Cinetica Plana de Los Cuerpos Rigidos

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ASIGNATURA: DINAMICA

INDICE CARATULA INDICE PRESENTACIÓN INTRODUCCIÓN MARCO TEORICO 1. ECUACION DE MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO 2. IMPULSO 3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO 4. MOMENTO CINETICO EJERCICIOS

DOCENTE: Salinova Carrillo Segura

FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA

PRESENTACIÓN El presente trabajo de investigación consta de cuatro partes cada una ligada al tema principal y de las cuales tendremos en cuenta al momento de poner en práctica en nuestros ejercicios. Primero.- Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido Segundo.- Impulso Tercero.- Cantidad de movimiento Cuarto.- Momento cinético Estos vienen ligados a nuestro tema principal y su uso; con esta base llevaremos a cabo 2 ejercicios.


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INTRODUCCIÓN La cinética de los cuerpos rígidos trata de las relaciones existentes entre las fuerzas que sobre ellos ejercen agentes exteriores y los correspondientes movimientos de traslación y rotación de dichos cuerpos. En el caso de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesita una ecuación más para especificar el estado de rotación del cuerpo. Así pues, para determinar el estado de movimiento plano de un cuerpo rígido se necesitará dos ecuaciones de fuerza y una de momentos, o sus equivalentes. Es decir se estudiara las relaciones existentes entre las fuerzas que actúan en un cuerpo rígido, la forma y la masa del mismo, y el movimiento producido.



MARCO TEORICO MOMENTO DE INERCIA Y ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE CUERPO RIGIDO Momento de inercia es el nombre que se le da a la inercia rotacional. Aparece en las relaciones de la dinámica del movimiento rotacional. El momento de inercia debe especificarse respecto a un eje de rotación dado. Para una masa puntual el momento de inercia es exactamente el producto de la masa por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación, I = mr2. Esa relación de la masa puntual, viene a ser la base para todos los demás momentos de inercia, puesto que un objeto se puede construir a partir de una colección de puntos materiales. Puesto que el momento de inercia de un objeto ordinario involucra una continua distribución de masa a una distancia continuamente variable de cualquier eje de rotación, el cálculo del momento de inercia, generalmente involucra el cálculo diferencial, la disciplina de las matemáticas que puede manejar tales variables continuas. Puesto que el momento de inercia de una masa puntual se define por

Entonces, la contribución al momento de inercia por un elemento de masa infinitesimal dm tiene la misma forma. A esta clase de elemento de masa se le llama un elemento diferencial de masa y su momento de inercia está dado por

Note que el elemento diferencial del momento de inercia dI debe estar siempre definido con respecto a un específico eje de rotación. La suma sobre todos estos elementos se llama integral sobre la masa.

Usualmente, el elemento de masa dm será expresado en términos de la geometría del objeto, de modo que la integración puede llevarse a cabo sobre el objeto como una totalidad (por ejemplo, sobre una varilla larga uniforme). Habiendo llamado esto una forma general, es probablemente apropiado señalar que es una forma general solamente para ejes llamados "ejes principales", un término que incluye todos los ejes de simetría del objeto. El concepto de momento de inercia para objetos en general sobre ejes arbitrarios es un asunto mucho mas complicado. En tales casos el momento de inercia toma la forma de una cantidad de tensor matemático que requiere nueve componentes para definirlo completamente.


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ECUACION DE MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS

Considérese un cuerpo rígido en el que actúan varias fuerzas externas F1, F2, F3 ,…... Se puede suponer que el cuerpo se compone de un gran numero (“n”) de partículas de masa “m” y que los resultados obtenidos son válidos para un sistema de partículas. Si se considera en primer lugar el movimiento del cuerpo de masa G del cuerpo con respecto al sistema de referencia newtoniano O x, y, z; entonces escribimos.

……(1) Donde m es la masa del cuerpo y ā es la aceleración del centro de masa G. Volviendo ahora al movimiento del cuerpo con respecto al sistema de referencia centroidal Gx´y´z´, y escribimos. …....(2)



Donde H´G representa la razón cambio de HG, la cantidad de movimiento angular con respecto a G del sistema de partículas que forman el cuerpo rígido. En lo que sigue. Se hará referencia a HG simplemente Como la cantidad de movimiento angular del cuerpo rígido con respecto a su centro de masa G. Juntas, las ecuaciones (1) y (2) expresan que el sistema de las fuerzas externas es equipolente al sistema compuesto por el vector m.ā fijo en G y del par de momento H´G .

Las ecuaciones (1) y (2) son válidos en el caso más general del movimiento de un cuerpo rígido.


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IMPULSO Es una fuerza constante no equilibrada es una magnitud vectorial que se mide por el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo durante el cual actúa. El producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.

En la mecánica clásica, a partir de la segunda ley de Newton sobre la fuerza tenemos que

El concepto de impulso se puede introducir mucho antes del conocimiento sobre el cálculo diferencial e integral con algunas consideraciones.



El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento, por lo cual el impulso también puede calcularse como: Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa.

"Cuando sobre un cuerpo o sistema, la fuerza o resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero, la cantidad de movimiento se mantiene constante";.

Si: F=0 è

por lo tanto:

Donde:



Pf: Cantidad de movimiento final (kg.m/s).



Po: Cantidad de movimiento inicial (kg.m/s).


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CANTIDAD DE MOVIMIENTO La cantidad de movimiento o momento lineal se refiere a objetos en movimientos y es una magnitud vectorial que desempeña un papel muy importante en la segunda ley de Newton. La cantidad de movimiento combina las ideas de inercia y movimiento. También obedece a un principio de conservación que se ha utilizado para descubrir muchos hechos relacionados con las partículas básicas del Universo. La ley de la conservación de la cantidad de movimiento y la ley de la conservación de la energía, son las herramientas más poderosas de la mecánica. La conservación de la cantidad de movimiento es la base sobre la que se construye la solución a diversos problemas que implican dos o más cuerpos que interactúan, especialmente en la comprensión del comportamiento del cho que o colisión de objetos. Fuerzas externas e internas Al analizar el comportamiento de un sistema de varios cuerpos, es conveniente distinguir entre fuerzas internas y externas. Las fuerzas internas son aquellas por las cuales todas las partes del sistema actúan entre sí. Las fuerzas externas son aquellas que influyen fuera del sistema sobre uno o más de los cuerpos de éste o sobre el sistema completo.Newton le dio el nombre de movimiento a esta cualidad de un objeto en movimiento. Hoy se le llama cantidad de movimiento o momento lineal. Y se define del modo siguiente. Cantidad de movimiento = masa x velocidad = m. Donde

es

el

símbolo

con

que

se

representa

es un vector que apunta en la misma dirección que La

cantidad

de

movimiento

es

grande

si

la

cantidad

de

movimiento.

. el

objeto

La cantidad de movimiento de un objeto de masa m y velocidad velocidad.

tiene

gran

masa

y

velocidad.

es igual al producto de la masa y la

Variación en la cantidad de movimiento Cuando ocurre un cambio en la masa y en la velocidad, en ambas a la vez, existirá un cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo considerado. Si la masa permanece constante pero la velocidad del cuerpo cambia de = m.

en el primer instante

= m.

en el segundo instante

a

se tendrá que.

La variación de la cantidad de movimiento será:

-

=m.

- m.

=>

-

= m.(

-

) luego

= m. ∆



MOMENTO CINETICO Por definición, el momento cinético es el momento de la cantidad de movimientos. El momento cinético respecto al centro de masa de un sistema material cualquiera dado lo expresaremos como: HG=∑Pi X mi Vi

Que no es más que la suma (vectorial) de los momentos respecto a G de las cantidades de movimientos de todos los puntos materiales. Así mismo podría escribirse la formula así. HG=∑Pi X Pi

Donde es la velocidad de mi respecto a G. en el transcurso de la deducción de las ecuaciones de momentos de movimientos, proseguiremos utilizándola para resaltar su significado empleando el cuerpo rígido en movimiento plano representado en la figura.

La velocidad relativa se hace: Pi =

ω

X Pi

Siendo: ω= ωk la velocidad angular del cuerpo, en la que el vector unitario k está dirigido hacia el papel en correspondencia con el sentido de ω indicado. Como: Pv P’i y ω forman ángulos rectos entre sí, el módulo de Pi es Pi ω y el módulo de:

Pi Xmi Pi

Es



2

ωmi

Así podemos escribir:

HG= ∑



2

ωmik

i


=

i ωk

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Dónde:

I== ∑



2

mi

i

Es el momento de inercia del cuerpo respecto a su centro de masa. Como el momento cinético es siempre un vector normal al plano del movimiento, la notación vectorial es generalmente innecesaria y el momento cinético respecto al centro de masa puede escribirse como el escalar:

H G = i ω Cuya forma escalar para un movimiento plano, junto con su integral, es

∑M =H G

Y

t2 t1

G

Expresando en palabras, la primera de las ecuaciones establece que la suma de los momentos respecto al centro de masa de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es igual a la variación por unidad de tiempo del momento cinético respecto al centro de masa. De la misma forma la ecuación integrada establece que el impulso angular en torno al centro de masa de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo durante el intervalo t2-t1 es igual a la variación correspondiente del momento cinético respecto G. Conteniendo:

H G = i ω Contiene los momentos respecto a G de las cantidades de movimientos de todos los puntos materiales, se deduce que el vector cantidad de movimientos es:

G=mV Se debe tomar de modo que pase por el centro de masa G, según se indica en la figura.



La cantidad de movimiento y momento cinético resultante, el momento cinético Ho respecto a un punto 0 cualquiera podrá escribirse en la forma.

Ho = i ω +mVd Esta expresión es válida en un instante particular cualquiera para 0, que puede ser un punto fijo o en movimiento, situado sobre el cuerpo o fuera de él. En el caso general, el momento cinético respecto a 0 está relacionado con la suma de momentos respecto a 0. Esta ecuación de momentos y su forma integrada, junto con las tres condiciones una de las cuales debe cumplirse para que sean válidas las ecuaciones, son: Y

∑Mo =Ho Si

1)Vo =0 2)V=0 3)Vo y V son paralelos

Cuando un cuerpo gira alrededor de un punto fijo 0 situado en el cuerpo o en su prolongación, como se indica en la figura:

En la expresión de Ho podrán sustituirse V y d por las relaciones

V= r ω DOCENTE: Salinova Carrillo Segura

d= r

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Dando: Pero

Ho = i ω+ mω 2

io = i+ m 2

Por lo que:

Ho = i ω o

Esta ecuación, está escrita en forma escalar para un movimiento plano, junto con su forma integral es:

∑Mo= i ω o

Y

∑ Mo dt= i (ω o

2

–ω1 )

En la aplicación de los teoremas de la cantidad de movimiento y del momento cinético al movimiento de un cuerpo rígido, es esencial poder trazar un diagrama completo para el sólido libre a fin de poder calcular correctamente las sumas de fuerzas y momentos. También es útil indicar el vector cantidad de movimiento resultante y el par momento cinético. También pueden utilizarse los teoremas de la cantidad de movimiento y del momento cinético en el caso de un sistema de cuerpos rígidos interconectados ya que dichos teoremas son aplicables a todo sistema general de masa constante . Las ecuaciones:

∑F= G

∑Mo=Ho

Donde 0 es un punto de referencia fijo, pueden escribirse para cada miembro del sistema y sumarse. Las sumas serian:

∑F=

Y

∑Mo=H1+H1+…

En forma integral pera un intervalo de tiempo finito. Dichas expresiones son:



∑Fdt =( G)sistema y

∑Modt =(

Ho)sistema

Se observa que las acciones y reacciones iguales y opuestas que se ejercen en las conexiones, son interiores al sistema y se anulan entre sí, por lo que no es preciso calcularlas. También se hace notar que el punto 0 es un punto de referencia fijo para todo el sistema. Si para un intervalo de tiempo dado la:

F=0

Entonces

G=0

Que nos dice que el vector cantidad de movimientos no sufre cambio alguno en ausencia de un impulso lineal resultante. En este caso de un sistema de cuerpos rígidos interconectados puede haber variaciones de cantidad de movimiento en partes individuales d el sistema si no hay un impulso lineal resultante Análogamente, si es nulo el momento resultante respecto a un punto fijo 0, o respecto al centro de masa, durante un intervalo de tiempo determinado se tendrá, en el caso de un cuerpo rígido único o de un sistema de cuerpos rígidos interconectados.

Ho=0

O bien

HG=0

Que nos dice que el momento cinético respecto al punto fijo, o respecto al centro de masa, no sufre cambio alguno en ausencia de un impulso angular resultante correspondiente.


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EJERCICIOS 1) Una pelota de masa 0.1kg se suelta desde una altura de 2m y después de chocar con el suelo rebota hasta una altura de 1.8m. Determinar la cantidad de movimiento justo un instante antes de llegar al suelo y el impulso recibido al chocar con el suelo. g =9.8m/s

2) Un proyectil con una masa de 0.05kg y que se mueve con una velocidad de 400m/s, penetra una profundidad de 0.1m en un bloque de madera que se halla sólidamente sujeto al suelo. Supóngase constante la fuerza desaceleradora .Calcular a) La desaceleración experimentada por el proyectil. b) La fuerza desaceleradora. c)

El tiempo de desaceleración.

d) El tiempo de impulsión del choque. e) La cantidad de movimiento inicial.


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