Programa Académico Ing. Industrial y Comercial
INVESTIGACION DE OPERACIONES SESION 8
BIBLIOGRAFÍA •
•
•
•
•
•
•
•
Taha, Hamdy Hamdy A.; Investiga Investigación ción de Operaciones Operaciones Gould, Eppen Eppen y Schmidt; Investi Investigación gación de Operaciones Operaciones en la Ciencia Administrativa. Richard Richar d Levin y Charles Kirkpat Kirkpatrick; rick; Enfoques Enfoques cuantitativos a la Administración. K. Roscoe, Patrick G. McKeown; Modelos Cuantitativos Cuantitativos para la Administración Anderson, Sweeney, Willimas; Métodos Cuantitativos para los Negocios Editorial International Thomson. Winston; Introducción a la Investigación de Operaciones. Editorial, Fondo de Cultura Interamericano, México. Hillier Hilli er y Lieberman; Lieberman; Introducción Introducción a la Investigac Investigación ión de Operaciones M Sasien Sasienii A Yaspan Yaspan L Friedm Friedman; an; Inves Investiga tigación ción de operaciones, Ed. Limusa
BIBLIOGRAFÍA •
•
•
•
•
•
•
•
Taha, Hamdy Hamdy A.; Investiga Investigación ción de Operaciones Operaciones Gould, Eppen Eppen y Schmidt; Investi Investigación gación de Operaciones Operaciones en la Ciencia Administrativa. Richard Richar d Levin y Charles Kirkpat Kirkpatrick; rick; Enfoques Enfoques cuantitativos a la Administración. K. Roscoe, Patrick G. McKeown; Modelos Cuantitativos Cuantitativos para la Administración Anderson, Sweeney, Willimas; Métodos Cuantitativos para los Negocios Editorial International Thomson. Winston; Introducción a la Investigación de Operaciones. Editorial, Fondo de Cultura Interamericano, México. Hillier Hilli er y Lieberman; Lieberman; Introducción Introducción a la Investigac Investigación ión de Operaciones M Sasien Sasienii A Yaspan Yaspan L Friedm Friedman; an; Inves Investiga tigación ción de operaciones, Ed. Limusa
•
Proporcionar
una
comprensión
estructura
básica
para
la
de los métodos cuantitativos (Investigación Operativa) que describa los conocimientos y las prácticas de su uso en el campo de la ge gessti tión ón em empr pres esar aria ial. l.
•
Programación lineal entera, programación lineal mixta, modelos binarios.
•
Repres Rep resent entacion aciones es grá gráfica ficas. s.
•
Aproximación
•
Solución: •
•
Soluci Solu ción ón us usan ando do el co comp mput utad ador or pa parra de mo mode delo loss en ente terros Fal alta ta de an anál ális isis is de sen sensi sibi bili lida dad. d.
•
El us uso o de Var aria iabl bles es Bi Bina nari rias as..
•
- Pr Pres esup upue uessto toss de Ca Capi pittal / res estr tric icci cion ones es pa parra rea eali lizzar el ob obje jeti tivvo.
•
• • • • •
•
•
•
Las variables enteras son requeridas cuando el modelo represente una única decisión (no una operación en proceso). Los modelos de Programación Lineal Entera (PLE) son mucho más difíciles de resolver que los modelos de Programación Lineal (PL). Los algoritmos que resuelven los modelos lineales enteros no entregan resultados de análisis de sensibilidad.
•
Los modelos de PLE pueden clasificarse como sigue: •
•
•
Solo de enteros, es decir, todas las variables se restringen a enteros. De variables mixtas - algunas variables son enteras, pero no todas. De binarios- todas las variables son 0s o 1s.
•
•
Si un modelo de enteros se resuelve como un modelo lineal simple, se puede obtener la solución óptima no entera. Aproximar a valores enteros puede provocar: Soluciones no-factibles Soluciones factibles pero no óptimas Soluciones óptimas. •
•
•
•
¿ Por qué no enumerar todos los puntos enteros factibles y seleccionar el mejor? Enumerar todas las soluciones enteras es poco práctico, a causa del gran número de puntos factibles. •
•
¿Siempre se utiliza aproximación? Si, particularmente si Los valores de las variables de decisión positivas son relativamente grandes, y los valores de los coeficientes de la función objetivo son relativamente pequeños. •
•
El siguiente ejemplo ilustra algunas de las complicaciones que aparecen cuando se utilizan restricciones enteras sobre las variables de decisión.
•
•
•
El Auto_Burger es una nueva cadena de comida rápida. El local planifica su expansión en el centro y distritos de Lima. La gerencia desea determinar cuántos restaurantes abrir en cada área a fin de aumentar al máximo la ganancia semanal neta.
•
Requerimientos y restricciones: No más de 19 gerentes pueden ser asignados. Por lo menos deben abrirse dos restaurantes en el centro. La inversión total no puede exceder a $2.7 Millones. •
•
•
Distritos
Centro
Inversión por la ubicación
200,000
600,000
Ganancia diaria
1,200
2,000
Horas de operación
24 horas
Número de gerentes necesarios
3
12 horas 1
•
Variables de Decisión X1 = Número de restaurantes abiertos en distritos. X2 = Número de restaurantes abiertos en el centro . •
•
•
El modelo matemático se formula a continuación:
Ganancia semanal neta Max z = 1200 X1 + 2000 X2 S.A. : La inversión total no puede exceder en $ 27 millones 2X1 + 6X2 <= 27 Por lo menos dos restaurantes en el centro X2 >= 2 No se pueden asignar mas de 19 gerentes 3X1 + x2 <= 19 X1, X2 ; enteros >= 0
•
•
En los problemas de programación lineal entera no es posible realizar el análisis de sensibilidad. Cualquier cambio en los coeficientes de la función objetivo o en los coeficientes del lado derecho implicará resolver el problema nuevamente.
•
Un Problema de Programación Lineal Entera (PPLE) es aquel que presenta el siguiente formato:
•
Definimos el “equivalente continuo” de un PPLE como:
¿CÓMO RESOLVER UN PPLE? •
•
Dado un PPLE resolvemos su equivalente continuo si la solución óptima resulta entera, entonces esta solución del equivalente continuo será también la solución óptima del PPLE. Si la solución óptima del equivalente continuo tiene por lo menos una variable cuyo valor no es entero, entonces debemos utilizar técnicas de Programación Entera.
•
INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL ESPACIO DE SOLUCIONES DE UN PPLE.
Consideremos el siguiente PPLE: Max Z = 4x + 5y sujeto a x+y≤8
2 x + y ≤10 x, y enteros ≥ 0
OBSERVACIONES: 1) El espacio de soluciones factibles de un PPLE está formado por puntos aislados. 2) El espacio de soluciones factibles de un PPLE no es un conjunto convexo. 3) Ya no se puede hablar de puntos extremos. 4) En el ejemplo presentado la solución óptima del presentado, equivalente continuo es ( x, y ) = ( 0, 8 ). Como esta solución es entera, será también solución del PPLE.
¿QUÉ DIFICULTADES SE PRESENTAN SI SE REDONDEA LA SOLUCIÓN DE UN PPLE? Si al resolver el equivalente continuo de un PPLE la solución no resulta entera y procedemos a redondear dicha solución se pueden presentar las siguientes dificultades: 1) La solución redondeada es no factible. 2) La solución redondeada es factible, pero no es óptima.
La compañía Mauser fabricante de fusiles automáticos, tiene 3 departamentos en los cuales se manufacturan sus modelos S-1000 y S-2000, las capacidades mensuales son las siguientes:
•
•
La utilidad del modelo S-1000 es de 40 dólares por unidad y la del modelo S-2000 es de 10 dólares por unidad; suponiendo que la compañía puede vender cualquier cantidad de estos productos, debido a condiciones favorables de mercado. Determinar el número de unidades de cada modelo que se debe de fabricar de manera que se maximice la utilidad total.
SOLUCION
Variables de decisión
x1 : número de fusiles S-1000 que la compañía Mauser va a fabricar.
x2 : número de fusiles S-2000 que la compañía Mauser va a fabricar.
SOLUCION Restricciones:
Restricción por horas disponibles del Departamento 1: 4x1 + 2x2 <= 1600 Restricción por horas disponibles del Departamento 2: 2.5 x1 + x2 <= 1200 Restricción por horas disponibles del Departamento 3: 4.5 x1 + 1.5 x2 <= 1600 Restricciones de no negatividad: x1, x2 >= 0
MODELO COMPLETO Max Z = 40 x1 + 10 x2 S.A.: 4x1 + 2x2 <= 1600 2.5 x1 + x2 <= 1200 4.5 x1 + 1.5 x2 <= 1600 x1, x2 >= 0
Max = 40*x1 +10*x2; 4*x1 + 2*x2 <= 1600; 2.5*x1 + x2 <= 1200; 4.5 *x1 + 1.5* x2 <= 1600; @gin(x1); @gin(x2);
•
•
•
•
En el verano, la Playa de Sunset Beach contrata personal salvavidas por los siete días a la semana. Las regulaciones requieren que los empleados municipales, incluyendo salvavidas trabajen cinco días a la semana y se dan dos días libres consecutivos. Las ordenanzas de seguridad de Sunset Beach exigen que haya al menos un salvavidas por cada 8000 personas que es el promedio de asistencia diaria en un día determinado. Datos estadísticos referenciales revelan que las cifras de asistencia diaria promedio por día son los siguientes: Domingo - 58.000, de lunes - 42.000, martes - 35.000, miércoles - 25.000, jueves - 44.000, Viernes - 51.000 y sábado - 68.000. Dada una restricción de presupuesto ajustado, a la ciudad le gustaría determinar un horario que empleará el menor número de salvavidas como sea posible.
Resumen del Problema •
Minimizar el número total de salvavidas.
•
Asignar salvavidas para 5 días consecutivos.
•
Satisfacer los requerimientos mínimos de salvavidas para cada día (ver el siguiente modelo lineal).
Datos •
Para cada día, el mínimo de salvavidas requeridos son: Dom. Lun. Mar. Mier. Jue. Vie. Sab. 8
6
5
4
6
7
9
Variables de Decisión: •
Xi = el número de salvavidas que trabajará el día i para i=1, 2, …,7
(i=1 es Domingo)
La Función Objetivo: •
Minimizar el número total de salvavidas necesarios.
Para asegurar que los salvavidas sean los suficientes por cada día, pregunte que trabajadores estarán de turno. Por ejemplo:
¿quién trabajará el domingo? X3 X4 X5 X6 X1 mar. mie. jue. vie. dom.
Repita este procedimiento por cada día de la semana, y construya las restricciones del caso.
El modelo matemático M ini mizar X1 +
X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7
ST X1
+ X4 + X5 + X6 + X7 8
X1 + X2
(Domingo)
+ X5 + X6 + X7 6
(Lunes)
+ X6 + X7 5
(Martes)
X1 + X2 + X3 X1 + X2 + X3 + X4 X1 + X2 + X3 + X4 + X5
X2 + X3 + X4 + X5 + X6
+ X7 4
6
7
X3 + X4 + X5 + X6 + X7 9
(Miércoles) (Jueves) (Viernes) (Sábado)
Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations: Elapsed runtime seconds:
10.00000 10.00000 0.000000 0 20 0.03
Model Class:
PILP
Total variables: Nonlinear variables: Integer variables:
7 0 7
Total constraints: Nonlinear constraints:
8 0
Total nonzeros: Nonlinear nonzeros:
42 0
Variable X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Row 1 2 3 4 5 6 7 8
Value 1.000000 0.000000 1.000000 2.000000 2.000000 2.000000 2.000000 Slack or Surplus 10.00000 1.000000 1.000000 1.000000 2.000000 0.000000 0.000000 0.000000
Reduced Cost 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 Dual Price -1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
Asignación de salvavidas para Sunset Beach salvavidas día
presentes
requeridos
Para cambios
domingo
9
8
1
lunes
7
6
0
martes
6
5
1
miércoles
6
4
2
jueves
6
6
2
viernes
7
7
2
sábado
9
9
2
total de salvavidas
10
Caso: Una
Empresa de METALMECANICA, produce cuatro piezas, que requieren el uso de un torno y un taladro vertical. Las máquinas operan 10 horas al día. La siguiente tabla proporciona el tiempo en minutos que se requiere por pieza: Tiempo de producción en minutos Pieza
Torno
Taladro vertical
1
5
3
2
6
2
3
4
6
4
7
4
La demanda del mercado de cada pieza es de al menos 10 unidades. Se desea balancear las dos máquinas limitando la diferencia entre sus tiempos de operación total (torno – taladro) a lo sumo a 30 minutos. Además, la cantidad de unidades de la pieza 1 no puede exceder la de la pieza 2. ¿Cuántas piezas de cada tipo se debe producir si el costo de producción por pieza de cada tipo es 2, 2.5, 3 y 3.5 respectivamente?
Solución. Se tiene I) DEF. VARIABLES DE DECISIÓN Xi=número de piezas del tipo producir/día Xi≥0 y entero
i=(1,…,4)
II) DEF. FUNCIÓN OBJETIVO Min Costo total de producción Min 2X1+2.5X2+3X3+3.5X4
que
se
debe
III) DEF. RESTRICCIONES ! Las maquinas operan 10 horas al día [Torno]
5X1+6X2+4X3+7X4 ≤ 600
[Taladro] 3X1+2X2+6X3+4X4 ≤ 600 ! Demanda de cada pieza [Pieza1] X1 ≥ 10 [Pieza2] X2 ≥ 10 [Pieza3] X3 ≥ 10 [Pieza4] X4 ≥ 10 ! Diferencia de tiempos de operación [Operación] 2X1+4X2-2X3+3X4 ≤ 30
III) DEF. RESTRICCIONES ! Relación entre pieza 1 y 2 [Pieza1-2] X1-X2 ≤ 0
Variable
Value
Reduced Cost
X1 X2 X3 X4
10.00000 10.00000 30.00000 10.00000
2.000000 2.500000 3.000000 3.500000
Row 1
Slack or Surplus 170.0000
Dual Price -1.000000
300.0000 330.0000 0.000000 0.000000 20.00000 0.000000 0.000000 0.000000
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
TORNO TALADRO PIEZA1 PIEZA2 PIEZA3 PIEZA4 OPERACIO PIEZAS12
INTERPRETE LOS RESULTADOS
