SEMINARIO DE CUERPOS RODANTES 2016-1
(Cinemática de cuerpo rígido) En la figura, el cilindro C rueda sin deslizar sobre el medio cilindro D,. La barra BA de 10 m está unida en A a través de una corredera que en ese instante se está moviendo con v A = 20 m/s hacia arriba y con a A = 10 m/s 2 en el mismo sentido. Determine: a.- La magnitud de la velocidad angular de la barra BA.(rad/s) b.- La rapidez del punto B.(m/s) c.- La aceleración angular de la barra BA.(rad/s 2) d.- La aceleración angular del disco.(m/s 2) e. La aceleración del punto B.(m/s 2) PROBLEMA 3
v A
20m / s
I.- Vectores Velocidad: Método del Centro instantáneo:
37
53
53
16
r A
r B Sen74
Luego en:
v B
AB
r A
45
2
P
AB
10
v B
vA
2
.(1, 6)
2
19,3952
12,122 rad / s
2
v A r A
vB r B
r A
69, 0694m 71,1536m
v B
69, 0694 v B
19,4085m / s
AB R
B/A
0, 7071vB j 0,8 vA i 0, 6 vA j ( AB k) ( 6 i 8 j) ˆ
ˆ
Utilizando el Método Vectorial:
0, 7071v Bi
Utilizando el concepto de Centro Instantáneo de Rotación en el Disco:
71,8529
71,1536
r B
0, 281rad / s
ˆ
r B
Sen8
20
0, 7071v B i
v B
AB
Previamente utilizando la Ley de Senos:
74
Sen98
53
ˆ
0, 7071v B j
ˆ
Eje Y:
0, 7071v B
Eje X:
0, 7071v B 16 8 AB
16i
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
12 6 AB
16 8 AB
AB
0,7071v B v B
8
ˆ
12 j 6 AB j 8 ABi
12 6 AB
.(1,6)
ˆ
ˆ
AB
C.I.R.
0, 2857 rad / s
16 8(0,2857)
19,3952m / s
ˆ
2
a A
12,122 rad / s
10m / s
2
II.- Vectores Aceleración: Utilizando el Método Vectorial: Cuerpo rígido AB
37
53
53
a B
74
16
a B a B
aA
AB
RB/A
(
AB
2 (8i 6 j ) ( AB k ) ( 6i 8 j ) (0, 2857) .(6i 8 j ) ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(8 A B 8,4897)i (6 AB 6,6529) j ˆ
ˆ
53
a B
a B
.....(1)
2
P
aP 2 RB/P
( ) 2 .RB/P
2
Utilizando el concepto de cuerpos rodantes:
45
e
a P
ˆ
n
(2 ) 2 1 2
ˆ
en
a P
ˆ
1 2
(12,122)2 (4)(1, 6)( 0,7071i 0,7071 j ) 4 1,6
a P 118,7466i 118,7466 j ˆ
118,7466i 118,7466 j 2 k
a B
ˆ
Utilizando el Método Vectorial: Cuerpo rígido BP (Disco)
2
a B
) 2 .RB/ A
ˆ
ˆ
ˆ
1,1313i 1,1313 j ˆ
ˆ
ˆ
(12,122)2 . 1,1313i 1,1313 j ˆ
ˆ
47,4987) j ( 1,1313 2 47,4987)i ( 1,1313 .....(2) 2
ˆ
ˆ
Como las ecuaciones (1) y (2) son iguales:
6
Eje Y:
AB
6, 6529 1,1313 2 47, 4987
8 AB 8, 4897 1,1313 2 47, 4987
Eje X:
AB
6, 6543rad / s
2
6
1,1313 2
54,1516
8 AB 1,1313 2
39, 009
AB
12, 5745rad / s 2
2
ˆ
PROBLEMA 4
El disco de la figura, rueda sobre la superficie curva fija a Tierra. La barra gira a 10 rad/s y 5 rad/s 2 en sentido horario. En el piñón, el punto C es periférico (el segmento CB es horizontal y forma un ángulo de 37º con la dirección de la barra AB). Determine: 1.- La magnitud de la velocidad angular de la rueda.(rad/s) 2.- La magnitud de la velocidad del punto C.(m/s) 3.- La magnitud de la aceleración angular de la rueda.(rad/s2) 4.- La magnitud de la aceleración del punto C.(m/s2)
a.- 30 rad/s b.- 7,1151 m/s c.- 15 rad/s d.- 83.5922 m/s2
En los paréntesis mostrados, si la velocidad angular del disco es α = - 4 rad/s2, determine: a.- La magnitud de la velocidad del punto A,(m/s) b.- La rapidez angular de la barra.(rad/s) c.- La rapidez del bloque B.(m/s) d.- La magnitud de la aceleración angular de la barra.(rad/’s2) e.- La magnitud de la aceleración lineal de B.(m/s2)
=
-10K (rad/s)
v A
Utilizando el concepto de centro instantáneo de rotación Respecto del punto P: v A
10(3)i
ˆ
Tambien:
30i
ˆ
AB
30
AB
AB
4
v A
r A
r B
C.I.R.
3 v B
7, 5rad / s
a A
P
v B
En aceleraciones en el disco:
a A
vB
a A
AB
22, 5m / s
aG
Disco
v B
RA/G
(
Disco
(4k ) (1, 5 j ) ( 4k ) (1,5 j ) (10) 2 .(1,5 j ) ˆ
12i
ˆ
ˆ
150 j
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
) 2 .RA/G
a A
12i
ˆ
150
j
ˆ
a A
En aceleraciones en el cuerpo rígido AB:
a B
aA
a B j
12i
ˆ
a j
B
ˆ
AB
ˆ
RB/ A
(
AB
) 2 .RB/ A
150 j ( AB k ) (3i
( 4 AB
En el eje X: En el eje Y:
ˆ
ˆ
156, 5)i
ˆ
4
AB
ˆ
a B
4 j ) (7, 5) 2 .(3i
( 3 AB
ˆ
156, 5 0
a B AB
3
75
ˆ
AB
4 j) ˆ
39,125rad / s
a B 2
a B
75) j
192,375m / s
ˆ
2
3( 39,125) 75
I.- Vectores posición y desplazamiento R A / P
RO/ P
R A/ O v A
R A/ P 0,15 j 0, 08i 0, 06 j ˆ
ˆ
R A / P 0, 08i
ˆ
ˆ
R A / P
2
0, 21 j
ˆ
P
II.- Vectores Velocidad: v A
2
RA / P
v A
v B
v A
( 10k ) (0, 08i 0, 21 j )
ˆ
ˆ
ˆ
2,1i 0, 8 j ˆ
ˆ
Utilizando el concepto de Cinemática de cuerpo rígido (cuerpo AB): v B
v B i
vA
Eje Y:
AB R
v B i
B/ A
0 j
ˆ
0
2,1 0,21
Eje X: v B
0, 28 AB
A B
2,1i
ˆ
0,8 j AB k (0, 28i
i 0, 28 ˆ
AB
0,8
2,1 0, 21 AB
v B
ˆ
ˆ
ˆ
0, 21 j) ˆ
0,8 j
ˆ
2,8571rad / s
AB
2,1 0, 21( 2, 8571) v B
2, 7 m / s
II.- Análisis de aceleraciones:
v A 2,1i 1,2 j ˆ
R A / O aO
0, 08i
ˆ
0, 06 j
ˆ
v A
5k (0,15 j ) 0, 75i
ˆ
ˆ
ˆ
0, 08i 5k
ˆ
ˆ
v B
P
a A aO 2 R A/O ( AO ) .RA/O ˆ
R A / P
2
2
a A 0, 75i
ˆ
0, 06 j
ˆ
(10) 2 . 0,08i 0, 06 j a A ˆ
ˆ
6, 95i 6, 4 j
ˆ
ˆ
Utilizando el concepto de Cinemática de cuerpo rígido (cuerpo AB): 2 a B a A AB RB/A ( AB ) .RB/A
a B i
ˆ
6,95i 6, 4 j ( AB k ) (0, 28i 0, 21 j ) ( 2, 8571)2 .(0, 28i 0, 21 j )
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
AB 8,1142) j a Bi 0 j (0, 21 AB 9, 2356)i (0, 28 ˆ
Eje Y:
ˆ
ˆ
Eje X: a B
0, 21( 28,9792) 9, 2356
28,9792rad / s 2
AB
0, 28 AB 8,1142 0
ˆ
a B
3,1499m / s 2
