I nt r od u cc i ón La x , v y a de una partícula se especifican con respecto a un sistema de referencia previamente fijado. Pero, el sistema de coordenadas se puede mover respecto a otro sistema de coordenadas, y así sucesivamente. Cuando se habla de la “v de un automóvil”, nos referimos a su v respecto a un sistema de referencia fijo a la Tierra y que se desplaza con ella. Pero la Tierra gira alrededor de su eje y recorre su órbita entorno al Sol ; este a su vez se mueve, respecto a las estrellas, y así sucesivamente. Los principios de la relatividad, desarrollados por Albert Einstein y otros, tratan del movimiento de una partícula respecto a dos sistemas de referencia distintos, ellos mismo con movimiento uno del otro. Las ecuaciones que relacionan las coordenadas de un movimiento en el sistema A con las del mismo movimiento en el sistema B son las denominadas ecuaciones de Tr an s f o rm a c ión d e G al il eo -N ew t o n para dos sistemas A y B en m o v i m ien t o r el at iv o u n if o rm e .
Ejem p l o s d el m o v im i en to r elat iv o : Un
auto que avanza lentamente parece moverse hacia atrás cuando se lo rebasa. Una
bus en reposo parece en movimiento si otro junto a ella se mueve.
Un
pasajero sentado en un vagón de ferrocarril se encuentra en reposo con respecto al vagón; pero como el tren se mueve con respecto a la Tierra, el pasajero se encuentra en movimiento con respecto a los árboles que observa desde el tren. A su vez, esos árboles están en reposo respecto de la Tierra, pero en movimiento respecto del pasajero del tren Posibilidades en el movimiento relativo: Movimiento relativo entre dos partículas respecto a un mismo sistema referencia. Movimiento relativo de una partícula respecto a dos sistemas de referencia diferentes en movimiento relativo entre sí. Primero consideramos la velocidad relativa en línea recta, y luego la generalizaremos a un plano.
M o v i m i en t o r e la t iv o u n i d i m e n s i o n a l Suponga un tren de carga con plataformas identificado con F y con movimiento a la derecha sobre un carril recto horizontal; y que un conductor arriesgado conduce su motocicleta (A) sobre las plataformas del tren, también hacia la derecha, como se muestra en la Fig. v F / E = v elo c id ad d el tren d e c arg a F res pec to a la Tierra E.
v A / F = v elo c id ad d e la m oto c ic leta A res pec to al tren d e c arg a F
¿Se quiere determinar la velocidad de la motocicleta respecto a Tierra ? Aplicar la “Regla del dominio:
v A E
v A F
v F E
“El vector velocidad de la motocicleta respecto a la Tierra, es la suma vectorial de la velocidad de la motocicleta respecto al tren con la velocidad del tren de plataformas respecto a Tierra” .
E je m p l i f i q u e m o s e s t e c as o :
v F E = 13 m / s v A F = 17 m / s v A E = 13 + 17 = 30 m / s
v F E = 13 m / s
Un observador en Tierra interpreta este valor como un acercamiento de la moto al observador = -17 + 13 = - 4 m / s con rapidez de 4 m/s
v A F = - 17 m / s
v A E
El observador en Tierra interpreta, como el alejamiento de la moto respecto a este con rapidez de 30 m/s.
Reg la g en er al d e c o m b in ac ión d e v elo c id ad es r elat iv as Reg la
1.- Escribir las velocidades relativas con doble subíndice y el
orden adecuado. Por ejemplo v A B se interpreta como la velocidad de A respecto a B. Reg la 2.- Para sumar velocidades relativas, la primera letra del subíndice debe ser igual a la última letra del subíndice anterior. Reg la 3.- La primer letra del subíndice de la primer velocidad en la suma, y la segunda letra del subíndice de la última velocidad son los subíndices, de la velocidad relativa representada por la suma. Reg la 4.- Cualquiera de las velocidades de una ecuación puede transponerse de un miembro a otro, con el signo cambiado; es decir:
v A B
v
B A
Generalidad d e la Regla del Dom ino:
La regla del dominio puede ampliarse para incluir un número cualquiera de velocidades relativas. Por ejemplo: un insecto B se mueve por el asiento de la motocicleta a una velocidad respecto a éste de v , su velocidad respecto a Tierra es el vector suma dado por:
v B E
v B A v A E
v B A v A F v F E
E j em p l o s d e a p l i c ac i ón : M o v i m i en t o r e la ti v o e n u n a d i m e n s i ón 1. Una “banda móvil” de un aeropuerto se mueve a 1.0 m/s y tiene 35.0 m de largo. Si una mujer entra en un extremo y camina a 1.5 m/s relativa a la banda móvil, ¿cuánto tardará en llegar al otro extremo si camina a) en la misma dirección en que se mueve la banda? b) ¿ En la dirección opuesta?. Rta. (a) 14 s (b) 70 s
2. Dos muelles, A y B, están situados en un río; B está a 1500 m río debajo de A. Dos amigos deben ir de A a B y regresar. Uno rema un bote con rapidez constante de 4.00 km/h relativa al agua; el otro camina en tierra a 4.00 km/h (constante). La velocidad del río es 2.80 km/h en la dirección de A a B, ¿Cuánto tarda cada persona en hacer el viaje redondo? Rta.. 1.47 h y 0.76 h.
3. Imagine que viaja al norte en un camino recto de dos carriles a 88 km/h. Un camión que viaja a 104 km/h se acerca a usted (en el otro carril, no se preocupe). (a) ¿Qué velocidad tiene el camión relativa a usted?. (b) ¿Y usted relativa al camión?. (c) ¿Cómo cambian las velocidades relativas una vez que los dos vehículos se han pasado? Rta.- (a) 16 km /h (b) – 16 km/h
M o v i m i e n t o r e la ti v o e n d o s d i m e n s i o n e s
El concepto de velocidad relativa puede ampliarse para incluir el movimiento de un plano o el espacio. Si suponemos nuevamente un tren de plataformas (F) moviéndose a 13 m/s respecto a Tierra y una motocicleta (A) avanzando en dirección perpendicular al tren a 17 m/s. La v A/ E se calcula nuevamente a través de la regla del dominio:
v F E
v A E
v A F
v A F
13
m/s
= 17
m/s
=
v F E
v A E
2
v A F
arc tg
13
v A E v A F v F E 2
v F E
17
52.6º
17
2
2
13
21.4
m / s
E j em p l o s d e a p l i c ac i ón : M o v i m i e n t o r e la ti v o e n 2 d i m e n s i o n e s 1. La brújula de un avión indica que va al norte, y su velocímetro indica que vuela a 240 km/h. Si hay un viento de 100 km/h de oeste a este, ¿cuál es la velocidad del avión relativa a la Tierra? (260 km/h, 23º E de N)
2. En el ejemplo anterior, (a) ¿qué rumbo debe tomar el piloto para viajar al norte? (b) ¿Cuál será su velocidad relativa a la tierra? ( Suponga que su rapidez respecto al aire y la velocidad del viento son las del ejemplo anterior) Rta..- (a) 218 km/h, (b) 25º
Ejem plo d e aplicación 3: Movim iento r el at i v o e n d o s d i m e n s i o n e s Un aeroplano A vuela hacia el Norte a 300 mi/h con respecto a la tierra. Simultáneamente otro avión B vuela en la dirección N60ºW a 200 mi/h con respecto a la tierra. Encontrar la velocidad de A con respecto a B y B con respecto a A. Rta..- ( 264.6 mi/h, N 47.7 ºE y 264.6 mi/h, S 47.7 W)
E j em p l o s d e ap l i c a c i ón : M o v i m i en t o r e la t iv o c o m b i n a d o 1. Un elevador abierto está ascendiendo con una rapidez constante de 32 pie/s. Cuando está a una altura de 100 pie por encima del suelo, un niño lanza una pelota respecto al elevador es 64 pie/s. a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?, b) ¿Cuánto tiempo tardará la pelota en volver a caer al elevador?. Rta.: a) 244 pie, b) 4.0 s. 2. Un hombre sobre un furgón plano que viaja con rapidez constante de 9.10 m/s quiere lanzar una pelota a través de un aro estacionario de 4.90 m sobre la altura de la mano, de modo que la bola se mueve horizontalmente al pasar por el aro. El hombre lanza la bola con una rapidez de 10.8 m/s respecto a si mismo. (a) ¿Qué componente vertical debe tener la velocidad inicial de la bola? (b) ¿Cuántos segundos después del lanzamiento la bola atravesará el arco? (c)¿A qué distancia horizontal del aro se deberá soltar la bola? (d) Cuando la pelota deja la mano del hombre, ¿qué dirección tiene su velocidad relativa al marco de referencia del vagón? ¿Relativa al marco de referencia de un observador parado en el suelo?
E j em p l o d e a p l i c ac i ón 3 : Mo v i m i en t o r e la ti v o c o m b i n a d o 3. Un helicóptero vuela en línea recta con una rapidez constante de 4.9 m/s a una altura constante de 4.9 m sobre un terreno plano. Desde el helicóptero se lanza horizontalmente un paquete con una rapidez de 12 m/s respecto a éste y en dirección opuesta a la de su movimiento. a) Determinar la velocidad inicial del paquete en relación al piso, b) ¿Cuál es la distancia horizontal entre el helicóptero y el paquete, cuando éste choca con el piso?, c) ¿Cuál es el ángulo que forma el vector de la velocidad del paquete, respecto del piso, justo antes del impacto?. Rta.: a) 7.1 m/s; b) 1 s c) 12 m y 54.08º.
