D.3 Garis Singgung Elips dengan Gradien tertentu
(a) Untuk elips-elips yang berpusat di O(0,0)
Misalkan gradien garis singgung pada elips x2a2+y2b2=1 adalah m (m tertentu atau diketahui). Persamaan garis dengan gradien m adalah y=mx+n. Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan antara y=mx+n dan ellips di atas adalah D=-4a2b2(n2-b2-a2m2)
(perhatikan kembali pembahasan kedudukan garis terhadap ellips sebelumnya).
Syarat agar garis menyinggung kurva adalah diskriminan D = 0, didapat
-4a2b2(n2-b2-a2m2)=0
n2=a2m2+b2
n=±a2m2+b2
Substitusi nilai n ke persamaan garis y=mx±a2m2+b2 .
Jadi, persamaan garis singgung pada elips x2a2+y2b2=1 dengan gradien m dapat ditentukan dengan rumus:
y=mx±a2m2+b2y=mx±a2m2+b2
y=mx±a2m2+b2
y=mx±a2m2+b2
Dengan menggunakan analisis yang sama, persamaan garis singgung pada elips
y=mx±b2m2+a2y=mx±b2m2+a2 x2a2+y2b2=1 dengan gradien m dapat ditentukan dengan rumus:
y=mx±b2m2+a2
y=mx±b2m2+a2
(b) Untuk elips-elips yang berpusat di M(h,k)
Persamaan garis singgung elips yang berpusat di M(h, k) dengan gradien m dapat ditentukan dengan cara yang sama seperti menentukan persamaan garis singgung elips yang berpusat di O(0,0) dengan gradien m. Persamaan-persamaan yang dimaksudkan itu dapat dirangkum sebagai berikut:
y-k=m(x-h)±a2m2+b2y-k=m(x-h)±a2m2+b2Persamaan garis singgung elips (x-h)2a2+(y-k)2b2=1 dengan gradien m adalah
y-k=m(x-h)±a2m2+b2
y-k=m(x-h)±a2m2+b2
Persamaan garis singgung elips (x-h)2b2+(y-k)2a2=1 dengan gradien m adalah
y-k=m(x-h)±b2m2+a2y-k=m(x-h)±b2m2+a2
y-k=m(x-h)±b2m2+a2
y-k=m(x-h)±b2m2+a2
Contoh Soal:
1. Tentukan nilai m sehingga garis y = -x + m menyinggung elips x220+y25=1 !
Penyelesaian:
Gradien garis y = -x + m adalah -1
Persamaan garis singgung dengan gradien -1 adalah y=-x±20-12±5 , y=-x±5
Jadi, haruslah m = ± 5
2. Carilah persamaan garis singgung pada elips x2+4y2=20 yang tegak lurus pada garis
2x-2y-13=0.
Penyelesaian:
Gradien garis 2x-2y-13=0 adalah m1=1
Karena garis singgung tegak lurus pada garis 2x-2y-13=0, maka gradien garis singgung adalah m=-1m1=-1
Persamaan pusat elipsnya adalah x220+y25=1
Berarti a2=20 dan b2=5
Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah y=-x±5+20 dan y=-x±5
Menentukan garis singgung pada elips dengan titik singgung Tx1,y1.
Misalkan persamaan elips x2a2+y2b2=1 dan Px2,y2 suatu titik pada elips,
Maka berlaku x22a2+y22b2=1 atau b2x22+a2y22=a2b2
Karena T pada elips maka berlaku b2x12+a2y12=a2b2
Dari kedua persamaan di atas kita mempunyai hubungan bahwa
b2x22+a2y22=b2x12+a2y12 atau b2(x12-x22)=-a2(y12-y22)
x0x4+y0y=1 dan berlaku x024+y02=1 atau x02+4y02=4
Karena titik T(2,-1) pada garis singgung, maka berlaku
2x04-y0=1 atau x0=4+4y02=2+2y0
Berarti 2+2y02+4y02=4
8y02+8y0=0
y0=0 atau y0=-1
Untuk y0=0, kita medapatkan x0=2
Untuk y0=-1, kita medapatkan x0=0
Jadi titik-titik singgungnya adalah S1(2,0) dan S2(0,-1)
Persamaan garis singgung di S1 adalah 2x4+0.y=1 atau x=2
Persamaan garis singgung di S2 adalah 0x4-y=1 atau y=-1
SOAL LATIHAN
Tentukan persamaan garis singgung elips x26+y23=1 yang bergradien 1
Jawaban:
m=1 , a2=6 , dan b2=3
Persamaan garis singgungnya bisa ditulis sebagai berikut
y=mx±a2m2+b2
Maka
y=1.x±6.12+3
y=x±9
y=x±3
Jadi, garis singgungnya adalah y=x+3 dan y=x-3
Tentukan persamaan garis singgung pada elips x24+y212=1 dengan gradien -1
Jawaban:
m=-1 , b2=4 , dan a2=12
Persamaan garis singgungnya bisa ditulis sebagai berikut
y=mx±b2m2+a2
Maka
y=-1.x±4.(-1)2+12
y=-x±4+12
y=x±16
y=x±4
Jadi, garis singgungnya adalah y=-x+4 dan y=-x-4
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (-2, -1) pada elips 5x2+y2=5
Jawaban:
Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (-2, -1) adalah:
y+1=mx+2
y=mx+2m-1
Persamaan garis singgung dengan gradien m pada elips 5x2+y2=5 adalah
y=mx±a2+b2m
5x2+y2=5 x2+y25=1
a2=5
y=mx±52+m
mx+2m-1=mx±52+m
2m-12=5+m²
4m2-4m+1=5+m2
3m2-4m-4=0
3m+2m-2=0
m1=-23 ,m2=2
Jadi, persamaan garis singgungnya:
2x+3y+7=0 atau y=2x+3
