16.21 Técnicas de diseño y análisis estructural Primavera 2003 Unidad 2 – Esfuero y !alance de momentum
Esfuerzo en un punto "as fueras e#ercidas so!re un material $ueden ser internas o e%ternas. "as fueras e%ternas son de dos ti$os& esfuero en el cuer$o '$or unidad de masa o vol(men) y esfuero en la su$erficie '$or unidad de área). *i cortamos un cuer$o de material en e+uili!rio !a#o un con#unto de fueras e%ternas a lo lar,o de un $lano- tal y como se muestra en la i,ura 1- y consideramos uno de sus lados- e%traemos dos d os conclusiones& 1) el e+uili!rio +ue $ro$orcionan las car,as del lado eliminado es facilitado $or un con#unto de fueras +ue se distri!uyen entre las $art/culas de material adyacentes al $lano de corte y +ue de!er/an facilitar un con#unto de fueras e+uivalentes a las +ue car,an la $arte eliminada- 2) estas fueras $ueden considerarse aora como fueras de su$erficie e%terna +ue act(an so!re la $arte de material +ue está en estudio. El vector de esfuero en un $unto so!re ∆S se se define como&
*i el corte se u!iese realiado so!re el mismo $unto en cuestin $ero en un $lano con una normal distinta- el vector de esfuero t a!r/a sido diferente. Ten,amos Ten,amos en cuenta los 'i) tres vectores de esfuero t +ue actuan so!re los $lanos normal a los e#es coordinados. 'i) escom$on,amos tam!ién cada t en sus tres com$onentes en el sistema coordinado ei 'lo +ue se $uede acer $ara cual+uier vector) como 'véase i,. 2)&
i,ura 1& esfuero de su$erficie f so!re el área ∆S de la seccin de corte $or $lano cuya normal es n. σij es
el com$onente del vector de esfuero t
'i) a lo lar,o de la direccin e #.
i,ura 2& com$onentes del esfuero
Tensor de esfuerzo Podemos se,uir analiando diferentes $lanos +ue $asen a través del mismo $unto con 'n) normales diferentes y- $or lo tanto- vectores de esfuero diferentes t y ca!r/a $re,untarse si e%iste al,una relacin entre ellos o si son todos inde$endientes. Encontraremos la res$uesta si invocamos al e+uili!rio en el tetraedro 'en contraccin) de material de la i,ura 3. "as áreas de las caras del tetraedro son ∆S 1 , ∆S 2 , ∆S 3 y ∆S . "os vectores de esfuero so!re $lanos con normales invertidas 't ei) an sido sustitu/dos $or t
'i)
utiliando la tercera ley de 4e5ton de accin y reaccin '+ue de eco se deriva del
'n) 'n) e+uili!rio)& t t . *i a$licamos el e+uili!rio tenemos&
i,ura 3& tetraedro de 7aucy +ue re$resenta el e+uili!rio de un tetraedro en contraccin acia un $unto donde ∆V es el volumen del tetraedro y f es la fuera cor$oral $or unidad de volumen. "a si,uiente relacin& ∆Sni ∆S i derivada en el si,uiente a$unte matemático& En virtud del Teorema de 8reen&
a$licado a la funcin ∅ 1- o!tenemos&
lo +ue a$licado a nuestro tetraedro da&
*i tomamos el $roducto escalar de esta ecuacin con ei- o!tenemos&
o
se $uede sustituir en la ecuacin 3 $ara o!tener&
o
El factor entre $aréntesis es la definicin del tensor de esfuero de 7aucy σ&
9!sérvese +ue se trata de una e%$resin tensorial 'inde$endiente de los com$onentes de tensor y vector en un sistema coordinado $articular). Para o!tener los com$onentes 'i) tensoriales en nuestro sistema rectan,ular reem$laamos las e%$resiones de t de la ecuacin 2.
*ustituyendo en la ecuacin :&
o !ien&
Transformación de los componentes de esfuerzo 7onsideremos un sistema diferente de coordinadas cartesianas nuestro tensor en cada una de ellas&
. Podemos e%$resar
eseamos $oner en relacin los com$onentes de esfuero en uno de los dos sistemas $ara ello tomamos el $roducto escalar de '10) con e y e &
o
"os factores entre $aréntesis son las directrices de coseno de los án,ulos entre los e#es coordinados ori,inal y $rinci$al.
Direcciones y esfuerzos principales ados los com$onentes del sector de esfueros en un sistema de coordinadas dado- la determinacin de la normal má%ima y de los esfueros cortantes es fundamental $ara el diseño de estructuras. "os com$onentes de esfuero cortante y esfuero normal en un $lano con normal n vienen dados $or&
e estas ecuaciones se des$rende claramente +ue el com$onente normal lo,ra su má%imo cuando los com$onentes cortantes son cero. En este caso&
o en com$onentes&
lo +ue si,nifica +ue los esfueros $rinci$ales se o !tienen resolviendo el $ro!lema del autovalor- las directrices $rinci$ales son los autovectores del $ro!lema. "os autovalores ; se o!tienen señalando +ue la (ltima identidad se $uede satisfacer $ara n no trivial slo si el factor es sin,ular- esto es- si su determinante desa$arece&
lo +ue nos conduce a la ecuación característica&
donde&
se denominan las invariantes de esfuero $or+ue no de$enden del sistema coordinado de eleccin.
Balance de momentum angular y lineal
en este curso.
Partimos de la definicin de momentum an,ular y lineal. Para un elemento de material en $osicin x de volumen dV - densidad ρ- masa ρdV +ue $ermanece constante- moviéndose a velocidad v- el momento lineal es ρvdV y el momento an,ular x ? ' ρvdV ). "os momentos totales del cuer$o se o!tienen $or inte,racin so!re el volumen como&
res$ectivamente. El $rinci$io de conservacin del momentum lineal esta!lece +ue la tasa de cam!io del momentum lineal es i,ual a la suma de todas las fueras e%ternas +ue actuan so!re el cuer$o&
donde
$ero
es la derivada total. El ls se $uede e%$andir como&
' ρdV ) 0 a $artir de la conservacin de la masa- $or lo +ue el $rinci$io dice&
@ora- utiliando lo +ue emos a$rendido de las tracciones y su relacin con el tensor de esfueros&
Esta es la ecuacin de !alance del momentum lineal en forma inte,ral. Podemos reem$laar la inte,ral de su$erficie $or una inte,ral de volumen con la ayuda del teorema de diver,encia&
y entonces '1A) se convierte en&
7omo este $rinci$io se a$lica a un volumen ar!itrario de material- la funcin $or inte,rar de!e desa$arecer&
Esta es la ecuacin de !alance del momentum lineal en forma diferencial. En com$onentes&
Balance de momento angular y la simetría del tensor de esfuerzo El $rinci$io de conservacin del momentum an,ular esta!lece +ue la tasa de cam!io del momento an,ular es i,ual a la suma del momento de todas las fueras e%ternas +ue actBan so!re el cuer$o&
En la $ráctica se $uede escri!ir&
Utiliando ti σkink , el teorema de diver,encia y '1C) esta e%$resin conduce a 'ver tarea en casa)&
lo +ue se a$lica a un volumen ar!itrario V - y $or tanto- slo se $uede satisfacer si la funcin inte,ral desa$arece- lo +ue im$lica&
