Matemática Básica
Operaciones con Expresiones Algebraicas
José Armando Rijo
Roberto Antonio Tejeda Manzueta
16-9955
Administración de Empresas
13/08/2017
Informe escrito de la Unidad II. Las operaciones básicas de la aritmética son: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. En esta asignatura trabajaremos las diferentes operaciones de manera separada, es decir las cuatro primeras (adic ión, sustracción, multiplicación, división) serán trabajadas pero ahora con expresiones algebraicas. Además como pre- requisito para comprender mejor la adición debes ver el tema reducción de términos semejantes. Para realizar esta tarea, debes investigar en la bibliografía básica, complementaria o en la web, el tema: Operaciones básicas con Expresiones Algebraicas (reducción de términos semejantes, adición, sustracción, multiplicación y división) y luego redacta un informe teórico práctico donde describas el procedimiento para realizar cada operación y al menos una demostración de cada operación descrita.
ADICIÓN El ser humano siempre ha necesitado de la habilidad de contar, y además, de reunir cantidades separadas, hecho que origino la suma. Por ejemplo, cuando cogemos dos canicas por nuestra izquierda, y otras dos canicas por nuestra derecha, al unirlas (o sumarlas) originan cuatro canicas:
Propiedades de la suma Las propiedades que cumplen la regla de la suma son dos: La propiedad conmutativa y la propiedad asociativa.
Propiedad conmutativa El orden de los sumandos no altera el valor de la suma. Da igual resultado sumarle 5 a 3, que sumarle 3 a 5:
Propiedad asociativa Al sumar varios números, el orden no varía de cualquier modo:
SUSTRACCIÓN La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto. Es el contrario de la suma, ya que esta añade y la resta quita. Aparte de la diferencia, también tiene otras partes, la primera de arriba se llama minuendo y la de abajo, sustraendo. Ejemplo: Intervenciones de la resta
En la propiedad distributiva de la multiplicación Es el signo de la resta, por lo que interviene. Propiedades La resta no tiene propiedades, pero está en el apartado anterior, que interviene en la propiedad conmutativa de la multiplicación.
MULTIPLICACIÓN La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica. Propiedades
Conmutativa El orden de los factores no altera el producto.
Asociativa El orden de los factores no altera el producto.
Distributiva
DIVISIÓN La división es una de las operaciones aritméticas básicas. Para efectuarla se debe cumplir la condición de que:
y que
Por ejemplo, sustituyendo los valores de a y b con los números 6 y 3 respectivamente, tenemos que
Cumpliéndose aquí la condición de que el producto de b y c equivale al valor de a. Cabe decir que no existe un resultado para la división por cero, por lo tanto, un error muy común es suponer que la división por cero es una operación matemática válida.
POTENCIACIÓN La potenciación es la operación matemática mediante la cual multiplicamos un número por sí mismo las veces que nos indique el exponente. donde a es un número cualquiera, equivale a la
Por ejemplo, la ecuación ecuación
Es decir que cumplimos la condición de multiplicar por sí mismo nuestro número (a) tres veces, tal como lo indicó el exponente (3) Leyes de los exponentes De acuerdo a las leyes básicas de los exponentes, sabemos que las operaciones como la multiplicación de términos homogéneos (en nuestros ejemplos el término será x) con exponentes diferentes serán:
Multiplicación de exponentes Dado el caso de la multiplicación de dos números iguales (representados por la literal x ) con exponentes diferentes, tenemos que Por ejemplo, en la ecuación debido a que se puede expresar como
y
, por lo tanto, la ecuación de arriba
División de exponentes Dado el caso de la división de dos números iguales (representados por la literal x ) con exponentes diferentes, tenemos que
Por ejemplo, en la ecuación
Esto porque, dicho de otra forma, podemos decir que la ecuación anterior es igual a la siguiente ecuación
Entonces, de acuerdo a la ley de las divisiones, en donde teniendo términos similares como divisores y como dividendos de una ecuación, dichos términos iguales se anulan, y siguiendo esta lógica, tenemos que dos de los términos de arriba de la división (dividendos) se anulan con los dos términos de abajo de la división (divisores). Quedando como resultado solamente la x restante del dividendo. En el caso de tener como divisor un exponente mayor que el exponente del dividendo, tenemos el caso de un exponente negativo, el cual se puede expresar como
Y expresado en forma de fracción, el número
equivale a
Esto porque, de igual forma que se anulan los dos términos en el primer ejemplo, aquí se anula todos los términos de x que se encuentran en el dividendo, de forma que
RADICACIÓN La radicación es
el
proceso
opuesto
a
la
potenciación.
Es
decir,
matemáticamente: En el proceso de radicación, buscamos un B que satisfaga la condición anterior. Método de resolución para raíces cuadradas El método más difundido para su resolución, es el siguiente: Tomemos como ejemplo, el radicando 65536. El
primer
paso
es
la
separación
en
grupos
de
dos
del
radicando,
así: Ahora se busca un número que multiplicado por sí mismo sea lo más próximo (por defecto) al primer grupo de números, comenzando por la izquierda. Si el número no es un entero, los grupos se realizarán a partir de la coma decimal, hacia ambos lados. Si el número posee una cantidad impar de cifras decimales, se agrega un cero a la derecha, por ejemplo en el caso 123,456 la separación sería 1.23, 45.60. Al llegar a la parte decimal, se pondría también en ese mismo paso la coma en el resultado. En este caso es el 2, pues . Este número se resta del grupo de dígitos del radicando, y a la diferencia se le concatena el siguiente grupo. Es decir,
√6.55.36 | 2 -4 ___ 2 55 El 2 ya es parte del resultado. Una vez tenemos esto, el siguiente paso será iterado tantas veces como sea necesario hasta terminar la resolución de la raíz. La parte que tenemos de resultado se multiplica por dos, y al resultado se le añade un número que multiplicado por sí mismo sea lo más próximo posible (por defecto) al número con el que estamos trabajando (255). Esto es, buscamos un . En el ejemplo, el X buscado es 5, pues (y ). El 5 es el siguiente dígito del resultado. Ahora, se resta el resultado (45x5) a la parte "activa" del radicando. En el ejemplo,
√6.55.36 | 25 -4 | 45x5=225 ___ 2 55 - 2 25 _________ 30 36
Los pasos sucesivos son iteraciones del anterior, como se ha comentado. Por tanto, se buscaría un . Ese número es el 6, pues . El resultado final es:
√6.55.36 | 256 -4 | 45x5=225 ___ | 506x6 = 3036 2 55 - 2 25 ______ 30 36 - 30 36 _________ 0 Y con eso demostramos que que
. Por tanto, también es cierto
En caso de querer hallar números después de haberse terminado las cifras significativas del radicando, se bajarán grupos de dos ceros por cada dígito que se necesite de aproximación.
