Taller 3: Teoría de ColasInvestigación de Operaciones IIDocente: MsC. María F. Ramos MárquezTaller 3: Teoría de ColasInvestigación de Operaciones IIDocente: MsC. María F. Ramos Márquez
Taller 3: Teoría de Colas
Investigación de Operaciones II
Docente: MsC. María F. Ramos Márquez
Taller 3: Teoría de Colas
Investigación de Operaciones II
Docente: MsC. María F. Ramos Márquez
César David Barrios Moreno15/10/2017César David Barrios Moreno15/10/2017
César David Barrios Moreno
15/10/2017
César David Barrios Moreno
15/10/2017
Ejercicios de Colas con Múltiples Servidores
1. (1 Punto) Una empresa de reparación de ordenadores recibe una media de 10 solicitudes de reparación al día, que se distribuyen según un proceso de Poisson. Se supone que μ es la velocidad de reparación de la persona reparadora en ordenadores/día, y el tiempo de reparación es exponencial. Cada unidad de velocidad de reparación supone un coste de 100 euros por semana. Además, se ha estimado que el coste de tener ordenadores no reparados supone 200 euros por ordenador y semana, siendo este coste proporcional al tiempo. Suponiendo que una semana tiene cinco días laborables, se pide:
a) Que determine la velocidad de reparación óptima.
b) Que determine si sería más económico tener dos personas, cada una con la mitad de la velocidad determinada en el apartado anterior.
Solución
Unidad de velocidad de reparación: Cr = $100 euros/semana 20 euros/día
Costo partes no reparadas: Cn= $ 200 ordenador/semana 40 ordenadores/día
λ=10 Solicitudes/día
µ=?
Punto A.
λ µ = ρ (M/M/1) ρ < 1 µ > λ
Tengo que,
μ=λ+CrλCn
Ahora, reemplazo los valores y obtengo que:
μ=10+40*1020 14.47 Ord/día
Por lo que la velocidad de reparación óptima es equivalente a 14,47 ordenadores por día
Punto B.
Para este caso B, se tiene un problema tipo (M/M/2)
p =λµ=107.24=1.38
π0=[1+p+p22*22-p]-1
π0=[1+1.38+1.3822*22-1.38]-1=0.18
Ahora,
Lq=pc+1c-1!c-p2π0=p2+12-1!2-p2π0=p32-p2π0
Lq=p32-p2π0=1.3832-1.3820.18=1.23
Teniendo Lq, se procede a calcular L, así:
L= Lq+ λμ=1,23+107,23=2,61
Por último, se calcula el costo.
20μ + 40L = 20(14,47)+ 40(2,6)= 394
Respuesta B. Con esto, se observa que tener dos personas es más costoso, ya que el coste de tener una sola persona es de 378,43 euros.
2. (1 punto) Tres mecánicos atienden un pequeño taller de reparación de motores. A principios de marzo de cada año, las personas traen sus cañas de timón y podadoras de césped para servicio y reparación. El taller está dispuesto a aceptar todas las cañas de timón y podadoras que traigan los clientes. Sin embargo, cuando los clientes nuevos ven el piso del taller tapizado de trabajos en espera, se van a otra parte para un servicio más rápido. El piso del taller puede alojar un máximo de 15 podadoras o cañas de timón, excluyendo las que están en reparación. Los clientes llegan al taller cada 10 minutos en promedio, y a cada mecánico le lleva un promedio de 30 minutos completar cada trabajo. Tanto los tiempos entre llegadas como los de servicio son exponenciales. Determine lo siguiente:
a) El promedio de mecánicos ociosos.
b) La probabilidad de que al menos un mecánico esté ocioso.
c) El promedio de cañas de timón o podadoras en espera de servicio.
Solución
Datos:
(M, M, 3)
(Distribución de llegada = Exponencial, Distribución de salida = Exponencial, Número de servidores=3)
Máxima capacidad: N= 15
ʎ = 1C/ 10Min= 0.1 c/m
Número de servidores: S= 3
Ts= 30 minutos
µ=1/30
p = ʎ/ (µ) = 0.1/(1/30)=3.
pc=33=1.
C: Promedio de servidores ocupados
π0=1P00!+P11!+P22!+P33!(15-3+1)=0.0149
πN=P153!C15-3*π0=92*π0=0.0672
λefec=λ1-0.0672=0.1*1-0.0672=0.0933
C=λefecμ
C=0.0933130=2.80
El promedio de servidores ociosos está dado por C - C = 3- 2.8= 0.2
Respuesta punto a = 0.2
Punto B
La probabilidad de que al menos un mecánico esté ocioso está dada por:
Probabilidad de que haya 0 clientes en el sistema + Probabilidad de que haya 1 cliente en el sistema + Probabilidad de que hayan 2 clientes en el sistema
π0=1P00!+P11!+P22!+P33!(15-3+1)=0.0149
π1=P11*π0=3*π0=0.0448
π2=P22*π0=4.5*π0=0.0672
PuntoB = π0+π1+π2=0.1269
Punto C:
El promedio de cañas de timón o podadoras en espera de servicio.
Lq=PC(N-c)(N-c+1)2c!π0=33(15-3)(15-3+1)12π0=5.24
3. (1 punto) Un banco cuenta con una sola ventanilla de atención a clientes, la cual atiende a un cliente con un tiempo promedio de 2 minutos según una distribución exponencial, los clientes llegan al banco con una tasa de 20 clientes por hora. Responda:
a. ¿Cuál es el número promedio de clientes y el tiempo promedio que demora un cliente en ser atendido?
b. Suponga que los clientes son clasificados en dos tiempos, A y B, según su prioridad. Los clientes A tienen prioridad sobre los clientes B, por lo que son atendidos primero. Cuando un cliente llega al banco, tiene 30% de ser un cliente A. Investigue los modelos de cola con prioridades. Muestre sus consideraciones y ecuaciones. Calcule la cantidad promedio de clientes A y B en el banco y el tiempo promedio que demora un cliente A y B en el banco.
Solución
(M/M/1)
ʎ= 20C/h Ts= 2min/c Ts= 130horas/cliente μ= 30 clientes/h
p= ʎμ= 2030=23
L= p1-p=2/31-(2/3)=2 clientes
El número promedio de clientes en el Sistema es de 2 clientes
Lq= (23)2(1-23)= 4/3
Ws= Wq+ 1μ=Lq+ 1μ= 43+130=0,1hora = 6 minutos
El tiempo promedio que demora un cliente en el Sistema es de 0.1 hora, lo que es 6 minutos.
Punto B.
λA= 20 * 0,3= 6 clientes/ hr. λB= 20* 0,7= 14 clientes / hr.
μ= 11/30= 30 clientes/ hora
Wk= 1μ(1-ak-1)(1-ak)
α0= 0
αk= i=1i=kλiμ
αA= 630=0,2
αB= 0,2+1430=23
Ahora, se procede a hallar los tiempos promedio que demoran los clientes A y B en ser atendidos:
WA= (1/30)(1-0)(1-0,2)= 16=0,041hr
WB= (1/30)(1-0,2)(1-(2/3))= 18=0,125hr
Por último, se calcula la cantidad promedio de clientes.
Lk= k*Wk
LA= 6*0.041= 0,246 clientes
LB= 14*0,125= 1,75 clientes
Referencias
DE LA FUENTE, David., PINO, Raúl., Teoría de las líneas de espera. Universidad de Oviedo. Marzo de 2001.
