INVESTIGACIÓN OPERATIVA
CUADERNO DIGITAL
NOMBRE: Byron Chicaiza Almachi CARRERA: Finanzas y Auditoría ING: Byron Cocha FECHA: 06 de julio del 2017
PERIODO ABRIL-AGOSTO 2017
INVESTIGACIÓN OPERATIVA ORÍGENES
Las actividades formales de investigación de operaciones (I.O) se iniciaron en Inglaterra durante la Segunda Guerra Mundial, cuando un equipo de científicos empezó a tomar decisiones con respecto a la mejor utilización del material bélico. Al término de la Guerra, las ideas formuladas en operaciones militares se adoptaron para mejorar la eficiencia y productividad en el sector civil.
Este capítulo presenta la terminología básica de la I.O, que comprende el modelado matemático, soluciones factibles, optimización y cálculos iterativos. Hace hincapié en que la definición correcta del problema es la fase más importante (y más difícil de practicar la I.O (Investigación Operativa). También se realiza que si bien el modelado matemático es la piedra angular de la I.O, en la decisión final se deben tomar en cuenta factores incuantificables, como el comportamiento humano, por ejemplo. El libro presenta varias aplicaciones que utilizan ejemplos resueltos y problemas específicos.
FASES
Los estudios de investigación de operaciones se basan en la labor de Equipo, donde los analistas de I.O y el cliente trabaja codo con codo. Los conocimientos de modelado de los analistas de I.O se deben complementar con la experiencia y cooperación del cliente para quien realizan el estudio.
Como herramienta de toma de decisiones, la I.O es tanto una ciencia como un arte.
Es una ciencia por las técnicas matemáticas que incorpora, y un arte porque el éxito de las fases que conducen a la solución del modelo matemático depende en gran medida de la creatividad y experiencia del Equipo de I.O. Willemain (1994) manifiesta que “una práctica (de I.O) eficaz requiere más que competencia analítica. También requiere entre otras habilidades de comunicación y supervivencia organizacional”.
Es difícil prescribir cursos de acción específicos (semejantes a los que indica la teoría precisa de la mayoría de los modelos matemáticos) para estos factores intangibles. Sin embargo, podemos ofrecer lineamiento general para la implementación de la I.O en la práctica.
Para implementar la I.O en la práctica, las fases principales son:
Definición del problema: implica definir el alcance del problema investigado. Esta función debe ser realizada por todo el equipo de I.O. el objetivo es identificar tres elementos principales de decisión:
1. Descripción de las alternativas de decisión. 2. Determinar el objetivo del estudio y 3. Especificaciones de las limitaciones bajo las cuales funciona el sistema modelado.
La construcción del modelo: implica un intento de transformar la decisión del problema en relaciones matemáticas. Si el modelo resultante se ajusta a uno de los modelos matemáticos estándar como la programación lineal, se vuelve obtener una solución utilizando los algoritmos disponibles. Por otra parte, si las relaciones matemáticas son demasiado complejas como para simplificar el modelo y utilizar un método heurístico, o bien considerar la simulación, si es lo apropiado. En algunos casos, una simulación matemática puede combinarse con modelos heurísticos para resolver el problema de decisión, como lo demuestran los análisis de casos del capítulo 26, que se encuentra en el sitio web.
La solución del modelo: es por mucho la más sencilla de todas las fases de I.O porque implica el uso de algoritmos de optimización bien definidos. Un aspecto importante de la fase de solución del modelo es el análisis de sensibilidad. Tiene que ver con la obtención de información adicional sobre el comportamiento de la solución óptima cuando el modelo experimenta algunos cambios de parámetros.
La validez del modelo: comprueba si el modelo propuesto hace en realidad lo que dice que hace, es decir ¿predice adecuadamente el comportamiento del sistema que se estudia. Al principio, el equipo de I.O debe estar convencido de que el resultado del modelo no contenga “Sorpresas”.
En esos casos podemos utilizar la simulación como una herramienta independiente para comprobar el resultado del modelo matemático.
La implementación: de la solución de un modelo validado implica la transformación de los resultados en instrucciones de operación compresibles que se emitirán a las personas que administran el sistema recomendado. La responsabilidad de esta tarea recae principalmente en el equipo de I.O.
APLICACIONES
Algunas de las posibles aplicaciones de la I.O se encuadran en:
Problemas de logística y transporte, planificación de la producción, distribución eficiente de recursos humanos, diseño de redes, planificación de horarios, diseño de fixtures deportivos, gestión de licitaciones.
Se aplica en gran número de casos dentro de una organización, conducción y coordinación de operaciones o actividades de la empresa.
EJEMPLOS Una empresa fabrica dos productos A y B. el beneficio para A es 25 dólares por tonelada y para B es 20 dólares. La planta consta de 3 departamentos de producción. Cortado, Mesclado y Enlataje. El equipo en cada departamento puede, emplearse 1.5 horas diarias en el primer departamento, 4 horas en el segundo y al menos 4 en el tercer departamento. El proceso de producción es el siguiente. El producto A emplea ¼ hora de la capacidad de cortado y enlatado, 0.5 hora de mesclado por tonelada. El producto B requiere 0.5 hora por tonelada de la capacidad de mesclado y 1/3 de hora de la capacidad de enlataje. ¿qué combinación de producto deberá elaborar la empresa para maximizar su beneficio?
1) Función Objetiva (Maxi) = 251 + 202
2) Restricciones o modelo matemático: X1
X2
Tiempo de
Producto A
Producto B
disponibilidad
Cortado
1/4
1.5
Mesclado
1/4
0.5
4
Enlataje
0.5
1/3
4
3) Abstracción: 1) 2)
1 ≥ 1.5 1 + 0.52 ≥ 4
3) 0.51 + 2 ≥ 4
4) Restricciones
0.251 = 1.5
0.251 + 0.52 = 4
0.51 + 0.332 = 4
5) Gráfico
INVESTIGACIÓN OPERATIVA INTRODUCCIÓN
La Investigación Operativa es un conjunto de técnicas que han surgido para coordinar la teoría con la práctica, que han servido para solucionar problemas cada vez más complejos que surgen en una empresa, muchos de los avances de la investigación operativa se han debido a que se han encontrado términos matemáticos, desarrollo de la computación y sobre todo métodos más abreviados de cálculo matemático que han hecho factible las soluciones en problemas que hace años se consideraba fuera de nuestras posibilidades. Es una estrategia o técnica para llegar a un objetivo con los recursos mínimos.
La investigación operativa es tomada como una ciencia en formación, de ahí que no existe un concepto formalizado, existen muchas inquietudes pues se puede plantear y resolver problemas en una amplia gama de actividades,
creando fundamentalmente más y nuevas posibilidades de acción práctica en esta nueva materia, estas
características que a la vez van formando la investigación operativa derivan interesantes utilidades para crear modelos de aplicaciones en empresas y oficinas.
La investigación operativa reúne un conjunto de ciencias como: la física, biología, psicología, sociología, estadística, economía, matemáticas, entre otras que identificadas a un problema concreto contribuyen a encontrar la causa y/o defecto de un fenómeno y, en base de modelos matemáticos, métodos estadísticos y criterios cualitativos, procura una definición de problemas y una solución práctica.
FASES DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (optima) para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados. En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos e Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad. Para llevar a cabo el estudio de Investigación de Operaciones es necesario cumplir con una serie de etapas o fases. Las principales etapas o fases de las que hablamos son las siguientes: 1) Formulación de Problema 2) Construcción de un modelo matemático 3) Búsqueda de una solución(es) 4) Prueba de la solución 5) Establecimiento de controles sobre la solución 6) Ejecución (poner a trabajar la solución)
FORMULACION DEL PROBLEMA: Deben estar perfectamente establecidos los objetivos, los cursos alternativos de acción, las restricciones y los efectos de los sistemas de estudio.
Debe tomarse en cuenta que es casi imposible dar solución correcta a un problema incorrectamente planteado.
CONSTRUCCION: Las características esenciales de los modelos permiten describirlos de diferente manera, los modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funcione s, propósitos, temas o grado de abstracción, modelos básicos.
BUSQUEDA DE UNA SOLUCIÓN: Una vez establecido el modelo, el siguiente paso es obtener una solución al problema al partir del modelo. Este paso se lo desarrolla determinando la solución óptima del modelo y luego ampliando esta solución al problema real. Algunas ocasiones las complejidades matemáticas del modelo impiden obtener una solución óptima. En estos casos una buena respuesta es suficiente.
PRUEBA DE LA SOLUCIÓN: Esta prueba se puede hacer en dos pasos: 1. Tomando datos del pasado, haciendo una comparación entre el Rendimiento Lineal del sistema con la realidad de la empresa. 2. Permite esperar el sistema sin cambios y comparando su rendimiento.
ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES SOBRE LA SOLUCIÓN: Debe colocarse controles sobre la solución con el objeto de detectar cualquier cambio en las condiciones en las cuales se basa el modelo; obviamente, si cambian tanto que el modelo ya no es una representación precisa del sistema, el modelo debe ser invalidado en esta fase se explica la solución a la administración responsable del sistema en estudio. Es importante que la explicación de la solución se haga en función de los procedimientos basados en el sistema real.
EJECUCIÓN (PONER A TRABAJAR LA SOLUCIÓN):
Consiste en traducir los resultados del modelo validado en instrucciones para el usuario o los ejecutivos responsables que serán tomadores de decisiones.
PROGRAMACIÓN LINEAL Es una fase de modelos de programación destinados a las designaciones eficientes de los recursos limitados con el objeto de satisfacer las metas deseadas (maximizar utilidades, minimizar, etc.…)
Las características distintivas de los modelos de Programación Lineal es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales o sea ecuaciones o inecuaciones de 1° grado. El objetivo básico de la Programación Lineal es encontrar soluciones mediante modelos matemáticos utiliz ando sistemas lineales a problemas de carácter técnico y económico que se representan por la limitación de los recursos.
FINITUD. - Hay que definir tanto el número de procesos identificados cuantos los resultados disponibles deberán corresponder a CANTIDADES FINITAS (cantidades que tienen límite), esto es conocidas y cuantificadas en forma determinativa, es decir, valores de datos pasados para hacer proyecciones.
DIVISIBILIDAD. - Los procesos pueden utilizarse en extensiones positivas divisibles mientras se disponga de recursos.
ALGORITMOS O ITERACIONES. - La programación lineal utiliza métodos mediante operaciones sucesivas, ensayos, intentos en los cuales se determinan pasos o etapas hasta llegar al objetivo deseado.
EL PROBLEMA GENERAL DE PROGRAMACION LINEAL El problema de la Programación Lineal se presenta por los limitados recursos que se tratan de distribuir en la mejor forma. Los recursos a la vez que son limitados, pueden ser distribuidos en tantas formas como combinaciones matemáticas permitan relacionarlos a un mismo objetivo, de ahí que es necesario distribuirlos adecuadamente en forma equilibrada y armónica entre los factores que intervienen en el problema.
Los problemas de programación lineal resueltos por cualquiera de las técnicas, debe cumplir los siguientes requisitos:
1) Una función objetivo Esta dado en maximización o minimización (Zmax o Zmin). A su vez están dados por sus coeficientes:
MAXIMIZACIÓN
Z(max)= C1X1 + C2 X2 + C3 X3 +……..Cn Xn;
Donde: C1, C2, C3, Cn son los coeficientes de la función objetivo, que pueden ser: márgenes de utilidad, precios, costos, satisfacción, etc.
MINIMIZACIÓN
Z(min)= X1 + X2 + X3+……. Xn
Donde: X1, X2, X3, Xn son las variables que intervienen en el problema, es decir lo que queremos lograr.
2) Limitaciones o Restricciones Son el conjunto de ecuaciones o inecuaciones que expresan las condiciones finitas del problema, denominados también coeficientes técnicos, de producción, tecnológicos, de transporte, etc., según sea el caso de estudio.
3) Variables de no negatividad. - Son todas las variables que intervienen y estos son: X1, X2, X3………… Xn ≥ 0.
4) Condiciones de optimización. - Se va obteniendo por aproximaciones sucesivas.
Solución factible. - Es aquella que satisface las limitaciones y restricciones del problema.
Solución básica factible. - Es aquella que satisface tanto las limitaciones o restricciones como la función objetiva del problema (optimización).
EJERCICIO 1
La compañía Par, Inc. Es un pequeño fabricante de equipo y accesorios para golf cuyos administradores han decidido incursionar en el mercado de las bolsas para bastones de golf hechas de piel, a precios mediano y alto. El distribuidor de Par está muy entusiasmado con la nueva línea de productos y ha aceptado comprar todas las bolsas de golf que fabrique Par en los tres meses siguientes. Después de una investigación cuidadosa de las etapas necesarias para fabricar una bolsa, los administradores determinan que cada bolsa que se fabrique requerirá de las siguientes operaciones: 1. Cortar y teñir el material 2. Coser 3. Terminar (insertar la porta sombrilla, los separadores de palos, etc.) 4. Inspeccionar y embalar El director de manufactura ha analizado cada una de las operaciones y llegado a la conclusión de que, si la compañía fabrica un modelo estándar de precio medio, se requerirá 7/10 de hora en el departamento de corte y teñido, ½ hora en el departamento de costura, 1 hora en el departamento de terminado, y 1/10 de hora en el departamento de inspección y embalaje. El modelo de lujo más costoso requerirá de 1 hora de corte y teñido, 5/6 de hora para costura, 2/3 de hora para el terminado, y ¼ de hora para la inspección y embalaje. El departamento de costos ha analizado estas cifras de producción, ha asignado todos los costos pertinentes y llegado a la conclusión de que se obtendría una contribución a las utilidades de $10 para cada para cada bolsa estándar, y de $9 para cada bolsa de lujo que se fabrique. Además, después de estudiar las proyecciones de las cargas de trabajo en los departamentos, el director de manufactura estima que para la producción de la bolsa de golf en los 3 meses siguientes, habrá disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de costura, 708 horas de acabado y 135 horas de inspección y embalaje. El problema de Par es determinar cuántas bolsas estándares y cuantas bolsas de lujo deben fabricar con objeto de maximizar la contribución a las utilidades. ¿Si usted estuviese cargo del programa de producción que decisión tomaría y por qué?
1. Función Objetiva: Z (MAX)=10X1+9X2
2. Limitaciones o restricciones X1
X2
Modelo estándar
Modelo de lujo
Horas disponibles
Dto. Corte y Tenido
7/10
1
600h
Dto. Costura
1/2
5/6
600h
1
2/3
708h
1/10
1/4
135h
Dto. Terminado Dto. Embalaje
1) 2)
1 + 2 ≤ 608
1 + 2 ≤ 600
3) 1 + 2 ≤ 708
4)
1 + 2 ≤ 135
3. Variable de No Negatividad
1; 2 ≥ 0
4. Condiciones de Optimización
1) 0.71 + 2 = 608 X1
X2
0
608
868.57
0
868.57
608
2) 0.51 + 0.83332 = 600 X1
X2
0
720
120
0
120
720
3) 1 + 0.672 = 708 X1
X2
0
1056.72
708
0
708
1056.72
4) 0.11 + 0.252 = 135 X1
X2
0
540
1350
0
1350
540
5. Gráfico
6. Interpretación Debe producir 700 unidades de modelo estándar y 11 unidades de lujo para obtener una utilidad de $7107.47.
EJERCICIO 2
La firma EMS fabrica 2 productos. Las estimaciones de las unidades son 25$ por cada unidad que se venda del producto 1 y 30$ por cada una que se venda del producto 2. Los requerimientos de mano de obra por hora para los productos en cada uno de los 3 departamentos son: Producto 1
Producto 2
Departamento A
1.50
3.00
450h
Departamento B
2.00
1.00
350h
Departamento C
0.25
0.25
50h
Los productos de cada departamento han estimado que estarán disponibles las siguientes cantidades de mano de obra para el siguiente mes 450 h en departamento A, 350 h en departamento B y 50 h en departamento C. Suponiendo que a la empresa le interesa maximizar las utilidades.
a) Modelo de la programación lineal. Obtenga la solución optima b) Que cantidad se debe fabricar de cada producto y cuál es la cantidad que se proyecta c) Tiempo programado de producción y el tiempo de holgura de cada departamento
SOLUCION 1) Función Objetivo Z(max)=25x1+30x2
2) Restricciones Departamento
Departamento
Departamento
A
B
C
X1
1.5
2
0.25
X2
3
1
0.25
450h
350
50
1) 1 .51 + 32 ≤ 450 2) 21 + 12 ≤ 350 3) 0.251 + 0.252 ≤ 50
3) Valor de No negatividad x1, x2≥0
4) Gráfica
5) Interpretación La empresa debe fabricar 100 unidades del producto 1 y 100 unidades del producto 2 para maximizar sus utilidades a 5500 dolores
EJERCICIO 3
Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustible A y B. El combustible tiene 12.5% de grado 1 y 2 y el 25% de gasolina grado 3. El combustible B tiene 25% de gasolina grado 2 y 3. Disponible para la producción hay 25 galones/ hora grado 1, 100 galones/hora grado 2 y 3. Los costos son 0.15 centavos por galón grado 3. El combustible A puede venderse a $ 66.66 por galón, mientras que el combustible B alcanza a $ 58.75 por galón. ¿Qué cantidad debe fabricarse de cada combustible para obtener el mayor beneficio
Combustible A
Grado 1
Grado 2
Grado 3
Grado 4
12.5%
12.5%
25%
66.88
25%
25%
58.75
100 gal
100 gal
Combustible B Disponibilidad
25 gal
COSTOS A
B
0.125X15
1.88
0.25X30
7.5
0.125X30
3,75
0.25X45
11.35
0,25X45
11.25
18.75
16.88
PRECIO
A
B
66.88
58.75
Función Objetivo
Z(max)=66.88x1+58.75x2
Restricciones 1) Grado 1 0.1251 ≤ 25 2) Grado 2 0.1251 + 0.252 ≤ 100
3) Grado 3 0.251 + 0.252 ≤ 100
Variable de No negatividad x1, x2 ≥0
Gráfico
Z (máx)= 66.88X1 + 58.75X2 Z (máx)= 66.88 (200) + 58.75 (200) Z (máx)= 25.126
Interpretación El fabricante de gasolina debe producir 200 galones/hora de combustible A y 200 galones de combustible B, para obtener una utilidad máxima de $ 25.126.
EJERCICIO 4 El ministerio de obras públicas ha decidido añadir exactamente 200 km de carretera y exactamente 100 km de autopista en el sector de la costa, el precio estándar para la construcción de la carretera es de 1000000 por km de carretera y de 5000000 por km de autopista. Solo dos contratistas, la compañía Prefabricados y la compañía Erazo limitada pueden realizar este tipo de construcciones, así que estos 300 km de camino deben ser construidos por estas compañías. Sin embargo, la compañía Prefabricados puede construir a lo más 200km de carretera y auto pista. Y la segunda compañía puede construir a lo más 150 km. Por razones políticas a cada compañía debe adjudicarse de un contrato de al menos de 250000000 (antes de descuento). La primera compañía ofrece un descuento de 1000 dólares por km de carretera y 6000 por km de autopista. La segunda compañía ofrece un descuento de 2000 dólares por km de carretera y de 5000 por km de autopista.
A) Si x1 y x2 representan el número de km de carretera y autopista respectivamente adjudicados a la compañía Prefabricados demuestre que el descuento total D recibido de ambas compañías de miles de dólares está dada por D = 900000 – x1+x2
B) El ministerio de obras públicas desea maximizar el descuento total D, resuelva el problema mediante el método gráfico.
SOLUCION
Función Objetivo
Z(max)=900000-x1+x2
Restricciones 4) 1 + 52 ≥ 250 5) 1 + 2 ≤ 450 6) 1 + 2 ≤ 200 7) 1 + 2 ≥ 150
Variable de No negatividad x1, x2 ≥0
Gráfico
INTERPRETACION: Se requieren 187.2 km de carretera y 12.5 km de autopista para que se pueda maximizar a 200$. Recibiendo un descuento total de 1200000$.
SEGUNDO PARCIAL
MÉTODO SIMPLEX
El método simplex es un método matemático de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.
El método Simplex es un método iterativo que permite mejorar la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en aminar del vértice de un poliedro o un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetiva, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallara solución.
Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernand Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variable.
Que es una matriz de identidad
Una matriz idéntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el número tanto de filas y columnas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y todos los demás componentes igual a cero (0), se denomina matriz idéntica o identidad de orden n, y se denota por:
La importancia de la teoría de matrices en el Método Simplex es fundamental, dado que el algoritmo se basa en dicha teoría para la resolución de sus problemas.
OBSERVACIONES
IMPORTANTES
AL
UTILIZAR
MÉTODO
SIMPLEX Variables De Holgura Y Exceso
El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas
de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex.
Estas variables suelen estar representadas por la letra "S" , se suman si la restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".
Por ejemplo:
VARIABLE ARTIFICIAL O MÉTODO DE LA “M”
Una variable artificial es un truco matemático para convertir inecuaciones ">=" en ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, la característica principal de estas variables es que no deben formar parte de la solución, dado que no representan recursos. El objetivo fundamental de estas variables es la formación de la matriz identidad.
Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones, su coeficiente es M (por esto se le denomina Método de la M grande, donde M significa un número demasiado grande muy poco atractivo para la función objetivo), y el signo en la función objetivo va en contra del sentido de la misma, es decir, en problemas de Maximización su signo es menos (-) y en problemas de Minimización su signo es (+), repetimos con el objetivo de que su valor en la solución sea cero (0).
EJERCICIO 1
Baba Furniture emplea a cuatro carpinteros durante 10 días para ensamblar sillas y mesas. Se requiere 30 minutos para ensamblar una silla y 2 horas para ensamblar una mesa. Por lo común, los clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa. Las utilidades son de 13.5 dólares por mesa y 5 dólares por silla. La compañía opera un turno de 8 horas al día. Determine la mezcla de producción óptima.
Función objetivo Z(max)=5x1+13.5x2+0s1+0s2+0s3
Restricciones 1)
1 + 22 ≤ 320
2) −1 + 42 ≤ 0 3) 1 − 62 ≤ 0
Variable de No negatividad x1, x2≥0
Tabla 1 5
13.5
0
0
0
xj
bn
x1
x2
s1
s2
s3
S1
320
1/2
2
1
0
0
s2
0
-1
4
0
1
0
s3
0
1
-6
0
0
1
Zj
0
0
0
0
0
0
-5
-13.5
0
0
0
Zj-Cj
Tabla 2 Cj
5
13.5
0
0
0
xj
bn
x1
x2
s1
s2
s3
0
S1
320
1
0
1
-1/2
0
13.5
s2
0
-1/4
1
0
1/4
0
0
s3
0
-1/2
0
0
3/2
1
Zj
0
-27/8
13.5
0
27/8
0
-67/8
0
0
29/8
0
5
13.5
0
0
0
Zj-Cj
Tabla 3 Cj xj
bn
x1
x2
s1
s2
s3
0
x1
320
1
0
1
-1/2
0
13.5
x2
80
0
1
1/4
1/8
0
0
s3
160
0
0
1/2
5/4
1
Zj
2680
5
13.5
67/8
-13/16
0
0
0
67/8
-13/16
0
5
13.5
0
0
0
Zj-Cj
Tabla 4 Cj xj
bn
x1
x2
s1
s2
s3
5
x1
384
1
0
6/5
0
2/5
13.5
x2
64
0
1
1/5
0
-1
0
s3
128
0
0
2/5
1
4/5
Zj
2784
5
13.5
87/10
0
13/20
0
0
87/10
0
13/20
Zj-Cj
INTERPRETACIÓN: La fábrica debe producir 384 sillas y 64 mesas para obtener una utilidad máxima de $2784.00 dólares.
