa= p 9Llueve: ;premisa= q 9Luego, las calles se mo>an: ;conclusión= '" #OD$S (OLLENDO (OLLENS %#((&
p 5 q, ?q 6 ?p
91ollendo 1ollens: significa 9negando, niego:, y se refiere a una propiedad inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar# p entonces q 9$i llueve, entonces las calles se mo>an: ?q 9Las calles no se mo>an: ?p 9Luego, no llueve: $i de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado ;el efecto=, eso nos conduce a negar el antecedente ;la causa=, puesto que si un efecto no se da, su causa no +a podido darse#
Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores, consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación@ la regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si est' afirmado el antecedente ;el primer t
?p B p ?!B1 ?1B!
p sí sólo sí p El esquema representa, 9p doblemente negada equivale a p:# $iguiendo el esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así* ?? p 9-o ocurre que "na no es una estudiante: p 9"na es una estudiante: La regla 7doble negación8, simplemente establece que si un enunciado est' doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado# +"* CON,$NCIÓN
p, q 6 p . q
!on>unción ;!=* $i disponemos de dos enunciados afirmados como dos premisas separadas, mediante la ad>unción, podemos unirlos en una sola premisa utilizando el operador . ;con>unción=# p 9Cuan es cocinero: q 9&edro es policía: p . q 9Cuan es cocinero y &edro es policía: -" * SI#PLIICACIÓN %S&:
Dbviamente, es la operación inversa# $i disponemos de un enunciado formado por dos miembros unidos por una con>unción, podemos +acer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado# p . q 91engo una manzana y tengo una pera: p 91engo una manzana: q 91engo una pera: ."* #OD$S (OLLENDO PONENS %(P&
La disyunción, que se simboliza con el operador 2, representa una elección entre dos enunciados# "+ora bien, en esa elección, forma parte de las posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos# " partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla, denominadatollendo ponens ;negando afirmo=* si uno de los miembros de una disyunción es negado, el otro miembro queda autom'ticamente afirmado, ya que uno de los t
?q 9-o +e ido de compras: p 9&or tanto, +e ido al cine:
/"* LEY DE LA ADICIÓN %LA&
4ado un enunciado cualquiera, es posible e%presarlo como una elección ;disyunción= acompaFado por cualquier otro enunciado# p 9e comprado manzanas: p 2 q 9e comprado manzanas o +e comprado peras: 0"* SILOGIS#O 1IPO(2(ICO %S1&
4ados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra ;el mismo enunciado=, podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de
4adas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones# Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla# p entonces q 9$i llueve, entonces las calles se mo>an: r entonces s 9$i la tierra tiembla, los edificios se caen: p 2 r 9Llueve o la tierra tiembla: q 2 s 9Las calles se mo>an o los edificios se caen: !5"* SI#PLIICACIÓN DISY$N(I4A %SD&
$i disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de ambas implicaciones# p 2 q 9elado de fresa o +elado de vainilla: p entonces r 9$i tomas +elado de fresa entonces repites: q entonces r 9$i tomas +elado de vainilla entonces repites: r Luego, repites !!* LEY CON#$(A(I4A
Esta ley, no es v'lida para la implicación, pero sí para con>unción y para la disyunción# Una con>unción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de modo que el orden de sus elementos no cambia este +ec+o# gualmente, una disyunción
es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qu< orden se presente esta elección# "sí pues, p . q sí y sólo sí q . p 9p y qH equivale a q y pH: p 2 q sí y sólo sí q 2 p 9p ó qH equivale a q ó pH !'* LEYES DE #ORGAN %D#&
Esta ley permite transformar una disyunción en una con>unción, y viceversa, es decir, una con>unción en una disyunción# !uando se pasa de una a otra, se cambian los valores de afirmación y negación de los t
unción así como de la propia operación en con>unto, como podemos observar aquí* p.qp2q ?;?p 2 ?q= ?;?p . ?q Aplicación de leyes lógicas para demostrar y argumentar # !uando se tienen varias premisas )o proposiciones que se sabe son verdaderas) y se quiere sacar las conclusiones derivadas de ellas, se pueden aplicar una o varias leyes lógicas, en forma repetida si fuere necesario, para construir nuevas proposiciones simples o compuestas que sean verdaderas y que conduzcan a conclusiones Atiles en forma totalmente lógica# &or e>emplo* $e sabe que las siguientes proposiciones son verdaderas* ;premisas= (# La tarde del domingo golpearon a Cuan # $i alguien estaba en J no pudo ver la pelea 0# Cuan estuvo toda la tarde del domingo en " con !arlos y &edro 3# Kngel estuvo con Luís en J toda la tarde del domingo # María estuvo con Nosa en J todo el día# O# &edro di>o que Kngel golpeó a Cuan# P# Nosa di>o que vio a !arlos golpear ese domingo a Cuan en "# 4e ellas, aplicando leyes lógicas ya conocidas se pueden obtener como verdaderas* El domingo de los +ec+os* 4e 0 salen tres proposiciones* Estuvo en " toda la tarde Q= !arlos estuvo en " toda la tarde ;R= &edro estuvo en " toda la tarde ;(S= 4e 3 salen dos proposiciones* Kngel estuvo en J toda la tarde ;((= Luís estuvo en J toda la tarde ;(= 4e salen dos proposiciones* Estuvo en J todo el día ;(0= Nosa estuvo en J todo el día ;(3= ( y Q llevan a* Cuan fue golpeado en " ;(= y (3 llevan a* Nosa no pudo ver la pelea ;(O= (O y P llevan a* Nosa miente ;(P= (( y O llevan a* &edro miente ;(Q=
4e esta forma podemos concluir que* Juan fue golpeado en A y que Rosa y Pedro mienten.
&ero no se puede concluir nada acerca de qui
$on pasos sucesivos que permiten la co+erencia de algAn problema relacionado +a algo específico, se toma un con>unto de premisas como algo verdadero, de las mismas se obtienen una demostración que en sí, nos permiten fortalecer la tesis, % +ipótesis o !onclusiones# 4ebemos acotar que para llegar a la conclusión se siguen una serie de reglas o pasos con secuencia lógica# &or otra parte tambiemplo, enumeración ;para casos enumerables=, inducción matem'tica,### !ada memplo* Esto se puede comprobar con el teorema de &it'goras, que recibe su nombre del matem'tico y filósofo griego del siglo v a#c# &it'goras, y que establece que en un tri'ngulo rect'ngulo el cuadrado de la +ipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos# "T J ! ELE#EN(OS DE LA DE#OS(RACIÓN #A(E#6(ICA
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Jasarse en conocimientos previos#
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&robar su verdad#
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Empezar desde la +ipótesis y llegar a la tesis#
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Encadenar una serie de razonamientos deductivos#
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"plicar propiedades, principios o leyes#
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Es un razonamiento#
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$e debe verificar que una proposición matem'tica es verdadera o es falsa#
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Es una cuestión lógica#
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Es para que nos demos cuenta### que es algo que e%iste por lógica#
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Es un procedimiento#
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Es encontrar la validez de un razonamiento lógico#
DE#OS(RACIÓN POR EL CON(RA*E,E#PLO
!uando +emos probado la validez de la implicación p 5 q, frecuentemente se trata de investigar la validez de la reciproca q 5 p# Empezamos analizando casos particulares que satisfagan la +ipótesis q y confrontamos la validez o no de la conclusión p# $i damos un e>emplo donde la conclusión resulta falsa, tenemos que q . V p es verdadera# &uesto que V ;q 5 p= B q . V p se sigue por las reglas de inferencia que V ;q 5 p= es verdadera y por lo tanto q 5 p es falsa# El determinar la falsedad de q 5 p mediante un caso particular se denomina un contrae>emplo# E>emplo# $i n es un entero primo entonces n es impar# Es una implicación falsa por que n es primo y sin embargo es par# En este caso, n es un contrae>emplo# DE#OS(RACIÓN POR CON(RADICCIÓN:
Este tipo de demostración tiene su sustentación en las siguientes equivalencias lógicas* (# V ; 5 1= B . V 1 # . V 1 5 N . V N B 5 1 El m
4eri7icación ;concerniente a la verdad de una afirmación=# E8p9icación ;profundizando en por qu< es verdad=# Sise;airi;ieno ;descubrimientoIinvención de nuevos resultados=# Co;=nicación ;transmisión del conocimiento matem'tico=# Pu bl i c a d op orAr el i sMi chi nelen14:17
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