Axioma 0: El sucesor de un número natural es siempre un número natural, la suma y el producto de dos números naturales es siempre un número natural. Axioma 1: Para todo n, S(n)≠0. Axioma 2: Si S(n S( n) = S(m S(m) entonces n = m. Axioma 3: n + 0 = n. Axioma 4: n + S(m S(m) = S(n S(n + m). Axioma 5: n.0 = 0. Axioma 6: n.S(m .S(m) = n.m + n. Axioma 7 (Esquema de inducción): Para cada fórmula P(n P( n), si puede probarse ue !ale P(0) y tambi"n ue !ale #P( n) $ P(S(n P(S(n))# entonces P(n P(n) !ale para todo n. Teoremas: Estos son al%unos teoremas ue se deducen de los a&iomas de Peano. Teorema 1: 0 + n = n. Demostración: 'plicamos el esuema de inducción. Para n = 0 la armación !ale por el a&ioma . *enemos *enemos ue probar ue ue #0 + n = n $ 0 + S(n S( n) = S(n S( n)#. eamos ue es asSi 0 + n = n entonces 0 + S(n S( n) = S(0 + n) = S(n S(n). Teorema 2: n + S(m S(m) = m + S(n S(n). Demostración: acemos inducción en m. Para m = 0 la armación !ale poruen + S(0) = S(n S( n + 0) = S(n S( n) = 0 + S(n S( n), esto último por el teorema /. eamos ue n + S(m S(m) = m + S(n S(n) implica n + S(S(m S(S(m)) = S(m S(m) + S(n S(n). S(m S(m) + S(n S(n) = = S(m S(m + S(n)) (a&. ) = S(n S(n + S(m S(m)) (1ipótesis) = n + S(S(m S(S( m)) (a&. ). Teorema 3: n + m = m + n (Es decir, la suma es conmutati!a). Demostración: 2i3amos n y 1acemos inducción en m. Para m = 0 !ale ya ue n + 0 = n = 0 + n, por a&ioma y teorema /. *enemos *enemos ue probar ue ue n + m = m + n implica n + S(m S(m) = S(m S( m) + n, !eamos ue es asn + S(m S(m) = = S(n S(n + m) (a&. ) = S(m S(m + n) (1ipótesis) = m + S(n S(n) (a&. ) = S(m S(m) + n (teo. 4). Teorema 4: (n (n + m) + k = = n + (m (m + k ) (Es decir, la suma es asociati!a). Demostración: 2i3amos n y m, y 1acemos inducción en k .
Para k = 0 !ale ya ue(n + m) + 0 = n + m = n + (m + 0). *enemos ue probar ue (n + m) + k = n + (m + k ) implica (n + m) + S(k ) = n + (m + S(k )). eamos ue es as(n + m) + S(k ) = = S((n + m) + k ) (a&. ) = S(n + (m + k )) (1ipótesis) = n + S(m + k ) (a&. ) = n + (m + S(k )) (a&. ).
Teorema 5: 0.n = 0 (5ecu"rdese ue el a&ioma 6 arma ue n.0 = 0). Demostración: acemos inducción en n. Para n = 0 !ale por el a&ioma 6. *enemos ue probar ue 0.n = 0 implica 0.S(n) = 0. e7moslo- 0.S( n) = 0.n + 0 = 0 + 0 = 0. Teorema 6: S(n).m = n.m + m Demostración: 2i3amos n y 1acemos inducción en m. Para m = 0 !ale porue- S( n).0 = 0 = 0 + 0 = n.0 + 0. *enemos ue probar ue S(n).m = n.m + m implica S(n).S(m) = n.S(m) + S(m). e7mosloS(n).S(m) = = S(n).m + S(n) (por el a&. 8) = (n.m + m) + S(n) (1ipótesis) = n.m + (m + S(m)) (teo. ) = n.m + (S(m) + n) (teo. 4) = n.m + (n + S(m)) (teo. ) = (n.m + n) + S(m) (teo. ) = n.S(m) + S(m) (a&. 8) Teorema 7: n.m = m.n (el producto es conmutati!o). Demostración: 2i3amos n y 1acemos inducción en m. Para m = 0 !ale porue n.0 = 0 = 0.n. *enemos ue probar ue n.m = m.n implica n.S(m) = S(m).n. e7moslon.S(m) = = n.m + n (a&. 8) = m.n + n (1ipótesis) = S(m).n (teo. 8). Teorema : n.(m + k ) = n.m + n.k . (Es decir, !ale la propiedad distributi!a). Demostración: 2i3amos n y m, y 1acemos inducción en k . Para k = 0 !ale por los a&iomas y 6. *enemos ue probar ue n.(m + k ) = n.m + n.k implica n.(m + S(k )) = n.m + n.S(k ). e7moslon.m + n.S(k ) = = n.m + (n.k + n) (a&. 8) = (n.m + n.k ) + n (teo. )
= n.(m + k ) + n (1ipótesis) = n.S(m + k ) (a&. 8) = n.(m + S(k )) (a&. )
Teorema !: (n.m).k = n.(m.k ). (Es decir, el producto es asociati!o). Demostración: 2i3amos n y m, y 1acemos inducción en k . Para k = 0 !ale por el a&ioma 6. *enemos ue probar ue si (n.m).k = n.(m.k ). entonces (n.m).S(k ) = n.(m.S(k )). e7moslo(n.m).S(k ) = = (n.m).k + n.m (a&.8) = n.(m.k ) + n.m (1ipótesis) = n.(m.k + m) (teo. 9) = n.(m.S(k )) (a&. 8). De"nición: / = S(0). Teorema 10: /≠0. (Es consecuencia inmediata del a&ioma /.) Teorema 11: n + / = S(n). Demostración: n + / = = n + S(0) (denición) = S(n + 0) ('&. ) = S(n) ('&. ) Teorema 12: /.n = n. Demostración: Por inducción. Para n = 0 !ale por el a&ioma 6. eamos ue /.n = n implica /.S(n) = S(n). /.S(n) = = /.n + / ('&. 8) = n + / (por 1ipótesis) = S(n) (*eo. //). De"niciones: 4 = S(/) = S(4) = S() 6 = S() etc. eamos a1ora un nue!o teorema-
Teorema 13: Si n≠0 entonces e&iste m tal ue S(m) = n. Demostración: El enunciado ue ueremos demostrar eui!ale a :n(n=0;
ya ue si n = S(m) entonces S(n) = SS(m).
Teorema 13 #is: Si n≠0 entonces n se obtiene aplicando al 0 la función S sucesi!amente una cantidad nita de !eces. Demostración: Por inducción. Para n = 0 !ale (el antecedente de la implicación es falso). Supuesto ue !ale para n es inmediato ue !ale para S(n) ya ue si n = SS...S(0) entonces S(n) = SSS...S(0) (una S m7s). Teorema 13 ter: Si una armación !ale para 0, S(0), SS(0), SSS(0), SSSS(0),... entonces la armación !ale para todo n. Demostración: Sea n cualuiera, entonces, por el teorema anterior, o bien n = 0, o bien n = SS...S(0), en cualuiera de los dos casos, por 1ipótesis, la armación !ale para n. >ree usted ue las tres !ersiones del teorema / son !7lidos? Sucede ue el enunciado y la demostración del primer teorema respetan las restricciones ue impone la ló%ica de primer orden, mientras ue los otros dos no las respetan (se enmarcan en la ló%ica de se%undo orden). Es importante esta distinción? En parte s, porue el teorema de @Adel sólo !ale en teoras basadas en la ló%ica de primer orden. Be 1ec1o, si se acepta la !alideC del teorema #/ ter# entonces el teorema de @Adel pasa a ser directamente falso (o, si se uiere, es falso si se acepta en la matem7tica ese tipo de raConamiento). Por as decirlo, la !alideC del teorema de @Adel termina en la del%ada lnea ue separa el teorema / del teorema / bis. uel!o a pre%untar- cree usted ue los tres teoremas son !7lidos? Dna primera conclusión es (o debera ser) ue el teorema de @Adel in!olucra ciertas sutileCas ue impiden ue sea discutido a la li%era, y ue refutan cualuier an7lisis ue no tome en cuenta adecuadamente sus comple3idades t"cnicas. Por otra pare, yo s creo ue los tres teoremas son !7lidos, por lo ue esta situación me con!ence (al menos a m) de ue la ló%ica ue usan naturalmente los matem7ticos no es (a diferencia de los ue los ló%icos suelen sostener) la ló%ica de primer orden, sino la ló%ica de se%undo orden. a #!erdadera ló%ica#, di%o yo, es la de se%undo orden, la otra es una ló%ica muy apta para ser estudiada, pero no es la ue usamos realmente para raConar. Es falso entonces el teorema de @Adel? Fo, el teorema de @ódel si%ue siendo !7lido en la teoras basadas en la ló%ica de primer orden, es decir, tiene una aplicación especca ue, se%ún yo lo !eo, no alcanCa a toda la matem7tica en su con3unto.
Teorema 14: Si n + m = 0 entonces n = 0 y m = 0. Demostración: Si m≠0 entonces, por el teorema /, m = Sk para al%ún k , lue%o n + Sk = 0. Beducimos as, por el a&ioma , ue S( n + k ) = 0, pero esto es un absurdo
porue contradice el a&ioma /. ue%o, debe ser m = 0G f7cilmente, del a&ioma , se si%ue ue n = 0.
Teorema 15: Si n + m = n + k entonces m = k . Demostración: o 1acemos por inducción en n. Para n = 0 es f7cil !er ue !ale (por el a&ioma ). Paso inducti!oSupon%amos ue Sn + m = Sn + k , entonces, por el a&ioma y el teorema , tenemos ue S(n +m) = S(n + k ). ue%o, por a&ioma 4, n + m = n + k , y por 1ipótesis inducti!a m = k . $tros teoremas que %ueden %ro#arse& 'as demostraciones que a'tan se dean como eercicio %ara 'os 'ectores: Teorema 16: Si n.m = 0 entonces n = 0 o m = 0. Demostración: a armación es eui!alente a- Si n.m = 0 y m≠0 entonces n = 0. Prob"moslo. Si m≠0 entonces, por el teorema /, e&iste k tal ue S(k ) = m. ue%o0 = n.S(k ) = n.k + n (por a&ioma 8). Entonces n.k + n = 0 y, por el teorema /, deducimos ue n = 0, como ueramos probar. *omentario: Fo podramos 1aber dic1o ue n.m = n + n + n + ... + n (m !eces) para lue%o aplicar directamente el teorema /? Dna !eC m7s, este raConamiento, perfectamente aceptable en la #matem7tica de todos los das#, no lo es, en cambio, en el conte&to de la ló%ica de primer orden (ue es la ue presupone el teorema de @Adel), Teorema 17: Si n.m = n.k y n≠0 entonces m = k . Demostración: a armación a demostrar esPara todo m !ale- Para todo n y k , si n.m = n.k y n≠0 entonces m = k . Prob"mosla por inducción en m. Para m = 0, 1ay ue probar ue si n.0 = n.k y n≠0 entonce k = 0G esto se deduce del teorema anterior. Supuesto ue !ale para m !amos a probarlo para S(m). *enemos entonces ue n.S(m) = n.k . >omencemos obser!ando ue H≠0, en efecto, si k = 0 entonces n.S(m) = 0, de donde se deduce ue n = 0 o S(m) = 0, lo cual es absurdo. Por lo tanto, e&iste r tal ue S(r) = k , y entoncesn.S(m) = n.k n.S(m) = n.S(r) n.m + n = n.r + n n.m = n.r (*eo. /6) m = r (ipótesis inducti!a) S(m) = S(r) S(m) = k , ue es lo ue ueramos probar. Teorema 1: Si n + m = / y n≠0 entonces m = 0.
(Be este teorema se deduce inmediatamente ue si la suma de dos números naturales es / entonces uno de de ellos es 0 y el otro es /.) Demostración: Supon%amos, por el absurdo, ue m≠0, entonces e&iste k tal ue S(k) = m. En consecuencian + m = / n + S(k) = / S(n + k ) = / S(n + k) = S(0) n + k = 0 Entonces, por el teorema /, n = 0, lo ue contradice la 1ipótesis.
Teorema 1!: Si n.m = / entonces n = m = /. Teorema 20: / + / = 4. Demostración: / + / = / + S(0) = S(/ + 0) = S(/) = 4. Teorema 21: /≠4. Demostración: Si 4 = / entonces S(S(0)) = S(0), lue%o (por el a&ioma 4), S(0) = 0, lo ue contradice el a&ioma /. Teorema 22: Fo e&iste n tal ue 4.n = /. Demostración: Supon%amos ue s. ue%o4.n = / (/ + /).n = / (teo. 40) n + n = / (teo. 9 y /4) Por el teorema /9, se si%ue ue n = 0 o n = /, Si n = 0, lle%amos a ue 0 = /, lo ue contradice el teorema /0. Si n = /, lle%amos a ue 4 = /, lo ue contradice el teorema 4/. Beducimos as ue n no e&iste. Teorema 23: Si n + m = 4 y n≠0 y m≠0 entonces n = m = /. Teorema 24: 4 es primo, es decir, si n.m = 4 y m≠/ entonces m = 4. Teorema 25: ≠4. (+) Teorema 26: n = SS....S(0), donde la S se repite n !eces. >omo en el caso del teorema /, bordeamos au las ideas del teorema de @Adel. El teorema 48 ni siuiera puede enunciarse en la ló%ica de primer orden de los a&iomas de Peano, por lo ue #escapa# a los m"todos de demostración ue supone el teorema de @Adel. Be 1ec1o, si intentan demostrarlo, !er7n ue se debe 1acer inducción, no sólo en n en tanto #número natural#, sino tambi"n en n en tanto #cantidad de !eces ue aparece la letra S#. Pero acaso no son la misma cosa? os números naturales no son cantidades? En el conte&to de los a&iomas de Peano la respuesta es no, #número# no es #cantidad#, sino ue
#número# es #smbolo ue cumple los a&iomas#. Es por eso ue, a mi modesto entender, como di3e m7s arriba, la ló%ica de primer orden (tan defendida por los ló%icos matem7ticos) es insuciente para abarcar la riueCa del raConamiento matem7tico. Es tambi"n interesante notar ue en la ló%ica de primer orden s puede demostrarse ue / = S(0) 4 = SS(0) = SSS(0) etc. Es decir, puede probarse cada instancia del teorema 48, pero no el teorema en toda su %eneralidad.
Teorema 27: es primo. Teorema 2: 4.4 = (lue%o, no es primo). Bemostración4.4 = 4.S(/) = 4./ + 4 = 4 + 4. 4 + 4 = 4 + S(/) = S(4 + /) = S(S(4)) = S() = . Teorema 2!: Si n≠m entonces e&iste k tal ue n + k = m o m + k = n. De"nición: nIm si y sólo si e&iste k tal ue n + k = m. n J m si y sólo si nIm y n≠m. Teorema 30: Para todo n y m !ale ue nIm o mIn. Teorema 31: Si nIm y mIn entonces n = m. Teorema 32: Si nIm entonces SnISm. Teorema 33: Si nIm y mIH entonces nIH. Teorema 34: Para todo n, 0In. Teorema 35: Para todo n, no e&iste k tal ue n J k J Sn. Teorema 36: Si n J m entonces SnIm. Teorema 37: Si nIm entonces para todo k , n+HIm+H. Teorema 3: Si nIm entonces para todo k , nHImH. ,in (%or a-ora). Publicadas por @usta!o PiKeiro Fo 1ay comentarios.Etiuetas- '&iomas de Peano 16.10.14
'&iomas de Peano y consecuencias (6) con al%unos comentarios sobre el teorema de @Adel (Para ver todas las entradas de esta serie hágase clic aquí .) A la parte 4 A la parte ! Fota- desde ue publiu" por primera este entrada 1e ido modicando li%eramente su contenido buscando ue con!er3a a lo ue uiero e&presar. Besde 1ace al%ún tiempo !enimos mostrando al%unos teoremas ue se deducen de los a&iomas de Peano. En las entradas pre!ias 1emos demostrado, por e3emplo, ue la suma de números n aturales es asociati!a y conmutati!a, y ue el 0 es su neutro. *ambi"n probamos ue el producto es asociati!o y conmutati!o, y ue el / (denido como S(0)) es su neutro. eremos a1ora al%unos teoremas m7s, ue tendr7n esta !eC, adem7s, cierta relación con el teorema de @Adel. Para comenCar, recordemos dos de los a&iomas de Peano-
Axioma 1: Para todo n, S(n)≠0. Axioma 2: Si S(n) = S(m) entonces n = m. eamos a1ora un nue!o teorema-
Teorema 13: Si n≠0 entonces e&iste m tal ue S(m) = n. Demostración: El enunciado ue ueremos demostrar eui!ale a :n(n=0;ree usted ue los tres teoremas son !7lidos? Sucede ue el enunciado y la demostración del primer teorema respetan las restricciones ue impone la ló%ica de primer orden, mientras ue los otros dos no las respetan (se enmarcan en la ló%ica de se%undo orden). Es importante esta distinción? En parte s, porue el teorema de @Adel sólo !ale en teoras basadas en la ló%ica de primer orden. Be 1ec1o, si se acepta la !alideC del teorema #/ ter# entonces el teorema de @Adel pasa a ser directamente falso
(o, si se uiere, es falso si se acepta en la matem7tica ese tipo de raConamiento). Por as decirlo, la !alideC del teorema de @Adel termina en la del%ada lnea ue separa el teorema / del teorema / bis. uel!o a pre%untar- cree usted ue los tres teoremas son !7lidos? Dna primera conclusión es (o debera ser) ue el teorema de @Adel in!olucra ciertas sutileCas ue impiden ue sea discutido a la li%era, y ue refutan cualuier an7lisis ue no tome en cuenta adecuadamente sus comple3idades t"cnicas. Por otra pare, yo s creo ue los tres teoremas son !7lidos, por lo ue esta situación me con!ence (al menos a m) de ue la ló%ica ue usan naturalmente los matem7ticos no es (a diferencia de los ue los ló%icos suelen sostener) la ló%ica de primer orden, sino la ló%ica de se%undo orden. a #!erdadera ló%ica#, di%o yo, es la de se%undo orden, la otra es una ló%ica muy apta para ser estudiada, pero no es la ue usamos realmente para raConar. Es falso entonces el teorema de @Adel? Fo, el teorema de @ódel si%ue siendo !7lido en la teoras basadas en la ló%ica de primer orden, es decir, tiene una aplicación especca ue, se%ún yo lo !eo, no alcanCa a toda la matem7tica en su con3unto. Publicadas por @usta!o PiKeiro Fo 1ay comentarios.Etiuetas- '&iomas de Peano 2.7.14 '&iomas de Peano y consecuencias ()
(Para ver todas las entradas de esta serie hágase clic aquí .) A la parte " A la parte #
De"nición: / = S(0). Teorema 10: /≠0. (Es consecuencia inmediata del a&ioma /.) Teorema 11: n + / = S(n). Demostración: n + / = = n + S(0) (denición) = S(n + 0) ('&. ) = S(n) ('&. ) Teorema 12: /.n = n. Demostración: Por inducción. Para n = 0 !ale por el a&ioma 6. eamos ue /.n = n implica /.S(n) = S(n).
/.S(n) = = /.n + / ('&. 8) = n + / (por 1ipótesis) = S(n) (*eo. //).
De"niciones: 4 = S(/) = S(4) = S() 6 = S() etc.
