Unidad 5 Cinetica de Los Cuerpos Rigidos en El Plano

DINÁMICA UNIDAD V:

CINÉTICA DEL CUERPO RÍGIDO

CINETICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO    

5.1 5.2 5.3 5.4

Introducción Ecuaciones del movimiento plano de un cuerpo rígido Momento angular de un cuerpo rígido en el plano Movimiento de un cuerpo rígido

 5.4.1 Principio de D´ Alembert  5.4.2 Traslación, rotación centroidal y movimiento general

 5.5 Trabajo y energía  5.5.1 Trabajo de una fuerza  5.5.2 Energía Cinética  5.5.3 Principio de la conservación de la energía  5.5.4 Potencia  5.6 Principio de impulso y de la cantidad de movimiento

5.1 Introducción Dado que un cuerpo rígido es un conjunto de puntos materiales, podremos utilizar las relaciones desarrolladas en el capítulo anterior para el movimiento de un sistema de puntos materiales. En este capítulo se aplicará muchas veces la ecuación:

R  m aG

Ecuación que relaciona la resultante R de las fuerzas aplicadas exteriormente con la aceleración aG del centro de masa G del sistema. En el caso más general en que la resultante del sistema de fuerzas exteriores consista en una fuerza resultante R que pase por el cdm G más un par de momento C, el cuerpo experimentará Rotación y Traslación. Las leyes de Newton sólo son aplicables al movimiento de un punto material (traslación), no siendo adecuadas para describir el movimiento de un cuerpo rígido que puede ser de traslación más rotación; así pues, se necesitarán ecuaciones adicionales para relacionar los momentos de las fuerzas exteriores con el movimiento angular del cuerpo.

5.2 Ecuaciones del movimiento plano A continuación se van a extender las leyes de Newton para poder cubrir el movimiento plano de un cuerpo rígido, proporcionando así ecuaciones que relacionen el movimiento acelerado lineal y angular del cuerpo con las fuerzas y momentos que lo originan.

Dichas ecuaciones pueden utilizarse para determinar: 1.- Las aceleraciones instantáneas ocasionadas por fuerzas y momentos conocidos, o 2.- Las fuerzas y momentos que se necesitan para originar un movimiento prefijado.

En el capítulo anterior se desarrolló el “principio del movimiento del centro de masa” de un sistema de puntos materiales. Como un cuerpo rígido se puede considerar como un conjunto de puntos materiales que mantienen invariables sus distancias mutuas, el movimiento del CDM G de un cuerpo rígido vendrá dado por la ecuación: R  m aG

Escalarmente:

F

x

Rx  m aGx

F

y

Ry  m aGy

F

z

Rz  m aGz

La ecuación anterior se obtuvo simplemente sumando fuerzas, con lo que no se tiene información de la situación de su recta soporte.

El movimiento real de la mayoría de los cuerpos rígidos consiste en la superposición de la traslación originada por la resultante R y la rotación debida al momento de esa fuerza cuando su recta soporte no pasa por el cdm G del cuerpo. ANALISIS DE LA ROTACIÓN: Consideremos un cuerpo rígido de forma arbitraria como el de la figura. • El sistema de coordenadas XYZ está fijo en el espacio. • El sistema de coordenadas xyz es solidario al cuerpo en el punto A. • El desplazamiento de un elemento de masa dm respecto al punto A viene dado por el vector ρ y respecto al origen O del sistema de coordenadas XYZ viene dado por el vector R. • El desplazamiento del punto A respecto al origen O del sistema XYZ lo da el vector r.

Las resultantes de las fuerzas exteriores e interiores que se ejercen sobre el elemento de masa dm son F y f, respectivamente. Así, el momento respecto al punto A de las fuerzas F y f es:

dM A   x ( F  f )

 según la 2ª ley de Newton: F  f  dm adm  dm R Así:

dM A   x ( F  f )  (  x adm ) dm

La aceleración adm de un cuerpo rígido en movimiento plano puede escribirse:

adm  a A   x     x  x   Sustituyendo e integrando, tenemos:





M A   (  x a A ) dm    x  x   dm    x   x  x    dm m

m

m

El movimiento plano de un cuerpo rígido es un movimiento en el cual todos los elementos del cuerpo se mueven en planos paralelos, llamando plano del movimiento a un plano paralelo que contiene el cdm G. Según la figura, los vectores velocidad angular y aceleración angular serán paralelos entre sí y perpendiculares al plano de movimiento. Si tomamos el sistema de coordenadas xyz de manera que el movimiento sea paralelo al plano xy, tendremos que:

a Az   x   y  0

z    z   z   Para el movimiento en el plano xy, los diferentes términos de la expresión de MA, cuando el punto A está situado en el plano de movimiento se desarrollan a continuación:

i

j

0

0    y i x j

i j k 0 0    y  i x j

x

y

x

k z



y

z



M A    x a A  dm    x  x   dm    x   x  x    dm m

i

j

x

y

a Ax

a Ay

m

m

k

z   z a Ay i  z a Ax j x a Ay  y a Ax  k

0

i

j

k

0

0

  x 2 i y  2 j

 y

x

0





M A    x a A  dm    x  x   dm    x   x  x    dm m

m

m





y z  2 i z x 2 j

 x z  i  y z  j x 2  y 2  k

 z aAy i  z aAx j x aAy  y aAx k

M Ax  a Ay  z dm    z x dm   2  y z dm m

M Ax i  M Ay j M Az k

m

m

M Ay  a Ax  z dm    y z dm   2  z x dm m

m

m





M Az  a Ay  x dm  a Ax  y dm    x 2  y 2 dm m

m

m

Las integrales que aparecen en el desarrollo anterior son:

 x dm x m  z x dm  I m

Momentos primeros

Azx

m

 y dm  ym  y z dm  I m

m

 z dm  zm

 x

m

m

2



Ayz

 y 2 dm  I Az

Productos de Inercia Momento de Inercia

Como z  0 ya que se trata de un movimiento plano en el plano xy que pasa por el cdm G (y por el punto A) tenemos: M Ax   I Azx   2 I Ayz M Ay   I Ayz   2 I Azx M Az  a Ay x m  a Ax y m   I Az

Este sistema de ecuaciones relaciona los momentos de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo rígido con las velocidades angulares y las propiedades inerciales del cuerpo.

M Ax   I Azx   2 I Ayz M Ay   I Ayz   2 I Azx M Az  a Ay x m  a Ax y m   I Az Los momentos de las fuerzas y los momentos y productos de inercia lo son respecto a los ejes xyz que pasan por el punto A y están fijos en el cuerpo. Si no estuvieran fijos en el cuerpo, los momentos y productos de inercia serían funciones del tiempo. Las ecuaciones muestran que pueden ser necesarios los momentos MAx y MAy para mantener el movimiento plano en torno al eje z. En la mayoría de los problemas de Dinámica referentes al movimiento plano, se pueden simplificar las ecuaciones anteriores.

Principio de D‘ Alembert

El principio de D’ Alembert enunciado por Jean D’ Alembert en su obra maestra Tratado de dinámica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico.

El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas externas a un sistema:

Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo:

momentum de la partícula i-ésima.

fuerza externa sobre la partícula i-ésima.

cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes.

El principio de d'Alembert es realmente una generalización de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hecho de que las fuerzas de ligadura no realizan trabajo en un movimiento compatible. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones de EulerLagrange. Lagrange usó este principio bajo el nombre de principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abandonando desde entonces el principio de acción y basando todo su trabajo en el principio de D'Alembert durante el resto de su vida y de manera especial en su Mécanique Analytique.

 Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos

razones: • En primer lugar, el principio de acción estacionaria

está ligado a la existencia de una función potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d'Alembert. • En segundo lugar, el principio de acción se presta a

interpretaciones filosóficas y teleológicas que no le gustaban a Lagrange.

Finalmente debe señalarse que el principio de d‘ Alembert es peculiarmente útil en la mecánica de sólidos donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y cálculo de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el cálculo mediante el principio de D‘ Alembert, que también se llama en ese contexto principio de los trabajos virtuales es ventajoso sobre el enfoque más simple de la mecánica newtoniana.

El principio de D'Alembert formalmente puede derivarse de las leyes de Newton cuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La derivación resulta de hecho trivial si se considera un sistema de partículas tal que sobre la partícula i-ésima actúa una fuerza externa más una fuerza de ligadura entonces la mecánica newtoniana asegura que la variación de momentum viene dada por:

Si el sistema está formado por N partículas se tendrán N ecuaciones vectoriales de la forma si se multiplica cada una de estas ecuaciones por un desplazamiento arbitrario compatible con las restricciones de movimiento existentes:

Donde el segundo término se anula, precisamente por escogerse el sistema de desplazamientos arbitrario de modo compatible, donde matemáticamente compatible implica que el segundo término es un producto escalar nulo.

Finalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigue exactamente el principio de D'Alembert.

Ecuaciones de Euler-Lagrange El principio de d'Alembert en el caso de existir ligaduras no triviales lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange, si se usa conjunto de coordenadas generalizadas independientes que implícitamente incorporen dichas ligaduras. Consideremos un sistema de N partículas en el que existan m ligaduras:

Por el teorema de la Función Implícita existirán n = 3N-m coordenadas generalizadas y N funciones vectoriales tales que:

El principio de d'Alembert en las nuevas coordenadas se expresará simplemente como:

(4)

La última implacación se sigue de que ahora todas las son independientes. Además la fuerza generalizada Qj y el término Wj vienen dados por:

Expresando Wj en términos de la energía cinética T tenemos:

Y por tanto finalmente usando (4) llegamos a las ecuaciones de EulerLagrange:

(5) Si las fuerzas son además conservativas entonces podemos existe una función potencial U(Wj) y podemos definir el lagrangiano L = T - U, simplificando aún más la expresión anterior.

Sistemas en movimiento acelerado Otra consecuencia del principio de D'Alembert es que conocidas las aceleraciones de un cuerpo rígido las fuerzas que actúan sobre el mismo se pueden obtener mediante las ecuaciones de la estática. Dicho de otra manera, si se conocen todas las aceleraciones un problema dinámico puede reducirse a un problema estático de determinación de fuerzas. Para ver esto necesitamos definir las fuerzas de inercia dadas por:

Donde:

es la aceleración conocida de un punto del sólido.

es la velocidad angular conocida del sólido.

son respectivamente la masa y el momento de inercia del sólido con respecto a un sistema de ejes que pase por el punto c.

En estas condiciones las ecuaciones del movimiento pueden escribirse como un problema de estática donde existe una fuerza adicional y un momento adicional:

Traslación, Rotación y movimiento plano cualquiera de un cuerpo rígido Los problemas de movimiento plano se pueden clasificar, según su naturaleza, en: 1.- Traslación. 2.- Rotación en torno a un eje fijo. 3.- Movimiento plano cualquiera. Los dos primeros son casos particulares del Movimiento plano cualquiera. Para un cuerpo de forma arbitraria, las ecuaciones de Movimiento plano cualquiera desarrolladas anteriormente vienen dadas por las ecuaciones en la forma:

 Fx  max

 Fy  may F

x

0

M Ax   I Azx   2 I Ayz M Ay   I Ayz   2 I Azx M Az  a Ay x m  a Ax y m   I Az

16.4.1 Traslación Un cuerpo rígido lleva movimiento de Traslación cuando todo segmento rectilíneo del cuerpo se mantenga paralelo a su posición inicial a lo largo del movimiento. Durante la Traslación, no hay movimiento angular (ω = α = 0); por tanto, todas las partes del cuerpo tienen la misma aceleración lineal a. La Traslación sólo puede tener lugar cuando la recta soporte de la resultante de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo pase por su cdm G. En el caso de Traslación, con el origen del sistema de coordenadas xyz en el cdm G x  y  0 del cuerpo , las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a:

F  ma F  ma M  0 x

Gx

y

Gy

Gz

Cuando un cuerpo está animado de una traslación como la ilustrada en la 1ª figura, podemos tomar el eje x paralelo a la aceleración aG, en cuyo caso la componente aGy de la aceleración será nula. Cuando el cdm de un cuerpo siga una curva plana, como se observa en la 2ª figura, suele ser conveniente tomar los ejes x e y en las direcciones de las componentes instantáneas normal y tangencial de la aceleración. Si se suman los momentos de las fuerzas exteriores respecto a un punto que no sea el cdm deberá modificarse la ecuación de momentos a fin de tener en cuenta los efectos de aGx y de aGy. Así,

F  ma F  ma M  a x

Gx

y

Gy

Az

Gy

x m  aGx y m

16.4.2 Rotación en torno a un eje fijo Este tipo de movimiento plano se produce cuando todos los elementos de un cuerpo describen trayectorias circulares alrededor de un eje fijo. La figura representa un cuerpo rígido simétrico respecto al plano de movimiento I I 0



Gzx

Gyz



y que gira en torno a un eje fijo que pasa por el cdm G del cuerpo

x  y  0

En este caso aG = 0; por tanto, las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a

F F

x

 m aGx  0

y

 m aGy  0

M

Gz

 I Gz 

A menudo aparecen rotaciones en torno a ejes fijos que no pasan por el cdm del cuerpo.

La figura representa un cuerpo rígido simétrico respecto al plano de movimiento I Gzx  I Gyz  0





y que gira en torno a un eje fijo que NO pasa por el cdm G del cuerpo En este caso aA = 0; por tanto, las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a 2 F  m a   m x   x Gx

F

y

 m aGy  mx 

M

Az

M

Az

 I Az 

  M Gz   Fy x   Fx y   M Gz  x ma Gy  y ma Gx 





  M Gz  x ma Gy  I Gz   x m x    I Gz  x 2 m   I Az 

0

16.4.3 Movimiento plano cualquiera En la figura, donde un émbolo está conectado a un volante mediante una biela AB, se ilustran tres formas de movimiento plano: 1.- Rotación del volante en torno a un eje fijo. 2.- Traslación rectilínea del émbolo 3.- Movimiento plano cualquiera de la biela AB Cuando el volante gira un ángulo θ, el pasador A recorre una distancia sA = Rθ a lo largo de un camino circular. El movimiento del pasador B se puede considerar que es una superposición de los desplazamientos resultantes de una traslación curvilínea de la biela y de una rotación de la biela en torno al pasador A. Como resultado de estos dos desplazamientos, el pasador B recorre una distancia sB a lo largo de un camino horizontal. Así pues, el movimiento plano de la biela AB es la superposición de una traslación y una rotación en torno a un eje fijo.

Análisis Cinético de la Biela: Tenemos dos posibilidades: A.- Si se toma el origen de coordenadas en el pasador A y los ejes x e y están orientados según el eje de la biela y perpendicularmente a ella  y  0 , respectivamente, las ecuaciones generales de movimiento plano quedan así:

F F

x

 m aGx

y

 m aGy

M

Az

 a Ay x m  I Az 

B.- Si se sitúa el origen del sistema de coordenadas en el cdm G de la biela, las ecuaciones se reducen a:

F F

x

 m aGx

y

 m aGy

M

Gz

 I Gz 

Cuando el cuerpo no sea simétrico respecto al plano del movimiento, habrá que ir con cuidado al aplicar las ecuaciones y reducirlas adecuadamente mediante la selección del sistema de coordenadas xyz solidario al cuerpo. Ejemplo 1: Disco macizo montado sobre un árbol que forma con el eje del disco un ángulo θ. En un sistema de coordenadas xyz de origen coincidente con el cdm G del disco. El plano xz es plano de simetría como

x  y  0, I Gyz  0 y aG  0

tenemos:

F F F

x

 maGx  0

M Ax   I Gzx

y

 maGy  0

M Ay   2 I Gzx

x

0

M Az   I Gz

Siguiendo con el análisis de cuerpos no simétricos respecto al plano del movimiento tenemos otro ejemplo:

Ejemplo 2: Placa triangular de grosor uniforme solidaria a un árbol circular que gira. Para un sistema de coordenadas xyz con origen A en el eje del árbol. El plano xz es plano de simetría

y  0, I Ayz  0 y a A  0

como tenemos:

2 F  ma   m x   x Gx

 Fy  maGy  mx F

x

0

M Ax   I Azx M Ay   2 I Azx M Az   I Az

Trabajo y energía

t = h / V

t = s / V V=0

V0 = 0

V=0

V0 = 0

¿ Físicamente en qué se diferencian o asemejan ambas realizaciones?

Energía Medida cuantitativa del movimiento en todas sus formas.

Trabajo Medida cuantitativa de la transferencia de movimiento ordenado de un cuerpo a otro mediante la acción de una fuerza

El trabajo es un escalar 2

W   F  ds

Escalar [J]

1 2

W   Fds cos θ  0 1

En los tramos donde cita < 90o el trabajo es motor

En los tramos donde cita > 90o el trabajo es resistivo En los tramos en que cita = 90 el trabajo es nulo

F

 X1



X X2

X =

X2 - X1

¿CUÁL SERA EL TRABAJO EFECTUADO POR LA FUERZA F?

Fuerza constante y desplazamiento rectilíneo mov

θ

Fy

2

F

W   F  ds

Fx

1

x

2

2

1

1

W   Fdx cos θ  F cos θ  dx  F cos θ x 2

2

1

1

W   Fx dx Fx  dx Fx x

F es una fuerza constante F sen 



F

F cos 

x

W = F  X COS   Fx x

Trayectoria RECTILÍNEA y

F es una FUERZA CONSTANTE F sen 



F

F cos 

x   w  F  x

El trabajo realizado por una Fuerza constante Es igual al producto de la componente de la fuerza a lo largo de la direccion del desplazamiento por el desplazamiento El trabajo realizado por una Fuerza constante Es igual al producto escalar del vector fuerza por el desplazamiento

Fx (N )

Fx

W X1

X2

X(m)

W  Fx ( x2  x1 )  Fx x

En toda grafica Fuerza Vs Desplazamiento El área bajo la curva nos da el trabajo realizado por la fuerza paralela al desplazamiento

F 

Como

0 < </2

X cos  > 0

Entonces el trabajo es positivo

F

Como

 = /2

X

cos  = 0

Entonces las fuerzas perpendiculares al desplazamiento no realizan trabajo

F



Como

/2 < <

cos  <0

Entonces el trabajo es negativo

X

T

W T= 0

ds

Fr

mov

θ

N

N

Fg

Fg x

WN = 0

WFg > 0 WFr < 0 WN= 0



WFg= 0

Fuerza variable, Desplazamiento rectilíneo F Fx W

=

Fx  i

i

X

i

Expresión general para el trabajo F

r

C F : Fuerza C : trayectoria

El trabajo efectuado por F cuando el cuerpo se mueve a través de la curva C esta dada por la expresión : W = F.dr = (Fx dx +Fydy + Fzdz) donde:Fx, Fy, Fz: componentes de F y además la curva C está definida a través de: y =f(x), z =f(x) Esta es la llamada integral de línea

El trabajo es una magnitud aditiva 2

2

i 1©

©1 i

WT   Wi    Fi  ds    Fi  ds  i

2

  FR  ds  WFR ©1

WT  WFR

Fi 1

C FR

2

Potencia: trabajo realizado por una fuerza, por unidad de tiempo

dW F  dr [W] P   F V dt dt Se define como el trabajo efectuado por unidad de tiempo

P = W/t : Potencia P = lim W/t = dW/dt  t  0

Teorema del W y la Energía cinética 2

WT  WFR   FR  dr ©1

  ( FT  FN )  dr

2

2

WT   FT  dr   ma T  dr

©

1

©

1

2

2



WT   m v(d v) cos 0  m v dv 

1

1

2

©1

2

dv  m μˆ T  dr dt 1

©

v2

m 2  v 2 v1

m 2 WT  WFR  2 v

WT  WFR



v2 v1

1 2 2  m v 2  m v1 2

WT  WFR   K



Se define la energía cinética como : K= mV2/2 Como la energía asociada al Movimiento mecánico de un cuerpo, luego: El trabajo efectuado por la fuerza resultante o el trabajo total es igual al cambio en la energía cinética de la particula

Ejemplo 1: Un automóvil que viaja a 48Km/h , se puede detener en una distancia mínima de 40 m al aplicar los frenos . Si el mismo auto se encuentra viajando a 96Km/h, Cual es la distancia mínima para detenerse?

Vi

Vf =0 d

5.5.3 PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

La ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un calefactor.

5.5.4 POTENCIA

En física, potencia (símbolo P)1 es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo.

POTENCIA MEDIA Si ΔW es la cantidad de trabajo realizado durante un intervalo de tiempo de duración Δt, la potencia media durante ese intervalo está dada por la relación:

POTENCIA INSTANTÁNEA La potencia instantánea es el valor límite de la potencia media cuando el intervalo de tiempo Δt se aproxima a cero. Donde P es la potencia, W es el trabajo, t es el tiempo.

5.6 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO  Es una magnitud vectorial, que en mecánica clásica se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado.  La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo.

Mecánica newtoniana Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el contexto de la mecánica newtoniana

Cantidad de movimiento de un medio continuo Si estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por ejemplo, un fluido que se mueve según un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal:

Conservación Mecánica newtoniana En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuerzas externas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales ejercen fuerzas paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica newtoniana del sistema de partículas puede probarse que existe una integral del movimiento dada por: