03/08/2012
Distancia interplanar Distancia entre planos paralelos muy cercanos y que tienen los mismos índices de Miller
a d(hkl hkl)) =
√h2+k2+l2
d(hkl) = Distancia interplanar entre planos paralelos, adyacentes con los mismos índices de Miller (hkl) a= parámetro de red (arista de la celda) h k l = índices de Miller de los planos considerados
Direcciones y planos cristalográficos en celdas hexagonales
En
la celda unidad hexagonal se utilizan 4 ejes
(a1, a2, a3, c). c).
Índices de Miller-Bravais Entre a1 a2 a3 ángulo de 120º Estos con C ángulo de 90º
+c
-a1
+a3 -a2
+a2
- a3
+a1
Direcciones y planos cristalográficos en celdas hexagonales
Planos cristalográficos en celdas hexagonales
Se encuentran las intercepciones del plano con los cuatro ejes de coordenadas. Si el plano pasa por el origen se debe trasladar. Se hallan los recíprocos. Se eliminan las fracciones, no se simplifica. Se colocan los índices en paréntesis.
(h k i l)
-c
Ejercicio Calcular
los índices de Miller-Bravais de los planos indicados en la celda hexagonal c
(0001)
A A
(1121)
D a3
C
B
E
(1101)
Direcciones cristalográficas en celdas hexagonales. Se pueden expresar mediante tres(3) o cuatro dígitos. Tres dígitos : a1,
a2, c, Miller-Bravais
a3 no existe
a2 a1
(1101) (0002)
1
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Direcciones cristalográficas en celdas hexagonales
Direcciones cristalográficas en celdas hexagonales.
Ejercicio Hallar los índices de Miller-Bravais para las direcciones indicadas en la celda hexagonal
PROCEDIMIENTO a1
a2 c
Cf
1,
1,
0
Ci
0,
1,
0
Cf = 0,
0,
1
Ci
0,
0
c
1.
2. 3.
4.
Se seleccionan dos puntos sobre las direcciones ca y co y se determinan sus coordenadas. Se restan las coordenadas. Se eliminan fracciones. Se simplifica a los mínimos enteros. [ ].
Direcciones cristalográficas en celdas hexagonales
B
C
1 (2h’- k’) 3 k=
1 (2k’- h’) 3
[101]
i=
_
1 (h’+ k’) 3 l = l’
Secuencia de apilamiento y empaquetamiento compacto
[101]
Cf = 0,
1,
0
Ci
0,
0
1,
[110]
Direcciones cristalográficas en celdas hexagonales
[h’k’l’] [h k i l] h=
1,
a1
[100]
Pasar las direcciones a cuatro índices
a2 A
[100]
1 (2(1)- 0) 3 1 k = (2(0)- 1) 3 _ 1 (1 + 0) i= 3 h=
1 (2(1)- 0) 3 1 k = (2(0)- 1) 3 _ 1 i = 3 (1 + 0) h=
2 3 _ 1 3 _ 1 3
=
= =
=
= =
_
2 3 1 3 1 3
[2110]
[2113]
No compactos
Compacto
2
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x
x
o
x
x
x
o
x
Cada esfera o átomo descansará sobre 3 de la capa A, que delimitan una posisción X u O
x
o
o
Al agregar otra capa
x
o
o
x
o x o
x
x
o
o
o
x
x
x
o x
o
o
o
o
x
x
x
x
Capa A
ABABAB x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
Al agregar otra capa Cada esfera o átomo descansará sobre 3 de la capa A, que delimitan una posisción X u O
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
Capa B Capa A
x
x x
x x
x
x
x
x
Capa A Capa B Capa A
Estructura Hexagonal Compacta (HCP) c
a3 a2 a1
HCP
(0001) (0002)
ABABAB
3
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x
Al agregar otra capa Cada esfera o átomo descansará sobre 3 de la capa A, que delimitan una posisción X u O
x
x
x
x
x
x
x
o
o
o
o
o
o
o
x
x
x
x
x
x
x
o
o x
o
x
o
x
o
o
x
x
o
x
x
x
o
o
o
o
o
o
x
x
x
x
x
x
x
o
o
o
x
x
x
x
Capa A
x o
o o
o
o x
o
o
o
o
x
x
x
x
Capa C Capa B Capa A
ABCABCABC x
x
x
x
x
x
x
x
o
o
o
o
o
o
o
x
x
x
x
x
x
x
o
o
x
o
x
x o
o x
x o
x
o
o
x o
x
x
o
o
o
o
x
x
x
x
o
Capa C Capa B Capa A
o
x x
x o
x o
o
o
x o
x
o
x
x
o
o
o
o
x
x
x
x
Capa A Capa C Capa B Capa A
ABCABCABC x
x
x
x
o
o
o
x
x
x
o
o x
o
x o x
x o
x o
o
x o
x
o
x
x
o
o
o
o
x
x
x
x
Capa A Capa C Capa B Capa A
4
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FCC
(111)
ABCABC
PLANOS Y DIRECCIONES COMPACTAS Estructura Direcciones
Planos
CS
<100>
Ninguna
BCC
<111>
Ninguna
FCC
<110>
{111}
HC
<100>,<110>ó <1120>
(0001),(0002)
Estructura cúbica compacta o FCC
Recordemos el factor de empaquetamiento de los sistemas cristalinos cúbico y hexagonal
CS
0.52
BCC
0.68
El
espaciamiento interplanar d321 en un metal BCC es 0.084165 nm. a) ¿Cuál es la constante de red a? b) ¿Cuál es el radio atómico del metal c) ¿Cuál metal podría ser?
Determine
los índices de Miller-Bavais de las direcciones y planos del sistema hexagonal de las figuras c A
a a3
FCC
0.74
a a2 a a1
HCP
0.74
Dibuje los siguientes planos en una celda hexagonal(1230) (1010) (1122)
Calcule
el radio atómico de un metal BCC con parámetro de red a) 0,3229 nm y un átomo por punto de red.
Estructuras cristalinas compactos
5
