FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS. Definición de las funciones.
Un círculo unitario con cntro n l ori!n "i!u la #$r%ula x 2 y 2 1 & un 'unto (a(o 'or l 'ar or(na(o x , y " 'u( r'r"nta r'r"ntarr co%o #unci$n ( un )n!u )n!ulo lo t ( ( la "i!uint "i!uint %anra %anra x , y cos t , sent . * i!ual i!ual %anra+ %anra+ una ,i'-r ,i'-rola ola unitaria unitaria con con 2 2 cntro n l ori!n "i!u la #$r%ula x y 1 & un 'unto (a(o 'or l 'ar or(na(o x , y " 'u( 'u( r'r r'r" "n nta tarr co%o co%o #unc #unci$ i$nn (l (l )n!u )n!ulo lo t ( la "i!ui "i!uint nt %anra %anra x , y cosh t , senht . E"ta" E"ta" #uncion #uncion"" " (no%in (no%inan an #uncio #uncion n"" tri!ono tri!ono%%-tric trica" a" ,i'r$lica"+ n 'articular+ co"no ,i'r$lico / "no ,i'r$lico. La" #uncion" tri!ono%-trica" ,i'r$lica" 'r"ntan 'ro'i(a(" an)lo!a" a la" ( la" #uncion" #uncion" tri!ono%tri!ono%-trica trica"" o circula circular". r". La #unci$ #unci$nn f x senh x " (#in co%o senh x
e x e x 2
+ %intra" 0u la #unci$n f x cosh x "
cosh x
e x e x 2
.
Al i!ual 0u la" #uncion" tri!ono%-trica" circular"+ n la" #uncion" tri!ono%-trica" ,i'r$lica" " cu%'ln la" "i!uint" i(nti(a(" #un(a%ntal". #un(a%ntal". senh x
tanh x coth x
cosh x cosh x senh x
sec h x csc h x
1 cosh x 1 senh x
e x e x e x e x e x e x e x e x 2 e e x x
2 e x e x
*i(o a "to+ " l$!ico 'n"ar 0u ,ar) una rlaci$n 0ui1alnt al Tor%a Tor%a ( 2 Pit)!ora". A"í+ 'ara la" #uncion" ,i'r$lica" ,i'r$lica" " "a 0u cosh x senh 2 x 1 . Ejemplo 1.
*%o"trar 0u
cosh x senh x 1 . 2
2
cosh 2 x senh 2 x 1 2
e 2 x
2
e x e x e x e x 1 2 2 x x 2 x 2 x x x e 2e e e 2 x 2e e e 1 4
4
x
2e e
x
2e e x
4
2 4
x
4
2
1
1
4
4
1 4 11
Gráfica de las funciones.
Sa la #unci$n f x senh x
e x e x 2
. La" intr"ccion" " 'u(n ncontrar
i!ualan(o la #unci$n a cro. x
e x e 2
0
e x e x 0 e x e x e x e x
1
e 2 x 1 2 x ln 1 2 x 0 x 0
La #unci$n "no ,i'r$lico tin una "ola raí2 n x=0. Para otnr lo" 'unto" crítico"+ " i!uala a cro la (ri1a(a ( la #unci$n3 df dx
x x d e e
dx
2
1 d
1
e x e x e x e x 2 2 dx
1 2
e
x
e x 0
x x e e 0 x x e e
e x e x
1
1 2 x ln 1 e
2 x
'or lo tanto+ no ,a/ 'unto" crítico". E" intr"ant notar 0u la (ri1a(a ( la #unci$n senh(x) " la #unci$n cosh(x). Por 4lti%o+ 'unto" in#l5i$n " 'u(n ncontrar n (on( la "!un(a (ri1a(a " i!ual a cro. d 2 f dx
2
d 1 dx 2
e
x
e x
1 d 2 dx
e
x
e x
1 2
e
x
e x
La "!un(a (ri1a(a no" ll1$+ nu1a%nt+ a la #unci$n senh(x). E"ta #unci$n /a " i!ual$ a cro 'ara ncontrar la" intr"ccion". El r"ulta(o " 0u n x=0 ,a/ una raí2 0u+ a "u 12+ " un 'unto ( in#l5i$n.
La %i"%a #unci$n
f x senh x
#uncion" 5'onncial"3
e x e x 2
e x e x
2
e x 2
ex 2
" 'u( 1r co%o la r"ta ( (o" . La !r)#ica ( "ta" (o" #uncion"
5'onncial" " %u"tra n a2ul 65'onncial 'o"iti1a7 / 1r( 65'onncial n!ati1a7. La r"ta ( a%a" 'unto 'or 'unto " la #unci$n senh(x).
Derivadas. d dx
senh x
x x d e e
dx
2
d e x e x
d
cosh x dx dx d dx
tanh x d dx
2
d senhx
dx cosh x
tanh u
du dx
e e x
x
2 e x e x 2
cosh x
senh x
cosh x senh x 2
2
2
cosh x
d dx d dx
1 2
cosh x
senh u
du
cosh u
du
dx
dx
cosh u
senh u
sec h 2 x
sec h u 2
1 d cosh x senh 2 x cosh 2 x csc h 2 x coth x 2 2 dx dx senhx senh x senh x d
d dx
coth u
du dx
csc h u
d 1 senhx senhx 1 tanh x sec hx 2 dx dx cosh x cosh x cosh x cosh x d du sec h u tanh u sec h u dx dx d
sec h x
d dx
csc h x d dx
d 1 cosh x cosh x 1 coth x csc hx dx senhx senh 2 x senhx senhx
csc h u
du dx
coth u csc h u
Ejemplo 2.
*ri1ar la #unci$n f x
tanh 4 x 2 3
.
La #unci$n %)" 5trna " la raí2+ 'or lo tanto+ " la 'ri%ra n (ri1ar". 2 2 d 8 x sec h 4 x 3 2 tanh 4 x 3 dx 2 tanh 4 x 2 3 dx 2 tanh 4 x 2 3
df
1
Ejemplo 3.
*ri1ar la #unci$n
f x ln tanh 3 x
2
2 cosh 3 x 2 2
.
La #unci$n %)" 5trna " l lo!arit%o+ 'or lo tanto+ " l 'ri%ro n (ri1ar". df 6 x sec h 2 3 x 2 2 6 xsenh 3 x 2 2 dx tanh 3 x 2 2 cosh 3 x 2 2 Integrales.
Utili2an(o l Tor%a Fun(a%ntal (l C)lculo " 'u( "talcr 0u
senh u du cosh u c cosh u du senh u c sec h u du tanh u c csc h u du coth u c sec h u tanh u du sec h u c csc h u coth u du csc h u c 2
2
Utili2an(o "ta" #$r%ula" " 'u(n "talcr la" "i!uint". Ejemplo 4.
Hallar la #$r%ula 'ara la int!ral ( la tan!nt ,i'r$lica.
tanh x dx
S ,ac un ca%io ( 1arial n (on( int!ral antrior ca%ia a
senh x
cosh x dx
u cosh x du senh x dx .
Al "u"tituir+ la
tanh x dx
senh x
cosh x
dx
du
u
ln u c ln cosh x c
S 'u( utili2ar l %i"%o 'roc(i%into 'ara ,allar la" "i!uint" #$r%ula".
tanh u du ln cosh u coth u du ln senh u
c c
Ejemplo 5.
R"ol1r la" "i!uint" int!ral".
x
senh 3 x 3 dx
2
S rali2a l ca%io ( 1arial u 3 x 3
du 9
x 2 dx + 'or lo tanto+ la int!ral "
'u( "criir co%o du 1 1 1 x senh 3 x dx senh u 9 9 senh u du 9 cosh u c 9 cosh 3 x c 2
3
3
sec h 2 ln x x
S rali2a l ca%io ( 1arial u ln x du
dx
dx x
+ 'or lo tanto+ la int!ral " 'u(
"criir co%o
sec h 2 ln x x
dx sec h 2 u du tanh u c tanh ln x c
1
senh x
cosh x dx
0
S rali2a l ca%io ( 1arial u cosh x du senh x dx + 'or lo tanto+ la int!ral " 'u( "criir co%o x 1
1
senh 0
2
x
cosh x dx
x 0
u du
Sin %ar!o+ (a(o 0u u=senh(x)+ "i x=0+ ntonc"+ x=1+ ntonc"+
u senh 1
u senh 8
1 e2 1 e e2 1 . e e 2 2 2e
e 1 e 1 2
e8 e8
9
La int!ral "
e 2 1 x 1
1
senh 2 x cosh x dx
x 0
0
2 e 2 1
3
3 2 e
2
2 3
e 2 1
2e
u du
u du
0
0
3
2
8 . Cuan(o
2 3
2 e 2 1
3
3 2 e
u
3
2e
2
0 2
Inversas.
La" #uncion" tri!ono%-trica" ,i'r$lica" tinn #uncion" in1r"a" 0u+ co%4n%nt+ " (notan co%o senh 1 o in co%o arcsenh (on( la #unci$n rci l no%r ( "no ,i'r$lico in1r"o. *a(o 0u la" #uncion" "t)n (#ini(a" n t-r%ino" ( 5'onncial"+ " ( "'rar" 0u "u" in1r"a" inclu/an lo!arit%o" natural". S 'u(n (#inir co%o 1 2 senh x ln x x 1
cosh 1 x ln x x 2 1 tanh 1 x
1 2
1 x 1 x
ln
para x 1 para x 1
1 1 x 2 sec h x ln x 1
para 0 x 1
La" (ri1a(a" int!ral" ( "ta" #uncion" " r"ul1n i!ual 0u la" #uncion" tri!ono%-trica" in1r"a". Ejemplo .
Otnr la #$r%ula 'ara la (ri1a(a ( la #unci$n
y senh x 1
.
*a(o 0u no " conoc la (ri1a(a (l "no ,i'r$lico in1r"o 'ro "í la (l "no ,i'r$lico+ " 'u(n utili2ar l conc'to ( la #unci$n in1r"a / la (ri1a(a i%'lícita 'ara ,allar la #$r%ula n cu"ti$n. y senh 1 x senh y x y´cosh y 1 y´
1 cosh y
S "a 0u cosh 2 y senh 2 y 1 + 'or lo tanto+ cosh 2 y senh 2 y 1 / la #unci$n senhy=x+ ntonc"+ cosh y x 1 . Al "u"tituir " otin 2
1
y´
x 1 2
.
El %i"%o %-to(o " 'u( utili2ar 'ara ncontrar cual0uira ( la" "i!uint" #$r%ula". d dx d dx
d
du
1
senh u du
1
cosh u u
2
du 1
u2 1 dx
,
u1
1
dx
, u 1 2 1u du d 1 dx sec h u , 0 u 1 2 dx u 1u dx
tanh u
dx
Ejemplo !.
*tr%inar "i la #unci$n f x xsenh1 x 2 3 " crcint o (crcint n l 'unto x:9. S ( r"ol1r la (ri1a(a ( la %ulti'licaci$n. 2 x senh 1 x 2 3 x x 2 3 2 1 dx
df
senh 1 x 2 3 senh 1 x 2 3
2 x 2 x 4 6 x 2 9 1
2 x 2 4 2 x 6 x 10
S u"ca conocr co%o " la #unci$n n x:9+ 'or lo tanto+ " "u"titu/ n la (ri1a(a.
df dx
8
senh 1 7
16 24 10
x 2
8
ln7 2! 2 ln 1407
8 7 07
2! 2
ln7 49 1
ln7 ! 2
8
8
!0
! 2
264 113 377
La #unci$n " crcint3 crc a una ra2$n ( ;.<<. La" #$r%ula" 'ara la int!raci$n "aln utili2an(o l Tor%a Fun(a%ntal (l C)lculo / a 'artir ( la" #$r%ula" ( (ri1aci$n. 1
a u 2
1
u a 2
1 a u 2
1
u
1
a2 u2
2
2
2
u c , a
du senh
u c , a
1 du cosh
du
1 u tanh c , a a
1
u 1 du sec h 1 c , a a
a 0 u a 0 a 0 ,
u a
a 0 , 0 u a
Ejemplo ".
R"ol1r la int!ral
e 3 x
2! e 6 x
dx .
E"ta int!ral " co%o la ( la tan!nt ,i'r$lica in1r"a (on( u 2 e 6 x u e 3 x
du
3
2! u
2
du 3
1 3
a 2 2! a ! +
e 3 x dx . Al "u"tituir "to n la int!ral+
3x e 3 x 1 1 e tanh c tanh c 2 3 ! 1! 2! u ! !
du
1 1
1
#plicaciones.
La 1loci(a( ( la" ola" n l %ar a=o cirta" con(icion" ('n( ( + la lon!itu( ( on(a 6(i"tancia ntr cr"ta / cr"ta7 / ( la 'ro#un(i(a( (l a!ua 'or (on( 1ia=an la" ola"+ h . La #unci$n 0u rlaciona "ta" 1arial" " #2
" 2
2 h
tanh
(on( # " la 1loci(a(+ / " " la !ra1(a(.
Su'onin(o 0u " %antin h con"tant+ "to "+ 0u l ola= " 'ro'a!a 'or un oc-ano ( 'ro#un(i(a( con"tant 6>8 %7+ (tr%inar "i la 1loci(a( au%nta o (i"%inu/ cuan(o ! $ . 19
! 9
1 (1 (
! 9
9,
tan,
9,
tan,
! 9, ! 9, 9 9 , tan, 9 "c , 9 9 ! 9 , 9 tan, 9 ?
(1 (
! 9, !, 9 9 , tan, "c , ! 9, 9 9 tan, 9 ?
S "u"titu/n lo" 1alor" nu%-rico" n cu"ti$n (1 (
A.@? 9 >8 A.@? >8 9 >8 tan, "c , 9 9 > > > A.@? > 9 >8 9 tan, 9 > ?
(1 (
@.<9
Entonc"+ 'ara "t 1alor ( la lon!itu( ( on(a / ( la 'ro#un(i(a(+ la 1loci(a( ( la ola 1a au%ntan(o r"'cto a la lon!itu( ( on(a. Si " r0uir+ a,ora+ "ar co%o 1a ca%ian(o la 1loci(a( ( 'ro'a!aci$n (l ola= r"'cto a la 'ro#un(i(a( (l %ar 'ara una lon!itu( ( on(a ( > %+ " (r)+ ntonc"+ (ri1ar r"'cto a h. Sa una 'ro#un(i(a( ( < %+
1 (1 (,
! 9
9,
tan,
! 9 9, "c , 9 9 ! 9 , 9 tan, 9 9, ! "c , 9 (1 (, ! 9 , 9 tan, 9 ?
S "u"titu/n lo" 1alor" nu%-rico" n cu"ti$n
9 < > (1 (, 9 < A.@? > 9 tan, 9 > ?C A.@? "c , 9 (1 @.A? ?8 < > ?.B ?8 < (, >.>A CA.8> ?C 9 tan, 9 >
A.@? "c , 9
A"í 0u+ aun0u la 1loci(a( ( 'ro'a!aci$n (l ola= 1a au%ntan(o r"'cto a la 'ro#un(i(a(+ la ra2$n ( ca%io " %u/ '0uDa.
