Movimiento Relativo a Ejes Rotantes

MECÁNICA DINÁMICA

Movimiento relativo a ejes rotantes

MECÁNICA DINÁMICA


Movimiento relativo a ejes rotantes En la cinemática de partículas, analizamos el siguiente mecanismo: r Y 2r

r rA / B

e



r A



er O

B MECÁNICA DINÁMICA

X 2

MECÁNICA DINÁMICA


Movimiento relativo a ejes rotantes Recordemos las ecuaciones que rigen su movimiento:

Ahora vamos a inscribir este mismo mecanismo, en un sistema coordenado 3D.

MECÁNICA DINÁMICA

3

MECÁNICA DINÁMICA


Z Y

rB

rA/B rA

MECÁNICA DINÁMICA

X

4

MECÁNICA DINÁMICA


Movimiento relativo a ejes rotantes Como vemos, es necesario “reajustar” algunos conceptos: ; velocidad de A relativa al eje rotante AB. Perpendicular a ; aceleración de A relativa al eje de rotante AB.

escalar

MECÁNICA DINÁMICA

vectorial

5

MECÁNICA DINÁMICA


Movimiento relativo a ejes rotantes Al llevar el mecanismo a un sistema X-Y-Z, podemos escribir las ecuaciones de cuerpo rígido:

Si B es fijo:

MECÁNICA DINÁMICA

6

MECÁNICA DINÁMICA


r = 0.25 m

Ejemplo 1: El marco triangular mostrado rota con una velocidad angular de 2 rad/s en sentido antihorario. Simultáneamente el seguidor P se mueve con velocidad constante de 0.2m/s relativo al marco, determinar la aceleración de P y su dirección en la posición mostrada cuando: P a) P se mueve de izquierda a derecha b) P se mueve de derecha a izquierda c) ¿Cuál de los dos casos anteriores es más favorable? d) ¿Existe aceleración de Coriolis? Explique con cálculos

2 rad/s MECÁNICA DINÁMICA

A

7

MECÁNICA DINÁMICA

Solución:


P a) Del problema:

r = 0.25 m

Podemos hallar la aceleración relativa del seguidor:

Luego, la aceleración total del seguidor, será:

2 rad/s

A MECÁNICA DINÁMICA

8

MECÁNICA DINÁMICA

Solución:


P

r = 0.25 m

b) Para este caso :

La nueva aceleración será:

2 rad/s

A MECÁNICA DINÁMICA

9

MECÁNICA DINÁMICA

P

r = 0.25 m

Solución:


c) El primer caso resulta más favorable desde el punto de vista mecánico, pues la aceleración (que en este problema sigue una dirección normal) es menor, por lo tanto, la fuerza de fricción será, en consecuencia, menor. d) Sí existe, para ambos casos:

1° caso 2 rad/s

2° caso A MECÁNICA DINÁMICA

10

MECÁNICA DINÁMICA


Ejemplo 2: El brazo AB está rotando en sentido antihorario con una velocidad angular constante de 4 rad/s. Al mismo tiempo, el disco está rotando en sentido horario con 8 rad/s relativo a AB. Determinar: a) La aceleración del punto P que está en el borde del disco. b) ¿Existe aceleración de Coriolis? Explique con cálculos. 8 rad /s

B

4 rad/s

30º P A

MECÁNICA DINÁMICA

11

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: 8 rad /s

a) De los datos del problema:

Hallamos la velocidad de P relativa a B: B

De igual modo, la aceleración de P relativa a B:

4 rad/s 30º

P A

MECÁNICA DINÁMICA

12

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: 8 rad /s

Entonces, la aceleración de P es:

B b) De lo anterior tenemos que la aceleración de Coriolis es: 4 rad/s 30º

P A

MECÁNICA DINÁMICA

13

MECÁNICA DINÁMICA


Ejemplo 3: En el sistema, determinar la velocidad y aceleración de B, para un observador situado en el vehículo A. La velocidades de A y de B son constantes.

45 mi/h O

A

60 mi/h B

50 pies

MECÁNICA DINÁMICA

14

MECÁNICA DINÁMICA

Solución:


Convertimos las velocidades a pies/s:

La velocidad angular del vehículo A, es:

Luego, la velocidad relativa del vehículo B, es:

MECÁNICA DINÁMICA

15

MECÁNICA DINÁMICA

Solución:


Hallamos la aceleración de A:

Luego, la aceleración relativa del vehículo B, será:

MECÁNICA DINÁMICA

16

MECÁNICA DINÁMICA


Ejemplo 4: Una persona está de pie en el punto A sobre la plataforma circular que gira con velocidad angular constante de 0.5 rad/s en sentido antihorario. Si camina con velocidad constante de 0.75 m/s medida con relación a la plataforma, determine su aceleración cuando alcanza el punto B, según la trayectoria ABC. Nota: Tomar r = 3 m y d = 1m

O A

d r

D

y C

B x

MECÁNICA DINÁMICA

17

MECÁNICA DINÁMICA

Solución:


Existe una componente de aceleración relativa de la persona, ya que se está desplazando en una trayectoria curva de modo que:

Por lo tanto, la aceleración de la persona en B:

MECÁNICA DINÁMICA

18

MECÁNICA DINÁMICA


Ejemplo 5: El disco mostrado se encuentra rodando. Para la posición indicada, la velocidad angular del disco es 5 rad/s en sentido horario y la aceleración angular es 2 rad/s2 en sentido antihorario, al mismo tiempo la velocidad del seguidor P con respecto a la rueda es de 8 pies/s, respectivamente, dirigida hacia abajo. Determinar la aceleración del punto P en esa posición. y ω = 5 rad/s P

12 in O

x

α = 2 rad/s2

MECÁNICA DINÁMICA

19

MECÁNICA DINÁMICA

Solución:


De las características del gráfico, tenemos que: y

P vrel

ω = 5 rad/s Realizamos algunas conversiones:

arel

O

x α = 2 rad/s2

Luego, la aceleración de O:

Por lo tanto, la aceleración de P:

MECÁNICA DINÁMICA

20

MECÁNICA DINÁMICA


Ejemplo 6: El disco D de radio R está unido por un pasador al extremo A del brazo OA de longitud L sobre el plano del disco. El brazo gira con respecto a un eje vertical alrededor de O a la rapidez angular constante de ω1, y el disco gira con respecto a A con una rapidez constante ω2. En función de las variables citadas, determinar: a) La velocidad total del punto P. b) ¿Existe aceleración de Coriolis? ¿Cuál es su valor? c) La aceleración del punto P. L ω1 P

R

O

A

ω2

D MECÁNICA DINÁMICA

21

Z

MECÁNICA DINÁMICA


Solución:

a) Calculamos los términos de la velocidad de P:

Y

y

L

ω1 P R

O

X

A

ω2 x Reemplazando:

D z

MECÁNICA DINÁMICA

22

Z

MECÁNICA DINÁMICA


Solución:

b) De los datos anteriores:

Y

y

L

ω1 P c) Luego, calculamos la aceleración de P:

R

O

X

A

ω2 x

D z

MECÁNICA DINÁMICA

23

MECÁNICA DINÁMICA


Ejemplo 7: La rueda de 200 mm de radio conectada a la barra mediante el pin P, situado a 140 mm del centro A de la rueda , gira hacia la derecha con una velocidad angular constante de 20 rad/s . Cuando θ = 0° , X= 480 mm. Determinar la velocidad angular de la barra BD y la velocidad relativa del pin con respecto a la barra BD cuando θ = 90°. x

θ P

B

D

A

MECÁNICA DINÁMICA

24

MECÁNICA DINÁMICA


Solución:

Datos del problema: 200 x π/2 140

480

ωBD B

D A

A’

Si utilizamos el CI de la rueda, tenemos que la velocidad de P’:

P’

MECÁNICA DINÁMICA

25

MECÁNICA DINÁMICA


Solución:

Si iniciamos desde B, tenemos que: 200 x π/2 140

480

ωBD B A

A’

P’

D De modo que resulta un sistema de ecuaciones:

Resolviendo:

MECÁNICA DINÁMICA

26

MECÁNICA DINÁMICA


A modo de ejercicio, se deja a los alumnos la siguiente variante del problema: Ejemplo 7*: La rueda de 200 mm de radio conectada a la barra mediante el pin P, situado a 140 mm del centro A de la rueda , gira hacia la derecha con una velocidad angular constante de 20 rad/s . Cuando θ = 0° , X= 480 mm. Determinar :

θ

X (mm)

rP/B (mm)

Velocidad angular de BD (rad/s)

Velocidad relativa del pin P (mm/s)

Velocidad absoluta del pin P (mm/s)

Aceleración relativa del pin P (mm/s2)

Aceleración angular de la barra BD (rad/s2)

Aceleración absoluta del pin P (mm/s2)

0° 90° 180° 360°

MECÁNICA DINÁMICA

27

MECÁNICA DINÁMICA


Ejemplo 8: En el sistema mostrado , la aceleración angular de AB es 1 rad/s2 y el carro circular tiene una aceleración angular de 0.6 rad/s2 y una velocidad angular de 0.5 rad/s, ambas en sentido horario. ¿Existe aceleración de Coriolis? Escriba Si, el valor correspondiente en rad/s2 o en su defecto No, Cero

ω’=0.5 rad/s B 60º

y ωAB=2 rad/s

30º A

2 pies

C

x MECÁNICA DINÁMICA

28

MECÁNICA DINÁMICA


Solución:

De los datos tenemos que: 0.6 rad/s2 0.5 rad/s

B

Podemos hallar la velocidad de C relativa al disco:

2 1 rad/s2 2 rad/s 3 A

10 sen30º

C

30º

Por lo tanto, la aceleración de Coriolis es:

MECÁNICA DINÁMICA

29

MECÁNICA DINÁMICA


z ω2

ω1

Problema 9: Un disco de 400 mm de diámetro está rígidamente unido a un eje de 600 mm de longitud, y rueda sin deslizar sobre una superficie fijada en el plano xy. El eje, que es perpendicular al disco, está unido a un pin en A y es libre para pivotar alrededor de A. Además de que el disco y el eje rotan sobre sus propios ejes con velocidad angular ω1, el eje también rota alrededor de una eje vertical con velocidad angular ω2. Si ω1 = 5rad /s y α1= 20 rad/s en el instante mostrado, determine:

A y

B D

C

x

MECÁNICA DINÁMICA

30

MECÁNICA DINÁMICA


Problema 9: z ω2

ω1

a) La velocidad angular total ω y la aceleración angular total α del disco en ese instante. b) La velocidad vc y la aceleración ac del punto C sobre el borde del disco en ese instante.

A y

B D

C

x

MECÁNICA DINÁMICA

31

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: a) La barra AB forma una ángulo con el eje x como se muestra. z

De acuerdo con la regla de la mano derecha, la velocidad angular va del punto B hacia A, y tiene componentes:

ω1

B x

18.43º

A

MECÁNICA DINÁMICA

32

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: Sabemos que el disco gira sin deslizarse. Por lo tanto, el arco DD’ que describe sobre el disco es el mismo que describe sobre el plano xy. z ω2

A ω1 D θ2

y

θ1

D’ x D

s MECÁNICA DINÁMICA

33

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: Derivando lo anterior respecto al tiempo, obtenemos las relaciones entre las velocidades angulares 1 y 2 :

La aceleración angular será la derivada de la velocidad angular:

Donde las derivadas deben considerar los cambios en las direcciones así como los cambios en las magnitudes de 1 y 2 .

MECÁNICA DINÁMICA

34

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: Por lo tanto:

Recordemos que:

Si derivamos con respecto al tiempo:

Reemplazando:

MECÁNICA DINÁMICA

35

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: b) La posición del punto C relativo al punto alrededor del cual el disco gira es:

Entonces, la velocidad del punto C está dada por:

MECÁNICA DINÁMICA

36

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: La aceleración del punto C está dada por la ecuación:

MECÁNICA DINÁMICA

37

MECÁNICA DINÁMICA


B z s y A

Problema 10: La escalera de un carro de bomberos está siendo levantada constantemente a . Simultáneamente, está rotando alrededor del eje vertical en forma constante a y desplegándose constantemente con . Determine la velocidad vB y la aceleración aB del final de la escalera cuando s = 10 m y θ2= 30º

x

MECÁNICA DINÁMICA

38

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: El sistema coordenado xyz está fijado con su origen en A, como se muestra. La rotación del sistema xyz está escogida de tal forma que la escalera siempre está en el plano yz. Entonces, la velocidad relativa está dada por:

Donde:

MECÁNICA DINÁMICA

39

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: Analizando el movimiento de la escalera:

B

A

Por lo tanto:

MECÁNICA DINÁMICA

40

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: La ecuación de la aceleración es:

Donde:

MECÁNICA DINÁMICA

41

MECÁNICA DINÁMICA


Solución: Analizando el movimiento de la escalera:

B

A

Por lo tanto:

MECÁNICA DINÁMICA

42

Movimiento Relativo a Ejes Rotantes

Recommend Documents