DEPARTA DEPARTAMENTO MENTO DE D E ENERGÍA ENER GÍA Y MECÁNICA INGENIERÍA PETROQUÍMICA “CUADERNO DIGITAL”
ALUMNO LUIS MIGUEL SALAZAR BONILLA
PROFESOR ING. BYRON COCHA
LATACUNGA – 201
PRIMERA UNIDAD INTRODUCCION Es el conjunto de técnicas que ha surgido para coordinar la teoría con la práctica que han servido para solucionar problemas cada vez más complejos que surgen en una empresa, anteriormente se consideraba que era inalcanzable una solución a muchos problemas presentados en las empresas. En la actualidad todo eso se ha desechado y a través de la investigación operativa que es una estrategia o técnica para llegar a un objetivo con los recursos mínimos. La investigación es tomada como una ciencia de ormación de ahí no e!iste un concepto ormalizado e!isten muchas inquietudes pues se puede plantear o resolver problemas en una amplia gama de actividades creando undamentalmente más y nuevas posibilidades de acción práctica, estas características que a la vez van ormando la investigación operativa derivan interesantes posibilidades para crear modelos de aplicaciones en empresas u organizaciones de carácter p"blico o privado. La investigación operativa re"ne como# $ísica, %iología, &sicología, Estadística, Economía, 'atemática y entre otras que identiicamos a un problema completo contribuyen a encontrar la causa y(o eecto de un enómeno y en base de los modelos matemáticos estadísticos y criterios procuran una deinición de problemas y una solución práctica.
E!OLUCI"N DE LA IN!ESTIGACI"N OPERATI!A La investigación operativa es tan antigua como la conducta del hombre pues el avance cientíico es consecuencia de dierentes investigaciones a las ciencias aplicadas nace como una estratega militar para que sus barcos lleguen a su destino al inicio de la segunda guerra mundial los mandos militares pidieron ayudar a un grupo de cientíicos de dierentes áreas para resolver problemas estratégicos y tácticos estos ueron los primeros equipos de investigación operativa procedentes de disciplina donde surgieron tres elementos básico para una operación de ataque militar.
E#$%&$'()&* Es el objetivo a donde se quiere llegar. L+(,#$)-&* )on los recursos con los que cuentan la empresa. T-$)-&* *ue es la orma, habilidad para llegar a os objetivos planteados con los recursos disponibles. FASES DE LA IN!ESTIGACI"N OPERATI!A La investigación operativa aspira tener una solución óptima o la mejor solución para un problema de decisión con la restricción de los recursos limitados en la investigación de operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema para llevar a cabo la investigación de operaciones es necesario cumplir con etapas ases# +. . . /. 0. 1.
$ormulación del problema. -onstrucción de un modelo matemático. %"squeda de una solución o varias soluciones. &rueba de la solución. Establecimiento de controles sobre la solución. Ejecución 2&oner en marcha a solución3.
+. $45'6L7-89: ;EL &54%LE'7 Las ormulaciones de un problema deben estar perectamente establecidos los objetivos, los cursos alternativos de acción, las restricciones y los eectos del sistema de estudio debe tomarse en cuenta que es casi imposible dar solución correcta a un problema incorrectamente planteado. . -4:)<56--84: ;EL '4;EL4 '7
•
•
8cónicos 2planos, otograías, representaciones3 7nalógicos 2=istogramas3 )imbólicos o 'atemáticos 2todos los símbolos matemáticos3
. %6)*6E;7 ;E 6:7 )4L6-84: 6na vez establecido el modelo, el siguiente paso es obtener una solución al problema a partir del modelo. Este paso se lo desarrolla determinando la solución óptima del modelo y luego ampliando esta solución al problema real. 7lgunas ocasiones las complejidades matemáticas del modelo impiden obtener una solución óptima es estos casos una buena respuesta es suiciente. /. &56E%7 ;E L7 )4L6-84: Esta prueba se puede hacer en casos# +. E-6-84: -onsiste en traducir los resultados del modelo, validado en instrucciones para el usuario o los ejecutivos responsables que serán quienes tomen las decisiones.
PROGRAMACION LINEAL 4bjetivos &roponer en orma cuantitativa acciones o decisiones a tomar para optimizar sistemas donde e!istan recursos escasos y se presenten rotaciones lineales mediante la teoría y la práctica. 7l terminar el capítulo será capaz de entender las hipótesis y propiedades básicas d la programación lineal. •
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•
5esolver gráicamente cualquier problema de programación lineal solamente variables. $ormular y resolver problemas matemáticos a partir de las limitaciones de los problemas planteados.
•
;eterminar las soluciones óptimas de problemas de programación lineal utilizando el criterio, pesimista, optimista y el valor esperado.
Entender temas de programación lineal tales como redundancia actibilidad y soluciones óptimas alternativas. Es una ase de modelos de programación destinados a la designación eiciente de los recursos limitados con el objeto de satisacer las metas deseadas 2ma!imizar utilidades, minimizar costos, minimizar desperdicios, entre otros3. Las características distintivas de los modelos de programación lineal es que las unciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales 2ecuaciones e inecuaciones de primer grado3. El objetivo básico de la programación lineal es encontrar soluciones mediante modelos matemáticos utilizamos sistemas lineales da problemas de carácter técnico y económico que se representan por la limitación de los recursos. &rogramación lineal es una técnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que representan relaciones lineales, para utilizar recursos de la mejor manera posible. El modelo de programación lineal es un modelo matemático con variables de decisión, coeiciente y(o parámetros, restricciones y una unción objetiva. Es determinístico 2datos reales3, porque los datos relevantes utilizados son reconocidos, es lineal porque las restricciones del objetivo son variables lineales. La contribución de cada variable al valor total del objetivo y al lado derecho de la restricción es proporcional al valor de la variable. Es aditivo ya los términos de sus restricciones y objetivo pueden sumarse o restarse. La contribución de cada variable es independiente del valor de las otras variables. Es divisible porque las variables de decisión pueden aceptar valores racciones en caso de no aceptar dichos valores se recomienda utilizar la programación lineal entera.
CONCEPTOS BASICOS DE PROGRAMACION LINEAL L8:E7L8;7;
;8?8)8%8L8;7; Los procesos deben utilizarse en e!tensiones divisibles mientras se disponga de recursos. 1000000 x + 3000000 y ≤ 15000000
x + y ≤ 15
$8:8<6; =ay que deinir tanto el n"mero de procesos identiicados cuando los resultados disponibles deberán corresponder a cantidades initas esto es conocidas y cuantiicados en orma determinativa es decir valores pasados para hacer proyecciones. En investigación operativa había de cantidades ininitas ya que en una empresa no se cuenta con recursos ininitos pues en una empresa no se cuenta de recursos.
E/'%-)-)+# 1 @eneral Electric produce dos tipos de motores eléctricos cada uno en una línea de ensamblaje separado. Las capacidades diarias de las dos líneas son 1AA y B0A motores respectivamente. El motor tipo 8 emplea +A unidades de cierto componente eléctrico y el motor tipo 88 utiliza solo C unidades del mismo componente el proveedor puede proporcionar CAAA piezas al día las utilidades por motor para los tipos 8 y 88 son 1A y /A dólares respetivamente. ;etermine la mezcla óptima para ma!imizar. ?ariables D+ motor tipo + Dmotor tipo
$unción objetiva# F ( max )=60 x 1 + 40 x 2
5estricciones Capacidad motores I → x 1 ≤ 600
Capacidad motores II → x 2 ≤ 750 Disponibles→ 10 x 1+ 8 x 2 ≤ 8000 Nonegatividad → x 1, x 2 ≥ 0
5egión actible y resultados
-onclusión @eneral Electric debe producir 1AA motores tipo 8 y 0A motores tipo 88 para obtener una utilidad má!ima de /1.AAA dólares.
2 La irma E'- abrica productos, las estimaciones de las utilidades son 0F del producto 8 y AF del producto 88, los requerimientos de mano de obra por hora para los productos en cada uno de los tres departamentos son# &roducto 8 &roducto 88 ;7 +,0 ,A ;% ,A +,A ;A,0 A,0 Los supervisores de producción de cada departamento han estimado que estarán disponibles las siguientes cantidades para este mes# /0A horas ;7, 0A horas ;% G 0A horas ;-, )uponiendo que a la empresa le interesa ma!imizar sus utilidades responda las siguientes preguntas#
H-uál es el modelo de programación lineal para este problemaI, H-uál es la solución óptimaI, H*ué cantidad se debe abricar de cada producto y cuál es su utilidadI G H-uál es el tiempo estimado de producciónI
?ariables D+ producto 8 Dproducto 88
$unción objetiva# F ( max )=25 x 1 + 30 x 2
5estricciones Horas disponibles en el DA → 1,5 x 1 + 3,0 x 2 ≤ 450 Horas disponibles en el DB → 2,0 x 1 + 1,0 x 2 ≤ 350 Horas disponibles en el DC → 0,25 x 1 + 0,25 x 2 ≤ 50 Nonegatividad → x 1, x 2 ≥ 0
5egión actible y resultados
-onclusión La irma E'- debe abricar +AA unidades del producto 8 y +AA unidades del producto 88 para obtener una utilidad má!ima de 00AA dólares.
La irma J)E abrica dos tipos de guantes para baseball un modelo normal y uno para cátcher, la empresa tiene KAA horas de tiempo de producción disponibles en su departamento de corte y costura, AA horas en acabado y +AA horas disponibles en empaque y envió. El modelo normal requiere + hora en corte y costura y el de cátcher +,0 horas en empaque, el modelo normal requiere A,0 horas en acabado y +(C de hora en empaque y envió, el de cátcher necesita +( de hora en acabado y de hora para empaque y envió. La utilidad que proporcional el guante normal es de 0 dólares y el de cátcher C dólares. a3 )uponiendo que desea ma!imizar sus utilidades cuantos guantes debe abricar b3 -uanta es la utilidad que la empresa puede obtener c3 -uantas horas de producción se necesitan d3
?ariables
D+ guante normal D guante de cátcher
$unción objetiva# F ( max )=5 x 1 + 8 x 2
5estricciones Horas disponibles en produccion→ 1 x 1+ 1,5 x 2 ≤ 900 Horas disponibles en acabado→ 0,5 x 1+ 1 / 3 x 2 ≤ 300 Horas disponibles en empaque y envio → 1 / 8 x 1+ 1 / 4 x 2 ≤ 100 Nonegatividad → x 1, x 2 ≥ 0
5egión actible y resultados
-onclusión La irma J)E debe producir 0AA unidades del guante normal y +0A unidades del guante de cátcher para obtener una utilidad má!ima de BAA dólares. =oras de producción y holgura ;epartamento de producción B0 horas, con una holgura de +B0 horas.
;epartamento de acabado AA horas. ;epartamento de empaque y envió +AA horas.
El ministerio de obras p"blicas ha decidido aMadir AA Nilómetros de carretera y e!actamente +AA Nilómetros de autopista. El precio estándar para construcción de carretera es de un millón por Nilómetro de carretera y de cinco millones por Nilómetro de autopista. )olo dos contratistas, la compaMía &reabricados y la compaMía Erazo Ltda, pueden realizar esta clase de construcción, así que los AANm de camino deben ser construidos por estas compaMías, sin embargo, la compaMía &reabricados puede construir a lo más AA Nilómetros de camino 2carretera y autopista3 y la compaMía % puede construir a lo más +0AJm. &or razones políticas, a cada compaMía debe adjudicársele un contrato de al menos 0 millones 2antes de descuentos3. La compaMía &reabricados orece un descuento de F+AAA por Nilómetro de carretera y de F1AAA por Nilómetro de autopistaO la segunda compaMía orece un descuento de FAAA por Nilómetro de carretera y de F0AAA por Nilómetro de autopista.
a. )i x 1 e x 2 representan el n"mero de Nilómetros de carretera y autopista, respectivamente, adjudicados a la compaMía &reabricados, demuestre que el descuento total ; recibido de ambas compaMías 2en miles3 está dado por# D = 900− x 1+ x2
b. El ministerio de obras publicas desea ma!imizar el descuento total, ;. resuelva el problema por el metodo graico y determine cuando debe construir cada compania. )4L6-84:#
T)'56+ 3' 6%+37--)+8 P%'9&:%)-&3+ E%&;+ L$3& C+8$%&$+ M+3'4+ # C&%%'$'%&<=5 + + + + + + A7$+6)#$&<=5
U$)4)3&3 6+% (7&8$' + 0
AA
;E$8:8-84: ;E ?7587%LE)
•
x 1
carretera
x 2
autopista
$uncion 4bjetivo# ( max) =200 x 1 + 100 x 2 •
•
5estricciones#
x 1+ x 2 ≤ 200
x 1+ x 2 ≥ 150 x 1+ 5 x 2 ≥ 25 x 1+ 5 x 2 ≤ 450
?::# x 1 ! x 2 ≥ 0
)4L6-84: •
;E$8:8-84: ;E ?7587%LE)
+0A
0
/0A
x 1
-arretera
x 2
7utopista
$uncion 4bjetivo# ( max) =900000 − x 1 + x 2 •
•
5estricciones# &reabricado
-arretera
!+ P AA
7utopista
! P +AA Erazo
-arretera
2AA Q !+3 P AA
7utopista
2+AA Q !3 P +AA
-755E
!+ R 2AA Q !+3 P AA
76<4&8)<7
! R 2+AA Q !3 P +AA
&reabricado
+AAA!+ R 1AAA! R AAA2AA S !+3 R 0AAA2+AAQ !3 +AAA!+ R 1AAA! R /AAAAA Q AAA!+ R 0AAAAA Q 0AAA! KAAAAA S +AAA!+ R AAA!
5estricciones o limitaciones &reabricado +AAAAAA!+ R 0AAAAAA! T 0AAAAAAA Erazo
+AAAAAA2AA S !+3 R 0AAAAAA2+AAQ !3 T 0AAAAAAA
&reabricado !+ R! P AA Erazo
2AA S !+3 R 2+AAQ !3 P +0A
7bstracciones &reabricado !+ R 0! T 0A Erazo
!+ R ! P /0A
&reabricado !+ R! P AA Erazo
!+ R ! T +0A
La empresa &ublicister patrocina calendarios y programas sobre servicios p"blicos. En estos momentos se están realizando planes promocionales para el programa de este aMo. Las alternativas de publicidad incluyen
7udiencia por anuncio
-osto por anuncio
6tilización má!ima del medio
F78-)>8 +:/'$)?+ ( max ) =100000 x 1+ 18000 x 2+ 40000 x 3
R'#$%)--)+8'# -osto por anuncio U de anuncios de radio U de anuncios de
V
AAA!+ R AA! R 1AA! P +C AA V !+ Q ! R ! T A V A.+!+ S A.K! R A.+! P A V !+ P +A
6tilización má!. de radio V 6tilización má!. de periódico
! P A V ! P +A
!&%)&:4'# 3' 8+ 8'(&$)?)3&3 7nuncio por
!+ T A ! T A ! T A
S+47-)>8 (%&9)-& :o se puede graicar en tres dimensiones T&:4& 3' %'#74$&3+#
I8$'%6%'$&-)>8 a. La empresa &ublicister debe publicar / anuncios por televisión, +/ por radio y +A por periódico para que se pueda alanzar una audiencia má!ima de +A0AAA personas. b. La empresa &ublicister gasta todo el presupuesto destinado en publicidad, FCAAA por
G se observa que &ublicister no tiene mayor audiencia con tan sola F+AA mas en el prsupuesto.
@ 6n abricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustible 7 y %. El combustible 7 tiene +,0U de gasolina grado + y y 0U de gasolina grado . El combustible % tiene 0U de gasolina
grado y . ;isponible para la producción hay 0 galones ( hora de gasolina grado + y +AA ( hora de gasolina y . Los costos son de +0 centavos por galón de gasolina grado +, el galón de gasolina grado cuesta A centavos y /0 centavos por galón de gasolina grado . El combustible 7 puede venderse a A,B+ dólares por galón, mientras que el combustible % alcanza A,B0 centavos por galón. H*ué cantidad debe abricarse de cada combustible para obtener el mayor beneicioI
@rado + +.0U
-ombustible 7 -ombustible Q % ;isponibilidad 0 gal
-4)<4) 7 15 $ 0,125 =3,75
@rado +.0U
@rado 0U
&recio de venta 11.CC
0U
0U
0C.B0
+AA gal
+AA gal
-4)<4) % 30 $ 0,25 =7,5
30 $ 0,125 =1,88 45 $ 0,25 = 11,25
45 $ 0,25=11,25 7 ! 5 + 11 ! 25=18 ! 75 3 ! 75 + 1 ! 88 + 11 ! 25 =16 ! 88 58,74 −18,75 = 40
66,88−16,88 =50
!&%)&:4'* -ombustible 7 D+ -ombustible % D
F78-)>8 O:/'$)?+* $.4. ( m " x ) =50 # 1+ 40 # 2 R'#$%)--)+8'#*
;isponibilidad(@l. grado +
A,+0D+ ≤ 25
;isponibilidad(@l. grado
0,125 # 1+ 0,25 # 2 ≤ 100
;isponibilidad(@l. grado
0,25 # 1+ 0,25 # 2 ≤ 100
?ariables de :o negatividad# D+OD T A 7bstracciones# +3 A,+0D+
25
2 ¿ 0,125 # 1 + 0,25 # 2= 100
3 ¿ 0,25 # 1 + 0,25 # 2 =100
@ráico#
)olución# $.4. ( m " x ) =50 # 1+ 40 # 2 $.4. ( m " x ) =50 ( 200 )+ 40 ( 200) $.4. ( m " x ) =18000 8nterpretación# El abricante de gasolina debe producir AA galones de combustible tipo 7 y AA galones de combustible tipo % para obtener un beneicio má!imo de F+CAAA.
