CUERPO RÍGIDO Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no se deforma, se supone que la mayoría de los cuerpos cuerpos considerados considerados en la mecánica mecánica elemental son rígidos. rígidos. Más sin embarg embargo, o, las las estruc estructu turas ras y maquin maquinas as reales reales nunca nunca han tenido tenido la posibi posibilid lidad ad de considerarse lo absolutamente rígidas ya que se pueden deformar bajo la acción de las cargas que actúan sobre ellas. A pesar de esto, en lo general esas deformaciones son muy pequeas y no pueden afectar las condiciones de equilibrio o de mo!imiento de la estructura que se toma en consideración.
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO "uando todas las partículas de un cuerpo rígido se mue!en a lo largo de trayectoria que son equidistantes de un plano fijo, se dice que el cuerpo e#perimenta mo!imiento plano. $ay tres tipos de mo!imientos planos de un cuerpo rígido y en orden de complejidad complejidad creciente son%
1. TRASLACION &e afirma afirma que un mo!imien mo!imiento to será de traslaci traslación ón si toda línea línea recta dentro dentro del cuerpo cuerpo mantiene mantiene la misma direcció dirección n durante durante el mo!imien mo!imiento. to. 'ambi( 'ambi(n n puede puede obser!arse que en la traslación todas las partículas que constituyen el cuerpo se mue!en a lo largo de trayectorias paralelas. &i estas estas trayectorias trayectorias son líneas rectas, se afirma afirma que el mo!im mo!imie iento nto es una una trasla traslació ción n rectil rectilíne ínea a )figur )figura a *+ si las las trayectorias son líneas cur!as, el mo!imiento es una traslación cur!ilínea )figura -+. igura igura *
2.
ROTACIÓN CON RESPECTO A UN EJE FIJO /n este mo!imiento, las partículas que forman al cuerpo rígido se mue!en en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo. &i este eje, llamado eje de rotación, interseca al cuerpo rígido, las partículas locali0adas sobre el eje tienen !elocidad cero y aceleración cero.
3. MOVI MOVIMI MIEN ENTO TO PLA PLANO NO GENE GENERA RAL L "uand "uando o un cuerpo cuerpo está está someti sometido do a mo!imi mo!imien ento to plano plano genera general, l, e#per e#perime imenta nta una combinación de traslación y rotación. 1a traslación ocurre dentro de un plano de MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
1
referencia y la rotación se efectúa con respecto a un eje perpendicular al plano de referencia.
TRASLACIÓN
"onsidere un cuerpo rígido en traslación )ya sea rectilínea o cur!ilínea+, y deje que A y 2 sean cualesquiera dos de sus partículas )figura a+. Al denotar, respecti!amente, por r A y r 2 los !ectores de posición de A y 2 con respecto a un sistema de referencia fijo y mediante r 23A al !ector que une a A y 2, se escribe r 2 4 r A 5 r 23A &e diferencia esta relación con respecto a t. $ay que resaltar que de la definición pura de traslación, el !ector r 23A debe mantener una dirección constante su magnitud tambi(n debe ser constante, ya que A y B pertenecen al mismo cuerpo rígido. 6e tal modo, la deri!ada de r B3 A es cero y se tiene
V2 4 V A Al diferenciar una !e0 más, se escribe a2 4 a A /n consecuencia, cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo tienen la misma !elocidad y la misma aceleración en cualquier instante dado )figura b y c+. /n el caso de traslación cur!ilínea, la !elocidad y la aceleración cambian en dirección, así como en magnitud, en cada instante. /n el caso de traslación rectilínea, todas las partículas del cuerpo se mue!en a lo largo de líneas rectas MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
2
paralelas, y su !elocidad y aceleración se mantienen en la misma dirección durante el mo!imiento completo.
ROTACION CON RESPECTO A UN EJE FIJO /n este tipo de mo!imiento, todas las partículas se despla0an por trayectorias circulares aquí todos los segmentos de línea presentes en el cuerpo e#perimentan despla0amientos angular, !elocidad angular y aceleración angular id(nticos. 1as relaciones diferenciales entre esas cantidades cinemáticas son
dθ dt
74
84
dω dt
8 d9 4 7 d7
&i la aceleración angular es constante, 8 4 8c , entonces estas ecuaciones pueden ser integradas y resultan ser
ω =ω 0+ α c t 1
2
ω =θ0 + ω 0 t + α c t 2
2
2
ω =ω0 + 2 α c ( θ − θ0 ) Una !e0 conocido el mo!imiento angular del cuerpo, la !elocidad de cualquier partícula a una distancia r del eje de rotación es
: 4 7ro
! 4 7 # r
1a aceleración de la partícula tiene dos componentes. 1a componente tangencial toma en cuenta el cambio en la !elocidad
at 4 8r o
at 4 8 # r
1a componente normal toma en cuenta el cambio en la dirección de la !elocidad MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
3
2
an =ω r
O
2
an =−ω r
MOVIMIENTO PLANO GENERAL "uando un cuerpo e#perimenta mo!imiento plano general, se traslada y gira simultaneamente. Un ejemplo tipico es una rueda que gira sin desli0ar. $ay !arios metodos para anali0ar este mo!imiento
MÉTODOS DE LA ENERGÍA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO &e utili0ara el m(todo del trabajo y la energía por el m(todo impuesto y el de la cantidad de mo!imiento lineal en el análisis de mo!imiento de un plano de los cuerpos rígidos y de los sistemas rígidos
PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA /ste principio se utili0ara ahora para anali0ar el mo!imiento plano de cuerpos rígidos. Aquí utili0aremos los parámetros de !elocidad y despla0amiento, no es necesario el cálculo de la aceleración. 'ambi(n debemos obser!ar que estas cantidades, trabajo y energía cin(tica, son cantidades escalares. ;ecordar, que tambi(n debemos suponer que el cuerpo rígido está formado por n partículas de masa
T =
n
1
∑ ∆mi.vi 2 = i
2
1
U*=-, representa el trabajo que reali0an todas las fuer0as que actúan en un cuerpo rígido, tanto interno como e#terno. >or definición de cuerpo rígido, U i=-, ?nterno es cero pues la distancia es la misma y las fuer0as internas son iguales, la misma dirección, sentido opuesto. U *=-, se reduce al trabajo de las fuer0as e#ternas y estas actúan sobre el cuerpo durante el despla0amiento considerado.
TRABAJO DE LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE UN CUERPO RÍGIDO Y UN MOMENTO DE PAR /l trabajo de una fuer0a , durante un despla0amiento de su punto de aplicación desde A* hasta A-, es MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
4
A 2
∫
x 2
U 1−2= F . dv
∫
U 1−2= ( Fcosα ) . ds
A 1
x 1
4 magnitud de la uer0a 8 4 ángulo que forma con la dirección del mo!imiento de su punto de aplicación A y & 4 es la !ariable de interacción que mide la distancia recorrida por A, a lo largo de su trayectoria. Al calcular el trabajo de las fuer0as e#ternas que actúan sobre un cuerpo rígido, es a menudo con!eniente determinar el trabajo de un par sin considerar por separado el trabajo de cada una de las fuer0as que lo forman. "onsidere las dos fuer0as y = que forman un par de momento M y que actúan sobre un cuerpo rígido
"ualquier despla0amiento pequeo del cuerpo rígido que lle!e a A y 2, respecti!amente, hacia A@ y 2@ puede di!idirse en dos partes% en una parte los puntos A y 2 e#perimentan iguales despla0amientos d r* en la otra, A@ permanece fija mientras que 2@ se mue!e hacia 2@@ a lo largo de un despla0amiento d r- de magnitud ds- 4 r d9. /n la primera parte del mo!imiento, el trabajo de es igual en magnitud y opuesto en signo al trabajo de = y su suma es cero. /n la segunda parte del mo!imiento sólo trabaja la fuer0a , y su trabajo es dU 4 d s- 4 r d9. >ero el producto r es igual a la magnitud M del momento del par. 6e tal modo, el trabajo de un par de momento M que actúa sobre un cuerpo rígido es
dU 4 M d9 6onde d9 es el pequeo ángulo, e#presado en radianes, que el cuerpo gira. Ad!i(rtase de nue!o que el trabajo debe e#presarse en unidades obtenidas al multiplicar unidades de fuer0a por unidades de longitud. /l t rabajo del par durante una rotación finita del cuerpo rígido se obtiene integrando ambos miembros de )dU 4 M d9+ desde el !alor inicial 9* del ángulo 9 hasta su !alor final 9-. &e escribe θ2
∫
U 1− 2= M .d θ θ1
"uando el momento M del par es constante, la fórmula se reduce a
U 1−2= M ( θ 2−θ 1 )
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
5
Fuerzas que no realizan trabajo &on fuer0as aplicadas en puntos fijos o que actúan en una dirección perpendicular al despla0amiento de su punto de aplicación. /ntre las fuer0as que no trabajan se han listado las siguientes% la reacción en un pasador sin fricción cuando el cuerpo soportado gira alrededor del pasador la reacción en una superficie sin fricción cuando el cuerpo en contacto se mue!e a lo largo de la superficie, y el peso del cuerpo cuando su centro de gra!edad se mue!e hori0ontalmente. Además es posible agregar ahora que cuando un cuerpo rígido rueda sin desli0arse sobre una superficie fija, la fuer0a de fricción en el punto de contacto " no reali0a trabajo. 1a !elocidad ! c del punto de contacto " es cero, y el trabajo de la fuer0a de fricción durante un despla0amiento pequeo del cuerpo rígido es
dU 4 dsc 4 ):c dt+ 4 ENERGÍA CINÉTICA DE UN CUERPO RÍGIDO EN MOVIMIENTO PLANO
"onsidere un cuerpo rígido de masa m en mo!imiento plano. &i la !elocidad absoluta !i de cada partícula >i del cuerpo se e#presa como la suma de la !elocidad
v´
del
centro de masa B del cuerpo y de la !elocidad !i@ de la partícula relati!a al sistema de referencia B#@y@ fijo en B y de orientación fija, la energía cin(tica del sistema de partículas que forman al cuerpo rígido puede escribirse en la forma 1
T = m ´v
2
2
+
n
1
∑ ∆mivi´ 2 =
2
i
1
>ero la magnitud !i@ de la !elocidad relati!a de > i es igual al producto r i@ 7 de la distancia r i@ de >i desde el eje que pasa por B perpendicular al plano de mo!imiento y de la magnitud 7 de la !elocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en la ecuacion anterior, se tiene 1
2
T = m ´v + 2
1
(
n
∆miri´ ∑ =
2 i
2
1
)
2
ω
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
6
o, puesto que la suma representa el momento de inercia
I del cuerpo alrededor del
eje que pasa por B, 1
2
1
T = m ´v + I ω 2
2
2
$ay que obser!ar que en el caso particular de un cuerpo en traslación ) 1
e#presión que se obtiene se reduce a rotación centroidal ) v´
2
m ´v
2
, en tanto que en el caso de una
1
4 +, se reduce a
ω 4 +, la
2
I ω
2
. &e concluye que la energía
cin(tica de un cuerpo rígido en mo!imiento plano puede descomponerse en dos 1
partes% *+ la energía cin(tica
2
m ´v
2
asociada con el mo!imiento del centro de masa 1
B del cuerpo, y -+ la energía cin(tica
2
I ω
2
asociada con la rotación del cuerpo
alrededor de B. ROTACIÓN NO CENTROIDAL 1
1a relación
2
1
T = m ´v + I ω 2
2
2
es !álida para cualquier tipo de mo!imiento plano y, en consecuencia, se usa para e#presar la energía cin(tica de un cuerpo rígido que gira con una !elocidad angular
ω alrededor de un eje fijo que pasa por C.
&in embargo, en ese caso la energía cin(tica del cuerpo puede e#presarse de manera más directa al notar que la !elocidad !i de la partícula >i es igual al producto ri ω de la distancia ri de >i desde el eje fijo y la magnitud
ω de la !elocidad angular del
cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en
T =
n
1
∑ ∆ mi vi 2 = i
2
1
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
7
&e escribe
T =
n
1
∑ ∆ mi (riω) 2 =
2
i
1
1
4
(
n
ri ∆ mi ∑ = 2
2 i
1
)
ω
2
C, ya que la última suma representa el momento de inercia ?C del cuerpo alrededor del eje fijo que pasa por C 1
T = I o ω
2
2
Cbser!e que los resultados obtenidos no están limitados al mo!imiento de placas planas o al de cuerpos que son sim(tricos con respecto al plano de referencia, y es posible aplicarlos al estudio del mo!imiento plano de cualquier cuerpo rígido, sin que importe su forma. &ólo se aplica en casos que implican rotación no centroidal.
SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS "uando un problema implica !arios cuerpos rígidos, cada cuerpo rígido puede considerarse por separado y el principio del trabajo y la energía aplicarse a cada cuerpo. Al sumar las energías cin(ticas de todas las partículas y al considerar el trabajo de todas las fuer0as que participan, es posible escribir tambi(n la ecuación del trabajo y la energía para el sistema completo. Así, se tiene '* 5
U 1−2 4 ' -
6onde ' representa la suma aritm(tica de las energías cin(ticas de los cuerpos rígidos que forman al sistema )todos los t(rminos son positi!os+ y U*=- representa el trabajo de todas las fuer0as que actúan sobre los distintos cuerpos, ya sea que estas fuer0as sean internas o e#ternas consideradas desde el punto de !ista de un todo. /l m(todo del trabajo y la energía es particularmente útil al resol!er problemas que implican miembros conectados por medio de pasadores, bloques y poleas que se conectan mediante cuerdas ine#tensibles, y engranes dentados. /n todos estos casos, las fuer0as internas se presentan por pares de fuer0as iguales y opuestas, y los puntos de aplicación de las fuer0as en cada par se mue!en distancias iguales durante un pequeo despla0amiento del sistema. "omo resultado, el trabajo de las fuer0as internas es cero, y U*=- se reduce al trabajo de las fuer0as e#ternas al sistema.
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA "uando un cuerpo rígido, o un sistema de cuerpos rígidos, se mue!en bajo la acción de las fuer0as conser!ati!as, el principio del trabajo y la energía enunciado en la se e#presa en una forma modificada.
'* 5 :* 4 '- 5 :La
fórmula indica que cuando un cuerpo rígido, o un sistema de cuerpos rígidos, se mue!e bajo la acción de fuer0as conser!ati!as, la suma de la energía cin(tica y de la energía potencial del sistema permanece constante. $ay que obser!ar que en el caso del mo!imiento plano de un cuerpo rígido, la energía cin(tica del cuerpo debe incluir 1
tanto el t(rmino traslacional
2
m ´v
1
2
y el t(rmino rotacional
2
I ω
2
.
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
8
PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA EL MOVIMIENTO PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO /l principio del impulso en la cantidad de mo!imiento se aplicará ahora al análisis del mo!imiento plano de cuerpos rígidos y de sistemas de cuerpos rígidos. /l m(todo del impulso y la cantidad de mo!imiento se adapta particularmente bien a la solución de problemas que incluyen el tiempo y las !elocidades. Además, el principio del impulso y la cantidad de mo!imiento proporciona el único m(todo práctico para la solución de problemas en los que inter!ienen el mo!imiento o impacto impulsi!o. "onsiderando de nue!o un cuerpo rígido conformado por un gran número de partículas Pi , hay que recordar que el sistema formado por las cantidades de mo!imiento de las partículas en el tiempo t * y el sistema de los impulsos de las fuer0as e#ternas aplicadas desde t * hasta t - son en conjunto equipolentes al sistema formado por las cantidades de mo!imiento de las partículas en el tiempo t -. >uesto que los !ectores asociados con un cuerpo rígido pueden considerarse como !ectores desli0antes, se concluye que el sistema de !ectores que se muestra en la figura
no sólo son equipolentes, sino !erdaderamente equivalentes en el sentido de que los !ectores en el lado i0quierdo del signo de igualdad pueden transformarse en los !ectores del lado derecho mediante el uso de las operaciones fundamentales. >or lo tanto, se escribe &ist. "ant. Mo!.* 5 &ist. ?mp. /#t.*=- 4 &ist. "ant. Mo!.-
>ero las cantidades de mo!imiento vi
L=
∆mivi ∑ = i
1
y un par de momento igual a la suma de sus momentos alrededor de G n
H G=
r ´ x vi ∆ mi ∑ = i
i
1
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
9
1 y $G definen, respecti!amente, la cantidad de mo!imiento lineal y la cantidad de mo!imiento angular alrededor de G del sistema de partículas que forman al cuerpo rígido &e obser!a que 1 4 m v . >or otro lado, restringiendo el presente análisis al mo!imiento plano de una placa rígida o de un cuerpo rígido sim(trico con respecto al plano de referencia, se recuerda de la ecuación $B 4 I 7. >or lo tanto, concluimos que el sistema de las cantidades de mo!imiento ! i ∆ mi es equi!alente al vector de cantidad de movimiento lineal m v fijo en G y al par de momento angular I 7
Al obser!ar que el sistema de cantidades de mo!imiento se reduce al !ector m v en el caso particular de una traslación ) ω = + y al par I 7 en el caso particular de una rotación centroidal ) v 4 +, !erificamos una !e0 más que el mo!imiento plano de un cuerpo rígido sim(trico con respecto al plano de referencia puede descomponerse en una traslación o en el centro de masa G y una rotación alrededor de G. 1a ecuación )&ist. "ant. Mo!.* 5 &ist. ?mp. /#t.*=- 4 &ist. "ant. Mo!.-+ puede e#presarse en forma gráfica como se muestra en la figura
6ibujando tres diagramas que representen, respecti!amente, al sistema de las cantidades de mo!imiento iniciales del cuerpo, los impulsos de las fuer0as e#ternas que actúan sobre el cuerpo y el sistema de las cantidades de mo!imiento finales del cuerpo. Al sumar e igualar de manera respecti!a las componentes #, las componentes y y los momentos alrededor de cualquier punto dado de los !ectores que se indican en la figura, se obtienen tres ecuaciones de mo!imiento que pueden resol!erse respecto a las incógnitas deseadas.
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
1 0
/n problemas que tienen que !er con !arios cuerpos rígidos conectados, cada cuerpo puede considerarse de manera separada, o, si no inter!ienen más de tres incógnitas, es posible aplicar el principio del impulso y la cantidad de mo!imiento al sistema completo, considerando sólo los impulsos de las fuer0as e#ternas.
SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS /s posible anali0ar el mo!imiento de !arios cuerpos rígidos aplicando el principio del impulso y la cantidad de mo!imiento a cada cuerpo por separado. &in embargo, al resol!er problemas que no incluyen más de tres incógnitas )entre las que se cuentan los impulsos de reacciones desconocidas+, muchas !eces es con!eniente aplicar el principio del impulso y la cantidad de mo!imiento al sistema considerado como un todo. 1os diagramas de cantidad de mo!imiento e impulso se dibujan para el sistema completo de cuerpos. >ara cada parte mó!il del sistema, los diagramas de cantidades de mo!imiento deben incluir un !ector de cantidad de mo!imiento, un par de cantidad de mo!imiento o ambos. /s posible omitir los impulsos de las fuer0as internas al sistema del diagrama de impulso, ya que ocurre en pares de !ectores iguales y opuestos. Al sumar e igualar de manera sucesi!a las componentes x y las y , así como los momentos de todos los !ectores que inter!ienen, se obtienen tres relaciones que e#presan que las cantidades de mo!imiento en el tiempo t * y los impulsos de las fuer0as e#ternas forman un sistema equipolente al sistema de las cantidades de mo!imiento en el tiempo t -.6e nue!o, es necesario ser cuidadosos y no sumar de manera indiscriminada cantidades de mo!imiento lineales y angulares cada ecuación debe !erificarse para asegurar que se han utili0ado unidades consistentes.
CINÉTICA DE CUERPOS RIGIDOS EN TRES DIMENSIONES /ste capítulo se dedica al análisis cin(tico de mo!imiento de cuerpos rígidos en tres dimensiones. &e pudo obser!ar que las dos ecuaciones fundamentales para el mo!imiento de un sistema de partículas
∑ F =m a´ ∑ M G = H ´ G
>roporcionan el fundamento del análisis. /l cálculo de la cantidad de mo!imiento angular $B del cuerpo y de su deri!ada
´G . H
1as componentes rectangulares de la cantidad de mo!imiento angular $B de un cuerpo rígido pueden e#presarse en t(rminos de las componentes de su !elocidad angular y de sus momentos y productos centroidales de inercia de la manera siguiente%
H x =+ I x ω x − I xy ω y − I xz ω z
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
1 1
H y =− I yx ω x + I y ω y − I yz ω z H z =− I zx ω x − I zy ω y + I z ω z
&i se usan los ejes principales de inercia B#@y@0@, estas relaciones se reducen a
H x ´ = I x ´ ω x´
H x ´ = I x ´ ω x´
H z ´ = I z ´ ω z ´
&e obser!ó que, en general, la cantidad de mo!imiento angular $B y la !elocidad angular 7 no tienen la misma dirección. &in embargo, la tendrán si 7 está dirigida a lo largo de uno de los ejes principales de inercia del cuerpo.
"omo el sistema de cantidades de mo!imiento de las partículas que forman a un cuerpo rígido puede reducirse al !ector m v asociado a B y al par $B
Una !e0 que se ha determinado la cantidad de mo!imiento lineal m
v y la cantidad
de mo!imiento angular $B del cuerpo rígido, la cantidad de mo!imiento angular $C del cuerpo alrededor de cualquier punto C puede obtenerse al escribir
H o=r x m v + HG
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
1 2
/n el caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un punto fijo C, las componentes de la cantidad de mo!imiento angular $C del cuerpo alrededor de C se obtienen directamente de las componentes de su !elocidad angular y de sus momentos y productos de inercia con respecto a los ejes que pasan por C. &e escribió
H x =+ I x ω x − I xy ω y − I xz ω z H y =− I yx ω x + I y ω y − I yz ω z H z =− I zx ω x − I zy ω y + I z ω z
/l principio del impulso y la cantidad de mo!imiento para un cuerpo rígido en mo!imiento tridimensional se e#presa mediante la misma fórmula fundamental. "ant. Mo!. &ist.* 5 ?mp. /#t. &is.*=- 4 "ant. Mo!. &ist. Aunque los sistemas de la cantidad de mo!imiento inicial y final ahora deben representarse como se indica en la figura
y es necesario calcular $B a partir de las relaciones
H x ´ = I x ´ ω x´
H x ´ = I x ´ ω x´
H z ´ = I z ´ ω z ´
H x =+ I x ω x − I xy ω y − I xz ω z H y =− I yx ω x + I y ω y − I yz ω z H z =− I zx ω x − I zy ω y + I z ω z
1a energía cin(tica de un cuerpo rígido en mo!imiento tridimensional puede di!idirse en dos partes, una asociada con el mo!imiento de su centro de masa B y la otra con su mo!imiento con respecto a B. Utili0ando los ejes centroidales principales #@,y@,0@, se escribió 1
2
T = m ´v + 2
1
( I 2
x´
2
ω x´ + I y ´ ω
2
+ I z ´ ω z ´ ) 2
y ´
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
1 3
6onde%
v 4 !elocidad del centro de masa 7 4 !elocidad angular m 4 masa del cuerpo rígido
I ´ x ´ , I ´ y´ , I ´ z ´ Momentos de inercia centroidales principales
/n el caso de un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un punto fijo C, la energía cin(tica del cuerpo puede e#presarse como
T =
1
( I 2
x ´
ω x ´ + I y´ ω y ´ + I z ´ ω z ´ ) 2
2
2
6onde los ejes #@, y@ y 0@ son los ejes principales de inercia del cuerpo en C.
Utilización de un sistema de referencia en rotación para escribir l as ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido en el espacio /n esta parte se dedica a la aplicación de las ecuaciones fundamentales al mo!imiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones
∑ F =m a´ ∑ MG = H ´ G
$B representa la cantidad de mo!imiento angular del cuerpo relati!a al sistema de referencia centroidal BD @E@F@ de orientación fija y que
´G H
en la ecuación
representa la ra0ón de cambio de $B con respecto a ese sistema de referencia.
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
1 4
"uando el cuerpo gira, sus momentos y productos de inercia con respecto al sistema de referencia BD @E@F@ cambian en forma continua. >or lo tanto, resulta más con!eniente utili0ar un sistema de referencia en rotación B#y0 cuando se descompone 7 en componentes y se calculan los momentos y productos de inercia que se usarán para determinar. &in embargo, puesto que
´G H en la ecuación
∑ MG = H ´ G
representa la ra0ón de cambio de HB con respecto al sistema de referencia BD @E@F@ de orientación fija, se debe utili0ar
H
(¿ ¿G´)Gxyz + Ω x H G ¿ ´ H G =¿
6onde% $B 4 cantidad de mo!imiento angular del cuerpo con respecto al sistema de referencia BD@E@F@de orientación fija
´ ) H G +B#y0 4 ra0ón de cambio de $B con respecto al sistema de referencia en rotación B#y0 G 4 !elocidad angular del sistema de referencia en rotación B#y0
´ Al sustituir H G de la ecuación anterior en
∑ MG = H ´ G
se obtiene
H
(¿ ¿G´)Gxyz + Ω x H G ¿ ∑ M G=¿ &i el sistema de referencia en rotación está realmente sujeto al cuerpo, su !elocidad angular G es id(nticamente igual a la !elocidad angular
ω
del cuerpo. &in
embargo, hay muchas aplicaciones en las que tiene !entajas utili0ar un sistema de
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
1 5
referencia que no está asociado con el cuerpo, sino que gira de una manera independiente.
MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS
1 6
