Índice
Introducción
Objetivo
ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO
Considérese un cuerpo rígido en el que actúan varias fuerzas externas F1, F2, F3,…… (Fig 1!1" #e puede suponer que el cuerpo se co$pone de un gran nu$ero n de partículas de $asa % mi (i & 1, 2, ……, n" ' que los resultados otenidos son validos para un siste$a de partículas (Fig 1!2" #i se considera en pri$er lugar el $ovi$iento del cuerpo de $asa G del cuerpo con respecto al siste$a de referencia ne)toniano * xyz , entonces escrii$os+ F & $donde m es la $asa del cuerpo ' ā es la aceleraci.n del centro de $asa G /olviendo a0ora al $ovi$iento del cuerpo con respecto al siste$a de referencia centroidal G x y z , ' escrii$os+
MG & HG
onde G representa la raz.n ca$io de G, la cantidad de $ovi$iento angular con respecto a G del siste$a de partículas que for$an el cuerpo rígido 4n lo que sigue #e 0ar5 referencia a G si$ple$ente co$o la cantidad de $ovi$iento angular del cuerpo rígido con respecto a su centro de $asa G 6untas, las ecuaciones (1!1" ' (1!2" expresan que el siste$a de las fuerzas externas es equipolente al siste$a co$puesto por el vector $- fi7o en G ' del par de $o$ento G (Fig 1!3"
8as ecuaciones (1!1" ' (1!2" son validos en el caso $5s general del $ovi$iento de un cuerpo rígido
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO EN MOVIMIENTO PLANO
Considérese una placa rígida en $ovi$iento plano #i se supone que la placa se co$pone de un gran nu$ero n de partículas 9i de $asa %mi , se oserva que la cantidad de $ovi$iento angular HG de la placa alrededor de su centro de $asa G se puede calcular considerando los $o$entos con respecto a G de las cantidades de $ovi$iento de las partículas de la placa en su $ovi$iento con respecto a cualquiera de los siste$as de referencia * xyz o Gx y (Fig 1!:" #i elegi$os este ulti$o, escrii$os; n G & (ri < vi %mi " i &l
donde ri ' v i %mi denotan, respectiva$ente, el vector de posici.n ' la cantidad de $ovi$iento lineal de la particula 9i con respecto al siste$a de referencia centroidal Gx y 9ero co$o la particula pertenece a la placa, se tiene v i & ω < ri , donde ω es la velocidad angular de la placa en el instante considerado 4scrii$os;
G & =ri < ( ω < ri " %mi > i &l
#i se recurre a la figura 1!:, f5cil$ente se verifica que la expresi.n otenida representa un vector de la $is$a direcci.n que ω (es decir, perpendicular a la placa" ' de $agnitud igual a ωri %mi ?ecordando que 8a su$a ri %mi representa el $o$ento de inercia @ de la placa con respecto a un e7e centroidal perpendicular a la placa, se conclu'e que la cantidad de $ovi$iento angular G de la placa con respecto a su centro de $asa es;
HG & @ ω Al diferenciar a$os $ie$ros de la ecuaci.n (1!:" se otiene;
ĤG & @ ω & @ α Así pues, la raz.n de ca$io de la cantidad de $ovi$iento angular de la placa esta representado por un vector de la $is$a direcci.n que α (esto es, perpendicular a la placa" ' de $agnitud @ α #e dee tener presente que los resultados otenidos en esta secci.n se dedu7eron para una placa rígida en $ovi$iento plano
MOVIMIENTO PLANO DE PRINCIPIO DE D´ALEMBERT
UN
CUERPO
RÍGIDO.
Considérese una placa rígida de $asa $ que se $ueve a7o la acci.n de varias fuerzas externas F1, F2, F3,……, contenidas en el plano de la placa (Fig 1!B" Con la sustituci.n de ĤG de la ecuaci.n (1!B" en la ecuaci.n (1!2", ' escriiendo las ecuaciones funda$entales de $ovi$iento (1!1" ' (1!2" en for$a escalar, tene$os; Fx & $-x
+
F' & $-'
+
MG & @ α
8as ecuaciones (1!!" de$uestran que la aceleraci.n del centro de $asa G de la placa ' su aceleraci.n angular α se otiene con facilidad una vez que se deter$inan la resultante de las fuerzas externas que actúan sore la placa ' su $o$ento resultante con respecto a G adas las condiciones iniciales apropiadas+ se otiene entonces las coordenadas ' D del centro de $asa ' la coordenada angular θ de la placa, $ediante integraci.n en cualquier instante t 9or tanto, el $ovi$iento de la placa queda definido por co$pleto por la resultante ' la resultante de $o$entos con respecto a G de las fuerzas externas que actúan sore ella Considérese, en particular, el siste$a de fuerzas externas que actúan sore un cuerpo rígido (Fig 1!!a" ' el siste$a de las fuerzas efectivas asociadas con las partículas que for$a el cuerpo rígido (Fig 1!!"
e este $odo se, puede estalecer que las fuerzas que las fuerzas externas que actúan sore un cuerpo rígido equivalen a las fuerzas efectivas de las diversas partículas que for$an el cuerpo 4ste enunciado se conoce co$o principio de Ale$ert, en 0onor al $ate$5tico francés 6ean le ?ond dAle$ert (1E1E1EG3", aun cuando el enunciado original de dAle$ert fue escrito en una for$a un poco diferente 4l ec0o de que el siste$a de fuerzas externas es equivalente al siste$a de fuerzas efectivas se 0a recalcado con el uso de un signo igual en la figura 1!! ' ta$ién en la figura 1!E, donde al utilizar los resultados otenidos con anterioridad en esta secci.n, se re$plazaron las fuerzas efectivas con un vector $- vinculado al centro de $asa G de la placa ' un par de $o$ento @ α
TRASLACIÓN
4n el caso de un cuerpo en traslaci.n, la aceleraci.n angular de este es idéntica a cero, ' sus fuerzas efectivas se reducen al vector $- fi7o en G (fig1!G" e este $odo, la resultante de las fuerzas externas que actúan sore un cuerpo rígido en traslaci.n pasa por el centro de $asa del cuerpo, ' es igual a $-
ROTACIÓN CENTROIDAL
Cuando una placa o, $5s general$ente, un cuerpo si$étrico con respecto al plano de referencia, gira alrededor de un e7e fi7o perpendicular al plano de referencia ' que pasa por su centro de $asa G , se dice que el cuerpo se encuentra en rotaci.n centroidal Co$o la aceleraci.n - es idéntica a cero, las fuerzas efectivas del cuerpo se reducen al par @ α (Fig1!H" 9or lo tanto, las fuerzas externas que actúan sore un cuerpo en rotaci.n centroidal equivalen a un par de $o$entos @ α
MOVIMIENTO PLANO GENERAL Al co$parar la Fig 1!E con las figuras 1!G ' 1!H, se oserva que desde el punto de vista de la cinética, el $ovi$iento plano $5s general de un cuerpo rígido si$étrico con respecto al plano de referencia puede ser ree$plazado por la su$a de una traslaci.n ' una rotaci.n centroidal #e dee seIalar que este enunciado es $5s restrictivo que el enunciado si$ilar planteado con anterioridad desde el punto de vista de la cine$5tica, puesto que a0ora se requiere que se seleccione el centro de $asa del cuerpo co$o punto de referencia
4n las ecuaciones (1!!", se oservan que las dos pri$eras ecuaciones son idénticas a las ecuaciones de $ovi$iento de una particula de $asa $ en la que actúan las fuerzas dadas F1, F2, F3, ……, de este $odo, se co$pruea que el centro de $asa G de un cuerpo rígido en $ovi$iento plano se $ueve co$o si toda la $asa del cuerpo estuviera concentrada en dic0o punto, ' co$o si todas las fuerzas externas actuaran sore el #e recuerda que este resultado 'a se otuvo en el caso general de un siste$a de partículas no necesaria$ente conectadas entre si, ta$ién se oserva que el siste$a, de las fuerzas externas, en general, no se reducen a un solo vector $- con origen en G 9or consiguiente, en el caso general del $ovi$iento plano de un cuerpo rígido, la resultante de las fuerzas externas que actúan sore el cuerpo no pasan por el centro de $asa de este 9or ulti$o, se ve que la últi$a de las ecuaciones (1!!" seguiría siendo valida si el cuerpo rígido, al estar so$etido a las $is$as fuerzas aplicadas, no pudiera girar alrededor de un e7e fi7o que pasa por G. Así pues, un cuerpo rígido en $ovi$iento plano gira alrededor de su centro de $asa co$o si este punto estuviera fi7o
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL MOVIMIENTO DE UN CUERPO REIGIDO EJERCICIOS
1. 8os collarines J ' se conectan por $edio de pasadores a la arra AJ ' pueden deslizarse a lo largo de varillas fi7as 4n el instante que se $uestra, la velocidad angular de la arra es cero ' la aceleraci.n del punto es ft s 2
igual a 2: 0acia la derec0a eter$ine a" la aceleraci.n angular de la arra, " la aceleraci.n del punto J, c" la aceleraci.n del punto A
Datos:
W barra = 0
a D
a" "
= 24 ft 2 → s
α barra
a B
=?
=?
c"
a A
=?
Solución:
a B = a D + a B / D a B = a D + a B / D t + a B / D n 2 .r B / D a B = a D + α BD × r B / D − W barra
a B Cos60°i − a B Sen60 j = 24i + α BD k × ( − 1.5Cos30°i + 1.5Sen30° j ) a B Cos60°i − a B Sen60 j = 24i − 1.3α BD j − 0.75α BD i i ⇒ a B Cos60° = 24 − 0.75α BD j ⇒ −a B Sen60 = −1.3α BD → α BD =
a B 1.5
a A = a D + a A / D
= V D + V B / D V B = V D + W barra × r B / D V B = V D V B
derivando
= a D
a B
= 24 ft 2 ∠240°
α BD
α BD
= 24
ft s 2
a B
s
=
a B
=
a A = a D + a A / D t + a A / D n 2 .r A / D a A = a D + α AD × r A / D − W barra
− a A j = 24i + 16k × ( − 3Cos30°i + 3Sen30° j ) − a A j = 24i − 41.6 j − 24i i⇒0=0 j ⇒ − a A = −41.6 a A = 41.6
ft ↓ s 2
24
1.5 1.5 = 16 rad 2 s
2.- #i en el instante que se $uestra la arra AJ tiene una velocidad angular constante de : radKs en el sentido del $ovi$iento de las $anecillas del relo7, deter$inar la aceleraci.n angular a" de la arra J, "de la arra 4 atos; LAJ & : radKs
W AB = W AB k = 4 rad k s
W BD
= W BD k
W DE
= W DE k
V D
W DE k * r D
= V B + V D / B
= W AB k * r B + W BA k * r D / B
W DE k * ( − 0.06i − 0.12 j )
= 4k * ( − 0.2 j ) + W B > D k * ( 0.16i ) − 0.6W DE j + 0.12W DE i = 0.8i + 0.26W BD j i : 0.12W DE = 0.8 j : 1 − 0.06W DE = 0.16W BD − 0.06(6.66) W BD = W BD
=
0.16 −2.5rad / s
= 0 α BD = α BD k α DE = α DE k α AB
= 2.5rad / s
a D a D a D a D
a B a B a B
= a B + a D / B 2 = α DE k × r D − ω DE .r D = α DE k × (−0.06i − 0.12 j ) − 6.66 2 * (−0.06i − 0.12 j ) = −0.06α DE j − 0.12α DE i + 2.66i + 5.32 j
= α AB k × r B − ω 2 .r B = 0 − 4 2 ( − 0.2 j ) = 3.2 j
2 a D / B = α DB k × r D / B − ω DB .r D / B 2
a D / B = α DB k × (0.16) − ( − 2.5) * (0.16i ) a D / B = 0.16α DB − i
− 0.06α DE i + 0.12α DE + 2.66i + 5.32 j = 3.2 j + 0.16α Db j − i i : 0.12α DE + 2.66 = −1 ⇒ α DE = −30.5rad / s 2 j : −0.06α DE + 5.32 = 3.2 + 0.16α DB 0.16α DB = 2.12 − 0.06( − 30.5) 2 α DE = 24.7 RAD / S
3.- Mn cilindro de EB $$ de radio es solidario de un cilindro de 12B $$ de radio co$o se $uestra Mno de ellos rueda sin deslizar sore la superficie que se representa ' el otro tiene una cuerda arrollada en su torno #aiendo que del extre$o 4 de la cuerda se tira 0acia la izquierda con una velocidad de 1BN $$Kseg allar; a" /elocidad angular de los cilindros " /elocidad de su centro
AO*# ? A& EB $$
?J& 12B $$ /4 & 1BN $$Kseg L A & P LJ & P
#*8MCQ*R; V E
W A
=
W A
150 mm seg =
W A
=2
W B
=
W B
150 mm seg =
W B
= 1 .2
R A
75mm rad
seg
V E R B
125mm rad
seg
Con!"#$%n
B$&!$o'()*+)
