Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
Generalidades de la econometría La econometría es una rama de la economía que consiste en la creación de modelos para estimar métodos que permitan explicar fenómenos económicos. Hay cinco elementos fundamentales en un modelo:
Parámetros: Parte de la ecuación ecuación que se pretende estimar (ejemplo: los β)
Perturbaciones estocásticas: Parte no estimable del modelo, que se explica por el azar.
Ecuaciones: Forma funcional del modelo
Datos: Conjunto de valores que servirán para la estimación
Variables: Criterio bajo el cual se agrupan los datos y cuya relación será el fin último del modelo (ejemplo: precios, cantidades, distancias…). distancias…) . Según su función dentro del modelo podrán ser endógenas (variable que se pretende explicar) o exógenas (variable que está dada desde el principio y será contribuyente a la explicación de la variable endógena)
Los datos se pueden clasificar en:
Corte transversal o cross – cross – section: section: Datos de múltiples individuos en un mismo momento del tiempo.
Series de tiempo: Datos de un solo individuo a lo largo de diferentes momentos
Datos de panel: Datos de múltiples individuos a lo largo de varios momentos en e l tiempo.
Georreferenciados: Datos organizados según su ubicación espacial.
Para crear un modelo hay diferentes pasos, a saber: 1. Especificación: Se definen las variables exógenas y endógenas, así como se formulan los supuestos y los objetivos 2. Estimación: Se hacen los estudios y se realizan pruebas sobre los datos 3. Validación: Se revisa el modelo y se cor roboran los supuestos 4. Pronóstico – Pronóstico – Simulación: Simulación: Se hacen predicciones en base a lo estimado en el modelo. 5. Análisis: Se interpretan los resultados y se confrontan con la teor ía. Los modelos pueden clasificarse según diferentes aspectos, tal y c omo se resume en la siguiente tabla. Criterio de clasificación Manejo del tiempo Número de ecuaciones Forma de las funciones Rezago de los datos
Categoría 1 Estático Uniecuacional Lineal Interdependiente
Categoría 2 Dinámico Multiecuacional No lineal Recursivo
1
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2
Generalidades del modelo de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) El modelo de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) es un modelo de estimación lineal de una sola ecuación, en el que una variable estará en función de diferentes variables exógenas y de una perturbación estocástica. Lo que el modelo busca es crear una función que se acerque tanto a los datos reales como sea posible, de forma que pueda reducir al mínimo el cuadrado de las perturbaciones estocásticas. El cuadrado es necesario pues los errores positivos y negativos se contrarrestan. Matemáticamente, esto se representa así:
Yi β0 β1X1i β2X2i ... βk Xki μ i Para un modelo de una variable, de la forma Yi
β0 β1Xi μ i se
puede hacer una
representación gráfica. La línea es el resultado del modelo, los puntos son los datos y el espacio entre cada punto y la línea son las perturbaciones estocásticas.
Para hallar la forma funcional de esta línea es necesario aclarar cuáles son los β. Primero se hará una explicación para el modelo de dos β y luego se generalizará para n β.
Demostración 1: ¿De dónde salen β0 y β1 en el modelo lineal simple de MCO? Esta demostración estará enfocada en hallar en la ecuación Yi
β0 β1Xi μ i las variables β0 y
β1. Queremos minimizar la suma de todos los μ al c uadrado. Si despejamos μ obtenemos
μ i Yi β0 β1 X i ArgMín S ArgMín β0β1
β0β1
Luego N
μ i1
2 i
la N
ArgMín (Yi β0 β1Xi )2 β0β1
i1
función
objetivo
será
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
Para minimizar, derivamos con respecto a β 0 e igualamos a 0. El -2 pasa a dividir, de forma que se elimina. Luego se reparte la sumatoria N S 2 (Yi β 0 β1X i ) 0 β 0 i1 N
(Y β ˆ
i
β1 X i ) 0 ˆ
0
i1 N
Yi
i1
N
N
β X
β0 ˆ
0
ˆ
1
i1
i
i1
Queremos despejar β 0 . Para ello, recordemos que la suma de una constante desde 1 hasta N es ˆ
multiplicar dicha constante por N. Dicho esto, tenemos: N
N
N
Y β Y β ˆ
i
ˆ
1
i1
i
i1
N
0
i1
N
Y β Y Nβ ˆ
i
ˆ
1
i1
i
0
i1
N
N
Y
Y
i
i
β1
i1
ˆ
N
β0
i1
ˆ
N
Por último, la definición de media de una variable nos dice que ésta se halla sumando todos los valores y dividiendo por el número de datos. Entonces
β0 Y β1 X ˆ
ˆ
Ahora derivaremos respecto a β 1 . Atención a la regla de la cadena. El -2 pasa a dividir y repartimos la sumatoria (distribuyendo la X) N S 2 (Yi β0 β1Xi )(Xi ) 0 β1 i1 N
(Y β ˆ
i
β1Xi )(Xi ) 0 ˆ
0
i1 N
i1
YiX i β0 ˆ
N
i1
X i β1 ˆ
N
X
2 i
0
i1
Según lo que recién hallamos, reemplazamos β 0 . Distribuimos y agrupamos. ˆ
3
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N
N
N
Y X (Y β X) X β X ˆ
i
i
i
i1
1
i1
N
2
0
ˆ
1
i
i1
N
N
N
YX Y X β X X β X ˆ
i
i
i
i1 N
N
1
i
i1
1
i1
2
ˆ
i1
YiX i Y
4
X i β1 ( X ˆ
i1
N
i1
0
i
Xi
i1
N
X
2 i
)0
i1
Despejando β 1 ˆ
N
Y
N
X YX
β1
i
i
i1 N
ˆ
X
i1 N
X X i
i1
i
2 i
i1
N
Cambiamos de signos y sumando y restando por X
Y en el numerador y por X X i
i 1
N
N
YX Y X i
β1 ˆ
i
i1 N
X
2 i
X Xi
i1 N
i1
β1 ˆ
i
i1 N
YiX i Y
i1 N
X
2 i
N
Xi X
i1 N
i1 N
i1
i1
Luego, factorizamos N
(Y Y)(X X) i
β1
i
i1 N
(X X)
2
i
i1
Dividimos por N-1 N
(Y Y)(X X) i
i
i1
β1
N1
ˆ
Yi X
N
Y
i
i1 N
X Xi X X i X X i
i1
ˆ
N
N
(X X)
2
i
i1
N1
i1
N
i 1
i
obtenemos
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
Por definiciones de varianza y covarianza, llegamos a
β1 ˆ
Cov(Yi , X i ) Var(X i )
Pero estas fórmulas son sólo válidas para el modelo de un solo regresor. Deberemos abordar un enfoque matricial para generalizar esto para más de un regresor.
Demostración 2: ¿Cómo hallar los β en el modelo general de MCO? En este caso nos ocupa la función
Yi β 0 β1 X 1i β2 X 2i ... βk X ki μ i Despejando μ
μi Yi β0 β1X1i β2X2i ... βk Xki μ i Nuestra función objetivo ahora será
ArgMín S ArgMín β
β
N
i1
2
μ i ArgMín β
N
(Y β i
0
β1 X 1i β2 X 2i ... βk X ki μ i )2
i1
Expresemos la función matricialmente. Y es un vector N x 1 que contiene todos los valores de la variable independiente. X es una matriz N x K (o N x (K+1), si empezamos a contar los regresores de 0 hasta K) donde cada fila representará un individuo y cada columna el valor de cada variable explicativa. El vector β representa los valores de los K (o K+1) parámetros. La idea es despejar este vector. Por último, el vector μ es el vector de perturbaciones estocásticas. Este será el vector a minimizar.
5
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Y xβ μ μ Y - xβ
μ 1 Y1 1 X11 μ Y 1 X 2 2 12 ... ... ... ... μ N Nx1 YN Nx1 1 X1N
β0 β ... X k2 1 ... ... ... ... X kN Nx(k1) βk (k 1)x1
X 22 ... X 2N
β1X11
μ 1 Y1 β0 μ Y β 2 2 0 ... ... ... μ N Nx1 YN Nx1 β1
... X k1
X 21
β2X 21 ... βk Xk1 β2X22 ... βk Xk2 ... ... ... β2X2N ... βk XkN Nx1
β1X12 ...
β1X1N
μ 12 (Y1 β0 β1X11 β2X21 ... βk Xk1 )2 2 2 μ 2 (Y1 β0 β1X12 β2X22 ... βk Xk2 ) ... ... 2 2 μ N Nx1 (Y1 β0 β1X1N β2X2N ... βk XkN ) Nx1 Procedo a derivar con respecto a cada β e igualar a 0. La única derivada distinta a las demás es la de β 0 . Las demás serán todas iguales, con la única diferencia en la X que distribuyo N
ArgMín β
(Y β i
0
β1X1i β2X 2i ... βk Xki μ i )2
i1
N S 2 (Yi β0 β1X1i β2X2i ... βk Xki ) 0 β0 i1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
N S 2 (Yi β0 β1X1i β2X2i ... βk Xki ) 0 β0 i1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
N N S 2 Yi 2 (β0 β1X1i β2X2i ... βk Xki ) 0 β0 i1 i1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
N S 2 (Yi β0 β1X1i β2X2i ... βk Xki )(X1i ) 0 β1 i1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
N S 2 2 (YiX1i β0 X1i β1X1i β2X 2iX1i ... βk XkiX1i ) 0 β1 i1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
N N S 2 2 YiX1i 2 (β0 X1i β1X1i β2X2iX1i ... βk XkiX1i ) 0 β1 i1 i 1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Esta última expresión se divide en dos sumatorias. La primera es el producto de X e Y. La segunda es el producto de los β estimados con el producto de X1 y las otras X. La primera parte es la segunda fila de la matriz X’Y (para el caso de X 1) y la segunda parte es la segunda fila de la matriz
6
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7
X’Xβ. Cada fila representa la derivada respecto a cada parámetro (la tercera fila es para X 2, la cuarta es para X3, y así sucesivamente)
1 X 11 X Y X 21 ... X k1
1 X11 X X X21 ... X k1
1
1
X 12
X 13
X 22
X 23
....
....
X k2
X k3
1
1
...
X12 X22
X13 X23
...
....
....
....
Xk2
Xk3
....
N N X 1i i 1 X Xβ N X 2i i1 N ... X ki i1 ˆ
...
N
X 1i
i 1 N
X
i 1
2 1
1
...
Y1 Y 2 ... X 2N ... .... ... YN Nx1 .... X kN (k1)xN ...
X 1N
1 X1N 1 X2N ... ... 1 XkN (k 1)xN 1
X 1i X 2i
i 1
N
i 1
.... N
X 1i X ki
i 1
2
X2
i 1
...
...
X1N
X2N
X22
... Xk1 ... Xk2
...XkN Nx(k 1) ... ...
...
i 1 N
N
X21
N N X1i i1 N X2i i1 ... N Xki i1
.... N
X 2i X ki
i 1
Lo único que falta es multiplicar por los escalares. A sí, obtenemos que
S 2XY 2XXβ β ˆ
Ahora,
S 2X Y 2X Xβ 0 β ˆ
Despejemos β ˆ
N
X1i i1 N
2
X1 i1 N
X1iX2i i1
N
X2i i1 N
X1iX2i i1 N
X1iXki i1
...
X2 i1
...
....
....
X2iXki i1
....
.... N
2
N X1iXki i1 N X2iXki i1 ... N 2 Xki i1 N
...
N
Xki i1
N N N N X ki β β X ... β X i 1 0 1 1i k ki N β 0 i 1 i 1 i 1 ... X 1i X ki N N N 2 β i 1 β 0 X 1i β 1 X 1i ... β k X 1i X ki 1 N i 1 i 1 i 1 ... X 2i X ki ... i 1 ... β N N N .... ... k 2 (k 1)x1 N β X β X X ... β X 0 ki 1 1i ki k ki 2 .... X ki i 1 i 1 i 1 (k 1)x1 i 1
N
X 2i
X 1i X 2i
X11 X12
N Y i Ni1 YX i 1i i1 N Yi X 2i i1 ... N Y X i ki i1 (k 1)x1
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
8
2X Xβ 2X Y ˆ
X Xβ XY ˆ
Para obtener β sola, nos “estorba” X’X. Como estas son matrices, no se pueden pasar a dividir. Por ˆ
eso, multiplicamos por su inversa (este es el equivalente a pasar a dividir en álgebra lineal). Así llegamos a 1
1
(XX) XXβ (X X) X Y ˆ
Iβ (X X) X Y ˆ
1
La matriz identidad multiplicada por cualquier matriz da como resultado dicha matriz. Así
β (XX) X Y 1
ˆ
Ahora demostraremos algunas propiedades derivadas de este resultado. Antes de esto, conviene indicar que toda variable con ^ es estimada. Yi Es el valor estimado de Y. Además, el residual se ˆ
define como la diferencia entre el valor estimado y el valor real de Y. Esto es μ i ˆ
Yi Yi . ˆ
Demostración 3: El hiperplano de regresión pasa por el punto de medias El enunciado anterior básicamente significa que el promedio de la variable endógena debe ser el mismo que el promedio del estimado de dicha variable. Partimos de XXβ XY ˆ
En matrices, esto es:
N Y i N N N i1 β β X ... β X k ki N 0 1 1i i1 i 1 YX N i1 i 1i N N i1 β X β X 2 ... β X X 0 1i 1 1i k 1i ki N i1 i1 i 1 Y X i 2i ... i1 N N N 2 ... β0 Xki β1X1iXki ... βk Xki N i1 (k1)x1 Y X i1 i 1 i ki i1 (k 1)x1 N
Si tomamos la primera fila tenemos que
i1
β0
N
i1
β1X 1i ...
N
i 1
βk Xki
N
Y
i
i1
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
9
Dividamos todo por N, para obtener los promedios. N
N
β β X 0
1
i1
N
N
β X
1i
k
i1
N
i1
N
N
Y
ki
i
i1
N
β0 β1 X1 β2 X2 ... βk Xk Y ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
La expresión de la izquierda es el promedio de todas las variables exógenas. Esto es lo mismo que el promedio de Y . De ahí concluimos que Y Y ˆ
ˆ
Demostración 4: La suma de residuales de los estimadores mínimos cuadráticos es 0 La definición de residual es μ i ˆ
Yi Yi . Entonces la suma de residuales será ˆ
N
N
μ Y Y ˆ
i
N
ˆ
i
i1
N
N
i1
i
i1
N
μ Y Y ˆ
i1
Si dividimos esta expresión por N, obtenemos
N
i
ˆ
i
i1
N
i
i1
N
. Por definición esto será
μi Yi Yi . Pero Y Y , por tanto μi Yi Yi 0 . Esto implica dos cosas. La primera es que la ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
suma de residuales es 0. Además el valor me dio (el valor esperado) de los residuales es cero.
Demostración 5: Los momentos de segundo orden entre cada regresor y los residuales es 0 Deseamos ver el resultado del producto matricial e ntre la matriz x transpuesta y la matriz de residuales, es decir X μ . Según la definición de residual, podemos establecer que Xμ ˆ
Si distribuyo, tengo Xμ ˆ
ˆ
X(Y Y) ˆ
XY XY . Pero Y Xβ , luego Xμ XY XXβ 0 , por la identidad ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
XXβ XY ˆ
Demostración 6: Los momentos de segundo orden entre la predicción y los residuales es 0 Ahora queremos demostrar que el producto entre la matriz de residuales y la matriz transpuesta de predicciones es 0.
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
Esto es Yμ ˆ
ˆ
Y1
μ 1 μ N 2 ... YN 1xN Yiμ i . De acuerdo a la definición de Y Xβ ... i1 μ N Nx1
Y2
ˆ
10
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
tenemos N
N
Yμ (β ˆ
i
ˆ
ˆ
i
i1 N
β1X1i β2X2i ... βk Xki )μ i ˆ
0
ˆ
ˆ
ˆ
i1
Yiμ i β0 ˆ
ˆ
ˆ
i1
N
μ β X μ β X μ ... β X μ ˆ
ˆ
i
1
1i
i1
ˆ
ˆ
2
i
2i
ˆ
ˆ
i
k
ki
ˆ
i
La demostración anterior nos dice que cada uno de estos productos es 0. Además la suma de los N
Yμ
residuales es 0. Así:
ˆ
i
ˆ
i
0 0 0 0 0... 0 0
i1
Coeficiente de determinación R2 El coeficiente de determinación R2 es una medida de bondad de aj uste lineal (es decir, busca N
(Y Y ) ˆ
i
2
cuánto de la varianza muestral se define por la regresión). R está definido por R
2
ˆ
2
i
i1 N
.
(Y Y )
2
i
i
i1
2
2
El modelo tiene mayor capacidad predictiva a medida de que el R se acerque a 1. El R va de 0 a 1. Este coeficiente se puede expresar de otra forma. Primero, redefinamos el denominador. El valor poblacional de Y es el valor e stimado más la perturbación estocástica. Además, Y Y Si reemplazamos estos valores, obtenemos: ˆ
N
(Yi Yi ) 2
i1
N
((Yi μ i ) Yi ) ˆ
ˆ
2
i1
N
(Yi Yi μ i ) ˆ
2
ˆ
i1
N
[(Y Y ) μ ] ˆ
i1
Resolvemos el trinomio y distribuimos N
(Yi Yi ) 2
i1
N
[(Y Y ) ˆ
i
ˆ
2
i
2
2μ i (Yi Yi ) μ i ] ˆ
i1
N
(Y Y ) i
N
2
i
N
ˆ
2
ˆ
i1
i1
N
N
N
(Y Y ) i
i
2
N
(Yi Yi ) 2 μ i (Yi Yi ) μ i ˆ
i1
i1
ˆ
2
ˆ
i1 N
N
i1
i1
(Yi Yi ) 2 μ i Yi 2Yi μ i μ i ˆ
i1
ˆ
2
ˆ
i1
ˆ
2
i
ˆ
i
2
i
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
Por propiedades ya demostradas, podemos eliminar los dos términos de la mitad, pues ambos son iguales a 0 N
(Yi Yi ) 2
i1
N
N
μ
(Yi Yi ) ˆ
2
ˆ
i1
2 i
i1
N
(Y Y ) ˆ
i
N
(Y Y )
2
Ahora dividamos todos por
i
y despejemos R
i
2
ˆ
2
i
i1 N
(Y Y )
i1
2
i
i
i1
N
N
(Yi Yi )
2
i1 N
N
μ
(Yi Yi ) ˆ
2
ˆ
i1 N
2 i
i1 N
(Y Y )
(Y Y ) (Y Y )
i1
i1
2
i
2
i
i
N
(Y Y ) i
μ
i
i1 N
i
i
i1 N
2
2
i
N
(Y Y )
2
ˆ
i
i
i1 N
ˆ
2
i
i1 N
(Y Y ) (Y Y )
(Y Y )
i1
i1
2
i
2
i
i
2
i
i
i1
N
μ R 1
i
2 i
i1
2
N
(Y Y )
2
i
i
i1
R2 también se puede definir en forma matricial. Definiremos la m atriz M0 así
M0 I
1 N
ii
1 1 i ... 1 1 1 ii 1 1 ... 11xN ... 1 1xN
11
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
1 1 ii ... 1
1
...
1
1
...
1
... ... ... 1 ... 1 NxN
1 1 1 ... N N N 1 1 1 1 ... ii N N N N ... ... ... ... 1 1 ... 1 N N N NxN
1 0 1 I ii ... N 0
0
...
1
...
...
...
0
...
1 1 1 ... N 0 N N 1 1 1 0 ... N N N ... ... ... ... ... 1 1 1 NxN 1 ... N N N NxN
1 1 1 1 N N ... N 1 1 1 M0 N 1 N ... N ... ... ... ... 1 1 1 ... 1 N N NxN N Esta es una matriz idempotente. Esto significa que al multiplicarse por sí misma da la misma matriz. En la diagonal queda el 1-1/N al cuadrado porque se “cruzan” al hacer filas por columnas. El resto de términos es (1/N) x (1/N), que se repite N-1 veces (el -1 es porque el término que falta es el (11/N)
2
En el resto de espacios va el (1-1/N) que se cruza dos veces con (-1/N) y los otros términos son (1/N) x (1/N), que se repite N-2 veces (el -2 es porque los términos que faltan son los (-1/N) x (11/N)
12
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... N N N N N N 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... M0 M 0 N N N N N N ... ... ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1 N N N NxN N N N NxN 1 2 N1 2 1 N2 2 1 N 2 ... (1 ) 2 (1 N) ( N2 ) N (1 N) N2 N N N 2 1 N2 1 2 N1 2 1 N 2 (1 ) ( 2 ) ... (1 ) 2 M0M0 N (1 N) N2 N N N N N ... ... ... ... 2 (1 1 ) N 2 2 (1 1 ) N 2 ... 2 (1 1 ) N 2 2 2 2 N N N N N N N N N NxN 2 1 N2 2 2 N 2 2 1 1 (1 ) 2 2 2 2 N
(1
N
1 N
) ( 2
N N1 2
N
) 1
N 2
N
N 1
2
N
N N
2
N
N 1
2
N
N
1
1 1 1 1 ... N N N 1 1 1 M0M0 N 1 N ... N ... ... ... ... 1 1 1 ... 1 N N N NxN Ahora haremos el producto de M 0 y de Y
1 1 1 1 N N ... N Y1 1 1 1 Y 2 M 0 Y N 1 N ... N ... ... ... ... ... 1 1 YN Nx1 1 ... 1 N N NxN N Y2 YN 1 Y (1 ) ... 1 N N N Y1 YN 1 - Y2 (1 )... M0 Y N N N ... Y1 Y2 ... YN (1 1 ) N N N N Nx1
N
2 N
N
1 N
1
1 N
13
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
1 N Y1 N Yi i1 N 1 Y Y M0 Y 2 N i i1 ... 1 N YN Yi N i1 Nx1 Y1 Y Y Y 2 M0 Y ... YN Y Nx1 M0 Y
N
(Y - Y) i
i 1
Ahora, elevemos este resultado al cuadrado. Aprovecharemos la idempotencia y la simetría de M 0. Tenemos que N
(Y - Y)
(M0 Y)(M0 Y)
2
i
i1 N
(Y - Y)
YM0M0 Y
2
i
i1 N
(Y - Y)
YM0M0 Y
2
i
i1 N
(Y - Y)
YM0 Y
2
i
i1
N
Haremos un proceso muy similar para hallar
(Y - Y) ˆ
i
ˆ
2
(M0 Y)(M0 Y) ˆ
ˆ
i1
N
(Y - Y) ˆ
ˆ
i
YM0 Y
2
ˆ
ˆ
i1
Ahora, dada la definición de R2, reemplazaremos estos t érminos por los recién encontrados N
(Y Y ) ˆ
i
R 2
ˆ
2
i
i1 N
(Y Y )
2
i
i1
i
14
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
R 2
YM0 Y ˆ
ˆ
YM0 Y
Finalmente, reemplacemos Y ˆ
Y Xβ ˆ
ˆ
YM0 Y (Xβ)M0 Xβ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
YM0 Y βXM0 Xβ ˆ
ˆ
R 2
ˆ
ˆ
βXM0 Xβ ˆ
ˆ
YM0 Y
Ahora veremos algunas características de los diferentes componentes del modelo (X, Y, μ)
Demostración 7: μ tiene media 0 y varianza constante 2
Matemáticamente, esta condición se escribe como μ ~ (0, σ ) Recordemos, que dado nuestro modelo Y Xβ μ , tenemos que la matriz μ es igual a Y Xβ μ Sacamos valor esperado a ambos lados. Es importante notar que el valor esperado de Y es Xβ.
E(μ ) E(Y Xβ) E(μ ) E(Y) E(Xβ) E(μ ) Xβ Xβ E(μ ) 0 La varianza la demostraremos hallando la matriz de varianzas y covarianzas, que está determinada por
μ E[μ - E( )][μ - E( )]'
Dado que Y Xβ μ ,
μ E[Y Xβ - E( )][Y Xβ - E( )]'
Puesto que E(μ ) 0 , entonces
μ E[[ ][ ]' ] μ E[ ' ] Definamos la covarianza:
μ E[Y Xβ][Y Xβ]' . Ambos paréntesis son μ. Luego
15
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
Cov(μ iμ j ) E[μ i E(μ i )][μ j E(μ j )]i j Cov(μ iμ i ) E[μ i E(μ i )] Var(μ i ) 2
Sabiendo estas definiciones de varianza y covarianza, podremos construir la matriz, así
E[μ 1 E[μ 2 E[μ 3 E[μ N
E(μ 1 )] E(μ 2 )] E(μ 3 )] * E[μ 1 E(μ 1 )] E[μ 2 E(μ 2 )] E[μ 3 E(μ 3 )] ... E[μ N E(μ N )] ... E(μ N )]
Var(μ 1 ) Cov(μ 1μ 2 ) Cov(μ 1μ 3 ) Cov(μ μ ) Var(μ 2 ) Cov(μ 2 μ 3 ) 1 2 Σμ Cov(μ 1μ 3 ) Cov(μ 2μ 3 ) Var(μ 3 ) ... ... ... Cov(μ 1μ N ) Cov(μ 2μ N ) Cov(μ 3μ N )
Σμ
Σμ
Σμ
Σμ
Var(μ 1 ) 0 0 ... 0 σ 2 0 2 0 σ 0 0 ... ... 0 0 1 0 2 σ * 0 ... 0 σ 2I
0
0
...
Var(μ 2 )
0
...
0
Var(μ 3 ) ...
...
...
...
0
0
...
0
...
0
0
...
2
...
0 0
...
...
...
0
...
σ
...
Cov(μ 1μ N )
... Cov(μ 3μ N ) ... ... ... Var(μ N ) ... Cov(μ 2 μ N )
0 0 ... Var(μ N ) 0
2 σ
0
0
...
0
1
0
...
0
0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1
Demostración 8: Media y Varianza de Y Por definición de Y, sabemos que su valor esperado es Xβ.
16
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
17
Ahora, si partimos de la demostración anterior para varianza de μ, tenemos
μ E[Y X β ][Y Xβ ]' μ E[Y E(Y)][Y E(Y)]' Y E[Y E(Y)][Y E(Y)]' Y μ Y σ 2 I En resumen
Y ~ (X , σ 2I) Demostración 9: Media y Varianza de β estimado 1
La media (el valor esperado) de β e stimado se debe estimar sabiendo que β (X' X) X' Y ˆ
1
E[β] E[(X' X) X' Y] Reemplazando Y por su definición tenemos ˆ
1
E[β] E[(X' X) X' (Xβ )] ˆ
E[β] E[(X' X) X' Xβ (X' X) X'μ] 1
ˆ
1
Distribuimos el valor esperado y operamos 1
1
E[β] E[(X' X) X' X ] E[(X' X) X' μ] ˆ
1
E[β] E[ ] E[(X' X) X' μ] ˆ
1
E[β] β (X' X) X' E( ) ˆ
Como E (μ)=0, deducimos
E[β] β ˆ
Antes de hacer la varianza, hallemos otra forma de expresar β estimado, que nos será útil después. De nuevo, partimos de la definición de Y par a luego hacer la distributiva 1
β (X' X) X' Y ˆ
1
β (X' X) X' (Xβ μ) ˆ
1
1
β (X' X) X' Xβ (X' X) X' μ ˆ
β β (X' X)1 X'μ ˆ
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
1
β β (X' X) X' μ ˆ
Para la varianza, trabajaremos con la matr iz de varianzas y covarianzas
β E[[β E(β)][β E(β)]'] ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
El valor esperado de β estimado es β poblacional. O sea que se puede expresar esto así
β E[[(X' X)
1
ˆ
1
X'μ][(X' X) X'μ]' ]
Operando (atención a la transpuesta) y repartiendo el valor esperado te nemos
β E[[(X'X) X'μμ' X(X'X) β (X' X) X'E[ ' ]X(X'X) 1
ˆ
1
1
ˆ
]
1
Este valor esperado ya lo habíamos hallado. Remplazando, la expresión se vuelve
β σ (X'X)
1
2
ˆ
1
X' X(X'X)
Como una matriz por su inversa es la matriz identidad, llegamos a
1
β σ (X'X) 2
ˆ
Es decir,
2
1
β ~ ( β , σ (X' X) ) ˆ
Demostración 10: Teorema Gauss – Markov El teorema Gauss – Markov nos indica que el estimador hallado por el método de MCO es el Mejor Estimador Lineal insesgado (MELI, o BLUE por sus siglas en inglés). Por mejor se entenderá que es el de menor varianza. Expresemos entonces un Estimador lineal insesgado (β virgulilla)
~
Un estimador lineal está dado por una expresión así: β Distribuimos y reemplazamos Y.
[(X' X)1 X'C]Y
18
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
~ 1 β (X' X) X' Y CY ~ 1 β (X' X) X' (Xβ ) C(Xβ ) ~ 1 1 β (X' X) X' Xβ (X' X) X'μ CXβ Cμ ~ 1 β β (X' X) X'μ CXβ Cμ Restemos β virgulilla menos el poblacional, por conveniencia.
~ β β (X' X) 1 X'μ CXβ Cμ Ahora, como deseamos obtener un estimador lineal insesgado, el valor esperado debe ser igual al β poblacional.
~ 1 β β (X' X) X'μ CXβ Cμ ~ 1 E(β ) E(β (X' X) X'μ CXβ C ) ~ 1 E(β ) E( β ) E((X' X) X' μ ) E(CX β ) E(C ) ~ 1 E(β ) β (X' X) X'E( μ ) CXE( β ) CE( ) ~ E(β ) β CXβ Para que este estimador sea insesgado, hay que imponer la siguiente restricción: CX = 0. Por tanto, X’C’ = 0 también. Ya con estas definiciones podemos demostrar lo inicial, esto es, que la varianza de β virgulilla es menor que la de β gorro (la de MCO) Hallemos la varianza de β virgulilla
~
~
~
~
~
β E[[ β E(β )][ β E(β )]' ] ~ ~ ~ β E[[ β β][ β β]' ] ~ β E[[(X' X) X'μ CXβ C ][(X'X) X'μ CXβ C ]' ] ~ β E[(X' X) X'μμ' X(X' X) (X' X) X'μβ' X' C'(X' X) X' ' C' 1
1
1
1
1
1
CXβ ' X(X' X)1 CXβ ' X' C'CXβ ' C' C ' X(X' X)1 C ' X' C'C ' C' ] Como impusimos la restricción de que CX = 0, la expresión anterior se reduce a
~
β E[(X' X) ~ β E[(X' X) ~
β (X'X)
1
1
X' ' X(X' X) (X' X) X' ' C'C ' X(X' X) C ' C' ]
1
X' ' X(X' X)1 ] E[(X' X)1 X' μ' C' ] E[C ' X(X' X)1 ] E[C ' C' ]
1
1
1
X'E[ ' ]X(X' X) (X'X) X'E[ ' ]C'CE[ ' ]X(X' X) CE[ ' ]C' 1
1
1
19
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
Ahora resolveremos el valor esperado
~
β σ (X' X) ~ β σ (X' X) 2
1
X' X(X' X)
1
σ 2 (X' X)1 X' C'σ 2CX(X' X)1 σ2CC'
2
1
σ2 (X' X)1 X' C'σ 2CX(X' X)1 σ 2CC'
Los términos de la mitad serán 0, porque CX = 0
~
β σ (X'X)
1
2
σ2CC'
Para revisar que el estimador de MCO es mejor, la diferencia de varianzas entre β virgulilla y β gorro debe ser positiva. Entonces
~
β β σ (X' X) ~ β β σ CC' 2
ˆ
1
σ 2 CC'-σ 2 (X' X)1
2
ˆ
Este resultado es positivo, puesto que una varianza es siempre positiva y una matriz por su transpuesta es semidefinida positiva, con lo cual se demuestra el teo rema de Gauss – Markov
Demostración 11: Un estimador insesgado para la varianza Esta demostración inicia con establecer la varianza poblacional total. Lo que haremos es hallar la sumatoria de todas las varianzas. Esto es lo mismo que multiplicar la transpuesta de μ por μ
E[μ 1 ] E[μ ] 2 E( μ ' ) E[μ 1 ] E[μ 2 ] E[μ 3 ] ... E[μ N ]E[μ 3 ] ... E[μ N ] 2 2 2 2 E( μ ' ) E[μ 1 ] E[μ 2 ] E[μ 3 ] ... E[μ N ] E( μ ' ) σ σ σ ... σ 2
E( μ ' ) Nσ
2
2
2
2
Ahora, vamos a calcular la matriz de residuales en función de la varianza. Remplazamos β estimado
μ Y Xβ ˆ
ˆ
μ Y X[(X'X)1 X' Y] ˆ
μ Y X(X' X) X' Y 1
ˆ
Si sacamos factor común Y a la derecha y remplazamos Y por Xβ+μ, tenemos
20
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
1
μ [I X(X' X) X' ]Y ˆ
1
μ [I X(X' X) X' ](Xβ ) ˆ
1
1
μ Xβ μ - X(X' X) X' Xβ X(X' X) X' μ ˆ
1
μ Xβ - Xβ μ X(X' X) X' μ ˆ
1
Factor común μ a la derecha. Sea M [I X(X' X) X' ]
μ [I X(X' X) X' ]μ 1
ˆ
μ Mμ ˆ
1
La matriz M es simétrica porque
M' [I X(X' X) X' ]' 1
M' I'X(X' X) X' M
Y también es idempotente ya que
MM [I X(X' X) 1 X' ][I X(X' X) 1 X' ] MM I X(X' X) X'X(X' X) X'X(X' X) X' X(X' X) X' 1
1
1
1
1
1
1
MM I X(X' X) X'X(X' X) X'X(X' X) X' 1
MM I X(X' X) X' M Ahora, hallemos el valor de la varianza de los re siduales
E(μ' μ) E[(M )' (M )] ˆ
ˆ
E(μ' μ) E[ ' MM ] ˆ
ˆ
E(μ' μ) E[ ' M ] ˆ
ˆ
Esta matriz es un escalar, porque μ’ es de tamaño (1 x N) M es de tamaño (N x N) y μ es de tamaño (N x 1). Por tanto, si sacamos la traza (suma de la diagonal), tendremos la misma matriz. Traza se representa por tr. La traza y el valor esperado pueden alternar de posición. Además el valor de la varianza también puede estar dentro y fuer a del valor esperado.
E[ ' M ] tr{E[ ' M ]} tr{E[ ' M ]} E{tr[ ' M ]} E{tr[ ' M ]} E{tr[ ' M]} tr{E[ ' M]} tr{E[ ' ]M]} tr{σ M} 2
tr{σ M} σ tr(M) 2
2
Ahora remplazamos M. Por propiedades de la traza, puedo cambiar el orden de las matrices y puedo distribuir el operador traza. Así
21
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
1
σ tr(M) σ tr[I X(X' X) X' ] 2
2
1
σ tr(M) σ tr[I] σ tr[X(X' X) X' ] 2
2
2
1
σ tr(M) σ tr[I] σ tr[X' X(X' X) ] 2
2
2
La matriz de la derecha es una identidad de tamaño K. La traza de la matriz identidad es el tamaño de la misma.
E(μ' μ) σ tr[IN ] σ tr[IK ] 2
ˆ
2
ˆ
E(μ' μ) σ2 (N K) ˆ
ˆ
2
Despejando σ
σ 2
ˆ
E(μ'μ) ˆ
ˆ
(N K)
E([Y Xβ]'[Y Xβ]) ˆ
ˆ
(N K)
Método de la Máxima Verosimilitud (Maximum Likelihood) bajo el supuesto de normalidad Al estimar por el método de MCO la Y, con los X que se tienen y los β y μ estimados, hay una probabilidad de obtener los datos reales, es decir, de obtener los Y (que Y sea igual a Y estimado). Esta probabilidad es el producto de la probabilidad de que el Y poblacional y el estimado de cada observación sean idénticos. El método de Máxima Verosimilitud sugiere que debemos elegir un conjunto de β y de μ tal que maximicemos la probabilidad de obtener los datos reales (X e Y). Vamos a suponer que la función de probabilidad conjunta (probabilidad de hallar los X e Y reales dados los β los μ) es una función normal. Una función normal está dada por
1 2 N/2
(2 )
exp{
1 2σ
2
(Y x )' (Y x )}
Esta función exponencial se puede volver lineal vía logaritmos. Queda así
ln ln1 ln(2π )
2 N/2
ln ln1 ln
N 2
N 2
ln(2 )
ln(2 )
N 2
N 2
1 2σ
2
(Y x )' (Y x )
ln(σ )
1
2
ln(σ ) 2
2σ
1 2σ
2
2
(Y X )' (Y X )
(Y X )' (Y X ) 2
Para maximizar esta función, derivamos respecto a β y a σ
22
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
ln β (X' X)1 X' Y β Obtenemos el mismo resultado que en MCO. Para obtener la varianza, derivamos respecto a σ
2
ln N 1 2 (Y X )' (Y X ) 0 2 2 2 σ 2σ 2(σ ) ln (Y X )' (Y X ) - Nσ 2 0 2 2 σ 2 2(σ ) ln (Y X )' (Y X ) - Nσ 2 0 2 σ ln (Y X )' (Y X ) Nσ 2 2 σ
σ 2
(Y X )' (Y X ) N
Este estimador es sesgado, pero cumple con el criterio de consistencia (La varianza tiende a 0 a medida que N tiende a infinito)
Demostración 12: β estimado y μ estimado son independientes La independencia implica que la matriz de varianzas y covarianzas debe ser 0.
23
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
μβ E[[μ E(μ)][β E(β)]' ] μβ E[[μ 0][ β β]' ] μβ E[μ(β β)' ] μβ E[M [(X' X) X' ]' ] μβ E[M ' X(X' X) ] μβ ME[ ' ]X(X' X) μβ σ MX(X' X) μβ σ [{I X(X' X) X'}X(X'X) ] μβ σ [X' (X' X) X(X' X) X' X(X' X) μβ σ [X' (X' X) X(X' X) ] μβ σ [0] μβ 0 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Definición de Σ Valores esperados respectivos
ˆ
Simplificación
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Remplazo por definición
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Lo único estocástico es μ
1
ˆ
ˆ
Multiplicación. Ojo con la transpuesta
1
ˆ
ˆ
24
Valor esperado de μμ’
1
2
1
2
Definición de M
1
2
1
1
2
1
1
2
1
]
Distributiva Matriz por su inversa = Identidad Se cancelan términos semejantes
ˆ
ˆ
Mínimos Cuadrados Restringidos En muchas ocasiones, los problemas económicos contienen restricciones lineales derivadas de información no muestral. En
este
caso
ArgMín S ArgMín β
β
nos
N
μ
2 i
enfrentamos
a
un
problema
N
β
i1
(Y Xβ)' (Y X ) 2(r'β'R' )λ (El dos está por facilidad matemática)
Las condiciones de primer orden serán:
2X Y 2X Xβr - 2R' λ r 0 β 2(Rβr r) 0 λ ˆ
ˆ
De la primera condición
X Xβ X Y R' λ ˆ
r
ˆ
r
tipo
ArgMín μ i ' μ i sujeto a RB = r, donde R es la matriz de
i1
restricciones. Resolveremos una optimización de Lagrange, dada por:
del
ˆ
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
25
βr (X X) 1 X Y (X X) 1 R' λ r
ˆ
ˆ
βr β (X X) 1 R' λ r ˆ
ˆ
ˆ
Multiplicamos por R y obtenemos
Rβ Rβ R(X X) R' λ ˆ
r
1
ˆ
ˆ
r
De 2 deducimos que
Rβr r ˆ
Es decir, 1
r Rβ R(X X) R' λ ˆ
ˆ
1
r Rβ R(X X) R' λ ˆ
ˆ
r r
[R(X X) R' ] [r Rβ] λ 1
-1
ˆ
ˆ
r
Reemplazando:
β β (X X) R'[R(X X) R' ] [r Rβ] ˆ
r
1
ˆ
1
-1
ˆ
Demostración 13: El estimador de Mínimos Cuadrados Restringidos es mejor que el de Mínimos Cuadrados Ordinarios Tener esta proposición implica que
β β ˆ
r
ˆ
C donde c es una matriz constante
semidefinida positiva. Recordando que Y que β ˆ
r
β σ (X'X) ˆ
1
2
1
, que β β (X' X) X' μ ˆ
β (X' X)1 R'[R(X' X)1 R' ]1 (r Rβ) ˆ
E[β r ] β (X' X) 1 R'[R(X' X) 1 R' ]1 (r R ) ˆ
E[β ] β (X' X) R' [R(X' X) R' ] (r Rβ R(X' X) X' μ) ˆ
r
1
1
1
1
1
1
E[β ] β (X' X) R' [R(X' X) R' ] δ ˆ
r
E[β ] β ˆ
r
r
Hallemos β para la restricción verdadera ˆ
1
Remplazo β restringido 1
Sea δ= r Rβ R(X' X) X'μ . Restricción falsa Si la restricción es cierta, δ=0
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
1
1
1
1
1
1
1
β β (X' X) R' [R(X' X) R' ] (r Rβ R(X' X) X' μ) ˆ
r
ˆ
Definición de β restringido
1
β β (X' X) R'[R(X' X) R' ] (R(X' X) X' μ) ˆ
r
ˆ
1
1
1
Rβ=r si la restricción es verdadera
1
1
β β (X' X) X' μ (X' X) R'[R(X' X) R' ] R(X' X) X' μ ˆ
r
26
Distributiva
β β [I (X' X) R'[R(X' X) R' ] R](X' X) X' μ
Factor común a la derecha
β β M * (X' X) X' μ
Sea M* [I (X' X)1 R'[R(X' X)1 R' ] 1 R]
β β M * (X' X) X' μ
Hacemos la resta por conveniencia
ˆ
ˆ
ˆ
1
r r
1
1
1
-1
r
-1
β β β β β
r
β E[[β E(β )][β E(β )]' ] ˆ
ˆ
r
ˆ
r
r
ˆ
r
ˆ
r
ˆ
r
Definición de matriz varianzas y covarianzas
E[[βr β][βr β]' ˆ
Valor esperado de β restringido
E[[M * (X' X) X'μ][M * (X' X) X'μ]' ] -1
-1
Remplazo de la diferencia
M * (X' X)-1 X'E[ ' ]X(X' X)-1 M*'
Distributiva
r
M * (X' X)-1 X' σ 2 X(X' X)-1 M*'
Valor esperado de μμ’
r
σ 2M * (X' X)-1 X' X(X' X)-1 M*'
Reorganización
r
Una matriz por su inversa da identidad
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
r
β σ M * (X' X) M*' ˆ
2
-1
Ahora, si la restricción es falsa: Definición de β restringido
β β (X' X) R'[R(X' X) R' ] (r Rβ R(X' X) X' μ) ˆ
r
ˆ
1
1
1
1
1
1
1
1
Reorganización 1
1
1
β β (X' X) R'[R(X' X) R' ] (r R ) (X' X) R' [R(X' X) R' ] R(X' X) X' μ ˆ
r
ˆ
β β (X' X) X' μ (X' X) R'[R(X' X) R' ] δ (X' X) R' [R(X' X) R' ] R(X' X) X' μ ˆ
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
β β (X' X) X' μ (X' X) R'[R(X' X) R' ] R(X' X) X' μ (X' X) R'[R(X' X) R' ] δ ˆ
r
Definición de δ y de β MCO Distributiva
β β [ I (X' X) R' [R(X' X) R' ] R](X' X) X' μ (X' X) R'[R(X' X) R' ] δ
Factor común
β β (X' X) R'[R(X' X) R' ] δ M * (X' X) X' μ
Definición de M*
ˆ
ˆ
r r
Por definición
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
β
r
27
β E[[β E(β )][β E(β )]' ] ˆ
ˆ
r
ˆ
r
ˆ
r
ˆ
r
r
ˆ
Definición de Σ
E[[β (X' X) 1 R'[R(X' X) 1 R' ]1 δ M * (X' X) 1 X'μ β (X' X)1 R'[R(X' X) 1 R' ]1 δ] 1
1
1
1
1
1
Definición de β restringido
1
[β (X' X) R' [R(X' X) R' ] δ M * (X' X) X' μ β (X' X) R'[R(X' X) R' ] δ]' ]
β β β
r
Términos semejantes se Σ cancelan
β E[[M * (X' X) X' μ][M * (X' X) X' μ]' ] -1
ˆ
r
M * (X' X)-1 X'E[ ' ]X(X' X)-1 M*'
Lo único estocástico es μ
r
M * (X' X)-1 X' σ 2 X(X' X)-1 M*'
Valor esperado
ˆ
ˆ
r
ˆ
-1
σ 2M * (X' X)-1 X' X(X' X)-1 M*'
r
Matriz por su inversa
β σ M * (X' X) M*' 2
ˆ
-1
Como podemos observar, la matriz de varianzas y covarianzas en ambos casos es igual. Analicemos en detalle este resultado:
σ 2M * (X' X)-1 M*' σ 2 [M * (X' X)-1 M*' ] 1
1
1
1
1
1
σ [M * (X' X) M*' ] σ [{[I (X' X) R'[R(X' X) R' ] R]}(X' X) {[I (X' X) R'[R(X' X) R' ] R]}' ] 2
-1
2
1
-1
1
1
1
1
1
σ [M * (X' X) M*' ] σ [{(X' X) (X' X) R'[R(X' X) R' ] R(X' X) }{[I (X' X) R'[R(X' X) R' ] R]}' ] 2
-1
2
-1
1
1
-1
1
σ [M * (X' X) M*' ] σ [(X' X) (X' X) R'[R(X' X) R' ] R(X' X) 2
-1
2
-1
-1
(X' X)1 R'[R(X' X)1 R' ]1 R(X' X)-1 (X' X)1 R'[R(X' X)1 R' ]1 R'(X' X)-1 R'[R(X' X)1 R' ]1 R(X' X)1 ]
1
1
1
σ [M * (X' X) M*' ] σ [(X' X) 2(X' X) R'[R(X' X) R' ] R(X' X) 2
-1
2
-1
-1
(X' X)1 R'[R(X' X)1 R' ]1 R' (X' X)-1 R'[R(X' X)1 R' ]1 R(X' X)1 ] 1
1
1
σ [M * (X' X) M*' ] σ [(X' X) (X' X) R'[R(X' X) R' ] R(X' X) ] 2
-1
2
-1
-1
σ 2 [M * (X' X)-1 M*' ] σ 2 (X' X)-1 σ 2 (X' X) 1 R'[R(X' X) 1 R' ] 1 R(X' X)-1
r
1
1
1
β σ M * (X' X) M*' σ (X' X) σ (X' X) R' [R(X' X) R' ] R(X' X) 2
ˆ
-1
Vamos entonces a hacer la resta
β β β β ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
-1
2
β β
r
ˆ
ˆ
r
σ 2 (X' X)-1 - σ 2 (X' X)-1 σ 2 (X' X)1 R'[R(X' X)1 R' ]1 R(X' X)-1
r
σ 2 (X' X)1 R'[R(X' X)1 R' ]1 R(X' X)-1
-1
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
28
Este resultado es una matriz semidefinida positiva. Las matrices semidefinidas positivas sólo se obtienen en caso de que el término con signo positivo sea mayor al que tiene signo negativo, o lo que es lo mismo, que el de signo negativo sea menor. En este caso, el signo negativo está en el estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios Restringidos y dado que tenemos la matriz semidefinida positiva, dicho estimador debe ser menor que el de MC O
Intervalos de confianza Intervalo de confianza para β A diferencia de la estimación puntual, que es la que se desarrolla habitualmente (ejemplo
β (X' X)1 X' Y ; σ 2
μ' μ ˆ
ˆ
) la estimación por intervalos plantea que el valor poblacional de la NK varianza a estimar se encuentra entre ciertos números (los límites del intervalo) en el 1 – α por ˆ
ˆ
ciento de los casos, donde α es el nivel de significancia. Esto sólo se da en muestreo repetido. Para un solo intervalo, la estimación sólo tiene dos probabilidades: el valor poblacional está (1) o no está (0). La probabilidad significa que dado una cantidad de muestras (con X e Y diferentes en cada muestreo), el (1-α) % de los casos obtendré un intervalo que incluya al valor poblacional. 2
1
Para obtener el intervalo de confianza para β, partiremos del supuesto de que β ~ [ , σ (X' X) ] ˆ
Por ende, si tenemos un modelo de mínimos cuadrados restringidos:
Rβ ~ [R , σ 2R(X' X) 1 R' ] ˆ
La matriz R será una matriz de ceros y unos con tamaño (1 x k) con k siendo el número de β, incluyendo el intercepto, en la que habrá un 1 por cada β al que le quiera hallar el intervalo de confianza. Por ejemplo, si deseo estimar β3 en un modelo con 4 variables (matriz β de 5 x 1) tendría una matriz R así:
R 0
0 1 0
0
β1 β 2 Rβ 0 0 1 0 0β3 β3 β4 β5 Definiremos una variable Z como una normal estándar, que se halla restando por la media y dividiendo por la desviación estándar. Esto es:
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
Rβ - Rβ
29
ˆ
Z
~ N(0,1) .
1
σ R(X' X) R' Definimos además que
μ' μ ˆ
σ
ˆ
2
(N - K)σ
2 2
ˆ
σ
~ χ NK
2
Si dividimos la variable Z sobre la raíz de la anterior, tendremos una variable que distribuye t de Student, con lo cual podremos hallar los límites del intervalo.
Rβ - Rβ ˆ
t
1
1/2
σ[R(X' X) R' ] [
(N - K)σ
2
ˆ
1
~ t nk
ˆ
]
2
1/2
σ[R(X' X) R' ]
1/2
ˆ
σ
Rβ - Rβ
Para armar el intervalo, diremos que el valor de la distribución quedará entre los valores negativo y positivo de t nk que generan una probabilidad de α/2, porque debemos repartir entre ambas colas de la distribución el valor de significancia.
P(t
α/2
n k
Rβ - Rβ ˆ
1
σ[R(X' X) R' ]
1/2
t α/2 nk ) 1 - α
ˆ
P(t
α/2
n k
σ[R(X' X) R' ] 1
P(-Rβ t
α/2
P(-Rβ t
α/2
ˆ
ˆ
1/2
ˆ
Rβ - Rβ t α/2 nk σ[R(X' X) 1 R' ]1/2 ) 1 - α
1
n k
σ[R(X' X) R' ]
n k
σ[R(X' X) R' ]
ˆ
ˆ
1/2
ˆ
1
ˆ
-Rβ Rβ t α/2 nk σ[R(X' X) 1 R' ]1/2 ) 1 - α ˆ
ˆ
1/2
-Rβ Rβ t α/2 nk σ[R(X' X) 1 R' ]1/2 ) 1 - α ˆ
ˆ
P(Rβ tα/2 nk σ[R(X' X)1 R' ]1/2 Rβ Rβ tα/2 nk σ[R(X' X)1 R' ]1/2 ) 1 - α ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Región de confianza para dos o más β Es posible extender este modelo para hacer regiones de confianza, que estarán definidas cuando queremos hallar intervalos de confianza simultáneamente para dos o más variables. Si tenemos en 2
cuenta que multiplicar la variable Z varias veces nos da como resultado una χ con los grados de libertad determinados por el número de veces que haga la multiplicación. Entonces, si tenemos j restricciones, tendremos esto (hay inversa porque no existe la división de matrices)
(Rβ - R )'(σ 2 [R(X' X)1 R' ])-1 (Rβ - Rβ) ~ χ j2 ˆ
ˆ
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
30
2
Siguiendo la misma lógica que con una sola restricción, definiremos λ como la división de las dos χ
mencionadas, que a su vez están divididas por sus grados de libertad. Por definición, esta variable distribuye F con j y N-K grados de libertad 1
2
-1
(Rβ - R )' (σ [R(X' X) R' ]) (Rβ - Rβ) ˆ
ˆ
j
λ
~ F j,nk
(N - K)σ 2 ˆ
2
σ N-K λ
1 -1 (Rβ - R )' ([R(X' X) R' ]) (Rβ - Rβ) ˆ
jσ
ˆ
2
~ F j,nk
ˆ
Sin embargo, esta vez no tendremos una desigualdad doble, sino una sencilla puesto que estamos delimitando una región. Dicha desigualdad estará definida por: 1
-1
(Rβ - R )'([R(X'X) R']) (Rβ - Rβ) P(λ F j,nk ) P( F j,nk ) 1 α 2 jσ ˆ
ˆ
ˆ
Intervalo de confianza para σ 2 2
Para definir un intervalo de confianza para σ , recordemos esta variable:
μ' μ ˆ
σ
ˆ
2
(N - K)σ ˆ
σ
2
2 2
~ χ NK 2
También recordemos que la variable χ tiene la siguiente forma:
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
Teniendo esto en cuenta y partiendo de la variable mencionada, el intervalo de confianza quedará definido así: 2 NK, 1-α/2
χ
(N - K)σ
2
ˆ
σ
2
χ 2NK, α/2
Despejamos para la varianza. Hay que tener en cuenta que si invertimos numerador y denominador, la desigualdad cambiará de sentido. Luego de invertir, obtenemos
1
2 NK, α/2
χ
(N - K)σ
2
(N - K)σ
2
ˆ
2
ˆ
2
σ
χ NK, α/2
σ 2
1 2 NK, 1-α/2
χ
(N - K)σ
2
ˆ
2
χ NK, 1-α/2
Ejemplo ilustrativo Dado el modelo
Yi β 0 β1 X 1i β2 X 2i Con 32 observaciones se obtuvieron estos resultados:
0.4 0.3 1.6 1 2 Yi 4.3 - 0.7X 2.8X2i β σ (X' X) 1.8 0.3 0.5 1 1i 1.6 1 0.6 ˆ
31
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
Calculemos el intervalo de confianza con un nivel de significancia de 5% (1-α=95%) para β1 y β2 individualmente
Para β1, la matriz de restricciones será R 0
1 0
0.4 0.3 1.6 0 1 R(X’X)-1R’ va a ser entonces R(X' X) R' 0 1 0 0.3 0.5 1 1 0.5 1.6 1 0.6 0 N – K = 32 – 3 = 29. Además, el valor de la distribución t con 29 grados de libertad con una probabilidad de 0.025 es 2.045 El intervalo de confianza, según nuestra fórmula es:
P(Rβ t ˆ
α/2
nk
1
1/2
σ[R(X' X) R' ] ˆ
Rβ Rβ t α/2nk σ[R(X' X)1 R' ]1/2 ) 1 - α ˆ
ˆ
Ajustando los datos del ejercicio, tenemos:
P(β1 (2.045)(1. 3416)[0.5] ˆ
1/2
P(-0.7 (2.045)(1. 3416)[0.5]
Rβ β1 (2.045)(1. 3416)[0.5] 1/2 ) 0.95
1/2
ˆ
Rβ -0.7 (2.045)(1. 3416)[0.5] 1/2 ) 0.95
P(2.64 Rβ 1.24) 0.95 Nuestro intervalo de confianza para β 1 es [-2.64; 1.24] Por el mismo método aplicado, podemos demostrar que el intervalo de confianza para β 2 es [1.76, 3.84] Calculemos la región de confianza de β 1 y β2 La matriz de restricciones será R
0 1 0 0 0 1
0.4 0.3 1.6 0 0 0 1 0 0.3 0.5 1 1 0 0.5 1 1 -1 R(X’X) R’ va a ser entonces R(X' X) R' 0 0 1 1.6 1 0.6 0 1 1 0.6 Como nos toca hallar la inversa de esta matriz, repasemos cómo se hace: Hallamos la matriz adjunta que es la matriz de cofactores transpuesta. Atención con los cambios de signos.
0.5 1 0.6 Adj -1 1 0.6
-1
0.5
32
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
33
Además, hallamos el determinante de la mat riz original, que es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria. En este caso e s -0.7 Luego dividimos todos los términos por el determinante y el resultado e s la matriz inversa.
0.6 0.7 1 0.7
1
0.7 - 0.857 0.5 1.428 0.7
1.428
- 0.714
Ya tenemos todos los elementos necesarios para remplazar en la fórmula. Aclaremos que F de 2 y 29 es igual a 3.33.
P(λ F j,nk ) P(
(Rβ - R )' ([R(X' X) R' ]) (Rβ - Rβ) 1
ˆ
jσ
-1
ˆ
2
F j,nk ) 1 α
ˆ
- 0.857
(β1 β1
β 2 β2 )(
ˆ
ˆ
1.428
P(
1.428 β 1 β1 ) )( - 0.714 β 2 β2 ˆ
ˆ
2(1.8)
F j,nk ) 1 α
β β1 (-0.857( β1 β1 ) 1.428( β1 β1 )) (1.428( β 2 β2 ) 0.714( β 2 β2 )))( 1 ) β2 β2 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
P(
2(1.8)
F j,nk ) 1 α
2 2 - 0.857( β β ) 1.428( β β )(β β ) 1.428( β β )(β β ) 0.714( β β ) 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 3.33) 0.95 P( 2(1.8) ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2 2 - 0.857(-0.7 β ) 2.857(-0.7 β )(2.8 β ) 0.714(2.8 β ) 1 1 2 2 3.33) 0.95 P( 3.6 2 2 P(-0.857(- 0.7 β ) 2.857(-0.7 β )(2.8 β ) 0.714(2.8 β ) 11.988) 0.95 1 1 2 2
Estimador puntual e intervalo de confianza para Y La idea es que tenemos un cierto nivel de X, que vamos a llamar X 0. Dado este nivel, ¿Qué valor de Y esperamos obtener, es decir, cuál es el valor de Y estimado? Sabemos que Y0=X’0β + μ0. Entonces Y0 X 0β Con este valor podremos hacer la estimación ˆ
ˆ
puntual de Y. La diferencia entre el valor estimado y el valor real será Y0 ˆ
Y X 0β - X 0β - μ 0 X 0 (β - ) - μ 0 ˆ
ˆ
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
34
La varianza de esta diferencia será el valor esperado al cuadrado. Recordemos que una matriz por su transpuesta es el equivalente a elevar al cuadrado cada término de la matriz.
E[X 0 (β - β) - μ 0 ] E[X 0 (β - β)(β - β)' X 0 ] 2E[ X 0 (β - β)μ 0 ] E[μ 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Vamos a simplificar esta expresión. Para ello, definimos E[μ
2
0
2
]σ
0
]
2
Luego, la expresión E[X 0 (β - β)μ 0 ] por la independencia de β y μ se puede escribir como ˆ
E[X 0 (β - β)]E[μ 0 ] . Como el valor esperado de μ es 0, toda esta expresión es igual a cero. ˆ
Finalmente,
dentro
del
primer
término,
tenemos
E[X 0 (β - β)(β - β)' X 0 ] . La expresión ˆ
ˆ
E[(β - β)(β - β)' ] es la matriz de varianzas y covarianzas de β estimado, que es igual a ˆ
ˆ
E[(β - β)(β - β)' ] σ 2 (X' X) 1 . Reemplazando este valor, tenemos que el primer término es igual a ˆ
ˆ
σ [X 0 (X' X) X 0 ] 1
2
Dado todo lo anterior, tenemos:
E[X 0 (β - β) - μ 0 ] E[X 0 (β - β)(β - β)' X 0 ] 2E[ X 0 (β - β)μ 0 ] E[μ 0 ] 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
σ 2 [X 0 (X' X)1 X 0 ] σ 2 σ 2 [X 0 (X' X)1 X 0 1] La desviación estándar de esta expresión es la raíz cuadrada de la varianza y e s igual a
σ[X 0 (X' X) X 0 1] 1
1/2
El siguiente paso es estandarizar la distribución normal de Y estimado. Esto es, debemos restar por el valor esperado y dividir por su desviación estándar. Sabiendo que Y estimado es igual a
Y0 X 0 β , esta distribución queda así ˆ
ˆ
Z
X 0β - Y0 ˆ
σ[X 0 (X' X) 1 X 0 1]1/2
~ N(0,1)
Nos encontramos de nuevo con el problema de desconocer la desviación estándar poblacional. Haremos un procedimiento similar al de β para obtener una distribución t.
μ' μ ˆ
σ
ˆ
2
(N - K)σ ˆ
σ
2
2 2
~ χ NK 2
Dividimos la distribución normal sobre la raíz cuadrada del cociente de la χ y sus grados de libertad. Entonces
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
X 0β - Y0 ˆ
σ[X 0 (X' X) X 0 1] 1
t
[
(N - K)σ
2 1/2
ˆ
σ
ˆ
1
σ[X 0 (X' X) X 0 1]
1/2
~ t nk
ˆ
]
2
X 0β - Y0
1/2
Por último, el intervalo de confianza lo armaremos de una forma parecida a la hecha con β.
P(t
α/2
nk
X 0 β - Y0 ˆ
1
σ[X 0 (X' X) X 0 1]
1/2
t α/2nk ) 1 - α
ˆ
P(t
α/2
nk
(σ[X 0 (X' X) 1 X 0 1] 1/2 ) X 0β - Y0 t α/2 nk (σ[X 0 (X' X) 1 X 0 1]1/2 )) 1 - α
P(-X 0β t ˆ
α/2
P(X0β t ˆ
ˆ
ˆ
nk
α/2
ˆ
(σ[X 0 (X' X) 1 X 0 1]1/2 ) -Y0 X 0β t α/2nk (σ[X 0 (X' X) 1 X 0 1] 1/2 )) 1 - α
nk
ˆ
ˆ
ˆ
(σ[X0 (X' X)1 X 0 1]1/2 ) Y0 X0β tα/2nk (σ[X0 (X' X)1 X 0 1]1/2 )) 1 - α ˆ
ˆ
ˆ
Pruebas de Hipótesis Pruebas de hipótesis para β Una prueba de hipótesis pretende demostrar o desmentir una afirmación hecha a priori acerca de una variable. SIEMPRE debe haber estos cuatro elementos en una prueba de hipótesis
Hipótesis Nula (H 0), también llamada hipótesis de investigación. Lo que queremos probar
Hipótesis Alterna (H1), justo lo contrario a la hipótesis nula
Estadístico de prueba, un valor con el cual se demostrará la hipótesis
Región de rechazo: Conjunto de puntos que r echazan la hipótesis nula.
Lo primero que uno debe hacer es definir las hipótesis. La hipótesis debe estar en términos poblacionales. Luego, se define el estadístico de prueba conveniente (hay que conocer su distribución y establecer un nivel de significancia, que es el máximo error tipo I permisible. El error tipo I es rechazar la hipótesis nula siendo ésta verdadera). Se elige la región de rechazo de acuerdo a las hipótesis planteadas. Para una sola β, el estadístico de prueba será la distribución t usada para el intervalo de c onfianza
Rβ - Rβ ˆ
1
1/2
σ[R(X' X) R' ]
~ tnk
ˆ
Definiremos la región de rechazo según est a tabla Hipótesis Nula β=β0 β≥β0
Hipótesis Alterna β≠ β0 β< β0
¿Cuándo rechazo H0? t<-tα/2 o tα/2 t
35
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
β≤β0
β> β0
t>tα
Ahora, si queremos hacer una prueba conjunta, para más de una β definiremos el estadístico de prueba con la distribución F, exactamente e l mismo usado para la región de confianza.
λ
(Rβ - R )' ([R(X' X)1 R' ]) -1 (Rβ - Rβ) ˆ
ˆ
jσ
2
ˆ
Este valor se rechaza si λ> F j,nk Pero esta forma puede ser inconveniente. Se pueden usar entonces otras formas de expresar λ
SRCR SRC j SRC
λ
R R 2
N-K
r2
j 1-R
2
N-K
SRCR = Suma de los residuales al cuadrado del modelo restringido
SRC = Suma de los residuales al cuadrado
Rr2= Coeficiente de determinación del modelo r estringido
R2 = Coeficiente de determinación
Pruebas de hipótesis para σ2 Usaremos el estadístico de prueba
(N - K)σ
2
ˆ
σ
2
~ χ N2 K
Los criterios para elegir rechazar o no la variable estarán dados por: Hipótesis Nula 2 2 σ =σ0
Hipótesis Alterna 2 2 σ ≠σ0
¿Cuándo rechazo H0?
(N - K) 2
σ0 2
2
σ =σ0
2
σ <σ0
2
(N - K) 2
σ0 2
2
σ =σ0
2
σ >σ0
2
(N - K) 2
σ0
χ N2 K, 1-α/2 o
(N - K) 2
σ0
χ 2NK, α/2
χ N2 K,1-α χ N2 K, α
Multicolinealidad: Cómo se expresa y se detecta
36
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
La multicolinealidad es un problema que consiste en la existencia de una relación lineal entre los regresores. Idealmente, los regresores deber ser independientes entre sí, pero este no es siempre el caso. Este problema sucede porque el determinante de la matriz X’X es 0, por lo cual no hay inversa. Vamos a demostrar una forma de revisar su existe ncia. Primero que todo, recordemos: 1
β (X' X) X' Y ˆ
En forma matricial expresamos como hallar los dos primeros β
β1 X 11 β 2 X 21 ˆ
X 12
ˆ
X 22
X 21
X 11 ... X 1n X 21 ... X 2n ... X 1n
1
X 22 X 11 X ... 21 X 2n
X 12 X 22
Y1 ... X 1n Y2 ... X 2n ... Yn
Resolviendo las multiplicaciones tenemos
β1 X 21i β2 X 1i X 2i ˆ
ˆ
X
1
X Y 1i i X 2i Yi
X 1i X 2i 2 2i
Antes de seguir aclaremos la definición del coe ficiente de correlación
(X Cov(x 1 , x 2 )
ρ x 1 ,x 2
Var(x 1 )Var(x2 )
1i
X)(X 2i X) N1
(X
1i
X)2 (X 2i X)2 (N 1)
2
Elevamos este valor al cuadrado y descubrimos que es igual al coeficiente de determinación de X 1 y X2.
(X
(
2
1i
X 2i ))
(X ) (X 2
1i
2i
)
2
2 r1,2
Sabiendo este resultado, podremos seguir. La inversa de una matriz es el inverso multiplicativo de su determinante por la matriz adjunta. Para nuestro caso, será
X 22i β1 1 2 2 2 (X ) (X ) ( X X ) β 1i 2i X1iX2i 2 1i 2i ˆ
ˆ
X 1iX 2i X 1i Yi 2 X 1i X 2iYi
37
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
(X ) (X término de la matriz por (X ) (X ) 2
Dividimos la expresión por
1i
2
1i
2
2i
) . Para que se mantenga la igualdad, dividimos cada
2
2i
2 X 2i β1 (X1i )2 (X 2i )2 1 X X 2 2 2 1i 2i β2 (X1i ) (X 2i ) ( X 1i X 2i ) (X1i )2 (X 2i )2 (X1i )2 (X2i )2 (X1i )2 (X 2i )2 r1,2 ( X 21i ) 1 2 2 β1 (X ) (X ) 1 X 1i Yi 1i 2i 2 X Y r1,2 2 1 β2 1 r1,2 ( X 2i ) 2i i (X )2 (X )2 1i 2i ˆ
ˆ
X 1iX 2i
2 2 (X ) (X ) 1i 2 2i X1i Yi X1i X 2i Yi (X1i )2 (X 2i )2
ˆ
ˆ
Ahora, la matriz de varianzas y covarianzas es
2 1 ( X 1i ) 2 σ β σ 2 (X' X)1 1 r 2 r1,2 1,2 2 2 (X 1i ) (X 2i ) ˆ
La expresión
1
1 r1,2 2
r1,2
(X ) (X ) 1i 2i ( X 22i ) 1 2
2
se conoce como factor de aumento de la varianza. Hay problemas de
multicolinealidad si este valor es mayor a 10.
Variables Dummies, Dicótomas o Ficticias Son variables que toman el valor de 0 o de 1 según si los individuos cumplen o no ciertas características, por ejemplo hombre – mujer; sí o no… Las variables dummies son propensas a la multicolinealidad porque si se toma un exceso de variables dummies, estas no serán independientes. Por ejemplo, si tomo una variable para hombres y otra para mujeres, estas estarán profundamente relacionadas. Otro problema que presentan las dummies es que no necesariamente expresan un valor cuantitativo real. Por ejemplo, una persona estrato 2 no es el doble de rica que una persona estrato 1.
¿Qué pasa si no se cumplen los supuestos de MCO?
38
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
El modelo de MCO es el mejor modelo que se puede utilizar sólo si todos sus supuestos se cumplen. Lastimosamente, dichos supuestos son muy restrictivos. La siguiente tabla resumirá los diferentes supuestos incumplidos, las pruebas de detección y la solución para estas violaciones. ¿Cuál es el problema? Multicolinealidad
Endogeneidad Error en la especificación del modelo Heteroscedasticidad
Autocorrelación Normalidad de μ
¿Cómo se detecta? Factor de Aumento de Varianza, Número de Condición, Correlación entre regresores Prueba de Hausman Prueba Ramsey RESET Prueba de White, Prueba de Goldfeld – Quandt, Prueba de Breusch – Pagan, Prueba de Durbin – Watson Prueba Jarque - Bera
¿Cómo se soluciona? Eliminación de variables, uso de información extra, mayor tamaño muestral, Regresiones tipo Ridge, Variable Instrumental Mínimos Cuadrados No Lineales Mínimos Cuadrados Generalizados Factibles
Mínimos cuadrados generalizados Este modelo plantea la existencia de una m atriz Ω, cuya inversa se puede descomponer así
Ω
1
P'P Donde P es una matriz triangular superior. Esta matriz aparecerá en la matriz de
varianzas y covarianzas de μ. Antes de seguir, definamos la notación a usar. X*=PX. Y*=PY y μ*=Pμ. El método de Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG) se utiliza para resolver casos de heteroscedasticidad o de autocorrelación. La estimación de los β se hará así:
β MCG (X * X*) 1 X * Y * ˆ
Reemplazamos de acuerdo a las definiciones anteriores y te nemos
βMCG ((PX)(PX)) (PX)(PY) 1
ˆ
βMCG (X PPX) X PPY ˆ
1
Recordando que Ω
1
P' P
1
1
1
βMCG (XΩ X) XΩ Y ˆ
Además, la matriz de varianzas y covarianzas estará dada por
39
Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
β β β β
MCG
σ 2 (X * X*) 1
MCG
σ 2 ((PX)(PX))1
MCG
σ 2 (XPPX) 1
MCG
σ 2 (XΩ 1 X) 1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Finalmente, hallemos un estimador para la varianza 2
σ MCG ˆ
2
σ MCG
μ' μ ˆ
ˆ
NK
(Y - X * MCG )' (Y - X * MCG ) ˆ
ˆ
NK
(PY - PX MCG )' (PY - PX MCG ) ˆ
ˆ
ˆ
NK
Por propiedades de la transpuesta, si sacamos factor común P en el paréntesis de la izquierda, éste quedará (como P’) a la derecha, pero si lo sacamos en el paréntesis de la derecha, se ubicará en la izquierda. Esto es 2
σ MCG
(Y - X MCG )' P' P(Y - X MCG ) ˆ
ˆ
ˆ
NK
Luego, sólo reemplazamos Ω 2
σ MCG
(Y - X MCG )' Ω (Y - X MCG ) 1
ˆ
ˆ
ˆ
NK
Es posible obtener estos estimadores a través del método de máxima verosimilitud. En este caso, la función estará dada por
1 2 N/2
(2π )
Ω
1/2
exp{
1 2σ
1
2
(Y x )' Ω (Y x )}
Expresemos la fórmula anterior en logaritmos:
1 1 2 -1 ln(σ ) - ln Ω (Y X )' Ω (Y X ) 2 2 2 2 2σ N N 1 1 2 -1 ln ln(2 ) ln(σ ) - ln Ω (Y X )' Ω (Y X ) 2 2 2 2 2σ ln ln1
N
ln(2 )
N
La derivada respecto a β será muy similar a la presentada en la Demostración 2: ¿Cómo hallar los β en el modelo general de MCO?. Quedará exactamente igual. ( βMCG (XΩ1X)1 XΩ1Y ) ˆ
2
Ahora, si derivamos respecto a σ tenemos:
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Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
N 1 ln -1 (Y X )' Ω (Y X ) 0 2 2 2 2 2σ 2(σ ) σ
ln - Nσ 2 (Y X )' Ω -1 (Y X ) 0 2 2 2(σ ) σ 2 ln -Nσ 2 (Y X )' Ω-1 (Y X ) 0 2 σ ln (Y X )' Ω-1 (Y X ) Nσ 2 2 σ ln (Y X )' Ω-1 (Y X ) σ2 2 N σ 2
Este es un estimador sesgado, pero consistente de σ
Heteroscedasticidad La Heteroscedasticidad es la situación en la que hay varias varianzas distintas al interior del modelo. Esto es, la matriz de varianzas y covarianzas estará dada por
0 0 Var(μ 1 ) 0 Var(μ 2 ) 0 Σμ 0 0 Var(μ 3 ) ... ... ... 0 0 0
... ... ... ... ...
0 0 ... Var(μ N ) 0
Normalmente asumiríamos que estas varianzas son todas idénticas, pero este no es el caso. Para solucionar el problema usamos MCG, como ya se mencionó. Así nuestros β serán
βMCG (XΩ X) XΩ Y . Pero hay un problema, ¿Qué es Ω? Al estimar Ω tenemos Mínimos ˆ
1
1
1
Cuadrados Generalizados Factibles (MCGF) β MCGF ˆ
(X Ω 1 X) 1 X Ω 1 Y . ˆ
ˆ
Para asumir Ω, definiremos P como una matriz diagonal con el inverso de las desviaciones estándar.
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Luis Carlos Carvajal Osorio – Final Econometría 1
1 σ 1 0 P 0 ... 0
0 1 σ2 0
0 0 1
...
σ3 ...
0
0
... ... ... ... ...
0
0 0 ... 1 σN
La matriz Y* será entonces
Y1 σ 1 Y2 Y* σ Este método se conoce como Mínimos Cuadrados Ponderados. Este método resulta 2 ... Y N σ N Nx1 muy impráctico, por lo cual no tiene mucho uso. Sin embargo, se puede asumir una matriz con dos varianzas distintas (divido la muestra en dos partes, no necesariamente iguales).
σ 1 0 Σμ 0 ... 0
0
0
...
σ1
0
...
0
...
...
...
... σ 2
0
0
...
0
0 ... σ 2 0
Revisemos mediante una prueba de hipótesis que en efecto exista heteroscedasticidad. La hipótesis nula será que ambas varianzas son iguales. La hipótesis alterna es que son diferentes. Esto es
H0 σ 1 σ 2 H1 σ 1 σ 2 Construyamos el estadístico de prueba. Sabemos que
(N - K)σ ˆ
σ
2
2
~ χ 2NK y además, sabemos que
una distribución F es el cociente de dos distribuciones chi cuadrado divididas por sus grados de
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