CLASES DE MATRICES MATEMATICA BASICA UNH.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

E.P INGENIERÍA DE MINAS

1.1 DEFINICIÓN 1.2 ORDEN 1.3 IGUALDAD DE MATRICES 1.4 ALGEBRA DE MATRICES A. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES B. PRODUCTO ESCALAR POR UNA MATRIZ C. POTENCIA DE MATRICES D. INVERSA DE UNA MATRIZ. 1.5 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ 1.6 TIPOS DE MATRICES

PROF. MIRELI RAMIREZ C.

MATEMÁTICA BÁSICA 2014 - II Página de



1.1 DEFINICIÓN: Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos, los cuales pueden ser números (reales o complejos), funciones, etc., dispuestos en “m” filas (líneas horizontales) y en “n” columnas (líneas verticales).Su representación abreviada y explicita es: A   aij 



m x n # columnas # filas

Indica que A es la matriz de orden m×n , , de elementos m×n

 a11 a12 a13 a  21 a22 a23  A    ai1 ai 2 ai 3    am1 am 2 am3

aij

a1 j

a1n 

a2 j

a2 n 

ai j

ain 

am j

  

Filas

  amn 

Columnas

Donde aij , se lee: a sub i j, son los elementos o entradas de la matriz A con i  1, m j  1, n . Cada elemento del arreglo matricial asocia los subíndices i (representa la fila) y j (representa la columna), columna), los cuales cuales indica la posición del del elemento. Por da era ejemplo a23 es el elemento de la 2 fila y 3 columna. Es decir el lugar de cada elemento queda determinado por i, j. 1.2 Orden o Dim ensión de una Matriz Se denota por la multiplicación mxn, indicando el número de filas y columnas respectivamente. Por ejemplo: Sea la matriz A  ai j j  , matriz A de orden orden mxn. Es decir, la matriz tiene m 

filas y “n” columnas.

m x n

El orden de una matriz no es conmutativo.

Al conjunto de todas las matrices de orden m x n de elementos reales, se denota como M m  n ( )


MATEMÁTICA BÁSICA 2014 - II Página 2 de 56



1.1 DEFINICIÓN: Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos, los cuales pueden ser números (reales o complejos), funciones, etc., dispuestos en “m” filas (líneas horizontales) y en “n” columnas (líneas verticales).Su representación abreviada y explicita es: A   aij 



m x n # columnas # filas

Indica que A es la matriz de orden m×n , , de elementos m×n

 a11 a12 a13 a  21 a22 a23  A    ai1 ai 2 ai 3    am1 am 2 am3

aij

a1 j

a1n 

a2 j

a2 n 

ai j

ain 

am j

  

Filas

  amn 

Columnas

Donde aij , se lee: a sub i j, son los elementos o entradas de la matriz A con i  1, m j  1, n . Cada elemento del arreglo matricial asocia los subíndices i (representa la fila) y j (representa la columna), columna), los cuales cuales indica la posición del del elemento. Por da era ejemplo a23 es el elemento de la 2 fila y 3 columna. Es decir el lugar de cada elemento queda determinado por i, j. 1.2 Orden o Dim ensión de una Matriz Se denota por la multiplicación mxn, indicando el número de filas y columnas respectivamente. Por ejemplo: Sea la matriz A  ai j j  , matriz A de orden orden mxn. Es decir, la matriz tiene m 

filas y “n” columnas.

m x n

El orden de una matriz no es conmutativo.

Al conjunto de todas las matrices de orden m x n de elementos reales, se denota como M m  n ( )





1.3 IGUALDAD DE MATRICES Se dice que dos matrices matrices son iguales si y solo si tienen el mismo orden y sus elementos que tienen la misma posición son iguales. Es decir, sean las matrices A = [a ij ]m n y B  [bij ] p q se dice que: ×

Tienen n el mism mismo o orden orden,, es decir decir:: m  p y n  q, y i) Tiene ii) a ij  bij ,  i, j

Amn  Bpq  

1.4 AL GEBRA DE MA TRICES TRICES A. Sum a y diferencia de Matrices

Sean A = [a ij ]m n y B  [bij ]mn . Se denota y define la Suma( o diferencia) de A y B como: ×

C  cij 

mn

 A  B  aij  mn  bij mn  aij  bij mn

Esto es, la la sum a(o a(o diferencia) de matrices del m ismo orden es o tra matriz del mismo orden q ue se obtiene al a l sum ar(o ar(o restar) elemento elemento s corresp ond ientes de las matrices.

Ejemplos: Sean A, B  M 23    a11 a12 a13   b11 b12 b13   a11  b11 a12  b12 a  b b b    a b a b a a  21 22 23   21 22 23   21 21 22 22  1 9   7 6   1  7 9  6     5 3      22  0 10  22  5  0 3  10  22

a13  b13 



a23  b23 

6 3     5 13 22

Sean A  M 23 y B  M 53  A  B no esta definida, es decir  a. Propiedades: PROPIEDADES DE LA SUMA: Sea  A, B, C  M mn   A  ( B  C)  ( A  B)  C Asociativa Conmutativa A  B  B  A Elemento Neutro Elemento Opuesto


 0mn / A  0  0  A  A Elementos todos nulos Donde 0mn : Matriz nula. Elementos   Amn / A    A   A  A  0mn

 Amn : Matriz opuesta de A. Elementos opuesto de A




B. Multiplicación de un Escalar por una Matriz Matriz

Sea   (o ) y A  M mn   . Se denota y define la multiplicación del escalar  por A como:  A   aij 

mn

  aij  mn

Esto es, la multiplicación del escalar  por por A es otra matriz del mism o orden q ue se obtiene al multiplicar  p o r c a d a u n o d e l o s elementos de A .

Ejemplos: Sean    a11

 

 a21

y A  M 22 



a12 

  a11  a12      a22    a21  a22 

45  1 9   5 * (1) 5 * 9   5 45 5          0 3 22  5 * 0 5 * 3  22  0 15 22

b. Propiedades: PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sea  ,   (o ) y  A, B  M mn  

  A     A 

Asociativa

 A  A  ( A  B)   A   B Distributiva del Producto Respecto a la Suma de Escalares Escalares (   ) A   A   A Conmutativa Distributiva del Producto Respecto a la Suma de Matrices Matrices

C. Multiplicación de matrices

Sean A   aij   M mn   y B  b jk   M n p   . Se denota y define la multiplicación de A por B como: C  AB   aij 

n

b jk   cik m x p / cik   aij b jk n xp j 1  

mx n

iguales

Esto es, la multiplicación de A  aij 

por B  b jk 

mn

n p

es otra m atriz

C  cik m x p , c u y o s cik se ob tienen al mu ltiplicar la fila “i” de A por la

k ” de B. columna “ k B.





 El producto de matrices es “COMPATIBLE” (se puede calcular), si el nº de colu mn as de A es ig ual al nº de filas de B.  El orden de la matriz producto (C), lo determ ina el nº de filas de A por el nº de co lum nas d e B.   Multiplicar la fila “i” de A por la columna “k” de B :

se multiplica término a término los elementos de la fila i de la matriz A por los de la columna k de la B, luego se suman.

Ejemplos: AB   1



3

 2    0   9   1(2)  3(9)  0(5)  25 11  25: Escalar 13  5    31

1 1   , B   5 2 3 . Calcule C = AB y D = BA. Sea A  4 0  7 6 8     23 9 0  32 1 1  5 2 3   D  BA    4 0   7 6 8   23 9 0    32

 1 1    5 2 3 C= AB   4 0   7 6 8 23   9 0  32

= Orden de C: 3 x 3

 5 2  1 1   1 1    7  6    5 2     4 0    4 0     7  6     9 0  5  9 0 2   7  6       12 4 5   20 8 12   45 18 27  33

3 

1 1    8   3   4 0    8    3  9 0    8  

33

 1      5 2 3 4   9   1    7 6 8 4     9    40 5    89 7  22

 1   5 2 3  0    0     1   7 6 8  0    0  

Los productos de AB y BA existen, sin embargo son

¡EL PRODUCTO DE MATRICES NO ES CONMUTATIVO! diferentes.





3 2 1 1 0      . Calcule C = AB y Sea A  4 2 9   , B   3 2  7 5 6 33  1 5 32  3 2 1  1 AB   4 2 9   3    7 5 6  33  1  3(1)  2.3  1.1   4(1)  2.3  9.1 7(1)  5.3  6.1

0

2  5 32 3.0  2.2  1.5  4.0  2.2  9.5   7.0  5.2  6.5  32

D = BA.

 1 0  3 2 1    4 2 9 BA  3 2      1 5 32 7 5 6 33  



  BA

4 9   11 49  14 40  32

En este caso:  AB , pero  BA  1  AB  3 1 1   2 1/3    , B   Sea A     2  3 4 1 3   BA    1   AB  BA

1  2 1/3 



4  1 1/3 1



3  3



 3 10 / 3    13  1  10  4

3 

NOTAS

Sea AB y BA:

c. Propiedades:

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Sea  A, B, C compatibles Asociativa A  BC    AB C Distributiva del Producto Respecto a la Suma A( B  C)  AB  AC (SIEMPRE QUE EXISTAN LAS OPERACIONES) ( A  B)C  AC  BC AI  A , I ' A  A lemento Neutro (Matriz Unidad) por la Derecha e Izquierda


 AI  IA  A Nota:  A, I  Mn x n




 A, B, C compatibles

b. A0  0 A  0  A,0 M n x n

a. A0  0 , 0' A  0" 0 y 0 Nota:  ' " 0 y 0 no siempre son del mismo orden

c. si AB  0, no implica que A  0 ó B  0 . Ejemplo 1 1 3 2   0 0  1. AB    3 2    0 0  , pero A  0 y B  0 1 1       9 0  0 0   0 0 

2. AB    3 5    0 0  , pero A  0 y B  0 7 0      d. No cumple con la propiedad cancelativa: AB  AC  B  C Ejemplo

 1 0  1 0   1 0  1 0   8 1    2 0  5 3  , pero B  C 0      

3.  2

AB

AC

1 1 3 2  1 1 2 1  3 2   1 1 2 1  , pero B  C 1      

4.  1

AB

AC

e. No cumple fórmula del Binomio, pues el producto no es 2 conmutativo:  A  B   A2  AB  BA  B2  A2  2 AB  B2

D. Potencia de Matrices La potencia de matrices está definida solo para matrices cuadradas (aquellas que tienen el mismo nº de filas y columnas). Sea k  como:

y A  M n x n ( ) .

Pn x n

La Potencia k-ésima de A, se denota y define

  I , si k  0   Ak   A, si k  1  A.A.A... A , k  2(natural )  k VECES 

Esto es, La Potencia k-ésima de A e s o t r a m a t r i z d e l m i s m o o r d e n d e A, que se obtiene m ultiplicando k v eces A.





Ejemplos: 1 1 n , Halle A .  1 1 1 11 1   2 2  A2  AA   1 1    2 2  1 1       2 2 1 1  4 4  A3  A2 A   1 1   4 4  2 2     

Sean A  

A  n



 2n 1 2n 1    n 1 n 1  2  2

Si A5   I , halle A11 y A101 (ejercicio)

d. Propiedades: Sea p 

E. Inversa de una Matriz La inversa de una matriz sólo se define para matrices cuadradas. Sea A  M nn   . Se Dice que A es invertible si tiene inversa, la cual se denota por A´1  M nn   , tal que: AA1  A1 A  I n xn Esto es, la inversa de A es otra m atriz A´1 d e l m i s m o o r d e n , ta l q u e A y A´  1 con mu tan y da la identidad. No todas las matrices cuadradas tienen inversa , así las matrices que tiene inversa se llama matrices regu lares y la que no tiene inversa se denomina matrices singulares.





Ejemplos: a b  d b  1 1   A    ad  bc  c a  c d

Sea A  

 1 4  (ejercicio) 2 3  

Halle A1 / A  

d. Propiedades:

A1 es única

 A  1

1

A

1

 AB  B1 A1   A  1

1



A1,  

 0

Si A es regular, las siguiente leyes cancelativas son válidas: • Si AB = AC entonces B = C • Si BA = CA entonces B = C

1.5 TRANSPUESTA DE UNA MA TRIZ Sea A  M mxn . Se denota y define la traspuesta de A, como: A  M mn 

 AT   aij 

T mn

 a ji  n  m / A  aij  m  n

Esto es, la transpuesta de A mxn ( AT ) es otra m atriz d e o rd en nx m , que se o b t i en e i n t e rc a m b i a n d o f i l a s p o r c o l u m n a s o v i c e v er s a d e f o r m a ord enada. Por ejem plo : la 1º fila de A es la 1º co lum na d e AT así

sucesivamente hasta llegar a la última fila de A que será la última T columna de A . Ejemplos: a b Sea A   d e


 a d   AT   b e   f   c f   

c




 1 8 9    Halle AT / A   0 4 8  (ejercicio)  7 5 3  

Determine el orden de la transpuesta de las siguientes matrices: Solución  AT  M A  M 53  53

Solución  BT  M B  M 72  27

 1 5 6 7  2 1 0 0 T   Sea A   4 0 2 5  y B   5 9 6 4  . Hallar AT  BT ,  A  B  . 3 8 2 1 7 2 5 8      Solución:

 1 4 5 0 T A   6 2   7 5

3

2 5   1 9 8 T  y B  0 6 2   1 0 4

7

 3   6 2 T T  A  B   6 5   8  7

1

10

9 10 8 7  9 9

Otra forma:  3 1 10   3 6 6 7   6 9 10  T    A  B  1 9 8 9   A  B       6 8 7 10 10 7 9       7 9 9  Propiedades:

a. b.

T

 A   A   A    A  T

1

T

T

1

T

T

c.  AB   BT AT ,  A  B   AT  BT

T

d.  A   AT ,  





1.6 TIPOS DE MATRICES: TIPO DE MATRIZ :

DEFINICIÓN

Sea A= [aij]m x n

n e d r o l e n ú g e S

RECTANGULAR

EJ EMP LO

Aquella cuyo número de filas es 1 diferente al nº de columnas, A   2  siendo su orden m  n , m  n 3 

7

5

3 

0

1

8

6

9



11 

34

PUEDE SER FILA COLUMNA

CUADRADA

A = [ 1 5  ]1 x 3

Aquella de orden “1xn” ( n ≠ 1 )

5   A  2    3 3 x1

Aquella cuyo orden es de “mx1”, (m ≠1)

1  A3   2 3 

Cuando el nº de filas y columnas son iguales ( m = n ). Se denota An y se lee matriz A de orden “n”.

7

5

0

1

   9 3

6

A = [aij ]n : Diagon al Princip al (DP)

Diagon al Secund aria (DS)

Traza de A: tr (A)

Son los a ij ∀ i = j . Son los a ij ∀ i + j = n +1 , Es la suma de los elementos de la DP . (Unir extremo superior es decir son: a , a ,a 1n

izquierda con extremo inferior derecha).

2(n-1)

3(n-

2),…,

an1. (Unir extremo superior derecha con extremo inferior izquierda).

Ejemplo: DP: 1, 2, 5 DS: - 6, 2, - 2 Tr(A)=1+ 2+5= 8

Matrices Cuadradas An Especiales Aquella cuyos elementos que están -3 por encima o debajo de la diagonal A3 = 0 principal son nulos. Puede ser: 0 TRIANGULAR

M.T.Superior ⇔ aij

= 0,

= 0,

8 0 0 5

Triangular Superior

∀ i > j

-3 0 0

(Debajo de la DP todos nulos). M.T.Inferior ⇔ aij

4 2

A3 =

∀ i < j

1

0 0

7

9 5

Triangular inferior

(Encima de la DP todos nulos).

DIAGONAL

Aquella donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros (por encima y por debajo de la DP). Es decir que es Triangular Superior e Inferior a la vez. A es Diagonal ⇔ a ij = 0 ∀ i ≠ j


A4 =

0

0

0

0

0

-2

0

0

0

0

1

0

0

0

0

3

94




Matrices Cuadradas An Especiales TIPO DE MATRIZ:

DEFINICIÓN

Sea A= [aij]m x n

EJ EMPL O

Es una matriz diagonal cuyos elementos de la DP son todos iguales.

ESCALAR

a ij  0,  i  j; y  a ij  k (cte) ,  i  j

3

A4 =

A es Escalar  

0

0

0

0

3

0

0

0

0

3

0

0

0

0

3

4

Matriz escalar , cuyos elementos de la DP son la unidad. Se denota por I.

IDENTIDAD

A es M. Identidad ⇔ a ij = 0 ,∀ i ≠ j y a ij = 1 , ∀ i = j

Aquella matriz, cuyos elementos simétricos respecto a la DP son iguales.

SIMÉTRICA

A es Simétrica ⇔ a ij = a ji ,∀ i , j o A es Simétrica ⇔ A = AT

ANTISIMÉTRICA (Hemisimétrica)

Aquella matriz, cuyos elementos simétricos respecto a la DP son opuestos y los elementos de la DP son nulos. A es Antisimétr ica ⇔ a ij = - a ji ∀ i , j

0 -1 -7

A3 =

1

9

0

7 -9 0

o A es Antisimétr ica ⇔ A = - A T

La inversa de A (denotada por A-1) existe, si es conmutable con A cuyo resultado es la matriz identidad.

INVERSA

∃

A2 =

A - 1 , si A * A - 1 = A - 1 * A = I -1

A

La matriz que tiene inversa se llama

=

3

-4

7

5

5 / 43

4 / 43

- 7/43

3/43

REGULAR, INVERTIBLE O NO SINGULAR , de lo contrario se dice que es SINGULAR

ORTOGONAL

Aquella Matriz cuya Transpuesta es igual a su inversa. Por tanto una matriz ortogonal multiplicada por su traspuesta es la identidad. A es ortogonal⇔ A

T

= A

-1

⇔ A * A

T

A=

sen x - cos x cos x

sen x

= I

Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta.

NORMAL

A.AT  AT . A Si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.





Matrices Cuadradas An Especiales Si una matriz cuadrada A es periódica, idempotente, nilpotente o involutiva resulta muy sencillo calcular las potencias naturales de la matriz A. TIPO DE MATRIZ: Sea A= [aij]m x n

DEFINICIÓN

EJ EMPL O

La matriz A es Periódica de periodo “p” ( menor entero positivo), si

 p  PERIÓDICA

/ A p  A 1

1

A

2

3

2

2

Si A es Periódica de periodo “p”, se p  k  Ak ,  k  cumple: A

0

6 9 3

1 -2 -6

A

3

-3 2 9

=

2

Para cualquier otro valor entero positivo de “p” que cumple A p+1 = A , se dice solamente que A es periódica.

=A

0 -3

A es de periodo p=2

Es una matriz igual a su cuadrado.

A es Idempotente  A2  A

IDEMPOTENTE

A=

Por tanto:

NILPOTENTE

Si A es Nilpotente de índice “p”, se cumple: A k = 0 n ,∀ k ≥ p

0

-1 1

A2

=

A es Idempotente

A es Idempotente  A k  A,  k 

La matriz A es Nilpotente de índice “p” ( menor entero positivo), si p ∃ p ∈  / A = 0 n

0

0

0 -4 0

0 0

0 0 0 =A A = 0 0 0 , A2 = 0

0

3 0

0 0

A es Nilpotente de índice “ 2”

Para cualquier otro valor entero positivo de “p” que cumple A p = 0 n , se dice solamente que A es Nilpotente. Su cuadrado coincide con la identidad. A es Involutiva⇔ A 2 = I

INVOLUTIVA (Unipotente)

A es Involutiva⇔ A * A = I ⇔ A - 1 = A

Nota: A es Involutiva⇒ A A


1 1 2   1 0    0 0 1 

A   0

Por tanto:

2k



= I n ,∀ k ∈

2k +1

A es involutiva, pues 2 A = A*A= I



= A,∀ k ∈



E.P INGENIERIA CIVIL

Estas pueden ser Rectangulares o Cuadradas TIPO DE MATRIZ:

Sea A= [aij]m x n

DEFINICIÓN

EJ EMPL O

s Si sus elementos son números reales: REAL o a ij ∈ R t n a ∈C e Si sus elementos son complejos: COMPLEJA m Pueden ser rectangulares o cuadradas e l E NULA Todos sus elementos son nulos s Se obtiene cambiando de signo todos los u s OPUESTA elementos de la matriz A= (aij ). Se escribe n – A y está dada por - A=(-aij ) ú Una matriz escalonada por filas es una matriz tal g que en cada fila el número de ceros que precede al e primer elemento no nulo es mayor que en la fila S ESCALONADA anterior. ij

A= 

1 2 3  4 5 6  

1  i 2  i  A  1  i 3i i    2 i 0 

 0 0 0   0 0 0

A23  

Una matriz Reducida, es una matriz escalonada con elementos pivotes a la unidad. La matriz triangular es una matriz escalonada.

1.6 APL ICACIONES DE LAS MA TRICES. 1.





2.

SO L UCIÓN:

Similarmente, el costo total (C total), es: (Ctotal)= CtQ

3.

Un equipo de investigadores de mercado está realizando una investigación controlada para saber las preferencias de la población con respecto a unas pastas dentales. La muestra de la población es de 200 personas a las que se les solicita probar dos marcas de dentífricos durante un mes. Los investigadores comprueban que de las 120 personas que utilizan al comienzo de la investigación la marca A al cabo del mes, el 70% sigue usándola otro mes más, mientras que el resto cambia a la marca B. Por otro lado de las 80 personas que prefieren la marca B al cabo del mes el 80% continúa usándola otro mes más y el resto cambia a la marca A. ¿Cuántas personas están utilizando cada marca un mes después?





¿Cuántas personas están utilizando cada marca 2 meses más tarde? ¿Existe una fórmula que pronostique lo que ocurrirá al cabo de K meses? Solución: Empieza: mes “0”

Mes 1 70%(120)

A

120

P=200

20%(80) 30%(120)

B

80 80%(80)

Formulación del problema para las marcas A y B (respectivamente), al cabo de un mes,; mediante ecuaciones es: 0.7 (120)+0.2 (80)=100 0.3 (120)+0.8 (80)=100 Matricialmente se expresa: A  0.7 0.2  120 

 100        B  0.3 0.8  80   100  M

x0

x 1

Donde: M: matriz de transición. x 0 : Matriz o vector inicial. x 1 :

Matriz o vector al cabo de un mes.

Las coordenadas de

y x 1 es el número de usuarios de la marca A y B.

x 0

Preg. 01) Se observa que: M.x0 = x1, ie: Al cabo de un mes hay 100

usuarios de cada marca. Preg . 02) Al cabo de 2 meses:

 0.7 0.2 100   90 

 90 

x2 = M.x1 =   100    110   x 2   110  0.3 0.8        M

x1

x 2

Hay 90 usuarios de la marca A y 110 de la marca B. Preg . 03) En general se tiene que:

xk  Mxk 1 , K  1,2,3,.... Observación: ¿Al cabo de un año (12 meses), cuál sería el

consumo de cada marca? Para su solución se debe calcular x 11 lo cual es tedioso, por tanto es conveniente expresarlo en términos del vector inicial. ie: x2 = M.x1= M.( M.x0) = M2.x0  xk  M k x0 ,K  1,2,3,....





ACTIVIDAD 01: APLICACIONES DE MATRICES

1. Escriba explícitamente las matrices definidas por: a) A  M3x3 / aij = i + j 2

2

, si i  j

0 b) A  M4x4 / aij  

c) A 

d) A 

i. j , si i  j 1 , si i  j nºes primo M4x5 / aij   0 , si i  j no es nº primo 2  i  j  , si i  j  M3x3 / aij  0 , si i  j  i  j  2 , si i  j

2. Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en soles) indicado por la tabla siguiente: Unidades 2 5 10 Color N 0.04 0.08 0.12 F 0.03 0.05 0.08 Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes: Unidades 2 5 10

Color

N

F

700 000 50 000 600 000 40 000 500 000 500 000

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan los paquetes de globos vendidos en un año (A) y los precios (B). Calcular el ingreso anual (según paquetes – color) empleando la multiplicación de matrices, si es posible. 3. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Reúne los datos en una matriz y responde: a) ¿Qué bandeja posee mayor cantidad de queso manchengo? b) ¿Qué representa el elemento a 32? ¿y el a23? Repare en la importancia del orden de los subíndices. 4. Las exportaciones, en millones de soles, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices: X

A2 000


Y

Z

X

Y

Z

1 A  11 6.7 0.5  A 13.3 7       14.5 10 1.2  B , A2 001  15.7 11.1 3.2  B  20.9 3.2 2.3  C  21 0.2 4.3  C    




a) Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años. b) ¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total? c) Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001 con los datos del ejemplo anterior. 5. Calcula x, y, z en la suma:  x  y 1 2   y 0 z   1 1 3   1      4 4 y  x     z 2 3    0   0 2   2 3 x   2 4 1  z 

6. Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad: 2   2 a  b 4   1 a 2  b 3  a     c  1 6   1  c 2 0  2 0 6  4

7. Cinco estudiantes reciben los siguientes beneficios (beneficios para niños) por cada mes: NOMBRES

Ahorro en soles mensual

Becas en soles por mes

200 168 193 125 219

423 378 564 188 297

William Alonso Juan Antonio José

a) Calcula la cantidad de ahorros y la cantidad de becas, que recibe cada estudiante por año. b) ¿Quién es el estudiante que recibe el beneficio más alto por año, y cuánto es? 8. La empresa

“A” quiere

producir acero. Serán necesarias, entre otras materias primas, mineral hierro y carbón duro. La siguiente tabla nos muestra las demandas (en toneladas) de mineral hierro y carbón duro en un periodo de 3 semanas:

Mineral hierro (tn) Carbón duro (tn) 1º semana 9 8 2º semana 5 7 3º semana 6 4 Existen tres proveedores diferentes que ofrecen estas materias primas. ¿Cuál es el proveedor que ofrece mayor beneficio? En la siguiente tabla se muestran los costes (S/) por tonelada de materia prima para cada proveedor: “X”

“Y”

“Z”

Mineral hierro 540 630 530 Carbón duro 420 410 440





ACTIVIDAD 02: APLICACIONES DE MATRICES 1.

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. a. Representar la información en dos matrices. b. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

2. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a.

Representar esta información en dos matrices.

b. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería.

3. Sea A la matriz

4. Sea A la matriz

1 0 1  0 1 0 . Hallar A n ,  n    0 0 1 

.RPTA:

1 0 n  A n   0 1 0  ,  n     0 0 1 

 1 2 2  1 2 1  . Hallar :1º) A12 2º ) X en A 2 X  I  A .    0 1 1 0 2 4   12 RPTA: A  I ; X  0 1 2    1 0 1 ACTIVIDAD 03: APLICACIONES DE MATRICES

1. Un colegio universitario está comparando sus datos de admisión para los últimos dos años. Tiene interés en la distribución de estudiantes locales en relación con los extranjeros y en la matrícula por sexo. Las matrices A y B resumen el número de estudiantes admitidos en los últimos dos años. M Locales

 360  A  85 Extranjero s 

F 290 

 60 

M Locales

 400  80 Extranje ro s 

B 

F 310  90

 

Halla la admisión total para cada categoría durante los pasados dos años. PROF. MIRELI RAMIREZ C.


UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA 3.1


Suponga que el colegio universitario del problema anterior está esperando un aumento de un 20% en las admisiones para cada categoría de estudiantes para el tercer año. ¿Cuál será la nueva matrícula en el colegio?

3. Un maestro preparó tres exámenes a cinco estudiantes. Ha decidido considerar los primeros dos exámenes a un 30% cada uno, y el tercero a un 40%. El maestro desea calcular los promedio finales para los cinco estudiantes empleando la multiplicación de matrices. La matriz de calificaciones es:  75   91 A   65   59  75 

82 86 



95 100 70 68 



80 99 



76 74 

Los porcentajes están indicados en la matriz fila: B = (0.30 0.30 0.40). Combina estas matrices en tal forma que se pueda calcular las puntuaciones promedios para los cinco estudiantes. Nota: promedio final = E1*P1+E2*P2+E3*P3 4. Una compañía manufacturera de televisores LCD HDTV fabricó tres modelos de diferente calidad en tres tamaños distintos. La capacidad de producción (en miles) en la fábrica de Nueva York está dada por la matriz A. Tamaño 32” Tamaño 37” Tamaño 40”

Modelo I 5 7 10

Modelo II 3 4 8

Modelo III 2 5 4

(En otras palabras, la capacidad de la fábrica es de 5,000 televisores del Modelo I de 20 pulgadas, 8,000 televisores del Modelo II de 26 pulgadas y así sucesivamente). La capacidad de producción en la fábrica de California está dada por la matriz B.

Modelo I Modelo II Modelo III Tamaño 32” 4 5 3 9 6 4 Tamaño 37” 8 12 2 Tamaño 40” a) ¿Cuál es el total de capacidad de producción en las dos fábricas? b) ¿Cuál será la nueva producción en la fábrica de Nueva York si se decide aumentar la producción en un 20%? 5.

Un negocio tiene para la venta televisores LCD Sony Bravia de varios tamaños. Tiene 5 de 40 pulgadas; 8 de 37 pulgadas; 4 de 32 pulgadas y 10 de 26 pulgadas. Los de 40 pulgadas se venden a $1,395, los de 37 pulgadas a $999, los de 32 pulgadas a $795 y los de 26 pulgadas a $695. Expresa el total de venta de los televisores como un producto de dos matrices e indica el ingreso total.

6. Supongamos que una empresa fabrica tres modelos de máquinas herramientas, M1, M2 y M3, y como materia prima fundamental utiliza tres tipos de metales, Hierro (H), Níquel (N) y Cobalto (C). La cantidad de materia prima que necesita para fabricar cada máquina, expresada en toneladas, se muestra en la siguiente tabla: Las mejores ofertas de la materia prima corresponden a los proveedores P1, P2 y P3. Los precios por tonelada (expresados en cierta unidad monetaria) impuestos por cada uno de los proveedores a cada uno de los metales aparecen en la siguiente tabla: PROF. MIRELI RAMIREZ C.




Hacer una tabla de doble entrada que muestre el gasto en materia prima por modelo de máquina y proveedor. Determine el proveedor más económico para dicha empresa y cuánto le costaría comprar la materia prima. 7. Sean las matriz  1 0 1  0 1 0   , A   0 1 0  , A   1 0 1   1 0 1  0 1 0    

Halle An , nXN, para cada matriz.









CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ MÉTODOS A.

Método de la Adjunta.

B.

Método de Gauss – Jordan.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (SEL) A.

Definición

B.

Clasificación de un Sistema de Ecuaciones Lineales.

Teorema de Rouché -Fröbenius C.

Rango de una Matriz Am x n 1. Definición 2. Cálculo de r (Am x n)

D.

Solución de un sistema de ecuaciones lineales 1° Eliminación de Gauss – Jordan 2° Eliminación de Gauss. 3° Cramer 4° Por inversión de la matriz de coeficientes.

E.

Aplicaciones de S. E. L.





MÉTO DO S

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada, se puede usar varios métodos entre ellos tenemos: A. Método de la adjunta. B. Método de Gauss – Jordan. A . Método de la Adjunta. Definiciones previas: Sea An  aij una matriz cuadrada

, Se denota y define: Ac  c ij

n

/ c ij : es el cofactor de a ij de A n

An, Se denota y define: adj ( A)   Ac T

: Es la transpuesta de la matriz de cofactores.

Luego A-1, mediante la adjunta se calcula por: A 1 

1

A

adj ( A) 

1

A

 Ac T

B . Método de Gauss – Jordan. Definición previa:



: También llamada Transformaciones Elementales, éstas se aplican a una matriz de cualquier orden y son: Intercambiar dos filas ( o columnas): f i  f j ( o C i  C j )



Multiplicar por K  0 a una fila “i” ( o columna “i”): Kf i



( o KC i )

A una fila “i” ( o columna “i” ) sumar el múltiplo de otra fila “j” ( o columna “j”): f i  Kf j ( o C i  KC j ) Las OE no cam bia el orden n i rango de una matriz.

En el desarrollo del curso se aplicará OE por filas salvo que se indique lo contrario.

Luego A-1, mediante Gauss – Jordan se calcula mediante el siguiente proceso: PROF. MIRELI RAMIREZ C.



A I






I A 1

OE

Es decir ubicar a la derecha de A la matriz identidad, después aplicar OE buscando transformar la matriz A en la identidad (I) y lo que esta su derecha es A-1. Los pasos de este método son: 1° A la derecha de A ubique la matriz identidad del mismo orden de A. 2° En la primera columna de A tome el elemento a 11 (no nulo), con éste anule los elementos que están debajo de él aplicando OE en las filas que están debajo de a11, después 3° En la segunda columna de A (transformada) tome el elemento a 22 (no nulo), con él anule los elementos que están encima y debajo de él aplicando OE en las filas que están encima y debajo de a 22, 4° Aplicar sucesivamente el paso anterior hasta llegar a la última columna de A, después 5° Observe si la matriz A se transformó en la identidad. Si los elementos a ii tomados en los pasos anteriores no son la unidad, utilice la segunda OE para transformar los aii en la unidad. 6° una vez obtenida la matriz I, la matriz que está a su derecha es la inversa de A. 7° Si al finalizar el paso 4 algún elemento de la diagonal principal de A (transformada) es nulo o si en el proceso de aplicar OE se obtiene una fila (o columna) nula en la matriz transformada de A, entonces no existe A -1. Ejemplo: Halle A-1, mediante la adjunta y Gauss – Jordan, siendo: a)

 1 1 0    A   1 3 5   2 1  2

SO L UCIÓN

1° Hallando

A

:

A  (1)(3)(2)  (1)(5)(2)  0(1)(1)  0(3)(2)  1(1)(2)  1(1)(5)  3 A  3  0   A 1 A  3

2° Hallando Matriz de cofactores:



UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA  3   1  1 Ac     1  1   3

5

1

5

2 1 2 1 

2



2 0

2 0 5

1

0

2 0

3 

1

2 1  2 1

5


1



1  1 

 11  8 7   11  8 7      2  1  1  Ac   2 2  2 1   5  5 5  4 5  4 1    3 

3° Hallando la Matriz adjunta de A:  11  8 7   T  2 1 adj( A)  ( Ac )   2   5 5  4

T

5   11 2  11 2 5       8 2 5   adj( A)    8 2 5   7  1  4  7  1  4

4° Luego A-1 es:  11 / 3 2 / 3 5 / 3  5   11 2   1  1 1  1 2/3 5/3 5  A    8 / 3 A   adj ( A)    8 2   3 A   7  1  4  7 / 3  1 / 3  4 / 3

-1 1 -2

1 3 1

0 5 -2

1 0 0

0 1 0

0 0 : f2 + f1 1 : f3 - 2f1

-1 0 0

1 4 -1

0 5 -2

1 1 -2

0 1 0

0 0 : f2 x f3 1

-1 0 0

1 -1 4

0 -2 5

1 -2 1

0 0 1

0 1 0

: f1 + f2

-1 0 0

0 -1 0

-2 -2 -3

-1 -2 -7

0 0 1

1 1 4

: 3f1 - 2f3 3f2 - 2 f3

-3 0 0

0 -3 0

0 0 -3

11 8 -7

-2 -2 1

-5 : (-1/3) f1 -5 : (-1/3) f2 4 : (-1/3) f3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A 1

I

b)

-11/3 2/3 5/3 -8/3 2/3 5/3 7/3 -1/3 -4/3

: f3 + 4f2

 11 / 3 2 / 3 5 / 3   1   A    8 / 3 2 / 3 5 / 3   7 / 3  1 / 3  4 / 3

0 1 1    A  2  1 3  1 3  1

SO L UCIÓN

1° Hallando

A

:





A  0(1)(1)  (1)(3)(1)  1(3)(2)  1(1)(1)  1(2)(1)  0(3)(3)  12 A  12  0   A 1 A  12

2° Hallando Matriz de cofactores:  1 3  3 1   1 1 Ac     3 1  1 1    1 3





2

3

2

1

1

1

0

1

1

1



0 1

0 1

0

2 3

2

1   3  7   8 5  8 5 7  1         4  1 1   Ac   4  1 1  3   4  4 2  2 2  2 1     1 

3° Hallando la Matriz adjunta de A:  8 5 7    adj ( A)  ( Ac )T   4  1 1   4 2  2

T

 8 4 4   8 4 4      5  1 2   adj( A)   5  1 2   7 1  2  7 1  2

4° Luego A-1 es: 1/ 3   2 / 3 1 / 3 4   8 4   1  1 1   5  1 2  A   5 / 12  1 / 12 1 / 6  A 1  adj ( A)   12  A  7 / 12 1 / 12  1 / 6  7 1  2

0 2 1

1 -1 3

1 3 -1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 2 0

3 -1 1

-1 3 1

0 0 1

0 1 0

1 0 0

: f2 - 2f1

1 0 0

3 -7 1

-1 5 1

0 0 1

0 1 0

1 -2 0

: f2 x f3

1 0 0

3 1 -7

-1 1 5

0 1 0

0 0 1

1 0 -2

: f1 - 3f2

1 0 0

0 1 0

-4 1 12

-3 1 7

0 0 1

1 0 -2

: 3f1 + f3 : -12f2 + f3

3 0 0

0 -12 0

0 0 12

-2 -5 7

1 1 1

1 -2 -2

: (1/3)f1 : (-1/12)f2 : (1/12)f3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I


-2/3 1/3 1/3 5/12 -1/12 1/6 7/12 1/12 -1/6

: f1 x f3

: f3 + 7f2

1/ 3   2 / 3 1 / 3  1  A   5 / 12  1 / 12 1 / 6   7 / 12 1 / 12  1 / 6

A 1



c)

1  1 A   1  2


 1 0  1 0 9  5  2 9  3 1 0 2

SO L UCIÓN

1° Hallando

A

:

1

A

 





1

1

1

5

2

3

1

2

 

2

1

1

2

4

2

3

1

2

92

4

2

3

9 x 2



1

0

0

9 9 : f 3

2



1 

1

0 9

2

0

1 

f 2

0

0 



, aplicar cofactor en C 4

0

1

2 , factorizar "2" en la f 2 1



1

2



1

1

2



1

2

3

1

   

0, pues f1 A





f2

0

A  0    A 1

A 1 -1 1

2 1 5

-1 0 -2

0 9 9

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 : f2 + f1 0 : f3 - f1

2

3

1

0

0

0

0

1 : f4 -2 f1

1 0

2 3

-1 -1

0 9

1 1

0 1

0 0

0 0

: 3f1 - 2f2

0 0

3 -1

-1 3

9 0

-1 -2

0 0

1 0

0 1

: f3 - f2 : 3f4 + f2

3

0

-1

-18

1

-2

0

0

0

3

-1

9

1

1

0

0

0

0

0

0

-2

-1

1

0

0

0

8

9

-5

1

0

3


A

Actividad

:

Halle

mediante

la

adjunta

-1

A , y

        ( 

G a u s s – Jordan, siendo :

a)

      



b)

c)


                         

d)

         


                 (      )




A . D EFINIC IÓN Sea el sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incognitas (variables)

 a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n xn  b1  a x  a x  a x    a x  b 2n n 2 α  21 1 22 2 23 3        a m1 x1  a m 2 x2  am3 x3    amn xn  bm

Este sistema se puede expresar matricialmente:

Donde: A: matriz de coeficientes. X: matriz de variables. B: matriz de términos independientes. son los valores de las incógnitas que satisfacen en simultáneo a cada una de las ecuaciones del sistema . significa determinar si tiene soluciones y cuáles son.





B. CLA SIFICA CIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEA LES

Sea Ax=B Según sus Términos Independientes: B

Según su Solución

HOMOGÉNEO : B = 0

NO HOMOGÉNEO : B ≠ 0

COMPATIBLE:

INCOMPATIBLE :

Términos son nulos.

Términos independientes no son todos nulos.

con solución

Sin solución

independientes

DETERMINADO:

INDETERMINADO:

Una solución

Infinitas Soluciones

Teo rem a d e Ro uc hé -Fröb en iu s , se aplica para determinar si un S. E. L.

tiene solución o no.

DETERMINADO ( Una solución) :

k = n° variables COMPATIBLE :

r(A) = r(A*) = k

INDETERMINADO: k < n° variables

Sea Ax=B

INCOMPATIBLE :

r(A) ≠ r(A*)

Infinitas Soluciones que dependerán de (n - k) parámetros o variables libres, siendo "n" el n° de variables.

Donde: A*   A B  :

Matriz Ampliada, se obtiene al añadir a la derecha de la matriz de coeficientes la matriz de los términos independientes. r(A): rango de A. OBSERVACIONES: 1. Si r(A) ≠ r(A*), r(A) < r(A*).

2. Si B = 0 (S. L. Homogéneo), este sistema siempre será compatible. Si es determinado su solución es (0, 0, 0,…,0), llamada solución trivial.

3. En todo Sistema Compatible, si existen más variables que ecuaciones, el sistema tiene infinitas soluciones.





B. RANGO DE UNA MA TRIZ

1. Definición: El rang o de una matriz cualquiera es el núm ero d e filas (o columnas) n o n u l as Linealmente Independientes (L.I.: ninguna fila o columna depende de otra (s) fila (s) o columna(s) respectivamente). El rango de A, se denota por: r(A). OBSERVACIONES:  r ( A)  Z .

1. 2.

Sea

Am x n

 0  0  r ( A)  minm , n .

3.

Sea

Am x n

 0  r ( A)  0 .

4.

Sea

A n

5.

Sea A n

 0  0  r ( A)  n  0, r ( A n )  n  A n es regular o no singular.

Propiedades equivalentes: 1

Sea A n

 0,  A n  r ( A n )  n  A n  0.

Por tanto No existe

1

An

 r ( A n )  n . Entonc es A es sing ular-

EJEMPLOS:

2.



a)

Sea A3 x 5  0  0  r ( A)  min 3,5, r ( A)  Z

 0  r ( A)  3

b)

Sea A4

 0  0  r ( A)  4, r ( A)  Z 

c)

Sea A5

 0  r ( A)  5  A es regular ie :  A 1

d)

Sea A6

 0  r ( A)  4  A es singular ie : no  A 1

Cálc u lo d e r (A m x ) n

Se puede hallar mediante determinantes u operaciones elementales. En nuestro caso lo hallaremos mediante O.E. por filas, los pasos son los siguientes: Sea Am x n 1° Asignar la DP de la mayor submatriz cuadrada en caso de que A no sea Cuadrada. Si lo fuese Tome su DP. 2° Aplicar O.E., de tal manera que anulemos los elementos que están debajo de la D.P., es decir triangular inferiormente. 3° Los elementos de la DP deben ser no nulos, en caso tenga algún cero (durante el proceso del paso 2°), éste debe quedar al final de a D.P. o debajo de la D.P. (mediante un intercambio de filas o columnas) 4° En Caso aparezcan filas nulas, éstas deben ubicarse al final. 5° Después de aplicar los pasos anteriores, se calcula el rango de la matriz que será el n° de filas no nulas. ( se puede aplicar OE por colu mn as) PROF. MIRELI RAMIREZ C.




E j e m p l o : Halle el r(A) y determine si es invertible en caso de ser una

matriz cuadrada. 14 6 a) A   7  35

2

12

6

8

104

21

9

6

3

4

30

15

20

  1  5 4 x 5

17

SO L UCIÓN

La matriz no es cuadrada, por tanto no eviste su inversa. Hallando r(A):

1° 2°

0

r ( A)  min4, 5  0  r ( A)  4, r ( A)  Z 14 6 7 35

12 104 6 30

6 21 3 15

8 9 4 20

2 17 1 5

14 6 0 0

12 104 0 0

6 21 0 0

8 9 0 0

2 17 0 0

7 6 0 0

6 104 0 0

3 21 0 0

4 9 0 0

1 17 0 0

7 0 0 0

6 692 0 0

3 129 0 0

4 39 0 0

1 113 0 0



: 2f3 - f1 :f4- (2f1+f3) : f1/2

: 7f2- 6f1

Luego r(A) = 2. OB SERVA CIÓN: 1. Si una fila “i” es combinación lineal de 2 o más filas, la fila “i” se

transforma en una fila nula mediante OE. 2. Si una fila “i” es el múltiplo de otra fila, la fila “i” se transforma en una fila nula mediante OE. 1 0  b) A  0  1 4

0

0

1

1

0

2

0

1

3

2

3

14

5

6

32

Hallando r(A): 1° PROF. MIRELI RAMIREZ C.

  5  6  32  77  5 x 5 4

0

r ( A)  5, r ( A)  Z






2° 1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

1 2 3 14

4 5 6 32

: f4 -f1

4

5

6

32

77

:f5 -4f1

1 0 0 0 0

0 1 0 2 5

0 0 1 3 6

1 2 3 13 28

4 5 6 28 61

: f4 - 2f2 : f5 = 2f4 + f2

Se anula f5

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 3 0

1 2 3 9 0

4 5 6 18 0

f4 = 3f3

Se anula f4

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

1 2 3 0 0

4 5 6 0 0

Luego r(A) = 3.≠ orden de la matriz, entonces A no es invertible. ACTIVIDAD: CAL CULE EL RANGO DE CA DA MA TRIZ

,

,

,

,

,

RPTA : 2, 2 , 3, 2, 4, 2, 2.

D. SOL UCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUA CIONES LINEAL ES

Para resolver un S. E. L. se puede aplicar varios métodos, entre ellos tenemos: 1° Eliminación de Gauss – Jordan 2° Eliminación de Gauss. PROF. MIRELI RAMIREZ C.




3° Cramer 4° Por inversión de la matriz de coeficientes. Los dos primeros métodos se aplican para un sistema cualquiera además permite clasificar el sistema usando el teorema anterior (mediante rangos), mientras que los dos últimos sólo para sistemas no homogéneos que tengan el mismo número de variables y ecuaciones. 1°

El proceso es el siguiente: Se basa en diagonalizar la matriz de coeficientes Sea Ax=B  Escribir la matriz ampliada del sistema: A*   A B    

Tomar la Diagonal Principal (DP) de la mayor submatriz cuadrada de A* Triangularizar superior e inferiormente la submatriz, aplicando OE a A*. Finalizado el paso anterior se obtiene un sistema equivalente(es decir un sistema con la misma solución del sistema dado inicialmente) cuya solución se obtiene de manera directa.

2°

El proceso es el siguiente: Se basa en Triangu larizar in feriormente la matriz de coeficientes del sistema de "m" ecuaciones con "n" incógnitas obteniendo un sistema equivalente cuya 1ª ecuación tenga n incógnitas, la segunda n-1, la tercera n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá una sola incógnita. Hecho esto, se resuelve desde la última ecuación y después se usa la sustitución hacia atrás para las demás variables hasta llegar a la primera. Los pasos de este proceso es similar al método de Gauss – Jordan con la diferencia que solo se triangula inferiormente. OBSERVACIONES: to d o d e Ga u ss – Jo rd an es m ás p rácti co ya q ue p erm ite  El Mé ob tener las v ariables direc tamen te. El m é tod o de G auss realiza m e n o s o p e r a c io n e s q u e G a u s s – Jordan , sin emb argo para obtener su s variab les es m ás lab orio so . tod os , en el paso de triang ular in feriorm ente, se puede  En am bo s m é hallar el r(A) y r(A*) y po r ende determinar el tipo d e sistema usand o -Fr öb en iu s. el teorema de Ro u ch é 

Al hallar el rango en matrices que provengan de S.E.L es preciso tener en cuenta que si se intercambian columnas en la matriz de coeficientes ha de hacerse de igual forma el cambio correspondiente de incógnitas, teniendo especial cuidado con la columna de los términos independientes que





conviene no moverla. En general, es aconsejable realizar todas las operaciones por filas. 3°

Se aplica si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre solución única. Las variables del sistema AX = B, se obtiene mediante: xi 

Ai A

, A 0

Siendo: A: matriz de coeficientes Ai: Matriz obtenida de la matriz A, al intercambiar la columna “i” por los términos independientes del sistema. TEOREMA: Sea el sistema de “ n” ecuaciones con “n” variables AX  B y

sea A y Ai las matrices de Cramer. i)

A  0  El sistema Compatible Determinado.

ii) A  0  Ai  0  i,  El sistema es Compatible Indeterminado. iii ) A  0  Ai  0 para algún i,  El sistema es Incompatible.

4°

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (nohomogéneos). Se basa en el sig uiente criterio : sea el S.L.E de “n” ecuaciones con “n” variables AX  B .Si A es invertible, entonces es válido multiplicar a la izquierda de ambas expresiones de la expresión matricial por A -1; obteniendo los valores de las variables: AX  B

A 1 AX  A1 B X  A1 B

Ejemplo: Exprese matricialmente y discutir los sistemas de ecuaciones dados usando los métodos anteriores según sea el caso: PROF. MIRELI RAMIREZ C.




 x  y  z  0  a)  2 x  3 y  z  11  x  y  4 z  1  SO L UCIÓN

1   x   0  1 1  2  3 1   y    11       1 1  4  z   1    

A



X

B

Como el sistema tiene 3 ecuaciones y 3 incógnitas, podría ser aplicable los 4 métodos. 1 1 1 0   1 11  A*   2  3  1 1  4  1

1 2 -1

1 -3 1

1 1 -4

0 11 : f2 - 2f1 -1 : f3 + f1

1 0 0

1 -5 2

1 -1 -3

0 : 5f1 + f2 11 -1 5f3 +2f2

5 0 0

0 -5 0

4 -1 -17

11 : 17f1 +4f3 11 : 17f2 -f3 17

85 0 0

0 0 255 : (1/85)f1 -85 0 170 : (-1/85)f2 0 -17 17 : (-1/17)f3

(*)

1

0

0

3

En la f1: x = 3

0

1

0

-2

0

0

1

-1

En la f2: y = -2 En la f3: z = -1

Luego La solución del sistema es: S = (x, y, z) = (3, -2, -1). Observe que en el paso (*) la mayor submatriz cuadrada de A* (en este caso A) es triangular inferior, por tanto se puede: Clasificar el sistema mediante rangos: n de r ( A)  r ( A*)  3   vriables        Determinado El sist. es Comp.

Ie: El sistema tiene solución única.




A*=


1 2 -1

1 -3 1

1 1 -4

0 11 : f2 - 2f1 -1 : f3 + f1

1 0 0

1 -5 2

1 -1 -3

0 11 -1 5f3 +2f2

1 0 0

1 -5 0

1 -1 -17

0 : 17f1 +4f3 11 : 17f2 -f3 17

De:  17z  17  z  1 f 2 :  5 y  1z  11  y  2 f 1 : x  y  z  0  x  3 f 3 :

El sistema es:  x  y  z  0   2 x  3 y  z  11  x  y  4 z  1  1 1  1 0  A   2  3 1  B   11   1 1  4  1

Como A  17  0  El Sistema es compatibleDeterminado. Luego

x  x 

A x



0

1

1

1

0

1

1

1

0

11

3

1

2

11

1

2

3

11

1

1

4

1

1

1

A 51 17

A

3

y  y 

A y



1 1  4

A

 34 17

A

 2

z  y 

A z



A

 17 17

A

 1

El sistema es:  x  y  z  0   2 x  3 y  z  11  x  y  4 z  1 

Su expresión matricial es:





1   x   0  1 1  2  3 1   y   11       1 1  4  z   1    

X

A



B

1  x  1 1    1   y   A B   2  3 1   z   1 1  4

    ( 

   

z = -1.

1

0  11   A1. A  17  0   A1    1

          )   =

. Luego la solución es: x = 3, y=-2,

                {    -

b)

-

-

-

-

-

SO L UCIÓN

1   x 1  1  2 1 2   3 0   2  x 2   8 2   0 4  1  1  x 3   1        1  x 4   3 5 0 3       

A


X



B




1  2 1 1 2     2  8 3 0 2 *  A  0 4  1  1 1     1  3 3 5 0

A*=

A*=

x 1

x 2

x 3

x 4

1 3 0 5

-2 0 4 0

1 2 -1 3

1 -2 -1 -1

2 -8 : f2 - 3f1 1 -3 : f4 - 5f1

1 0 0 0

-2 6 4 10

1 -1 -1 -2

1 -5 -1 -6

2 -14 1 -13

C2 x C3

x 1

x 3

x 2

x 4

TI

1 0 0 0

1 -1 -1 -2

-2 6 4 10

1 -5 -1 -6

2 : f1 + f2 -14 1 : f3 - f2 -13 : f4 - 2f2

1 0 0 0

0 -1 0 0

4 6 -2 -2

-4 -5 4 4

-12 : f1 +2f3 -14 : f2 + 3f3 15 15 : f4 - f3

1 0 0 0

0 -1 0 0

0 0 -2 0

4 7 4 0

18 31 15 0

r(A) = 3 r(A*) = 3

r(A) = r(A*) = 3 < n° variables=4 Sistema compatible S. C. Indeterminado

A

El sistema es compatible indeterminado, es decir tiene infinitas soluciones con Una Variable Libre (n° de variables – rango: 4 – 3= 1).

Hallando la solución General del sistema : De: PROF. MIRELI RAMIREZ C.




x 1  4 x 4

 18  x 1  18  4 x 4  x 3  7 x 4  31  x 3  31  7 x 4  2 x 2  4 x 4  15  x 2  15 / 2  2 x 4 x 4   (variablelibre)

f 1 : f 2 : f 3 :

Por tanto la solución general del sistema es:

 x 1 , x 2 , x 3 , x 4   18  4 x 4 ,  15 / 2  2 x 4 ,  31  7 x 4 , x 4  Donde x 4   ( se escoge de forma arbitraria) 

A*=

A*=

Se puede obtener soluciones particulares , dando valores arbitrarios a x4 . Una solución particular sería: ( 18, -15/2, -31, 0), si x4 = 0.

x 1

x 2

x 3

x 4

1 3 0 5

-2 0 4 0

1 2 -1 3

1 -2 -1 -1

2 -8 : f2 - 3f1 1 -3 : f4 - 5f1

1 0 0 0

-2 6 4 10

1 -1 -1 -2

1 -5 -1 -6

2 -14 1 -13

C2 x C3

x 2

x 4

TI

x 1

x 3

1 0 0 0

1 -1 -1 -2

-2 6 4 10

1 -5 -1 -6

2 -14 1 : f3 - f2 -13 : f4 - 2f2

TI

1 0

1 -1

-2 6

1 -5

2 -14

0 0

0 0

-2 -2

4 4

15 15 : f4 - f3

1 0 0 0

1 -1 0 0

-2 6 -2 0

1 -5 4 0

2 -14 15 0

r(A) = 3 r(A*) = 3

r(A) = r(A*) = 3 < n° variables=4 Sistema compatible S. C. Indeterminado

A

El sistema es compatible indeterminado, es decir tiene infinitas soluciones con Una Variable Libre (n° de variables – rango: 4 – 3= 1). Hallando la solución General del sistema : De: f 3 : f 2 : f 1 :

 2 x 2  4 x 4  15  x 2  15 / 2  2 x 4  x 3  6 x 2  5 x 4  14  x 3  31  7 x 4 x 1  x 3  2 x 2  x 4  2  x 1  18  4 x 4 x 4   (variable libre)

Por tanto la solución general del sistema es:

 x 1 , x 2 , x 3 , x 4   18  4 x 4 ,  15 / 2  2 x 4 ,  31  7 x 4 , x 4  Donde x 4   ( se escoge de forma arbitraria) PROF. MIRELI RAMIREZ C.




                   El sistema es:

1  1  2 1 3 0   2 2  A 0 4  1  1     1 3 5 0

El sistema tiene el mismo número de ecuaciones y variables, pero del desarrollo anterior por el método de Gauss – Jordan(o Gauss) se tiene que r(A) = 3 ≠ 4(orden de A), entonces no existe la inversa de A. Por tanto

no se puede aplicar el método de Cramer ni por la inversión de la matriz de coeficiente. Ejemplo: Discutir los sistemas de ecuaciones dados usando Gauss – Jordan. a)

         SO L UCIÓN

0 1 1  x 1   2  2  1 1  x    1   2    2 1 3  x 3   0   

X

A

A*=

A*=



B

0 2 2

1 -1 1

1 1 3

2 : f1 x f2 -1 0

2 0 2

-1 1 1

1 1 3

-1 2 0 : f3 - f1

2 0 0

-1 1 2

1 1 2

-1 : f1 + f2 2 1 : f3 - 2f2

2 0 0

0 1 0

2 1 0

1 2 -3

r(A) = 2 r(A*) = 3

r(A) ≠ r(A*) Sistema incompatible

A





El sistema no tiene solución, pues los rangos de r(A) y r(A*) son diferentes, o de la f3 se tiene: 0x1 + 0x2 + 0x3 = -3 , ie: 0 = -3 (absurdo)  x  3 y  2 z  25 000  b)  x  4 y  z  20 000 2 x  5 y  5z  55 000  SO L UCIÓN A*=

A*=

1 1 2

3 4 5

2 1 5

25 000 20 000 : f2 - f1 55 000 : f3 -2f1

1 0 0

3 1 -1

2 -1 1

25 000 : f1 -3f2 -5000 5 000 : f3 + f2

1 0 0

0 1 0

5 -1 0

40 000 -5000 0

A

r(A) = 2 r(A*) = 2

n° variables: 3 r(A) = r(A*) = 2 ≠ 3 Sistema compatible

S. C. Indeterminado

El sistema tiene infinita soluciones con una variable libre. Su solución general es: De: f 1 :

x  5z  40 000  x  40 000  5z

f 2 :

y  z  5 000  y  5 000  z z   (variablelibre)

1. (A d m i n i s t r ac i o n d e R ec u r s o s ) Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comidas aun lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie A consume cada semana un promedio de: 1 u del alimento I, 1u del alimento II, 2 u del alimento III. Cada pez de la especie B consume cada semana un promedio de: 3 u del alimento I, 4 u del alimento II, 5 u del alimento III. Cada pez de la especie C consume cada semana un promedio de: 2 u del alimento I, 1u del alimento II, 5 u del alimento III. Cada semana se proporcionan al lago 25 000 u del alimento I, 20 000 del alimento II y 55 000 del alimento III. Si se supone que los peces se comen todo el alimento, ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago? PROF. MIRELI RAMIREZ C.




SO L UCIÓN

Sea el n° total de peces, que pueden coexistir en el lago, de la: Especie A: x Especie B: y Especie C: z Datos: Consumo promedio semanal de alimentos según especie

I II III

A

B

C

1 1 2

3 4 5

2 1 5

Total de alimentos 25 000 20 000 55 000

El sistema es:  x  3 y  2z  25 000   x  4 y  z  20 000 2 x  5 y  5z  55 000 

La solución de sistema es infinita: x  5z  40 000  x  40 000  5z y  z  5 000  y  5 000  z

z  (variablelibre)

Pero la solución al problema se restringe los valores de las variables a números enteros positivos, pues las variables representan el número de peces que habitan en el lago y éstos no pueden ser n egativos ni fraccionarios. Entonces: x  40 000  5z  0  z  8 000

 y  5 000  z  0  z  5 000

 5 000  z  8 000, z  Z 

 z  0

Z esta entre 5 000 y 8 000 (n° entero), entonces existe 3 001 (8 000 – 5 000 +1) valores. Como x e y dependen de z entonces existen 3 001 soluciones para el problema. Una solución es: ( x, y, z) = (5 000, 2 000, 7 000), si z = 7 000. 8. (M o d e l o d e L e o n t i e f A p l i c ad o a u n S i s te m a E c o n ó m i c o : C o n s u m o P r o d u c t i v i d a d ) Suponga que una economía simple tiene tres industrias que son dependientes entre sí, pero que no dependen de industrias externas (se cumple el modelo cerrado de Leontief). Las industrias son: agricultura, construcción y vestuario. La fracción de cada producto que consume cada industria está dado por: PROF. MIRELI RAMIREZ C.




Producción Agricultura Construcción Vestuario

  

Agricultura

Consumo

Construcción Vestuario

  

  

La componente d ij denota la fracción de bienes producidos por la gente que trabaja en la industria j y que es consumida por la gente que trabaja en la industria i . Por ejemplo: d 31 

4 16

, significa que la industria del vestuario consume

4 16

del total de la

producción agrícola. d 13



3 16

, significa que la industria agrícola consume

3 16

del total de la

producción de la industria de vestuario. Supongamos que los ingresos de la industria de la agricultura, construcción y vestuario son P 1 , P 2 , P 3 respectivamente. Asuma que se cumple la condición de equilibrio (los gastos debidos al consumo es igual a los ingresos a las ventas), determine los ingresos de cada sector de la economía. SO L UCIÓN

Una economía simple tiene tres industrias que son dependientes entre sí, pero que no dependen de industrias externas, cuya fracción de cada producto que consume cada industria está dado por: Agricultura Construcción Vestuario Agricultura

Consumo Construcción Vestuario

7 16 5 16

3 6

4 16

2 6

3 16 5 16 8 16

1 6

Pr oducción

Supongamos que el ingreso total de cada industria es: Agricultura

:

P 1

Construcción

:

P 2

Vestuario

:


y

P 3




Además, teniendo en cuenta que se cumple la condición de equilibrio (los gastos debidos al consumo son igual a los ingresos debidos a las ventas), se tiene el siguiente sistema lineal: Consumo ind. Agrícola = Producción total de la Ind. 3 3 7 P P P P    1  16 1 6 2 16 3 Agrícola (P1)  1 5 5  P1  P2  P3  P2 Consumo ind. Construcción = Producción total de la Ind. 6 16 De Construcción (P 2) 16 2 8 4 = Producción total de la Ind. 16 P1  6 P2  16 P3  P3 Consumo ind. Vestuario  De Vestuario (P ) 3

equivalentemente, se tiene el sistema lineal homogéneo: 3 3  9 P P P 3  0    1 2  16 6 16  5 5  5 P1  P2  P 3  0  16 6 16  2 1  4  16 P1  6 P2  2 P 3  0 

Resolviendo Gauss –

dicho

9 16 5 16 1 4

1 2 5  6 1 3



sistema, Jordan:

3 0 16 5 0 16 1 0  2

9

8

3

0

3

8

3

0

3

4

6 0

3

8

3

0

9

8

3

0

3

4

6 0

8 3 0 0 16 12 0 0 12 9 0

f 1  16 f 2  48 5 f 3

 12

f1  f 2

3

3 0 4 3 3 0 3 0 4 3 0

4

0 0

0

0 0

 3f 1 f3  f

f2

0 0

1 0 4 3

0

0 0

0

1 0

0


 14 f 3  13

f 2

f1  2f 3 f2

 f 3

0 0

0

3 3   9   16 6 16     P 1   0  5 5 5    P    0   2  16 6 16        P 0 2 1  3     4   X  16 B 6 2  A

mediante de donde se obtiene:

1. rang(A)=rang(A/B)=2
 P1  P3

4P2  3P3  0

3

3 8

Expresándolo en forma matricial:

f 1 

1

3

 P2 

0  0 (Verdad )

3 P3 4

Haciendo:  P3  4t, t   P1  4t  P2  3t  P3  4t 0  0 (Verdad ) La solución del sistema se puede representar como:  P1,P2,P3    4t,3t,4t   t 4,3,4 ,t  , tiene infinitas soluciones. Sin embargo para la solución del prob lema dado , “t” debe ser un número real no negativo, tales que los ingr esos de la industria de la agricultura, con stru cción y vestu ario est án en la prop orción 4:3:4, respectivamente.




9. Análisis de flujo de tráfico. Supongamos que tenemos una red de calles en una sola dirección en una ciudad. Se quiere analizar el flujo de tráfico en cada una de las calles. La dirección del tráfico en cada una de las calles está dado en la siguiente figura.

En varios sitios se han colocado contadores, y el número promedio de carros que pasan por cada uno de ellos en el periodo de 1 hora, aparece también en la figura. Las variables x1, x2, …,x7 representan el número de carros por hora que pasan de la intersección A a la intersección B, de la intersección B a la intersección C, etc. Asumiendo que no hay paradas en el tráfico, el número de carros que llega a una intersección debe ser igual al número de carros que sale de la intersección. Con base a este supuesto Determine los valores posibles de cada x i . Si la calle que va de D a E estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría permitir? ¿Cómo podría obtenerse este mínimo? SO L UCIÓN

La dirección del tráfico en cada una de las calles está dada en la siguiente figura.

Primero determinemos los valores posibles de cada x i ; teniendo en cuenta que no hay paradas en el tráfico, el número de carros que llega a una intersección debe ser igual al número de carros que sale de la intersección. En base a este supuesto, se obtiene el siguiente sistema lineal:




x1  x 3 x1  x2  x 4 x2  x 5 x3  x 6 x4  x 6  x 7  x5  x 7

 800  200  500  750  600  50


(Flujo de tráfico en la intersección A) (Flujo de tráfico en la intersección B) (Flujo de tráfico en la intersección C) (Flujo de tráfico en la intersección F) (Flujo de tráfico en la intersección E) (Flujo de tráfico en la intersección D)

Resolviendo dicho sistema, mediante Gauss – Jordan, se tiene las siguientes soluciones: x1 x 2 x3 x 4 x5 x6 x7

 x 6  50  x 7  450   x 6  750   x6  x 7  600  x 7  50  x 6  x 7

EL sistema tiene infinitas soluciones. Como las xi son números de carros por hora de una intersección a otra, no pueden ser valores negativos; un valor negativo de x i se interpreta como el números de carros que van en contravía. Con esta restricción se tiene: x1  x 6  50 x2  x 7  450 x3   x 6  750  0  x 6  750 x4   x6  x 7  600 x5  x 7  50  0

Dependiendo el valor que tomen x 6 y x7, se

 x 7  50

x6  x 6 x 7  x 7

obtienen los valores para las otras variables. Ahora supongamos que la calle que va de D a E estuviera en reparación, por lo se requiere que el tráfico en este espacio sea el mínimo, entonces x 7  50 Por tanto x5  0  x 2  500 . Recíprocamente si x5  0  x 7  50 , entonces, si cerramos la carretera entre C y D se tendrá el mínimo tráfico posible entre D y E. Los flujos x1, x3 , x4 y x 6 no están determinados en forma única. Si toda la distancia de D a F estuviera en reparación, requeriríamos que x 6 fuera mínimo, es decir sea cero. En este caso: x1  50, x3  750 y x 4  650

4. Una granja avícola incluye en la dieta de sus aves vitaminas B, C y D para evitar enfermedades así como un desarrollo más rápido. En cierto mes compraron 20 cajas de vitamina B, 40 cajas de vitamina C y 50 cajas de vitamina D pagando S/ 70 000; al siguiente mes compraron 30 cajas de vitamina B, 20 cajas de vitamina C y 50 cajas de vitamina D pagando S/ 66 250; un mes después compraron 40 cajas de vitamina B, 10 cajas de PROF. MIRELI RAMIREZ C.




vitamina C y 70 cajas de vitamina D pagando en total S/ 82 500. ¿Cuál es el precio de cada caja de vitamina, si el precio por caja no ha variado en todo ese tiempo? SO L UCIÓN:

Sea el costo de la caja de vitamina B, C, D: b, c, d; respectivamente. n° cajas 1° mes 2° mes 3° mes

Compras

b

c

d

20 30 40

40 20 10

50 50 70

Inversión por mes 70 000 66 250 82 500

El sistema es: 20b  40c  50d  70 000 2b  4c  5d  7 000   30b  20c  50d  66 250  3b  2c  5d  6 625  40b  10c  70d  82 500  4b  1c  7d  8 250   (1/125)*C4 A*=

A*=

125= mcd (7 000, 6 625, 8250)

2 3 4

4 2 1

5 5 7

7 000 6 625 8 250

2 3 4

4 2 1

5 5 7

56 53 66

1 3 0

-2 2 -7

0 5 -3

-3 53 -46

: f2 - 3 f1

1 0 0

-2 8 -7

0 5 -3

-3 62 -46

: f2 + f3

1 0 0

-2 1 -7

0 2 -3

-3 16 -46

1 0 0

0 1 0

4 2 11

29 16 66

1 0 0

0 1 0

4 2 1

29 16 6

1 0 0

0 1 0

0 0 1

5 4 6

Al f inal multi plicar a C4 * (125) : - f1 + f2 : f3 -2 f1

: f1 +2f2 : f3 + 7f2 r(A) = 3 r(A*) = 3

r(A) = r(A*) = 2 = 3 Sistema compatible

: f3* (1/11) : f1 - 4f3 : f2 - 2f3

S. C. Determinado

(125)*C4 1 0 0

0 1 0

0 0 1

625 500 750

b = 625 c = 500 d = 750

Luego el número de cajas de las vitamina B, C y D son, respectivamente; 625, 500 y 750. 5. Un comerciante compró máquinas de cortar césped, sierras y tijeras de podar. Las primeras le costaban a S/ 5 000, las segundas a S/ 1 000 y las terceras a PROF. MIRELI RAMIREZ C.




S/ 50. Compró 100 unidades gastando un total de S/ 100 000. ¿Cuántas unidades de cada uno compró, si adquirió los tres productos? SO L UCIÓN:

Sea el n° de herramientas a comprar: C, S, T Cortar césped Sierras Tijeras TOTAL

C S T 100

Costos 5 000 1 000 50 S/ 100 000

C  S  T  100 C  S  T  100      5000C  1000S  50T  100 000 500C  100S  5  10 0 00 1 500

1 100

1 5

El sistema es compatible

1

1

1

indeterminado

0

A*=

1 00 10 000 : f2 -500f1 1 00 : 400f1 + f2

-400 -495 -40000 (-1/5)*f2

400 0

0 80

-95 99

0 8000

19  400C  95T  0  C  T  80  99  80S  99T  8000  S  100  T 80  T    

Solución al problema: C , S , T

son n enterospositivos

  19    C T T 80  80  99  S  100  T 80    T  80  80k , k  Z 

T= 80k C 

19 80



T  T  80

S  100 

99 80

T

Total = 100

K=1 80

K=2 160 x

19

x

01

x

100

Excede las 100 u

La única solución al problema es: T = 80, C = 19 y S = 1.





A CTIVIDA D: DISCU SIÓN DE S. E. L

Discutir los siguientes sistemas de ecuaciones:

,

,

,

,

,

ACTIVIDAD DE A PLICACIONES DE S. E. L

1. El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con el flujo de tráfico en las direcciones indicadas. El número de carros está dado como promedio de carros por hora. Asumiendo que el flujo que llega a una intersección es igual al flujo que sale de ella, construya un modelo matemático del flujo de tráfico. Si la calle que va de C a A estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría permitir?. ¿Cómo podría obtenerse este mínimo?

2. El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con el flujo de tráfico en las direcciones indicadas. Asumiendo que el flujo que llega a una intersección es igual al flujo que sale de ella. a) construya un modelo matemático del flujo de tráfico.

b) Si al resolver el sistema obtenido en (a), se obtiene la siguiente solución; donde las columnas 1 hasta la columna 5 representan los coeficientes de x, y, z, w y t, respectivamente, y la última columna es de términos independientes: PROF. MIRELI RAMIREZ C.




1

0

0

1

0 100

0

1

0

1

0

80

0

0

1

-1

0

70

0

0

0

0

1 120

Determine el tipo de sistema.  Determine la solución al problema dado.  Suponer que la calle de A a D estuviera en reparación, ¿cuál sería el mínimo tráfico que se podría tener en las avenidas del circuito?  Suponiendo 20 carros pasan por la avenida Bolívar, ¿cuál sería el tráfico que se podría tener en las avenidas del circuito? 

3. Considerar el siguiente diagrama de una malla de calles de un sentido con vehículos que entran y salen de las intersecciones. La intersección k se denota [k]. Las flechas a lo largo de las calles indican la dirección del flujo de tráfico. Sea xi = número de vehículos/h que circulan por la calle i. Suponiendo que el tráfico que entra a una intersección es igual al que sale. a) Establezca un sistema de ecuaciones que describa el diagrama del flujo de tráfico

b)

Si al resolver el sistema obtenido en (a), se obtiene la siguiente solución; donde las columnas 1 hasta la columna 5 representan los coeficientes de x1 a x5, respectivamente, y la última columna es de términos independientes 1

0

-1

0

1 200

0

1

-1

0

1 200

0

0

0

1

-1 -100

0

0

0

0

0

0

Determine el tipo de sistema.  Determine la solución al problema dado.  Suponer que la calle de [1] a [3] necesita cerrarse; es decir, x3=0. ¿Puede cerrarse también la calle de [4] a [1]? Si no se puede cerrar, ¿cuál es la mínima cantidad de vehículos que puede admitir esta calle ([4] a [1])? 

4. Un comerciante compró máquinas de cortar césped, sierras y tijeras de podar. Las primeras le costaban a S/ 5 000, las segundas a S/ 1 000 y las terceras a S/ 50. Compró 200 unidades gastando un total de S/ 200 000. ¿Cuántas unidades de cada uno compró, si adquirió los tres productos?





5. Una juguetería produce tres tipos de aviones: el modelo A a un costo de S/ 100, el modelo B a un costo de S/ 200 y el modelo C a un costo de S/ 300. Cierto día vendieron un total de 47 aviones por un monto total de S/ 11 100, con estos datos ¿es posible determinar cuántos aviones de cada modelo se vendió? 6. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos químicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades del químico B, y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los químicos requeridas para el control de la enfermedad? 7. Suponga que una economía simple tiene cuatro industrias: agricultura, construcción, vestuario y transporte, y que se satisfacen las condiciones del modelo cerrado de Leontief. Los insumos y los productos están dados por la siguiente matriz. Producción Agricultura Construcción Vestuario Transporte Agricultura Consumo Construcción Vestuario Transporte

   

   

   

   

Suponga que los ingresos a las industrias de agricultura, construcción, vestuario y P 1 , P 2 , P 3 y P 4 respectivamente. transporte son Asuma que se cumple la condición de equilibrio (los gastos debidos al consumo es igual a los ingresos a las ventas), determine los ingresos de cada sector de la economía. 8. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible? 9. Un dietista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2 unidades PROF. MIRELI RAMIREZ C.




de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan? 10. Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de cobre. ¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre? Solución:

1. Análisis de flujo de tráfico:

El flujo de tráfico en la intersección: A : 200  x 4

 300  x 1  x 1  x 4  100 B : x 1  100  x 2  400  x 1  x 2  300 C : 750  x 3  x 4  250   x 3  x 4  500 D : x 2  300  x 3  400  x 2  x 3  100

Resolviendo el sistema por Gauss – Jordan , se tiene: A* 

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

 1  100  1  400  1  500 0

   

0

A

El sistema es consistente indeterminado. La solución del problem a es:  x i  0;



x i  Z , i  1,4

 x 1  x 4  100  x 1  x 4  100  0  x 4  100     x  x  400  x  x  400  0  x  400 4 2 4 4  2    x  x  500  x  x  500  0  x  500 4 3 4 4  3      x 4  0, x 4  Z  x 4  500 .Dependiendo del valor que tome x 4 , se obtiene los valores de

x 1 

, x 2 y

x 3.

Supongamos que la calle que va de C a A está en reparación, entonces el tráfico debe ser el mínimo en dicha calle, ie x 4 = 500.







Luego, para obtener el menor tráfico en C – A, x 3  0 , ie: Debe cerrarse la carretera entre D – C. Con esto se obtendría de manera única y mínima los flujos en A –B – C ( x 1  500  100  400 , x 2  500  400  100 .

<

6.

Supongamos que los ingresos de la industria es: Agricultura : P 1 Construcción : P 2 Vestuario : P 3 y Transporte : P 4 Además, teniendo en cuenta que se cumple la condición de equilibrio (los gastos debidos al consumo son igual a los ingresos debidos a las ventas), se tiene el siguiente sistema lineal: 4 1 1  2  3 P1  9 P2  3 P3  3 P4  0   1 P  2P  1P  1 P  0  3 1 3 2 6 3 6 4   1 P  1 P  3P  1 P  0  4 1 9 2 4 3 4 4  1 1 1 3  P1  P2  P3  P4  0 9 4 4  12

Resolviendo dicho sistema, mediante Gauss – Jordan, usando matlab:

>> C=[-2/3 4/9 1/3 1/3 0;1/3 -2/3 1/6 1/6 0;1/4 1/9 -3/4 1/4 0;1/12 1/9 1/4 -3/4 0] C= -0.6667 0.4444 0.3333 0.3333 0.3333 -0.6667 0.1667 0.1667 0.2500 0.1111 -0.7500 0.2500 0.0833 0.1111 0.2500 -0.7500

0 0 0 0

>> rref(C) ans = 1.0000 0 0 -2.4000 0 0 1.0000 0 -1.8000 0 0 0 1.0000 -1.4000 0 0 0 0 0 0 de donde se obtiene: 1. rang(A)=rang(A/B)=3
0  0 (Verdad )

12 P4 5 9  P2  P4 5 7  P3  P4 5

 P1 

Haciendo: PROF. MIRELI RAMIREZ C.


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