INSTITUTO TECNOLÓGICO DE OAXACA “TECNOLOGIA PROPIA E INDEPENDENCIA ECONOMICA”
MATERIA: DINÁMICA UNIDAD 5 ¨CINÉTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS¨ PROFRESOR: ING. JAIME VELASCO HERNÁNDEZ INTEGRANTES: CRUZ JIMÉNEZ AVIGAIL ELORZA RAMIREZ DANIEL GONZÁLEZ MARÍN JESÚS LÓPEZ MEJÍA JUAN CARLOS TORRES LÓPEZ OSWALDO ELFEGO CARRERA: INGENIERIA CIVIL
GRUPO: “IC-C” INDICE Unidad 5 Cinética de los cuerpos rígidos
5.1. Introducción
5.2. Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido
5.3. Momento angular de un cuerpo rígido en el plano
5.4. Movimiento de un cuerpo rígido.
5.5. Segunda Ley de Newton.
5.6. Trabajo y energía.
5.7. Impulso y cantidad de movimiento.
INTRODUCCION
Este proyecto tiene como propósito describir la trayectoria que sigue un conjunto de cuerpos rígidos unidos entre sí y con algunos de sus extremos fijos, al trasladarse de un punto a otro en una región del espacio. Se plantearán las ecuaciones del movimiento usando la cinemática del cuerpo rígido y se usara diferentes métodos para la solución numérica de las ecuaciones cinemáticas no lineales. En mecánica el movimiento es un fenómeno físico que se define como todo cambio de posición que experimentan los cuerpos de un sistema, o conjunto, en el ´ espacio con respecto a ellos mismos o con arreglo a otro cuerpo que sirve de referencia. Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria. La parte de la física que se encarga del estudio del movimiento sin estudiar sus causas es la cinemática. La parte de la física que se encarga del estudio de las causas del movimiento es la dinámica. ´
Anaximandro pensaba que la naturaleza procedía de la separación, por medio de un eterno movimiento, de los elementos opuestos (por ejemplo, frio-calor), que estaban encerrados en algo llamado materia primordial. Demócrito decía que la naturaleza está formada por piezas indivisibles de materia llamadas ´ átomos, y ´ que el movimiento era la principal característica de estos, siendo el movimiento un cambio de lugar en el espacio. A partir de Galileo Galilei los hombres de ciencia comenzaron a encontrar técnicas de análisis que permiten una descripción´ acertada del problema. Históricamente el primer ejemplo de ecuación del movimiento que se introdujo en física fue la segunda ley de Newton para sistemas físicos compuestos de agregados partículas materiales puntuales. En estos sistemas el estado físico de un sistema quedaba fijado por la posición y velocidades de todas las partículas en un instante dado. Hacia finales del siglo XVIII se introdujo la mecánica analítica 1 o racional, que era una generalización de las leyes de Newton aplicables en pie ´ de igualdad a sistemas de referencia inerciales y no inerciales. En concreto se crearon dos enfoques básicamente equivalentes conocidos como mecánica.
5.1 INTRODUCCIÓN MOVIMIENTO PLANO ACELERACIONES.
DE
CUERPOS
RÍGIDOS:
FUERZAS
Y
En este capítulo, se estudiara la Cinética de los cuerpos Rígidos, es decir, las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, la forma y la masa del cuerpo, y el movimiento que se produce. Se estudiara no solo el movimiento del cuerpo como un todo, sino también el movimiento del cuerpo en torno a su centro de masa. El planteamiento será considerar a los cuerpos rígidos conformados por un gran número de partículas y utilizar los resultados del Sistema de Partículas (tema anterior). De manera específica, se emplearán dos ecuaciones antes estudiadas:
∑F = ma; La cual relaciona la resultante de las fuerzas externas y la
aceleración del centro de masa G del sistema de partículas. ∑MG = HG; Que relaciona el momento resultante de las fuerzas externas y la cantidad de movimiento angular del sistema de partículas alrededor de G.
Los resultados que se obtendrán en este capítulo se limitaran en dos formas: 1) Se restringirán al movimiento plano de cuerpos rígidos, es decir, al movimiento en el que cada partícula del cuerpo permanece a una distancia constante de un plano de referencia fijo. 2) Los cuerpos rígidos considerados constarán únicamente de placas planas y de cuerpos que son simétricos con respecto al plano de referencia. El estudio del movimiento plano de cuerpos tridimensionales no simétricos y el movimiento de cuerpos rígidos en el espacio tridimensional se pospondrán para otro capítulo. MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RÍGIDOS: MÉTODOS DE LA ENERGÍA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO. En este capítulo se usa el método del trabajo y la energía, y del impulso y la cantidad de movimiento para analizar el movimiento plano de cuerpos rígidos y de sistemas de cuerpos rígidos. Primero se considerará el método del Trabajo y la Energía; se definen el trabajo de una fuerza y de un par, y se obtendrá una expresión para la energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento plano. Posteriormente, se aplicará el Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento en la solución de problemas que implican velocidades y tiempo y se presentará y estudiará el concepto de la cantidad de movimiento angular.
5.2 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO. Considere un cuerpo rígido sobre el que actúan varias fuerzas externas F1, F2, F3,. . . (Figura 1). Se puede suponer que el cuerpo está integrado de un gran número n de partículas de masa Δmᵢ (ᵢ= 1, 2,. . ., n) y aplicar los resultados obtenidos en el capítulo 14 para un sistema de partículas (figura 16.2). Considerando primero el movimiento del centro de masa G del cuerpo con respecto al sistema de referencia newtoniano O x, y, z, y se escribe.
∑ F=mȃ
(1)
Donde m es la masa del cuerpo y ȃ es la aceleración del centro de masa G. Volviendo ahora al movimiento del cuerpo relativo al sistema de referencia centraídal G, x °, y °, z °, se escribe,
∑ MG = Ḣ G
(2)
Donde ḢG representa la razón de cambio de ḢG, la cantidad de movimiento angular alrededor de G del sistema de partículas que forma el cuerpo rígido. En lo subsecuente de movimiento angular del cuerpo rígido en torno a su centro de masa G. Junto con las ecuaciones (1) y (2) expresa que el sistema de fuerzas externas es equipolente al sistema consistente en el vector mȃ fijo en G y al par de momento ḢG
Las ecuaciones (1) y (2) se aplican al caso más general del movimiento de un cuerpo rígido. Sin embargo, en el resto de este capítulo el análisis se limitará al movimiento plano de cuerpos rígidos, esto es, a un movimiento en el que cada partícula permanece a una distancia constante de un plano de referencia fijo, y se supondrá que los cuerpos rígidos estarán compuestos sólo por las placas planas y los cuerpos que son simétricos con respecto al plano de referencia.
5.3. MOMENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO EN EL PLANO El momento angular de una partícula se define como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv
Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen:
El vector momento angular Li de cuya posición está dada por el alrededor del eje fijo una con velocidad vi, vale:
El módulo del vector su proyección sobre el
una partícula de masa mí vector ri y que describe circunferencia de radio Ri
momento angular es: y eje de rotación Z es:
Liz = mi vi ri cos (90º- θ i) = mi · (ri senθ i). (ω Ri)
En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia. Los momentos de inercia relativos a los ejes
principales de inercia se denominan momentos principales de inercia. Para los ejes principales de inercia la relación entre el momento angular L y la velocidad angular ω (son dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación) es:
El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento de inercia es mínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.
Teorema de Steiner. El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas. El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es
El momento C es
de
inercia
respecto de un eje que pasa por
Para relacionar IO e IC hay que
relacionar ri y Ri
El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición C del centro de masa desde el centro de masa. M es la masa total del sólido.
Momento angular de un sólido rígido. Tenemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es:
Donde:
es la velocidad angular del sólido.
es el tensor de inercia del cuerpo.
Ahora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia , depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no existe un análogo de la segunda ley de Newton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes principales de inercia sucede que:
Donde es la aceleración angular del cuerpo. Por eso resulta más útil plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los ejes principales de inercia del sólido, así se logra que , aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de inercia:
Que resulta ser una ecuación no lineal en la velocidad angular. El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista. Su importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación conocida como ley de conservación del momento angular. El momento angular para un cuerpo rígido que rota respecto a un eje, es la resistencia que ofrece dicho cuerpo a la variación de la velocidad angular. En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kg·m²/s.
Esta magnitud desempeña respecto a las rotaciones un papel análogo al momento lineal en las traslaciones. Sin embargo, eso no implica que sea una magnitud exclusiva de las rotaciones; por ejemplo, el momento angular de una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se conserva. El nombre tradicional en español es momento cinético, pero por influencia del inglés angular momentum hoy son frecuentes momento angular y otras variantes como cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.
Momento angular de una masa puntual. El momento angular de una partícula con respecto al punto vectorial de su momento lineal por el vector .
es el producto
En mecánica newtoniana, el momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento con respecto a ese punto.
Normalmente se designa mediante el símbolo . Siendo punto O con la posición de la masa puntual, será
el vector que une el
El vector es perpendicular al plano que contiene y , en la dirección indicada por la regla del producto vectorial o regla de la mano derecha y su módulo o intensidad es:
Esto es, el producto del módulo del momento lineal por su brazo ( en el dibujo), definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de la partícula. Momento angular y momento dinámico. Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:
El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad y, como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento , el producto vectorial es cero. En cuanto al segundo paréntesis, tenemos: Donde es la aceleración de la partícula,
de
modo
que
, es la fuerza que actúa sobre ella. Puesto que el producto vectorial de fuerza
es
el
por la
momento
o
momento dinámico aplicado a la masa, tenemos:
Así, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que actúa sobre la partícula. Hay que destacar que en esta expresión ambos momentos,
y
deberán estar referidos al mismo punto O.
Momento angular de un conjunto de partículas puntuales. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:
La variación temporal es:
El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los momentos producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la suma de todos los momentos de origen interno es cero y no puede hacer cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los momentos externos:
El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias. Conservación del momento angular clásico. Cuando la suma de los momentos externos es cero
Eso quiere decir que
. Y como
, hemos visto que:
es un vector, es constante tanto en
módulo como en dirección. Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su Momento de inercia es y su velocidad angular . Si el objeto cambia de forma (sin intervención de un momento externo) y que la nueva distribución de masas hace que su nuevo Momento de inercia sea , su velocidad angular cambiará de manera tal que:
En algunos casos el momento de inercia se puede considerar un escalar. Entonces la dirección del vector velocidad angular no cambiará. Solo cambiará la velocidad de rotación. Hay muchos fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene mucha importancia. Por ejemplo:
En todos las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas, etc. Por ejemplo, para hacer una pirueta, una bailarina o una patinadora toman impulso con los brazos y una pierna extendida para aumentar sus momentos de inercia alrededor de la vertical. Después, cerrando los brazos y la pierna, disminuyen sus momentos de inercia, lo cual aumenta la velocidad de rotación. Para terminar la pirueta, la extensión de los brazos y una pierna, permite disminuir la velocidad de rotación. Sucede lo mismo con el salto de plataforma o el trampolín. También es importante en el ciclismo y motociclismo, ya que la conservación del momento angular es la responsable de la sencillez con que es posible mantener el equilibrio.
Para controlar la orientación angular de un satélite o sonda espacial. Como se puede considerar que los momentos externos son cero, el momento angular y luego, la orientación del satélite no cambian. Para cambiar esta orientación, un motor eléctrico hace girar un volante de inercia. Para conservar el momento angular, el satélite se pone a girar en el sentido opuesto. Una vez en la buena orientación, basta parar el volante de inercia, lo cual para el satélite. También se utiliza el volante de inercia para parar las pequeñas rotaciones provocadas por los pequeños momentos inevitables, como el producido por el viento solar.
Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en púlsar (estrella de neutrones). Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente. Se han detectado pulsares con periodos rotación de tan sólo unos milisegundos.
Debido a las mareas, la luna ejerce un momento sobre la tierra. Este disminuye el momento angular de la tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la luna aumenta. En consecuencia, la luna aumenta su energía alejándose de la tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La luna se aleja y los días y los meses lunares se alargan.
Ejemplo:
La masa gira tenida por un hilo que puede deslizar a través de un tubito delgado. Tirando del hilo se cambia el radio de giro sin modificar el momento angular.
En el dibujo de la derecha tenemos una masa que gira, tenida por un hilo de masa despreciable que pasa por un tubito fino. Suponemos el conjunto sin rozamientos y no tenemos en cuenta la gravedad. La fuerza que el hilo ejerce sobre la masa es radial y no puede ejercer un momento sobre la masa. Si tiramos del hilo, el radio de giro disminuirá. Como, en ausencia de momentos externos, el momento angular se conserva, la velocidad de rotación de la masa debe aumentar. Un tirón sobre el hilo comunica una velocidad radial a la masa. La nueva velocidad es la suma vectorial de la velocidad precedente y
En el dibujo siguiente aparece la masa que gira con un radio en el momento en el cual se da un tirón del hilo. El término correcto del "tirón" física es un impulso, es decir una fuerza aplicada durante un instante de tiempo. Ese impulso comunica una velocidad radial a la masa. La nueva velocidad será la suma vectorial de la velocidad precedente con . La dirección de esa nueva velocidad no es tangencial, sino entrante. Cuando la masa pasa por el punto más próximo del centro, a una distancia , cobramos el hilo suelto y la masa continuará a girar con el nuevo radio . En el dibujo, el triángulo amarillo y el triángulo rosado son semejantes. Lo cual nos permite escribir:
O sea:
Y, si multiplicamos por la masa , obtenemos que el momento angular se ha conservado, como lo esperábamos:
Vemos como el momento angular se ha conservado: Para reducir el radio de giro hay que comunicar una velocidad radial, la cual aumenta la velocidad total de la masa. También se puede hacer el experimento en el otro sentido. Si se suelta el hilo, la masa sigue la tangente de la trayectoria y su momento angular no cambia. A un cierto momento frenamos el hilo para que el radio sea constante de nuevo. El hecho de frenar el hilo, comunica una velocidad radial (hacia el centro) a la masa. Esta vez esta velocidad radial disminuye la velocidad total y solo queda la componente de la velocidad tangencial al hilo en la posición en la cual se lo frenó. No es necesario hacer la experiencia dando un tirón. Se puede hacer de manera continua, ya que la fuerza que se hace recobrando y soltando hilo puede descomponerse en una sucesión de pequeños impulsos.
5.4 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO. El cuerpo rígido mostrado en la figura 5.4.1 está sometido a un movimiento plano general causado por la fuerza y el momento de par aplicados externamente. Los diagramas de cuerpo libre y cinético para el cuerpo se muestran en la figura 5.4.2. Al elegir, como se muestra, un sistema coordenado inercial x, y, las tres ecuaciones de movimiento pueden ser escritas como:
Figura 5.4.1
∑ Fx = m(aG)x ∑ Fy = m(aG)y ∑ MG = IGα En algunos problemas puede ser conveniente sumar momentos con respecto a algún punto P diferente de G. esto se hace usualmente para eliminar fuerzas desconocidas a partir de la suma de momentos. Cuando se usan en este sentido más general, las tres ecuaciones de movimiento son: ∑ Fx = m (aG)x ∑ Fy = m (aG)y
Figura 5.4.2
∑ MP = ∑(MK)P
Aquí ∑ (MK)P representa la suma de momentos de IGα y maG (o sus componentes) con respecto a P según son determinados por los datos que aparecen en el diagrama cinético. Existe un tipo particular de problema que implica un cilindro uniforme, o un cuerpo de forma circular, que rueda sobre una superficie áspera sin deslizarse. Si sumamos los momentos con respecto al Centro Instantáneo de velocidad cero, entonces ∑ (MK)CI se vuelve ICIα. La comprobación es similar a ∑ MO = IOα, de modo que: ∑ MCI = ICIα Este resultado es comparable a ∑ MO = IOα, la cual se utiliza para un cuerpo sujeto con un pasador en O.
EJEMPLO 1:
El carrete que aparece en la figura 1.1 tiene una masa de 8 kg y radio de giro k G = 0.35 m. si las cuerdas de masa insignificante están enrolladas alrededor de su cubo interior y su borde exterior como se muestra, determine la aceleración angular del carrete.
Figura 1.1
SOLUCIÓN 1 Diagrama de cuerpo libre. La fuerza de 100 N causa que a G actué hacia arriba. Además α actúa en el sentido de las manecillas del reloj, ya que el carrete se enrolla alrededor de la cuerda en A. hay tres incógnitas T, a G y α. El momento de inercia del carrete con respecto a su centro de masa es: IG = mk2G = 8 kg (0.35 m)2 = 0.980kg·m2 Ecuaciones de movimiento. +↑∑ Fy = m (aG)y; T + 100 N – 78.48 N = (8 kg) aG ↑+∑ MG = IGα; 100 N (0.2 m) – T(0.5 m) = (0.980kg·m2)α Cinemática.
Se obtiene una solución completa cuando se usa cinemática para relacionar a G con α. En este caso el carrete rueda sin deslizar sobre la cuerda en A. por consiguiente, podemos usar los resultados de ejemplos anteriores, de modo que: aG = αr,
aG = 0.5 α
y resolviendo las ecuaciones de movimiento junto con la de cinemática, obtenemos que: α = 10.3 rad/s2
aG = 5.16 m/s2
T = 19.8 N
SOLUCIÓN 2 Ecuaciones de movimiento. Podemos eliminar la T desconocida sumando momentos con respecto al punto A. A partir de los diagramas de cuerpo libre y cinético (figura 2.1 y 2.2 correspondientemente) tenemos: ↑+∑ MA = ∑(MK)A;
100 N (0.7 m) – 78.48 N (0.5 m) = (0.980kg·m2) α + [ (8 kg) aG](0.5 m)
Y despejando a α de aG = 0.5 α: α = 10.3 rad/s2
Figura 2.1
Figura 2.2
EJEMPLO 2: La rueda de 50 lb que se muestra en la figura 3.1 tiene un radio de giro k G = 0.70 pie. Si se aplica un momento de par de 35 lb · pie a la rueda, determine la aceleración de su centro de masa G. los coeficientes de fricción estática y cinética entre la rueda y el plano en A son µS = 0.3 y µK = 0.25 respectivamente. SOLUCIÓN
Figura 3.1 Diagrama de cuerpo libre. En la figura 3.2, se ve que el momento de par que hace que la rueda gire en el sentido de las manecillas del reloj con una aceleración angular. Por consiguiente, la aceleración del centro de masa, aG, está dirigida hacia la derecha. El momento de inercia es: 50 lb IG = mk G = ( 32.2 pies/s 2 ¿ ( 0.70 pie ) 2 = 0.7609 slug·pie2 2
Las incógnitas son NA, FA, aG y α. Ecuaciones de movimiento. 50 lb ¿ +→∑ Fx = m (aG)x; FA = ( 32.2 pies/s 2 aG +↑∑ Fy = m (aG)y; NA – 50 lb = 0 ↑+∑ MG = IGα; 35 lb·pie – 1.25 pies (FA) = (0.7609 slug·pie2) α Se requiere de una cuarta ecuación para una solución completa.
Figura 3.2
Cinemática (sin deslizamiento). Si se hace esta suposición, entonces: aG = (1.25 pies) α Al resolver las ecuaciones de movimiento y de la cinemática, obtenemos que: NA = 50 lb FA = 21.3 lb aG = 13.7 pies/s2
α = 11 rad/s2
Esta solución requiere que no hay deslizamiento, es decir, que F A ≤ µS NA. Sin embargo, como 21.3 lb > 0.3 (50 lb) = 15 lb, la rueda se desliza cuando gira. Cinemática (deslizamiento). La ecuación aG = (1.25 pies) α no es válida, y por tanto FA = µk NA, o bien: FA = 0.25 NA Al resolver las primeras tres ecuaciones y la anterior, se obtiene: NA = 50 lb FA = 12.5 lb aG = 8.05 pies/s2
α = 25.5 rad/s2
5.6 TRABAJO Y ENERGÍA. 5.6.1 Energía cinética. Para el desarrollo de un método o forma para la obtención de la energía cinética de un cuerpo cuando éste se somete a traslación, rotación alrededor de un eje fijo o a movimiento plano general. Primero consideraremos el cuerpo rígido que se muestra en la siguiente figura, el cual está representado por una losa que se mueve en un plano de referencia x-y inercial.
Observamos que existe una partícula iésima arbitraria del cuerpo, de masa dm, la cual se encuentra a una distancia r del punto arbitrario P. Si consideramos que en el instante que se muestra en dicha figura, la partícula tiene una velocidad vi, entonces la energía cinética de la partícula es Ti = (1/2) dm (vi)2. Se puede decir con claridad y veracidad que la energía cinética de todo cuerpo se determina por la escritura de expresiones semejantes para cada una de las partículas del cuerpo y la integración de los resultados, lo cual se puede expresar por la ecuación:
La ecuación anterior también se puede expresar en función de la velocidad que posea el punto P. De acuerdo con la siguiente figura, si la velocidad angular del cuerpo es ω , entonces tendremos que:
El cuadrado de la magnitud de vi queda expresado como:
Y al sustituir esta ecuación en la de energía cinética, tenemos:
De donde, la primera integral de la derecha representa toda la masa m del cuerpo. Tomando en cuenta que , podemos decir que la segunda y la tercera integración localizan el centro de masa G con respecto a P. También se debe aclarar que la última integral representa el momento de inercia del cuerpo Ip con respecto a P, el cual se calculó con respecto z que pasa por el punto P. Por lo tanto, se puede escribir la ecuación:
Si se tratase de un caso especial, tal que el punto P coincida con el centro de más G del cuerpo, entonces , y por consiguiente nos daría la siguiente ecuación:
Ambos términos del lado derecho son siempre positivos, puesto que vG y
ω
están elevados al cuadrado. El primer término representa la energía cinética de traslación, con respecto al centro de masa, y el segundo la energía cinética de rotación del cuerpo con respecto al centro de masa.
Traslación. Cuando un cuerpo rígido de masa m se somete a traslación rectilínea o a traslación curvilínea, tal como se muestra en la figura siguiente, la energía cinética producida por la rotación es cero, en vista de que ω = 0. Por consiguiente, la energía cinética del cuerpo se representa por la ecuación:
Rotación con respecto a un eje fijo. Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo que pasa por el punto O, tal como se muestra a continuación, el cuerpo tiene energía cinética tanto de traslación como de rotación, de modo que la ecuación queda definida como:
La energía cinética del cuerpo también se puede dar por otra ecuación si observamos que vG = rG ω , de modo que . Basándonos en el teorema de los ejes paralelos, el cual dice que los términos entre paréntesis representan el momento de inercia I O del cuerpo con respecto a un eje
perpendicular al plano de movimiento y que pasa por el punto O. El cual será expresado por la ecuación:
Movimiento plano general. Cuando se sabe de un cuerpo rígido que se somete a un movimiento plano general, tal como se muestra en la figura siguiente, se verá que su velocidad angular es ω y la velocidad de su centro de masa es vG. Por consiguiente, la energía cinética del cuerpo será representado por:
1 1 T = m v 2G + I ω2 2 2
Esta ecuación también puede expresarse en función del movimiento del cuerpo con respecto a su centro instantáneo de velocidad cero, es decir, la ecuación quedaría definida por: 1 2 T = I CI ω 2
Donde:
I CI
=
es el momento de inercia del cuerpo con respecto a su centro
instantáneo.
Sistema de cuerpos.
Como la energía es una cantidad escalar, la energía cinética total de los cuerpos rígidos conectados entre sí es la suma de las energías cinéticas de todas sus partes móviles. 5.6.2 Trabajo de una fuerza. En mucha de las ocasiones encontraremos diferentes tipos de fuerza en muchos problemas que implican una cinética plana en un cuerpo rígido. Para dicho casos utilizaremos algunas de las ecuaciones presentadas anteriormente, con lo cual procederemos a encontrar el trabajo de tales fuerzas.
Trabajo de una fuerza variable. Si una fuerza externa F actúa en un cuerpo, el trabajo realizado por ella cuando el cuerpo se mueve a lo largo de una trayectoria s, tal como se muestra en la siguiente figura, quedara representado en la siguiente ecuación:
❑
U F =∫ F ∙ dr =∫ F cos θ ds s
Donde:
θ
=
es el ángulo entre las “colas” de la fuerza y el desplazamiento diferencial.
Trabajo de una fuerza constante. Si se considera a una fuerza externa Fc que actúa sobre un cuerpo, tal como se muestra a continuación, cuya magnitud permanece constante y una dirección
constante
θ , en tanto que dicho cuerpo experimenta una traslación s, entonces
la ecuación anterior se puede integrar, de modo que el modo quedar representado como:
θ FC cos ¿ s U F =¿ C
Trabajo de un peso. El peso de un cuerpo realiza trabajo sólo cuando su centro de masa G experimenta un desplazamiento vertical ∆ y . Si dicho desplazamiento es dirigido hacia arriba, tal como se muestra a continuación, el trabajo que presentara el cuerpo será negativo, para representar esto utilizaremos la ecuación:
U W =−W ∆ y Por consecuente, si el desplazamiento es hacia abajo procederá a ser positivo. En cada uno de los dos casos como constante.
(−∆ y ) W
el trabajo
se considerara
Trabajo de una fuerza de resorte. Si consideramos a un resorte elástico lineal conectado a un cuerpo, la fuerza Fs=ks que actúa sobre el cuerpo, realizará un trabajo cuando el resorte se alargue o se comprima desde
S1
hasta una posición
S2
. En ambos casos el
trabajo será negativo puesto que el desplazamiento del cuerpo se opone a la dirección de la fuerza, tal como se muestra en la siguiente figura, dicho trabajo quedará representado por la ecuación: 1 2 1 2 ks − k s 2 2 2 1 U s=−¿ Donde l s 2 l ¿ l s 1 l.
Fuerzas que no realizan trabajo. Es de importancia recalcar que existen algunas fuerzas externas que no realizan trabajo cuando el cuerpo sobre el que actúan se desplaza. Estas fuerzas actúan en puntos fijos en el cuerpo o tienen una dirección perpendicular a su desplazamiento.
Algunos ejemplos de lo dicho en el párrafo anterior se encuentran las reacciones en un soporte de pasador alrededor del cual gira un cuerpo, la reacción normal que actúa en un cuerpo que se mueve a lo largo de una superficie fija, y el peso de un cuerpo cuando su centro de gravedad se mueve en un plano horizontal, tal como se muestra en la figura siguiente. También una fuerza de fricción F f que actúa en un cuerpo redondo cuando rueda sin deslizarse sobre una superficie áspera tampoco realiza trabajo.
5.6.3 Trabajo de un momento de par. Considérese un cuerpo parecido al que se muestra en la siguiente figura, el cual se someterá a un momento de par M =F r . Si el cuerpo experimenta un desplazamiento diferencial, entonces el trabajo realizado por las fuerzas del par se puede determinar si se considera el desplazamiento como la suma de una traslación distinta más rotación.
Cuando dicho cuerpo se traslada, el trabajo de cada fuerza lo realiza sólo el componente de desplazamiento a lo largo de la línea de acción de las fuerzas d s t , tal como se muestra a continuación.
Cuando el cuerpo experimenta una rotación diferencial dθ alrededor del punto arbitrario O, tal como se muestra en la siguiente figura, entonces cada fuerza experimenta un desplazamiento
r d s θ=( ) d θ 2
en la dirección de la
fuerza. Por lo tanto, el trabajo total quedará representado por la ecuación: d U M =F
( 2r d )+ F ( 2r d )= ( Fr ) d θ
θ
θ
¿ M dθ
Cuando M y dU tienen el mismo sentido de dirección el trabajo será positivo, en caso contrario será negativo.
Cuando el cuerpo gira en el plano a través de un ángulo finito radianes, desde
θ1
hasta
θ
medido en
θ2 . Entonces el trabajo de un momento de par se
representara por la siguiente ecuación:
θ2
U M =∫ M dθ θ1
Si el momento de un par M tiene una magnitud constante, entonces, el trabajo será representado por la ecuación:
U M =M (θ2−θ 1)
5.6.4 Principio de trabajo y energía. Cuando aplicamos el principio de trabajo y energía desarrollado en la sección de trabajo de una fuerza y la cual aplicamos sobres cada una de las partículas de un cuerpo rígido y con la suma algebraica de los resultados, puesto que la energía se considera como una cantidad escalar, dicho principio aplicado a un cuerpo rígido se representa por la ecuación:
T 1 + ∑ U 1−2 =T 2
Esta ecuación establece que la energía cinética inicial de traslación y rotación del cuerpo, más el trabajo realizado por todas las fuerzas externas y momentos de par que actúan en el cuerpo a medida que se mueve desde su posición inicial hasta su posición final, es igual a su energía cinética final de traslación y rotación. Es de importancia decir que no deberemos considerar a las fuerzas internas dentro de la ecuación. También es de suma importancia comentar que ya que el cuerpo es rígido, entre estas fuerzas no hay movimiento relativo, de modo que no se realiza trabajo interno. Un ejemplo de lo dicho anteriormente es cuando varios cuerpos rígidos están conectados por pasadores, o por cables inextensibles o engranados unos con otros,en dichos problemas se podrá aplicar la ecuación ya vista anteriormente a todo el sistema de cuerpos conectados. En dichos casos, las fuerzas internas que mantienen los diversos miembros juntos, no realizan trabajo y por consiguiente se eliminan del análisis.
5.6.5 Conservación de la energía. Debemos considerar que cuando un sistema de fuerzas que actúa en un cuerpo rígido se compone de sólo fuerzas conservadoras, puede utilizarse el teorema de la conservación de la energía para resolver un problema que de lo contrario se resolvería con el principio de trabajo y energía. Dicho teorema suele ser más fácil de aplicar en problemas como estos ya que el trabajo de una fuerza conservadora es independiente de la trayectoria y depende sólo de las posiciones inicial y final del cuerpo. Anteriormente se había demostrado que el trabajo de una fuerza conservadora puede expresarse como la diferencia de la energía potencial del cuerpo medida con respecto a una referencia o un plano de referencia seleccionados.
Energía potencial gravitacional. Sabiendo que al peso total de un cuerpo lo podemos considerar centrado en su centro de gravedad, podemos determinar su energía potencial gravitacional conociendo la altura de su centro de gravedad sobre o bajo un plano de referencia horizontal. Basándose en lo anterior, se da origen a la siguiente ecuación: V g =W y G La energía potencial será positiva si y sólo si
yG
es positiva hacia arriba, puesto
que el peso tiene la capacidad de realizar trabajo positivo cuando el cuerpo regresa al plano de referencia, tal como se muestra en la siguiente figura. −y ¿ Asimismo si G se encuentra bajo el plano de referencia ¿ ), la energía ¿
potencial gravitacional es negativa, puesto que el peso realiza trabajo negativo cuando el cuerpo vuelve al plano de referencia.
Energía potencial elástica. La fuerza que se desarrollara debido al efecto de un resorte elástico también se considera como una fuerza conservadora. Por lo tanto, podemos asegurar que la energía potencial elástica que imparte un resorte a un cuerpo conectado cuando el resorte se alarga o comprime desde una posición no deformada (s=0) hasta una posición final
s , tal como se muestra a continuación, para definir lo dicho
anteriormente se utiliza la siguiente ecuación: V e=
+1 2 ks 2
Tal y como se vio anteriormente cabe reafirmar que en la posición deformada, la fuerza del resorte que actúa en el cuerpo siempre tiene la capacidad de realizar trabajo positivo cuando el resorte regresa a su posición no deformada original.
Conservación de la energía. En general, si un cuerpo se somete tanto a fuerzas gravitacionales como elásticas, la energía potencia total puede expresarse como una función potencial representada como la suma algebraica de dichas fuerzas, esto puede ser expresado por la ecuación: V =V g +V e Para que podamos realizar la medición de
V
dependeremos de la ubicación del
cuerpo con respecto de referencia previamente seleccionado. Como el trabajo de fuerzas conservadoras puede escribirse como una diferencia U 1−2 ∑¿ de sus energías potenciales, es decir, , podemos reescribir el principio de ¿ ¿ ¿ trabajo y energía para un cuerpo rígido, de tal manera que quedara representado por la ecuación: U 1−2 ∑¿ ¿ ¿ T 1 +V 1 +¿
En este caso
U 1−2 ∑¿ ¿ ¿ ¿
representa el trabajo de las fuerzas no conservadoras, tales
como la fricción. Si dicho término es cero, entonces, tenemos: T 1 +V 1=T 2 +V 2
La ecuación anterior se conoce como energía mecánica de conservación. Establece que la suma de las energías potencial y cinética del cuerpo permanece constante cuando el cuerpo se mueve de una posición a otra. También es válida para un sistema de cuerpos rígidos lisos conectados por pasador, libres de fricción, cuerpos conectados por cuerdas inextensibles y cuerpos acoplados con otros cuerpos. El trabajo producido de las fuerzas conservadoras se transforma en energía térmica utilizada para calentar las superficies de contacto, y por consiguiente esta energía se disipa en el medio circundante y no puede recuperarse. Por consiguiente, los problemas que implican fuerzas de fricción se resuelven ya sea por el principio de trabajo y energía o por las ecuaciones de movimiento.
5.7 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Como en el caso del movimiento de una partícula, el principio de impulso y cantidad de movimiento para un cuerpo rígido puede desarrollarse si se combina la ecuación de movimiento con cinemática. La ecuación resultante dará una solución directa a problemas que impliquen fuerza, velocidad y tiempo. Principio de impulso y cantidad de movimiento lineal. La ecuación de traslación de un cuerpo rígido puede escribirse como ∑F = maG = m (dvG/dt). Como la masa del cuerpo es constante,
Figura 1.1 ∑F =
d (m v ) dt
Si se multiplican ambos lados por dt e integran de t = t1,vG = (vG)1 a t = t2,vG = (vG)2 se obtiene t2
∑∫ F dt=m ( v ) 2−m ( v ) 1 t1
Esta ecuación se conoce como Principio de impulso y Cantidad de movimiento lineal. Establece que la suma de todos los impulsos creados por el sistema de fuerzas externas que actúa en el cuerpo durante el intervalo t1 a t2 es igual al cambio de la cantidad de movimiento lineal del cuerpo durante este intervalo, figura 1.1, 1.2 y 1.3.
Principio de impulso y cantidad de movimiento angular. Si el cuerpo tiene movimiento plano general, entonces ∑ MG = IGα = IG(dw/dt). Como el momento de inercia es constante, d
∑ M G= dt ( I w ) Al multiplicar ambos lados por dt e integrar de t = t1, w = (w)1 a t = t2, w = (w)2 resulta
t2
∑∫ M Gdt=Iw 2−Iw 1 t1
Del mismo modo, para rotación con respecto a un eje fijo que pasa por el punto O, la ecuación (∑Mo = Io α) cuando se integra se escribe:
Figura 1.2
t2
∑∫ M o dt=Iow 2−Iow 1 t1
Las últimas dos ecuaciones de conocen como Principio de impulso y cantidad de movimiento angulares. Ambas ecuaciones expresan que la suma del impulso angular que actúa en el cuerpo durante el intervalo t1 a t2 es igual al cambio de la cantidad de movimiento angular del cuerpo durante este intervalo.
Si el movimiento se desarrolla en el plano x-y, las siguientes tres ecuaciones escalares pueden escribirse para describir el movimiento plano del cuerpo.
Los términos de estas ecuaciones pueden mostrarse por medio de los diagramas de impulso y cantidad de movimiento del cuerpo, figura 1.1. Observe que la cantidad de movimiento lineal mvG se aplica en el centro de masa del cuerpo, figuras 1.1 y 1.3; mientras que la cantidad de movimiento angular IGw es un vector libre, y por consiguiente, puede aplicarse a cualquier punto del cuerpo. Cuando se traza el diagrama de impulso, figura 1.2, las fuerzas F y el momento M varian con el tiempo y se indican por medio de las integrales. Sin embargo, si F y M son constantes la integración de impulsos da F (t2 - t1) y M (t2 - t1), respectivamente. Tal es el caso del peso del cuerpo W, figura 1.2. Las tres ecuaciones mostradas anteriormente, también pueden aplicarse a todo un sistema de cuerpos conectados en lugar de a cada uno por separado. Esto elimina la necesidad de incluir los impulsos de interacción que aparecen en las conexiones puesto que son internos al sistema. Como se indica por medio de la tercera ecuación, la cantidad de movimiento angular y el impulso angular del sistema deben calcularse con respecto al mismo punto de referencia O para todos los cuerpos del sistema.
EJEMPLO 1: En el disco mostrado en la figura 1.1 actúan un momento par de 4 lb·pie y una fuerza de 10 lb la cual se aplica a una cuerda enrollada alrededor de su periferia. Determine la velocidad angular del disco dos segundos después de que empieza a moverse del reposo. Además, ¿Cuáles son los componentes de fuerza de la reacción en el pasador?
Figura 1.1 SOLUCIÓN Como la velocidad angular, la fuerza y el tiempo intervienen en los problemas, aplicaremos los principios de impulso y cantidad de momento a la solución. Diagrama de cuerpo libre.
Figura 1.2 El centro de masa del disco no se mueve; sin embargo, la carga hace que el disco gire en el sentido de las manecillas del reloj.
El momento de inercia del disco con respecto a su eje de rotación fijo es
IA =
1 1 mr 2= 2 2
(
20lb ( 0.75 pie ) 2=¿ pies 32.2 s2
)
0.1747 slug · pie2
Principio de impulso y cantidad de movimiento. t2
m(V AX )1+ ∑∫ Fx dt=m(V AX) 2 t1
0 + Ax (2 s) = 0 t2
m(V Ay )1+ ∑∫ Fy dt =m(V Ay)2 t1
0 + Ay (2 s) – 20 lb (2 s) – 10 lb (2 s) = 0 t2
I A W 1+∑ ∫ M A dt=I A W 2 t1
0 + 4 lb · pie ( 2 s) + [10 lb(2 s)](0.75 pie) = 0.1747 W 2 Al resolver estas ecuaciones resulta Ax = 0 Ay = 30 lb W2 = 132 rad/s
EJEMPLO 2 El carrete de 100 kg que se muestra en la figura 2.1 tiene un radio de giro kG = 0.35 m. se enrolla un cable alrededor de la masa central del carrete y se aplica una fuerza horizontal de magnitud variable de P = (t + 10) N, donde t está en segundos. Si el carrete inicialmente está en reposo, determine la velocidad angular en 5 s. suponga que el carrete rueda sin deslizarse en A.
Figura 2.1
SOLUCIÓN Diagrama de cuerpo libre. Según el diagrama de cuerpo libre, figura 2.2, la fuerza variable P hará que la fuerza de fricción FA sea variable y por tanto los impulsos creados tanto por P como por FA deben determinarse por integración. La fuerza P hace que el centro de masa tenga una velocidad vG hacia la derecha y por tanto el carrete tiene una velocidad angular w en el sentido de las manecillas del reloj.
Figura 2. Principio de impulso y cantidad de movimiento. Puede obtenerse una solución directa para w aplicando el principio de impulso y cantidad de movimiento angular con respecto al punto A, el CI, para eliminar el impulso creado por la fuerza de fricción desconocido. t2
I A W 1+∑ ∫ M A dt=I A W 2 t1
( t+10 ) N dt 5s
∫ ¿ ( 0.75 m+0.4 m )=[ 100 kg ( 0.35 m ) 2+ ( 100 kg ) ( 0.75 m ) 2 ] w 0
¿ 0+¿ 62.5 (1.15) = 68.5 W2 W2 = 1.05 rad/s
