En los análisis del movimiento de un cuerpo rígido, aparecen a menudo expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeño elemento por el cuadrado de su distancia a una recta de interés. Este producto recibe el nombre de momento segundo de la masa del elemento o, más frecuentemente, de momento de inercia del elemento. Así pues, el moment momento o de inercia inercia OO
dI
de un elemen elemento to de masa masa
dm
respecto al eje
representado en la figura 1!"# es, por definici$n% 2
dI =r dm
El mome moment nto o de iner inerci cia a de todo todo el cuer cuerpo po resp respec ecto to al eje eje es, es, por por definici$n%
∫
2
I = r dm………. ( 10.20 )
&omo tanto la masa del elemento como el cuadrado de su distancia al eje son cantidades positivas, positivas, el momento de inercia de una masa será siempre positivo. 'os momentos de inercia tienen las dimensiones de una masa multiplicadas por las del cuadrado de una distancia, en el sistema (), el
kg.m
M L
2
. (u unidad de medida será,
2
. En el *.(. &ustomar+ s+stem, s+stem, las magnitudes magnitudes
fund funda ament mental ales es son son fuer uera, a, long longit itud ud + tiemp iempo o + la masa masa tiene iene por por 2 dimensiones F T L . -or tanto, el momento de inercia tendrá por unidad la 2
lb.s . ft . (i la masa del cuerpo
W / g
se expresara en slug (l b . s 2 / ft ) , la
unidad de medida del momento de inercia en el *.(. &ustomar+ s+stem 2 sería el slug.ft .
'os momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes de coordenadas de un sistema xyz se pueden determinar considerando un elemento de masa como el representado en la figura 1.". -or la definici$n de momento de inercia,
2
2
2
dI x x = r x dm=( y + z ) dm y
-ara el eje
+ el el ej eje
z
se pued pueden en escr escrib ibir ir
expresiones análogas. Así pues,
∫
2
∫ ( y + z ) dm 2
I x = r x dm= m
2
m
❑
❑
∫
2
∫ ( z + x ) dm………(10.21 ) 2
I y = r y dm= m
2
m
❑
❑
∫ r dm=∫ ( x + y ) dm 2
I z=
2
2
z
m
m
Radio de giro 'a definici$n de momento de inercia /ec. 1."0 indica que las dimensiones dimensiones del momento de inercia son las de una masa multiplicada por el cuadrado de una longitud. En consecuencia, el momento de inercia de un cuerpo puede expresarse mediante el producto de la masa cuadrado de una longitud radi radio o de giro giro
k
. A esta longitud longitud
k
m
del cuerpo por el
se le da el nombre de
del cuerpo. Así pues, el momento de inercia I de un cuerpo
respecto a una recta dada se puede expresar en la forma 2
I =m k oseak =
√
I … … .. ( 10.22) m
El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera puede interpretarse que es la distancia al eje de un punto en el que abría que concentrar toda la masa del cuerpo para tener el mismo momento de inercia respecto al eje que la masa real /o distribuida0. 2onde% m% masa total del cuerpo rígido. )% momento de inercia
El radio de giro de masa es mu+ parecido al radio de giro de superficie. El radio de giro de masa no es la distancia al eje dado de ning3n punto fijo del cuerpo tal como el centro de masa, El radio de giro de masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera es siempre ma+or que la distancia al eje del centro de masa del cuerpo. 4o existe ninguna interpretaci$n física 3til del radio de giro5 no es más que un medio conveniente de expresar el momento de inercia de masa de un cuerpo en funci$n de su masa + una longitud.
Teorema de Steiner para momentos de inercia El teorema de (teiner para momentos de inercia es mu+ parecido al correspondiente a momentos segundos de superficie. &onsidérese el cuerpo representado en la figura 1."6, en cu+o centro de masa 7 se toma el origen del sistema de coordenadas sistema de coordenadas
x ’ yz’
xyz
+ considérese también un
de origen en el punto
paralelos a los am tenores. En la figura se observa que x = x´ + x '
y = y´ + y '
´ + z z = z '
'a distancia d x =√ y´
2
+´ z
2
d x
que separa los ejes x ’ + x es
O’
+ ejes
El momento de inercia del cuerpo respecto al eje x8, paralelo al eje x que pasa por el centro de masa es, por definici$n,
∫
∫ [ ( y´ + y ) + ( z´ + z ) ] dm
2
2
I x = r x ' dm= '
m
2
m
❑
¿∫ ( y + z ) dm + y´ 2
2
❑
❑
❑
❑
❑
m
m
∫ dm+2 ´ y ∫ y dm +´ z ∫ dm+2 z´ ∫ zdm
2
2
m
m
Aora bien, ❑
∫ ( y + x ) dm= I 2
2
xG
m
+ como los ejes y + z pasan por el centro de masa 7 del cuerpo, ❑
❑
m
m
∫ ydm=0∫ zdm= 0 -or tanto, Ix ’ = I xG + ( ´ y
2
+ z´ ) m= I xG + d x m 2
2
Iy’ = I yG + ( z´ + x´ ) m= I yG + d y … … ( 10.23 ) 2
2
2
´ ) m= I zG +d z m Iz’ = I zG+( x´ + y 2
2
2
'as ecuaciones /1."90 constitu+en el teorema de (teiner para momentos de inercia. El subíndice 7 indica que el eje
x
pasa por el centro de masa
7 del cuerpo. Así pues, si se conoce el momento de inercia de un cuerpo
respecto a un eje que pase por su centro de masa, se podrá allar el momento de inercia respecto a otro eje cualquiera paralelo a él, sin necesidad de integraci$n, utiliando las ecuaciones 1."9. Entre los radios de giro respecto a estos dos ejes existe una relaci$n similar. Así, si se designan por
k x
+
k x'
+ : los radios de giro respecto a dicos
ejes paralelos, la relaci$n anterior se puede escribir en la forma 2
2
2
k x m=k xG m + d x m '
'uego 2
2
2
2
2
k x = k xG + d x '
2
k y = k yG + d y … .. ( 10.24 ) '
2
2
2
k z =k zG + d z '
4ota% 'as ecuaciones 1."9 + 1."# s$lo son válidas para pasar de ejes xyz
que pasen por el centro de masa a otros ejes paralelos a ellos, o al
revés. 4o son válidas para ejes paralelos arbitrarios.
Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos El teorema de (teiner /denominado en onor de ;a:ob (teiner0 establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes%
2onde% I ee
es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de ( !M )
masa5 I
ee
es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que
pasa por el centro de masa5 M !
"
! distancia entre los
dos ejes paralelos considerados. 'o demostraci$n de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposici$n de coordenadas relativa al centro de masas
r´
! =r # + "
inmediata.
2onde el segundo términa es nulo puesta que la distancia vectorial promedio de masa en torna al centro de masa es nula, por la propia definici$n de centro de masa. El centro de gravedad + el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa s$lo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dico cuerpo.
Momentos de inercia por integración &uando se utilie métodos de integraci$n para determinar el momento de inercia de un cuerpo respecto a uneje, la masa del cuerpo se puede descomponer en elementos de diversas maneras. (eg3n sea el tipo de elemento que se tome, será necesaria una integraci$n simple, doble o triple. 'a configuraci$n geométrica del cuerpo suele determinar que se utilicen coordenadas cartesianas o polares. En cualquier caso, los elementos de masa deberán seleccionarse de manera que a. =odas las partes del elemento se encuentren a igual distancia del eje respecto al cual a+ que determinar el momento de inercia. b. (i no se cumpliera la condici$n 1 , debería seleccionarse el elemento de manera que fuese conocido el momento de inercia del elemento respecto al eje para el cual baque determinar el momento de inercia del cuerpo. Este podrá entonces calcularse sumando los momentos de inercia de los elementos.
c. (i se conociera la situaci$n del centro de masa del elemento + el momento de inercia del elemento respecto a un eje que pase por el centro de masa + sea paralelo al eje dado, se podrá determinar el momento de inercia del elemento utiliando el teorema de (teiner. A continuaci$n se podrá allar el momento de inercia del cuerpo sumando los momentos de inercia de los elementos. &uando se utilice integraci$n triple, el elemento satisfará siempre el primer requisito, si bien esta condici$n no se cumplirá necesariamente en los casos de integraci$n simple o doble. En algunos casos, el cuerpo puede considerarse que es un sistema de puntos materiales. El momento de inercia de un tal sistema respecto a una recta de interés es la suma de los momentos de inercia de los puntos respecto a la recta dada. Así pues, si las masas de los puntos de un sistema m1 , m2 ,m 3 ,…,m $
son
r 1 ,r 2 , r 3 , … , r $
+ las distancias de ellos a una recta dada son
+ el momento de inercia del sistema podrá expresarse en la
forma I =
∑ m r =m r 2
1
2 1
2
+m r +… + m$ r $ 2
2
2
'os momentos de inercia de placas delgadas son fáciles de determinar. -or ejemplo, considérese la placa delgada representada en la figura 1.">. 'a placa tiene una densidad uniforme
%
, un grosor uniforme
t
+ una
secci$n de área & . 'os momentos de inercia respecto a los ejes x , y + z
son, por definici$n,
??./1."0
donde los subíndices
m
+ &
significan momentos de inercia +
momentos se! gundos de superficie, respectivamente. &omo las ecuaciones de los momentos de inercia de placas delgadas contienen las expresiones de los momentos segundos de superficie, los resultados que se consignan en la tabla 1.1 de los momentos segundos de superficie se podrán utiliar para determinar momentos de inercia sin más que multiplicar aquéllos por %t
.
En el caso general de cuerpos tridimensionales, los momentos de inercia respecto a los ejes x , y + z son
??../1."10
(i la densidad del cuerpo es uniforme, el elemento de masa
dm
expresar en funci$n del elemento de volumen d' en la forma
se puede dm= % d'
.
'as ecuaciones /1."10 quedan entonces en la forma
???/1."60
(i la densidad del cuerpo no fuese uniforme, debería expresarse en funci$n de la posici$n + mantenerla dentro de la cantidad subintegral. El elemento concreto de volumen que a+a que utiliar dependerá de la configuraci$n geométrica del cuerpo. En el caso general de cuerpos
tridimensionales, suele utiliarse el elemento diferencial
d' = dxdy dz
, el
cual exige una integraci$n triple. En el caso de cuerpos con simetría de revoluci$n, pueden utiliarse como elementos placas circulares que exigen s$lo una integraci$n simple. En algunos problemas, son 3tiles elementos cilíndricos + coordenadas polares. En los problemas ejemplo siguientes se ilustran procedimientos para la determinaci$n de momentos de inercia.
Teorema de ejes paralelos y de planos paralelos -ara
un
conjunto
dado
con
de
respecto
momentos al
sistema
+
productos Oxyz
,
de
inercia
deduciremos las
ecuaciones de transformaci$n para obtener respecto al sistema
O’ x’ y’ z’
con
que representa la posici$n. =enemos%
@
En donde m es la masa total. -ueden deducir ecuaciones semejantes para o también pueden obtenerse simplemente mediante un cambio cíclico de
x , y , z
en las ecuaciones anteriores. (e observa
fácilmente que las ecuaciones anteriores no conviene usarlas, a menos que los ejes x , y , z sea$ ejes centroidales, siendo tal caso%
O
el centro de masa. -ara
*sando en ve de transformaci$n, como%
podemos escribir las ecuaciones anteriores de
x , y , z
se pueden obtener otras cuatro
ecuaciones. Aora se pueden resumir todas estas ecuaciones como sigue%
Momentos de inercia de cuerpos compuestos
&uando una de las partes componentes sea un agujero, su momento de inercia deberá restarse del momento de inercia de la parte ma+or para obtener el mo! mento de inercia del cuerpo compuesto. En la tabla 1.# se consignan los mo! mentos de inercia de algunas formas corrientes tales como varillas, placas. cilindros, esferas + conos.
producto de inercia
En los estudios del movimiento de cuerpos rígidos aparecen, a veces, expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeño elemento por las distancias del mismo a un par de planos de coordenadas ortogonales. Este producto, semejante al momento segundo mixto de superficie, se denomina
%rodu#tode i$er#ia
del elemento. -or ejemplo, el
producto de inercia del elemen!8 to representado en la figura 1.91 respecto a los planos xz e yz es, por definici$n,
??../1.">0 'a suma de los productos de inercia de todos los elementos de masa del cuerpo respecto a los mismos planos ortogonales se define diciendo que es el producto de inercia del cuerpo. 'os tres productos de inercia del cuerpo representado en la figura -1.91 son.
??../1."0
'os productos de inercia, como los momentos de inercia, tienen las dimensiones de una masa multiplicada por el cuadrado de una longitud, M L
2
. En el sistema () se miden en
kg.m
2
+ en el *.(. &ustomar+
2
s+stem, en
slug.ft .
El producto de inercia de un cueipo puede ser positivo, negativo o nulo +a que las dos coordenadas tienen signos independientes. El producto de inercia será positivo cuando las dos coordenadas sean de igual signo + negativo cuando tengan signos opuestos. El producto deinercia será nulo cuando uno u otro de los planos sea un plano de simetría, +a que los pares de elementos simétricos respecto a éste tendrán productos de inercia opuestos cu+a suma dará cero.
'os métodos de integraci$n utiliados para determinar momentos de inercia son igualmente aplicables al cálculo de productos de inercia. (eg3n de qué manera se tome el elemento, será necesaria una integraci$n simple, doble o triple. 'os momentos de inercia de placas delgadas estaban relacionados con los momentos segundos de superficie de la misma placa. Análogamente, se po! drán relacionar los productos de inercia con los momentos segundos mixtos de las placas. (i la placa tiene una densidad %
uniforme, un grosor
t
uniforme + una secci$n de área
&
, los
productos de inercia serán, por definici$n,
?../1."B0
donde los subindices m + & se refieren a productos de inercia de masa + mo Csuperficie, resefiirnente. 'os productos de inercia
I yzm
e
una placa delgada son nulos +a que se supone que los ejes x
I zxm
e
de y
+
estan contenidos en el plano medio de la placa /plano de simetría0. (e puede desarrollar, para los productos de inercia, un teorema de (teiner mu+ parecido al correspondiente a los momentos segundos mixtos de superficie que se desarroll$ en el apartado 1.".. &onsidérese el cuerpo representado en la figura 1.9", el cual tiene un sistema de coordenadas xyz
con origen en el centro de masa 7 del cuerpo + un sistema de
coordenadas x ’ y ’ z ’
con origen en el punto
anteriores. En la figura se observa que
O’
+ ejes paralelos a los
El producto de inercia ) del cuerpo respecto a los planos x ’ z ’
e
y ’ z ’
es, por definici$n,
&omo x´ e y´ tienen el mismo valor para todo elemento de masa
Aora bien,
+ como los ejes x e y pasan por el centro de masa 7 del cuerpo,
-or tanto,
dm
?./1.90
'as ecuaciones 1.9 constitu+en el teorema de (teiner para productos de inercia. El subíndice 7 indica que los ejes x e y pasan por el centro de masa 7 del cuerpo. Así pues, si se conoce el producto de inercia de un cuerpo respecto a un par de planos ortogonales que pasen por su centro de masa, podrá allar el producto de inercia de dico cuerpo respecto a todo par de planos paralelos a los anteriores, sin necesidad de integraci$n, utiliando las ecuaciones 1.9.
EJERCICIOS El cono circular recto está formado por rotaci$n de la ona de sombra alrededor de la x eje. 2eterminar el momento de inercia Ix + expresar el resultado en términos del total constante.
m
la masa del cono. El cono tiene un
(
densidad
2eterminar el momento de inercia de la semielipsoide con respecto al eje expresar el resultado en términos de la masa tiene una densidad
(
constante.
m
x +
de la semielipsoide. El material
2eterminar el momento de inercia del elipsoide con respecto al eje el resultado en términos de la masa densidad ( constante.
x + expresar
m del elipsoide. El material tiene una
