Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas
Compensador de atraso y adelanto usando Lugar geométrico de las Raíces y Diagramas de Bode
Equipo:
Aburto Mastache Sergio Eladio Díaz Blancas Eduardo Martínez Sánchez Jorge
Profesor: Rojas Pacheco Adolfo Unidad de Apr endizaje: endizaje: Control Clásico
Grupo: 3MM3. Fecha de entrega: Ciudad de México, a 23 de noviembre de 2016.
Contenido Objetivo ............................................................................................................................................... 3 Introducción ........................................................................................................................................ 3 Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) ............................................................................................. 3 Compensador de adelanto para LGR (PD)................. .......................... ................... ................... .................. .................. .................. .................. ........... .. 4 Compensador de retardo para LGR (PI) ......................... .................................. .................. .................. .................. ................... ................... ............... ...... 5 Diagramas de Bode (DB) ................................................................................................................. 6 Compensador de adelanto con DB .............................................................................................. 7 Compensador de atraso con DB .................................................................................................. 8 Desarrollo ............................................................................................................................................ 9 COMPENSADORES DE ADELANTO ................................................................................................... 9 Ejemplo 1 DB ............................................................................................................................... 9 Ejemplo 1 LGR ........................................................................................................................... 12 Ejemplo 2 DB ............................................................................................................................. 15 Ejemplo 2 LGR ........................................................................................................................... 18 COMPENSADORES DE ATRASO ..................................................................................................... 21 Ejemplo 1 LGR ........................................................................................................................... 21 Ejemplo 1 DB ............................................................................................................................. 28 Ejemplo 2 LGR ........................................................................................................................... 33 Ejemplo 2 DB ............................................................................................................................. 38 Conclusiones ..................................................................................................................................... 42 Referencias ........................................................................................................................................ 43
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Contenido Objetivo ............................................................................................................................................... 3 Introducción ........................................................................................................................................ 3 Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) ............................................................................................. 3 Compensador de adelanto para LGR (PD)................. .......................... ................... ................... .................. .................. .................. .................. ........... .. 4 Compensador de retardo para LGR (PI) ......................... .................................. .................. .................. .................. ................... ................... ............... ...... 5 Diagramas de Bode (DB) ................................................................................................................. 6 Compensador de adelanto con DB .............................................................................................. 7 Compensador de atraso con DB .................................................................................................. 8 Desarrollo ............................................................................................................................................ 9 COMPENSADORES DE ADELANTO ................................................................................................... 9 Ejemplo 1 DB ............................................................................................................................... 9 Ejemplo 1 LGR ........................................................................................................................... 12 Ejemplo 2 DB ............................................................................................................................. 15 Ejemplo 2 LGR ........................................................................................................................... 18 COMPENSADORES DE ATRASO ..................................................................................................... 21 Ejemplo 1 LGR ........................................................................................................................... 21 Ejemplo 1 DB ............................................................................................................................. 28 Ejemplo 2 LGR ........................................................................................................................... 33 Ejemplo 2 DB ............................................................................................................................. 38 Conclusiones ..................................................................................................................................... 42 Referencias ........................................................................................................................................ 43
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Objetivo
Entender el propósito de implementar compensadores de adelanto o atraso en un sistema de control de lazo cerrado .
Practicar ambos métodos de sintonización de controladores PID.
Comparar ambos métodos de sintonización para entender sus similitudes y sus virtudes, uno con el otro.
Ser capaces de escoger el método de sintonización más adecuado para cada problema.
Introducción Lugar Geométrico de las Raíces (LGR)
La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la localización de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la localización de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Por tanto, es importante que el diseñador conozca cómo se mueven los polos en lazo cerrado en el plano s conforme varía la ganancia de lazo. Desde el punto de vista del diseño, un simple ajuste de la ganancia en algunos sistemas mueve los polos en lazo cerrado a las posiciones deseadas. A continuación, el problema de diseño se centra en la selección de un valor de ganancia adecuado. Si el ajuste de la ganancia no produce por sí solo un resultado conveniente, será necesario añadir un compensador al sistema. Sin embargo, simplemente encontrar las raíces de la ecuación característica puede tener un valor limitado, debido a que a medida que varía la ganancia de la función de transferencia en lazo abierto, la ecuación característica cambia y deben repetirse los cálculos. Por medio del método del lugar de las raíces es posible representar las raíces de la ecuación característica en el plano para todos los valores de un parámetro del sistema, mediante el método del lugar de las raíces, el diseñador puede predecir los efectos que tiene en la localización de los polos en lazo cerrado, variar el valor de la ganancia o añadir polos y/o ceros en lazo abierto. Por tanto, es conveniente que el diseñador comprenda bien el método para generar los lugares de las raíces del sistema en lazo cerrado.
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Debido a que generar los lugares de las raíces usando MATLAB es muy sencillo, se podría pensar que dibujar los lugares de las raíces de forma manual es una pérdida de tiempo y esfuerzo. Sin embargo, una buena forma de interpretar los lugares de las raíces generados por la computadora es adquirir la experiencia de dibujar los lugares de las raíces de forma manual, cosa que, además, proporciona con mucha rapidez una idea global de los lugares de las raíces. Compensador de adelanto para LGR (PD)
Existen muchas formas de obtener compensadores de adelanto en tiempo continuo (o analógicos), como, por ejemplo, las redes electrónicas que usan amplificadores operacionales, redes RC eléctricas y sistemas de amortiguadores mecánicos, en resumen, este tipo de compensación es equivalente a agregar un controlador PD al sistema. El método del lugar de las raíces es muy poderoso en el diseño cuando se incorporan las especificaciones en términos de las cantidades en el dominio del tiempo, tales como el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, la sobreelongación máxima, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento. Considérese un problema de diseño tal que el sistema original sea inestable para todos los valores de la ganancia o estable, pero con características no deseables de la respuesta transitoria. En este caso, es necesario volver a construir el lugar de las raíces en la proximidad del eje ju y del origen para que los polos dominantes en lazo cerrado estén en posiciones deseadas en el plano complejo. Este problema se soluciona introduciendo un compensador de adelanto adecuado en cascada con la función de transferencia del camino directo. A continuación, se relata el proceso para aplicar un compensador de adelanto, explicado de forma general. 1º. Se tiene un sistema de lazo cerrado, se debe de trazar su LGR y localizar la raíz
deseada ( ). 2º. Por medio de métodos trigonométricos usando la ángulo a compensar.
y el LGR conocido encontrar el
3º. Ubicar el polo y el cero del compensador.
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1 1 < 1
4º. Calcular la nueva ganancia ya compensada.
Una vez diseñado un compensador, debe verificarse que se han cumplido todas las especificaciones de comportamiento. Si el sistema no cumple las especificaciones de comportamiento, debe repetirse el procedimiento de diseño ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones. Si se requiere de una constante de error estático grande, se debe introducir en cascada una red de retardo o convertir el compensador de adelanto en un compensador de retardo-adelanto.
Obsérvese que, si los polos dominantes en lazo cerrado que se han seleccionado no son realmente dominantes, será necesario modificar la situación del par de polos dominantes en lazo cerrado seleccionados. (Los polos en lazo cerrado diferentes de los dominantes modifican la respuesta obtenida de los polos dominantes en lazo cerrado. El grado de modificación depende de la localización de los polos en lazo cerrado restantes.) Asimismo, los ceros en lazo cerrado afectan a la respuesta si se sitúan cerca del origen. Compensador de retardo para LGR (PI)
Considérese el problema de encontrar una red de compensación adecuada para un sistema que presenta características satisfactorias de la respuesta transitoria, pero características no satisfactorias en estado estacionario. En este caso la compensación consiste, esencialmente, en incrementar la ganancia en lazo cerrado sin modificar de forma notable las características de la respuesta transitoria. Esto quiere decir que no debe cambiarse de manera significativa el lugar de las raíces en la proximidad de los polos dominantes en lazo cerrado, sino que debe incrementarse la ganancia en lazo abierto tanto como se necesite. Esto se consigue si se coloca un compensador de retardo en cascada con la función de transferencia del camino directo determinada. Para evitar un cambio apreciable en los lugares de las raíces, la contribución de ángulo de la red de retardo debe limitarse a un valor pequeño. Para asegurar esto, se sitúan el polo y el cero de la red de retardo relativamente cerca uno del otro y cerca del origen del plano s. De este modo, los polos en lazo cerrado del sistema compensado sólo se alejarán ligeramente de sus situaciones originales. Por tanto, la característica de la respuesta transitoria cambiará muy poco. 5
Esta forma de compensación es equivalente a implementar un PI en un sistema y la forma de llevarlo a cabo es la siguiente:
1º. Se construye el LGR si compensar y se ubica la dentro del LGR original. 2º. Se calcula la ganancia no compensada (
3º. Determinar la 4º. Determinar:
con la cual se obtiene la
) y la
deseada, la cual deberá de estar .
deseada.
5º. Se propone un cero, el cual será: y a partir de este calcular el polo por medio de
.
6º. Conservando la
Diagramas de Bode (DB)
y agregar el polo y cero calculado:
1 [ 1 ]
Como hemos visto podemos describir sistemas de control ubicando el lugar de las raíces, de acuerdo a los polos y ceros que estos contengan, sin embargo esta no es la única forma de describir un sistema de control, ya que estos también pueden ser descritos en base a su respuesta en frecuencia. La respuesta en frecuencia se define como la respuesta en estado estacionario de un sistema cuando se tiene una entrada de tipo senoidal, la respuesta del estado estacionario será senoidal pero difiere en magnitud y fase respecto a la señal de entrada. Una función de transferencia se puede representar en el dominio de la frecuencia por medio de su magnitud y fase, ambas se dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica y se representan gráficamente en diagramas de Bode. La representación común de la magnitud logarítmica de G( ju) es 20 log G( ju), donde la base del logaritmo es 10. La unidad utilizada en esta representación para la magnitud es el decibelio, por lo general abreviado dB. En la representación logarítmica, se dibujan las curvas sobre papel semilogarítmico, con la escala logarítmica para la frecuencia y la escala lineal para cualquier magnitud (en decibelios) o el ángulo de fase (en grados). (El rango de frecuencia de interés determina el número de ciclos logarítmicos que se requieren en la abscisa).
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La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode es que la multiplicación de magnitudes se convierte en suma. Además, cuenta con un método simple para dibujar una curva aproximada de magnitud logarítmica. Se basa en aproximaciones asintóticas. Esta aproximación, mediante asíntotas (líneas rectas), es suficiente si sólo se necesita información general sobre la característica de la respuesta en frecuencia. Si se desea obtener curvas exactas, es fácil corregir las curvas asintóticas. Es muy útil ampliar el rango de bajas frecuencias mediante el uso de una escala logarítmica, debido a que las características de las bajas frecuencias son las más importantes en los sistemas prácticos. Aunque no es posible dibujar las curvas hasta una frecuencia cero, debido a la frecuencia
logarítmica
(log
0
%.ä),
esto
no
es
un
problema
serio.
Obsérvese que la determinación experimental de una función de transferencia se hace simplemente si los datos de la respuesta en frecuencia se presentan como un diagrama de Bode. Compensador de adelanto con DB
El compensador de adelanto sirve para modificar la curva de la respuesta en frecuencia de un sistema, asignando un adelanto de fase para compensar un retardo de fase del sistema que se quiere compensar. Cuando las especificaciones de un sistema este dadas por el margen de fase o ganancia, podemos utilizar un compensador de adelanto si el sistema fijo no cumple con estas
especificaciones, para realizar un compensar de adelanto se siguen los siguientes pasos:
1º. Encontrar la constante K que cumpla con la constante de error que se desea
para el sistema .
2º. Hallar el diagrama de Bode que satisfaga la función de transferencia del sistema, encontrando al igual su margen de fase. 3º. Determinar el adelanto de fase necesario para el sistema, considerando un aumento de 5° a 12°, ya que el adelanto de fase desplaza cruce de la frecuencia de ganancia 4º. Encontrar el adelanto de fase máximo que nos permite que el sistema sin compensar cumpla con las especificaciones del sistema compensado, el adelanto de fase máximo es el ángulo a compensar y está dado por:
sin 11 α es el factor de atenuación
7
5º. Para un adelanto de fase máximo existe una frecuencia de corte máximo que está entre las frecuencias de esquinas del compensador de adelanto, es decir entre
y
. La frecuencia de corte máximo está dada por:
.
6º. La frecuencia máxima de corte se evalúa en la magnitud de la función de transferencia del compensador para hallar la magnitud en decibeles que se debe de compensar del sistema. Posteriormente este valor se iguala con la magnitud de la función de transferencia del sistema para hallar el valor de la nueva frecuencia de cruce. 7º. Con el valor de la nueva frecuencia de cruce hallamos las frecuencias de esquinas del compensador, y relacionamos la ganancia de sistema compensado con la fórmula:
Compensador de atraso con DB
La función principal de un compensador de retardo es proporcionar una atenuación en el rango de las altas frecuencias a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. La característica de retardo de fase no tiene importancia en la compensación por retardo. Mediante el método de la respuesta en frecuencia, se puede plantear del modo siguiente:
>
1º. Determinar la ganancia del sistema para lograr el error de estado estacionario. 2º. Encontrar la magnitud de fase (MF).
3º. Encontrar la frecuencia 4º. Seleccionar
a la cual se logra el MF deseado.
5º. Determinar la atenuación para disminuir la curva de la magnitud a
20 ; =
.
6º. Determinar el polo:
∅ dB
en el
.
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Desarrollo COMPENSADORES DE ADELANTO Ejemplo 1 DB
Para la siguiente función de transferencia en lazo cerrado hacer que el margen de fase del sistema sea al menos de 45° con un error de estado estable menor de 0.05 para una entrada de tipo rampa unitaria .
El primer paso es encontrar la constante “k” que cumpla con el error de estado estable de las especificaciones, sabemos que el error de estado estable para una rampa unitaria es igual a:
0.05 10 l→i m10 l→im l→im (∴ 816 ) 8 20
=20
Una vez que hemos definido la constante K que cumple las especificaciones de error de estado estable, graficaremos el diagrama de Bode y encontraremos el margen de fase para la función de transferencia. Una vez que hemos definido la constante K que cumple las especificaciones de error de estado estable, graficaremos el diagrama de Bode y encontraremos el margen de fase para la función de transferencia.
DB Ejemplo 1 compensado
9
En la figura 1 se puede observar que el margen de fase es de 35°, entonces el ángulo mínimo a compensar debe ser de 10° sin considerar el desplazamiento en el cruce de la frecuencia de ganancia, debido a que esto llega a ser poco preciso se suele incluir un margen de seguridad de 10° por lo tanto el ángulo a compensar será realmente de 20°. Para que el sistema compensado cumpla con las especificaciones debemos asegurarnos que el margen de fase máximo caiga dentro del ángulo a compensar que hemos calculado con anterioridad, este ángulo máximo nos va ayudar a encontrar el factor de atenuación.
1 sinn 11sisinn2020 0.4902 1si
Para un ángulo de fase máximo existe una frecuencia que está dada por
√
la
modificación de la curva de magnitud está dada por esta frecuencia y se debe cumplir que para esa frecuencia la magnitud del compensador se contrarreste con la del sistema y así
20log √ 1 3.09
en ese punto tener la frecuencia de corte del sistema compensado.
La función de transferencia del compensador moverá 3.09 dB al diagrama de Bode de la ganancia, entonces la función de transferencia del sistema debe cumplir
3.09
esto solamente pasa cuando
14.1
; esta será la nueva frecuencia de corte.
Con todos estos datos ya podremos encontrar las frecuencias esquinas
√
1 √ 20.13 1 41.08 2 1 3 2 20. 41.08
.
Finalmente tenemos que la función de transferencia del controlador es:
En la siguiente figura podemos observar una comparación entre el diagrama de Bode del sistema sin compensar y el compensado.
10
DB compensado y sin compensar
Vemos que el sistema compensado cumple con las especificaciones del margen de fase, ya que este queda de 47.8° Finalmente, la función de transferencia del sistema queda:
Ahora vamos a comparar las salidas del sistema compensado respecto al sistema sin el compensador de adelanto (únicamente con ganancia) con ayuda de Simulink.
Diagrama de bloques en Simulink
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Respuesta de los sistemas, Rampa unitaria de entrada (rosa), sistema sin compensador de adelanto (amarillo) y sistema con compensador de adelanto (verde)
Como podemos ver en la simulación, el compensador de adelanto nos ayudó a mejorar la respuesta del sistema, sin embargo esta no mejora tanto ya que el MF del sistema no estaba muy alejado del requerido y el error de estado estacionario queda igual. Ejemplo 1 LGR
Ahora vamos a resolver el mismo ejercicio pero ahora usando el lugar geométrico de las raíces (LGR), como en LGR no se usa MF, consideraremos un Mp (máximo sobre impulso) del 20%. La ecuación característica es:
1 180 0
Empezamos por construir el LGR, el cual queda:
LGR ejemplo 1
12
Ahora encontramos Sx, este lo vamos a calcular del Mp que nos dieron, recordando la siguiente formula:
% l n +ln%% % 0.4559
y
cos1 62.87°
Sx
Cálculo de Sx
Usando el ángulo θ que encontramos y una propiedad trigonométrica, podemos ubicar Sx, el cual queda:
4±7.8j
En este punto nos damos cuenta que no necesitamos un compensador de adelanto, ya que la raíz que necesitamos se encuentra dentro del LGR, por esto continuaremos encontrando la ganancia para ese Sx. Para esto usamos la condición de magnitud despejamos y sustituimos “s” por “Sx” .
108=−+. 7.68 l→0im +
|| 1
,
Ahora veremos si con esa ganancia respetamos el error de estado estable del sistema el cual es del 5%. Sabemos que:
.10
y
, sustituyendo k, por el encontrado
9.6
y
, lo que nos da un error del 10%, con lo que concluimos que necesitamos un
compensador de atraso para corregir el error de estado estacionario. Como la ganancia que calculamos, no respeta el error de estado estacionario ahora la llamaremos
9.6
.
13
Continuamos por calcular la “k” con la cual obtenemos el error deseado.
0.0 5 20 l→0im + ∴ 16 . .1 .06 ,
Determinamos
Proponemos un cero
y calculamos el polo
Finalmente, la función de transferencia del sistema queda:
Ahora vamos a comparar la salida del sistema compensado con: el sistema sin el compensador de atraso (únicamente con ganancia), el sistema sin ganancia y la señal de entrada con ayuda de Simulink.
Diagrama de bloques de los diferentes sistemas usando Simulink
Señal de entrada (morado), respuesta sin ganancia (amarillo), respuesta sin compensadr de atraso, con ganancia (azul) y respuesta con compensador de atraso y ganancia(rojo)
14
Como podemos observar el sistema sin compensador y ganancia se pierde completamente, el sistema con ganancia pero sin compensador, no cumple con el error de estado estacionario, pero si con el máximo sobre impulso y el sistema con el compensador de atraso y la ganancia, arregla el error de estado estacionario y conserva el máximo sobre impulso.
Ejemplo 2 DB
Para la siguiente función de transferencia en lazo cerrado hacer que el margen de fase del sistema sea de 45° con un error de estado estable de .01 para una entrada de tipo escalón unitario. K
Para encontrar el valor de la K que satisfaga la constante de error tenemos:
+ 0.01 l→im l→im l→im ( 69 1 0.5) 99 ∴ 445.5 =99
Construimos el diagrama de Bode para hallar el margen de fase (MF):
DB sin compensar ejemplo 2.
15
El MF sin compensar es de 15°, por lo tanto determinamos que el ángulo a compensar es: 30° y a partir de esto se determina el factor de atenuación:
1 sinn 11sisinn3030 13 1si
Para el ángulo máximo a compensar sabemos que su frecuencia es obtenemos la ganancia en decibeles del compensador:
|| 20 √ 1 113 4.77
√
1
al sustituirlo
Esta ganancia la debe contrarrestar la función de transferencia del sistema, esto solo sucede para la frecuencia esquinas:
√
27.5
, con estos valores encontraremos las frecuencias
1 √ 15.87 1 47.63 3 8 7 3 15. 47.63
Finalmente tenemos que la función de transferencia del controlador es:
En la siguiente figura se muestra una comparación entre el diagrama de Bode del sistema sin compensar y el compensado.
DB del sistema sin compensar (azul) y el sistema compensado (verde).
16
Vemos que el sistema compensado cumple queda con un margen de fase de 41.4°, el cual queda bastante cercano al que necesitamos, por lo tanto, lo tomamos como valido Finalmente, la función de transferencia del sistema queda:
Ahora vamos a comparar las salidas del sistema compensado respecto al sistema sin el compensador de adelanto (únicamente con ganancia) con ayuda de Simulink.
Diagrama de Bloques en Simulink
Respuesta de los sistemas, Escalón unitario de entrada (rosa), sistema sin compensador de adelanto (amarillo) y sistema con compensador de adelanto (azul).
Podemos observar que en este ejemplo el compensador de adelanto mejora demasiado la respuesta del sistema, vemos que el tiempo de establecimiento y el máximo sobre impulso 17
disminuyen enormemente y la respuesta no se aleja o se aleja muy poco de señal de entrada, esto debido al error de estado estacionario puesto como requisito de 1%. Ejemplo 2 LGR
Ahora vamos a resolver el mismo ejercicio pero ahora usando el LGR, como en LGR no se
.01 1 69 1 0.5 0
usa MF, consideraremos un Mp del 10% y el mismo La ecuación característica es:
Empezamos por construir el LGR:
LGR ejemplo 2
Encontramos Sx, este lo vamos a calcular del Mp que nos dieron:
% l n +ln%% % 0.5911 ; cos1 53.76°
Cálculo de Sx
18
Usando el ángulo θ que encontramos y una propiedad trigonométrica, podemos ubicar Sx, el cual queda:
3±4.09j
En este punto nos damos cuenta que no necesitamos un compensador de adelanto, ya que la raíz que necesitamos se encuentra dentro del LGR, por esto continuaremos encontrando la ganancia para ese Sx. Para esto usamos la condición de magnitud despejamos y sustituimos “s” por “Sx”
|| 1
,
691 0.5=−+. 17.61 Ahora veremos si con esa ganancia respetamos el error de estado estable del sistema el cual es del 1% para escalón. Sabemos que:
+ l→0im ++++. y
,
Sustituyendo k por la encontrada, nos da:
3.91 .20 Y un
Lo que nos da un error del 20%, con lo que concluimos que necesitamos un compensador de atraso para corregir el error de estado estacionario. Como la ganancia que calculamos, no respeta el error de estado estacionario ahora la llamaremos
17.61
Continuamos por calcular la “k” con la cual obtenemos el error deseado.
+ 0.01 99 l→0im ++++. ∴ 445.5 ,
19
Determinamos
Proponemos un cero
Y calculamos el polo
25.3 .1
1 3.949×10−
Finalmente, la función de transferencia del sistema queda:
Ahora vamos a comparar la salida del sistema compensado con: el sistema sin el compensador de atraso (únicamente con ganancia) y la señal de entrada, con ayuda de Simulink.
Figura 15: Diagrama de bloques de los diferentes sistemas usando Simulink
Señal de entrada (morado), respuesta sin ganancia (amarillo) y respuesta con compensador de atraso y g anancia (azul)
20
Como podemos observar el sistema con ganancia pero sin c ompensador, no cumple con el error de estado estacionario, pero si con e l máximo sobre impulso y efectivamente tiene un error del 20%. El sistema con el compensador de atraso y la ganancia, arregla el error de estado estacionario y conserva el máximo sobre impulso, sin embargo para que e l sistema llegue al error deseado tarda demasiado tiempo, esto es debido a que no establecimos un ts (tiempo de establecimiento) especifico, el problema se podría solucionar proponiendo un ts determinado, esto nos regresaría otra r aíz deseada, lo que probablemente haría que necesitáramos un compensador de adelanto para tener el lugar de las raíces donde lo necesitamos.
COMPENSADORES DE ATRASO Ejemplo 1 LGR
2 0.7071 1 2 12 2 32 2 .í:1 12 2
Para el siguiente sistema se solicita una Kv=100 co n
Desarrollando el denominador
Con la Ecuación característica (antes de cerrar el lazo)
El lugar de las raíces se presenta en la siguiente imagen
21
Calculando las ramas
Calculando las asíntotas
Con el punto de ruptura
Con raíces
Con
# # # 30 3 12 3 ∑∑ 3 3 1 13 2 2 22 3 2 2 3 6 2 0 6±√ 6 12 .1.5 774
como polo dominante por estar más cercano al eje imaginario.
Aplicando criterio de Ruth Hurwitz para encontrar el cruce por el eje imaginario:
1
236 3
2
2k 0
2k
Obteniendo las siguientes condiciones para que la estabilidad se cumpla:
De (a)
236 > 0… 2 > 0… 2 6 > 0 2 > 6
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> 62 > 3… 33 26 00 2 0 ±√ 2 − 45° 12 2 1
Sustituyendo (c) en la ecuación auxiliar:
Por condición de magnitud (evaluando en la raíz deseada)
Donde
0.50.5
(por las especificaciones, es una raíz que se obtiene gráficamente del lugar
de las raíces).
Obtenemos una ganancia
1.4253
Que es la ganancia No Compensada para este caso Obteniendo
l→im l→im 12 2 l→im 12 2 22 1 1 l→im 1 2 1 100 100 100 1.4253 70.16
De las especificaciones se tiene
Encontrando β
Dado que el polo dominante es
23
Se propone que:
. 1 0.01 100 1 100710.16 0.00014253 01 0. 0.00014253 01 )( 12 2) ( 0. 0.00014253
Con lo que se obtiene un bloque de ganancia que incluye un polo y un cero de la siguiente forma:
Colocándolo en serie con la función de transferencia se tiene:
Donde k=1.4253
Recalculando Kv con el nuevo bloque para ver si el compensador acerca a las especificaciones
01 )( 12 2) 02.00014253 0.011.425312 l→im l→im ( 0. 0.00014253 28506 100 0. 0.000028506
Por lo que sí se cumple con las especificaciones del problema. Comparando el nuevo lugar de las raíces
24
Esto es lo que ocurre cerca del origen con el nuevo cero y polo respectivamente
OBTENIENDO RESPUESTAS DEL SISTEMA ANTE DIFERENTES ENTRADAS ENTRADA 1.- Rampa Unitaria
25
Sistema No Compensado en color verde, Sistema Compensado en Azul
Cerca del origen
26
ENTRADA 2.- Escalón Unitario
Sistema No compensado en color verde, Sistema compensado en Azul
27
Ejemplo 1 DB
Se solicita: MF>40°
MG>10 dB
Kv>
5−
Para el siguiente sistema:
Calculando Kv
12 2 l→im l→im 12 2 22 1
Si se necesita Kv=5 y KvActual=1 entonces
5 12 2 110 2
Ahora la función original es afectada por esta ganancia, por lo que se tiene
Se obtiene el diagrama de Bode para esta ganancia
Sistema sin compensar
28
Se tiene un MF=-18° por lo que NO CUMPLE con los requisitos, así que se busca una frecuencia que tenga el MF deseado adicionando de 5 a 12° extras por los efectos que el compensador tiene. La frecuencia encontrada es:
0.443 ⁄ 54° → 1 0.0443 ⁄ 0.443 ⁄ 20.1 20.1 20.⁄ 10 → 10.1158 10.0.01443158 ( 10.0.01443158)( 110 2) 3.115810 32.0.3474443 20.2316 con
En base a esta frecuencia se propone el cero del compensador
Determinando la atenuación para reducir a 0dB en la nueva frecuencia, dado que en se tienen
.
Por lo que el bloque del compensador queda
Reescribiendo G(s)
29
Sistema compensado
Obteniendo los diagramas de Bode para el sistema compensado Corroborando que el nuevo sistema cumpla con las especificaciones se tiene que a una frecuencia
0.0263 ⁄ 118.3° 5.79 ⁄ 32.5 con
Solo falta corroborar el margen de Ganancia
con
Por lo que el compensador es correcto. SIMULACIONES ENTRADA 1.- ESCALÓN UNITARIO
Es importante analizar un fenómeno que ocurre en esta simulación. La ganancia calculada es de 5, al introducir esta ganancia al sistema no compensado este tiende a oscilar más y más hasta el infinito, como se muestra en la siguiente imagen. 30
Nótese el orden de la amplitud del sistema en azul (no compensado), por lo que para ver el sistema y compararlo usaremos la ganancia unitaria para el sistema no compensado.
Sistema no compensado en azul, Sistema compensado en verde.
31
Es destacable que el tiempo de establecimiento aumentó considerablemente, pero los efectos que el compensador tiene sobre el sistema son realmente notorios, considerando que esta ganancia originalmente vuelve al sistema inestable en su totalidad. ENTRADA 2.- RAMPA UNITARIA En esta simulación incluiremos la ganancia en el sistema no compensado que es crítica, pues lo hace oscilar infinitamente, esto con el fin de resaltar el poder del compensador, pues la diferencia entre los sistemas compensado (azul) y no compensado (verde) es increible.
Con ganancia unitaria también es posible ver los efectos del compensador, como lo muestra la siguiente imagen:
32
Ejemplo 2 LGR
Para el siguiente sistema se requiere un error de velocidad menor al 5%. En base a este dato podemos conocer cuál es el valor de Kv que será nuestro indicador para encontrar el polo y el cero del compensador de atraso.
164 .í:1 164
Con la Ecuación característica (antes de cerrar el lazo)
Calculando las ramas:
Calculando las asíntotas:
Con el punto de ruptura:
# # # 20 2 4 ∑∑ 2 2 33
Con raíz:
4 4 16 16 4 16 2 4 0 24 1
Aplicando criterio de Ruth Hurwitz para encontrar el cruce por el eje imaginario:
1
16k
4 16k
0
Obteniendo la siguiente condición para que la estabilidad se cumpla
Para el sistema original
>0 l→im 164 l→im 164 146 4 0.105 20 l→im 20 4 204 5 5 1 0.02 50
Encontrando la Kv que se necesita
Recordando que con este compensador se tiene un bloque de ganancia en serie, por lo que para cumplir con las especificaciones se necesita una Kv=20
Para que el Lugar de las raíces quede igual se propne Kc=1, por lo que
Se propone un cero del compensador cercano al origen
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Polo del compensador en:
1 5015 0.004 0.0.00042 ( 0.0.00042 )(164) l→im l→im ( 0.0.00042 )(164) 0.00.20041644 0.0.0320164 0.10.2168 80 ≥ 20
Por lo que el compensador tiene la forma
Reescribiendo la función de transferencia
Calculando Kv
Recordando que se necesitaba un
por lo que se cumple con lo estipulado.
Lugar de las raíces
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Cerca del origen
OBTENIENDO RESPUESTAS DEL SISTEMA ANTE DIFERENTES ENTRADAS ENTRADA 1.- Rampa Unitaria
Rampa unitaria de color rojo, Sistema no compensado color verde, Sistema compensado color azul
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Entrada 2.- Escalón Unitario
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Ejemplo 2 DB
Para el siguiente sistema se requiere diseñar un compensador de atraso que permita
≥≥560°− MG>10 dB
Calculando Kv
164 l→im 164 146 4 5 4 ⇒ 54 1.25 164 204
Reescribiendo G(s) con la nueva ganancia
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Diagrama de Bode con ganancia actual
Realizando las mediciones correspondientes se tiene:
3.42 ⁄ 49° con
Al no cumplir con el MF deseado se busca una frecuencia donde exista el MF buscado además de 12° extra por los efectos que el compensador conlleva. La frecuencia localizada es:
1.56 ⁄ 69° → 1 0.1563 ⁄ 1.56 ⁄ 9.48 20.⁄ 10 → 2.9785 con
En base a esta frecuencia se propone el cero del compensador
Determinando la atenuación para reducir a 0dB en la nueva frecuencia, dado que en se tienen 9.48
.
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Por lo que el bloque del compensador queda:
Reescribiendo G(s)
Obteniendo los diagramas:
2.0.9178556 ( 2.0.9178556 )(204) 6.2097850. 31211.914
Sistema Compensado
Con las siguientes mediciones:
0 → 2.7 ⁄ 103.4° con
Dado que en el diagrama de fase la curva nunca atraviesa los 180° se tiene un Las especificaciones fueron cubiertas por lo que el sistema es aceptable.
∞
SIMULACIONES
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ENTRADA 1.- ESCALÓN UNITARIO
ENTRADA 2.- RAMPA UNITARIA
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Conclusiones Después de haber realizado una comparación entre los métodos de sintonización de “El lugar geométrico de las raíces” y “Diagramas de Bode”, el equipo es capaz de concluir que
la elección del método dependerá de las herramientas con las que el diseñador cuente a la mano y lo que se esté buscando en cada problema en específico, esto es debido a que el método de diagrama de Bode cuando se cuenta con herramientas de graficado ─como Matlab─ debido a que este tipo de diagramas es más fácil de analiza r a simple vista y es
altamente conveniente cuando se desea conocer el error a la salida del sistema, sin embargo, el cálculo del máximo sobre impulso y del tiempo de establecimiento no es fácilmente obtenible, o al menos esto es lo que muestran los ejemplos realizados ya que estos tienden a presentar valores extremadamente altos. En cuanto al método del lugar geométrico de las raíces, a elaboración de sus diagramas es más lento y requiere de una mayor habilidad en la realización de cálculos, pero es una gran opción cuando no se cuenta con sistemas de cómputo cerca ya que para realizar la representación de sus puntos en el plano no es necesario memorizar o saber la respuesta de ciertos polos y ceros en el dominio de la frecuencia, además de brindarnos de forma gráfica mayor información de lo que ocurre en la operación y respuesta de nuestro sistema y brindarnos mayor información numérica. Es importante mencionar que ambos métodos forman parte del control clásico pues eran formas de controlar sistemas cuando no se tenían presentes sistemas de procesamiento tan avanzado hasta nuestros días, por lo que su uso es bastante factible cuando no se cuenta con alguno de estos cerca, pese a esto la certeza y exactitud cuándo se realizan estas sintonizaciones no es muy alta, debido a que dependerán de un gran número de factores, como la destreza del que los realiza, escalas de los planos, decimales truncados, etc., aun elaborándose estos sistemas por medio de software de cálculo matemático, los resultados pese a ser más exactos pueden llegar a variar entre diseñadores pues siempre se tendrá que realizar mediciones e interpretaciones personales. Además, se debe siempre recordar que en el control por lazo cerrado es extremadamente complicado considerar todas las variables que afectan a nuestro sistema, por lo que no importa que método se utilice, seguramente se deberá de hacer pequeños ajustes a los resultados obtenidos de forma heurística.
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