PROBLEMAS RESUELTOS DE LUGAR DE RAICES
Ing. MIDWAR MIDWAR ELIAS ELIAS VALENCIA VALENCIA VILCA Problema 1:
Dibujar Dibujar el Lugar Lugar Geométrico Geométrico para la siguiente siguiente función función de transferencia transferencia a lazo
abierto y determinar la estabilidad de la función de transferencia a lazo cerrado. G ( s)
!aso 1.
=
K ( s + 1)
H ( s )
s ⋅ ( s + 9)
!.".# !.".# $% $% &9 !.'.# &1% (% (
!aso .
) ramas
!aso ).
)&1* as+ntotas
!aso ,. "ntersección de las as+ntotas σ =
$ + $ − 9 − (−1) −1
= −,
!aso -. ngulo de las as+ntotas θ 1 =
(1)1/$ $ −1
=
9$ $
θ =
()1/$ $
=
−1
0$ $
!aso . !ertenencia al eje real r eal ] − ∞%−9[ ∉ LGR ] − 9%−1[ ∈ LGR ] − 1%$[ ∉ LGR ] $%+∞[ ∉ LGR
!aso 0. 2ngulos de partida y llegada
!aso /. !untos de encuentro y separación 1 s s
+
+
1 s
+
1 s + 9
1
=
s + 1
s + 9 = $ ⇒ s13
!aso 9. "ntersección con el eje imaginario# 4o e5iste
= −
=
1
!or lo tanto el sistema es estable para todo 67$. Problema 2:
Dibujar el Lugar Geométrico para la siguiente función de transferencia a lazo
abierto y determinar la estabilidad de la función de transferencia a lazo cerrado. G ( s) =
!aso 1.
K ( s + 1) s ( s
+
H ( s )
)( s + ,)
=
1
!.".# $% &% &,% &, !.'.# &1% (% (% (
!aso .
, ramas
!aso ).
,&1*) as+ntotas
!aso ,. "ntersección de las as+ntotas σ =
$ − − , − , − ( −1) , −1
= −
!aso -. ngulo de las as+ntotas θ 1 =
(1)1/$ $ , −1
=
$ $
θ =
()1/$ $
!aso . !ertenencia al eje real ] − ∞%−,[ ∈ LGR ] − ,%−[ ∈ LGR ] − %−1[ ∉ LGR ] − 1%$[ ∈ LGR ] $%+∞[ ∉ LGR
!aso 0. 2ngulos de partida y llegada
, −1
= 1/$
$
θ =
(-)1/$ $ , −1
=
$$
$
!aso /. !untos de encuentro y separación 1
+
s
s
+ 1 s
1 s +
+ 1, s + / =
+
1 s +
,
$ ⇒ s1
1
+
s +
,
=
1 s + 1
= −.% s 3 = −$ .0 ± j $.010
!aso 9. "ntersección con el eje imaginario# La ecuación caracter+stica es#
s ( s + )( s + ,) s
,
+ 1$ s
+
+ K ( s + 1) =
s
+
$
( + K ) s + K
8l arreglo de out: se con;ierte en s ,
1
K
s
1$ // − K
+ K
$
s s 1 s $
1$ K − 1- K − 91
K
// − K K
La intersección con el eje imaginario es cuando K = $1 .0
!or lo tanto el sistema es estable para todo $<6<$1.0$.
Problema 3. Dibujar
el Lugar Geométrico para la siguiente función de transferencia a lazo
abierto y determinar la estabilidad de la función de transferencia a lazo cerrado. G ( s )
!aso 1.
=
K s ( s + )( s
+
s + )
H ( s )
=
1
!.".# $% &% &1=j% &1&j !.'.# (% (% (% (
!aso .
, ramas
!aso ).
,&$ * , as+ntotas
!aso ,. "ntersección de las as+ntotas σ =
$ − − 1 + j − 1 − j ,−$
= −1
!aso -. ngulo de las as+ntotas θ 1 =
(1)1/$ $ ,−$
=
,-
$
θ =
()1/$ $ ,−$
= 1-
!aso . !ertenencia al eje real ] − ∞%−[ ∉ LGR ] − %$[ ∈ LGR ] $%+∞[ ∉ LGR
!aso 0. 2ngulos de partida y llegada ngulo de partida en & y $#
ngulo de partida en &1=j
1- + 9$ + ,- + θ −1+ j
= 1/$ ⇒ θ −1+ j = −9$
!or simetr+a el >ngulo en ?i&j es 9$ $.
$
$
θ =
(-)1/$ $ ,−$
=
-
$
θ , =
(0)1/$ $ ,−$
=
1- $
!aso /. !untos de encuentro y separación 1 s
s
+ 19 s
1
+
s +
+ 1$ s +
,
1
+
s + 1 + j
$ ⇒ s1
=
1
+
=
s + 1 − j
$
= −1.% s 3 = −1 ± j $.-00,
!aso 9. "ntersección con el eje imaginario# s ( s
La ecuación caracter+stica es#
s ,
+
+
)( s
, s
+
+
s + ) + K = $
s
+
, s
+ K
8l arreglo de out: se con;ierte en s
,
1
K
s
,
,
$
s
s
1
$
−
K
, K
s
$
K
La intersección con el eje imaginario es cuando
K = -
!or lo tanto el sistema es estable para todo $<6<-
