CINÉTICA EN EL PLANO DE UN CUERPO RÍGIDO ANALISIS DEL MOVIMIENTO EN UN PLANO ABSOLUTO GENERAL Un cuerpo cuerpo someti sometido do a movimi movimiento ento plano plano genera generall exper experime imenta nta rotac rotación ión y traslación simultaneas. Si el cuerpo está representado por una placa delgada, la placa se traslada en el plano y gira con respecto a un eje perpendicular al plano. El movimiento puede ser especifcado si se conocen la rotación angular de una línea fja en el cuerpo como el movimiento de un punto sobre el cuerpo. Para defnir defnir estos movimientos, se usa una coordenada s de posición posición rectilínea para localiar el punto a lo largo de su trayectoria y una coordenada ! de posición angular para especifcar la orientación de la línea. Por aplicación directa de las ecuaciones di"erenciales de tiempo# v=
ds dt
$
a=
dv dt
$
ω=
dθ dt
$
α =
dω dt ,
El movimi movimient ento o del punto y el movimi movimient ento o angular angular de la línea línea pueden pueden ser relacionados. En varios varios casos, casos, este este proce procedi dimie miento nto puede puede ser usado usado para para relac relacion ionar ar los movimientos de un cuerpo con los de un cuerpo conectado, o para estudiar el movimiento de un cuerpo a rotación con respecto a un eje fjo.
Procedimiento de Análii %a velocidad y la aceleración de un punto P &ue experimente movimiento rectilíneo pueden relacionarse con la velocidad angular y la aceleración angular de una linea contenida dentro de un cuerpo usando el siguiente procedimiento#
Ec!"ci#n de l" coorden"d" de $oici#n %ocaliar el punto P usando una coordenada de posición s &ue se mida desd desde e un orig origen en fjo fjo y est' est' diri dirigi gida da a lo larg largo o de la traye trayect ctor oria ia del del movimiento en línea recta del punto P (ida desde desde una línea línea "ija de re"erenci re"erencia a la posición posición angular angular ! de una línea &ue se encuentre en el cuerpo )e las dimensio dimensiones nes del cuerpo, cuerpo, relacion relacione e s con !, s = f ( ( θ ) , usando geometría y*o trigonometría
Deri%"d" con re$ecto "l tiem$o s = f ( ( θ ) con respecto al tiempo para
+omar +omar la primera derivada de obtener una relación de •
•
v y
ω
+omar +omar la segunda derivada para obtener una relación relación entre
a y
α
En cada caso debe usarse la regla de la cadena al tomar las derivadas de la ecuación de la coordenada de posición El contenedor sobre el camión gira con respecto a un eje fjo &ue pasa por el pasador localiado en . es operado por medio de la exte extens nsió ión n del del cili cilind ndro ro -idr -idráu áuli lico co /. /. %a posición posición angular angular del contenedor contenedor puede ser especifca especifcada da usando la coordenad coordenada a de posición angular !, y la posición del punto / sobre el contenedor es esp especif ecifca cada da usan usando do la coor coorde dena nada da rectilínea s /omo omo
a
y
b
son longitudes longitudes fjas,
entonc entonces es las coord coordena enadas das pueden pueden ser s = √ a + b −2 abcosθ 2
relacionas mediante la ley de los cosenos,
2
Usando la regla de la cadena, la derivada con respecto al tiempo de esta ecuación relaciona la rapide a la &ue el cilindro -idráulico se extiende con la velocidad angular del contenedor, esto es# v =1 / 2 ( a + b −2 abcosθ ) 2
2
−1 /2
( 2 ab senθ senθ ) ω
E&EMPLO' El andamio S es levantado -idráulicamente moviendo el rodillo instalado en -acían el pasador en . Si se está acercando a con rapide de 0.1 0.1 pies pies*s *s., ., dete determ rmin ine e la rap rapide ide con con &ue &ue la plata lata"o "orm rma a se está está leva levant ntan ando do como como una "unc "unció ión n de !. %os %os esla eslabo bones nes de 2 pies pies está están n conectados mediante un pasador en sus puntos medios.
Ecuaciones x =4 cosθ y = 4 senθ
)erivadas# x´ =−4 senθ θ´ x´ =−v A =−1.5
ft s
−1.5 =−4 senθ θ´ θ´ =
0.375
senθ
y´ = v y = 4 cosθ θ´ =4 cos θ
(
0.375
senθ
)=
1.5 cotθ
3espuesta# 1 . 5cot θ
AN(LISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO' VELOCIDAD El movimiento plano general de un cuerpo rígido puede ser descrito como una combinación de traslación y rotación. Para considerar esos movimientos de 4componentes5 por separado, usaremos un análisis de movimiento relativo implicando dos conjuntos de ejes coordenados x , y es fjo y mide la posición absoluta de dos puntos y sobre el cuerpo. El origen del sistema coordenado
x ´ , y ´ estará unido al 4punto base5
6a seleccionado, el cual generalmente tiene un movimiento conocido. %os ejes de este sistema coordenado no giran con el cuerpo, en el lugar de ello sólo podrán trasladarse con respecto al marco fjo
Poici#n' El vector de posición
r A
especifca la ubicación del Punto ase ,
y el vector de posición relativa
r B / A
sit7a el punto con respecto al punto .
Por adición vectorial, la posición de es entonces# r B =r A + r B / A
De$l")"miento' En un instante de tiempo experimentan desplaamientos
dr A
y
dr B
dt , los puntos y
.
Si consideramos el movimiento plano general por sus partes componentes, dr A
entonces todo el cuerpo se traslada primero una cantidad
de manera
&ue , el punto base, se mueve a su posición fnal y el punto se mueve a 8. El cuerpo es entonces girado con respecto a una cantidad &ue 8 experimenta un desplaamiento relativo
dr B/ A
, y se mueve así a su
posición fnal . debido a la rotación con respecto a , desplaamiento de es# dr B=dr A + dr B A
dr B
)ebido a rotación con respecto a
dθ de manera
dr B/ A = r B dθ A
, y el
dr A
)ebido a traslación de
dr B/ A
)ebido a traslación y rotación
l moverse -oriontalmente -acia la i&uierda
con
velocidad
v A ,
el
blo&ue desliable ocasiona &ue el eslabón / gire en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de a-í &ue vB
est' dirigido tangente a su
trayectoria circular, esto es, -acia arriba a la i&uierda. %a biela está sometida a movimiento plano general, y en el instante mostrado tiene una velocidad angular
ω
Velocid"d' Es necesario tomar las derivadas con respecto al tiempo de la ecuación de posición, o simplemente dividir la ecuación de desplaamiento entre dt . Esto da# dr B dt
=
dr A dt
+
dr B / A
%os t'rminos
dt dr B dt
= vB
y
dr A dt
= v A son medidos desde los ejes fjos x,y y
representan las velocidades absolutas de los puntos y , respectivamente.
%a magnitud del tercer t'rmino es
r B / A
dθ = r θ =r B / A ω , donde dt B / A
ω es la
velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. )enotaremos este t'rmino como 9E%:/;)) 3E%+;9
v B/ A
, medida por un
observador fjo a los ejes en traslación x8, y8. como el cuerpo es rígido, observe &ue este observador solo ve al punto moverse por un arco circular &ue tiene radio de curvatura
r B / A
.
4E% /UE3P: P3E/E (:9E3SE /:(: S; ES+U9;E3 <;3=): /:= 9E%:/;)) =E ?8 @UE PS P:3 5 Por lo tanto# v B− v A + v B / A )onde# v B= velocidaddel punto B v A = velocidaddel puntobase A v B =velocidad relativade B con respecto a A A
Este movimiento relativa es circular, la magnitud es dirección es perpendicular a
r B / A
v B/ A =ωr B/ A ,
y la
)ebido a &ue la velocidad relativa
v B/ A
representa el e"ecto del movimiento
circular, con respecto a , este t'rmino puede ser expresando mediante el producto cru
v B/ A =ω x r B / A
Por lo &ue# v B= v A + ω x r B / A )onde# v B= velocidaddel punto B v A = velocidaddel puntobase A ω =velocidad angular del cuerpo r B = vector de posicionrelativa dibujado desde A hasta B A
Procedimiento de Análii Análii Vectori"l Di"*r"m" Cinemático
Estableca las direcciones de las coordenadas fjas x,y y dibuje un diagrama cinemático del cuerpo. ;ndi&ue las velocidad de los puntos y , velocidad angular, vector de posición relativa v A , v B o ω Si se desconoce las magnitudes de , el sentido de esos vectores puede ser supuesto
Ec!"ci#n de %elocid"d Para aplicar
v B= v A + ω x r B / A
, exprese los vectores en "orma vectorial
cartesiana y sustituir en la ecuación. Si la respuesta es negativa para una magnitud desconocida, indica &ue el sentido de dirección del vector es opuesto al mostrado en el diagrama
Análii Ec"l"r
Di"*r"m" Cinemático Si la ecuación de velocidad va a ser aplicada en "orma escalar, la magnitud y dirección de la velocidad relativa deben ser establecidas.
Ec!"ci#n de %elocid"d •
Escribir la ecuación en "orma simbólica
v B− v A + v B / A
y debajo de cada
uno de los t'rminos represente gráfcamente los vectores mostrando su s magnitudes y direcciones.
E&EMPLO' El engrane piAón rueda sobre la cremallera fja con velocidad angular ω =4
9c
rad . determine la velocidad de la cremallera / s
2 rad*s B.C "t
9DB
PRIMERA SOLUCI+N V c =V b + V c B
V c =0 + 4 ( 0.6 )
V c =2 . 40
ft s
SEGUNDA SOLUCI+N V c =V B+ ω x r c B
−V c i =0 + ( 4 k ) x ( 0.6 j ) V c =2 . 40
ft s
CENTRO INSTANT(NEO DE VELOCIDAD CERO %a velocidad de cual&uier punto b ubicado sobre un cuerpo rígido puede obtenerse en una manera muy directa si se elije el punto base como un punto &ue tiene velocidad cero en el instante considerado. En este caso
v 0 =0
y por lo tanto la ecuación de velocidad
toma la "orma de
V B =ω !r B A
V B −V A ω ! r B A
. Para un cuerpo con movimiento plano
general, el punto seleccionado de esta manera se llama centro instantáneo de velocidad cero /;F y se encuentra sobre el eje
instantáneo de velocidad cero. Este eje es siempre perpendicular al plano del movimiento y la intersección del eje con este plano defne la ubicación del /;. /omo el punto coincide con el /; entonces V B =ω!r
B "
,y así el punto se mueve momentáneamente alrededor de
/; en una trayectoria circular, en otra palabras el cuerpo parece girar con respecto al eje instantáneo. %a magnitud de V B =ω!r
B "
donde
a
"
es simplemete
ω es la velocidad angular del cuerpo. )ebido al
movimiento circular la dirección de rB
V B
V B
debe ser siempre perpendicular
.
Por ejemplo considere la rueda mostrada en la fgura si rueda si desliar entonces el punto de contacto con el suelo tiene velocidad cero. Por tanto este punto representa el /; para la rueda .si suponemos &ue la rueda esta momentáneamente articulada en este punto las velocidades de los puntos , /, :, etc.. Pueden encontrarse usando distancias radicales
r B r " r # "
"
de la geometría de la rueda.
"
v =ωr . &uí las
estas deben ser determinadas partiendo
Ubicación del /;
Para localiar el /; podemos usar el -ec-o de &ue la velocidad de un punto sobre un cuerpo es siempre perpendicular al vector de posición relativa &ue se extiende desde el /; -asta el punto. Existen varias posibilidades$ •
)ada la velocidad velocidad angular
v A
de un punto sobre el cuerpo y la
ω del cuerpo. En este caso el /; está ubicado
a lo largo de la línea dibujada perpendicularmente a
v A
tal "orma &ue la distancia desde -asta el /; es
en , de r A = "
v A ω
.
:bserve &ue el /; se encuentra arriba a la derec-a de ya &ue v A
debe generar una velocidad angular
ω en el sentido de las
manecillas del reloj con respecto al /;. •
)adas las líneas de acción de dos velocidades no paralelas y
vB
v A
. En los puntos y , estructura segmentos de línea &ue
sean perpendiculares -asta su punto de intersección, como se muestra localiada el /; en el instante considerado. •
v A
)ada la magnitud de dos velocidades paralelas
y
vB
. &uí
se determina la ubicación del /; por medio de triángulos semejantes. En ambos casos
r A r A r B "
B
si d es una distancia
"
conocida entre los puntos y entonces especial si el cuerpo esta trasladado estará ubicado en el infnito, entonces caso entonces
v A / r A /" = v B / r B / " $ 0
v A
D
r A + r B = d "
vB
"
, entonces el /;
r A =r B $ % "
"
, en caso
si este es el
como se esperaba.
P3:)E);(;E=+: )E =%;S;S %a velocidad de un punto sobre un cuerpo sometido a movimiento plano general puede ser determinada con "recuencia a su centro instantáneo de velocidad cero siempre &ue la ubicación del /i sea establecida primero usando uno de los tres m'todos descritos arriba.
•
/omo se muestra en el diagrama cinematico#
El cuerpo esta como supuesto como 4extendido y articulado5 en el /; de tal manera &ue en el instante considerado gira con respecto a este pasador con su velocidad angular ω . •
%a magnitud de la velocidad para cada uno de los puntos arbitrarios , y / sobre el cuerpo puede ser determinada usando
la ecuación •
v =ωr donde r es la distancia radial desde el /; -asta
cada punto. %a línea de acción de cada vector velocidad v es perpendicular a su línea radial asociada r y la velocidad tiene un sentido de dirección &ue tiende a mover el punto de manera consistente con la rotación angular
ω de la línea radial.
Ejemplo# El mecanismo "ormador está diseAado para dar un golpe cortante lento y tener un rápido retorno a una -oja unida al desliador colocado en /, determine la velocidad del blo&ue desliador / en el instante si el eslabón está girando a 2 rad*s.
Solución# )iagrama del cuerpo libre#
θ= 60 &
ω=
1.2 0.1768
ω =6.79 rad / s
vc =6.79 ( 0.2415 ) vc =1.64 ' / s
AN(LISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO' ACELERACI+N %a aceleración de dos puntos en una barra cuerpo rígidoF sometida a movimiento plano general puede determinarse al di"erenciar respecto al tiempo.
Por lo tanto la ecuación de aceleración relativa es la siguiente#
v B= v A + v B A
con
a B=a A + a B
( ) ( )
a B = a B t + a B n
A
A
A
A
( ) ( )
a B=a A + a B t + a B n A
A
)ónde# aB
D aceleración del punto
a A
D aceleración del punto
(a )t
Dcomponente de aceleración tangencial de con respecto a
(a )n
D componente de aceleración normal de con respecto a
B A
B A
Análii ec"l"r
(a ) t =α r B A
( )
B A
2
a B n =ω r B A
A
Análii %ectori"l
(a ) t =α ! r B A
( )
B A
2
a B n =−ω ∗r B A
A
2
a B=a A + α ! r B −ω ∗r B A
A
)ónde# α D aceleración angular del cuerpo
ω D velocidad angular del cuerpo
rB A
Dvector de posición dirigido de a
Estas ecuaciones se aplican para estudiar el movimiento acelerado de un cuerpo rígido el cual está conectado por medio de un pasador a otros dos cuerpos
E,em$lo' En el instante &ue se presenta, el extremo de la barra tiene la velocidad y aceleración &ue se muestran. )etermine la aceleración angular de la barra y la aceleración del extremo de la barra.
Gm
9
9
x =√ 5 − 4 2
ω=
2
v r 6
ω = =2 rad / s
x =3
3
2
a B=a A + α ! r B −ω ∗r B A
A
2
a B=−5 j + ( α k ) ! ( 3 i −4 j )−( 2 ) ∗(3 i−4 j ) a B=−5 j + 3 α j+ 4 α i −12 i + 16 j
Con respecto a y 0
Con respecto a x a B= 4 α −12
=3 α + 11
α =
−11
a B= 4 (−3.66 )−12
3
α =−3.66
α =3.66
rad s2
a B=−26.64
ft s2
rad s2
a B=26.64
' ( s2
AN(LISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO POR MEDIO DE E&ES ROTATORIOS Poici#n-. El punto representa el origen del sistema de coordenadas x,y,, el cual se traslada y rota con respecto al sistema H,I,?. El vector de posición relativa
rB A
especifca la posición de con respecto a
entonces# r B = x B i + y B j A
r B =r A + r B A
%a velocidad y aceleración angular de los ejes x y y son J omegaF y K omega primaF respectivamente.
Velocid"d-L %a velocidad del punto se determina al considerar la derivada con respecto al tiempo v B=
dr B / A
A
dt
v B= v A +
dr B / A dt
( )
v B= v A + ) !r B + v B xy* A
A
)ónde# vB
D velocidad de , medida con respecto a H, I, ?
v A
D velocidad del origen con respecto a H, I, ?
(v ) xy* B A
D velocidad de con respecto a , medida por un observador
situado en x, y, JD velocidad angular de la re"erencia x, y, con respecto a H, I, ? rB A
D posición de con respecto a
Aceler"ci#n-.%a aceleración de , observada desde el sistema de coordenadas H,I,? puede expresarse en "unción de su movimiento medido con respecto al sistema de rotación de coordenadas.
(
)
( ) ( )
a B=a A + +! r B + )! )! r B + 2 )! v B xy* + a B xy* A
A
A
A
)ónde# aB
D
aceleración de con respecto a H, I, ?
a A
D
aceleración de con respecto a H, I, ?
(v ) xy* , ( a ) xy* B A
B A
D
velocidad y aceleración de con respecto a ,
medida por un observador situado en x, y, K, JD ?
aceleración y velocidad angulares de x, y, con respecto a H, I,
Not"-. El movimiento de la re"erencia móvil se expresa por
v A , a A ,) +
movimiento de con respecto a la re"erencia móvil lo expresa
$ al rB A
,
(v ) xy* y (a ) xy* B A
B A
E,em$lo' El -ombre se para en el centro : de la plata"orma y corre -acia el borde de modo &ue cuando llega a , yD 1 pies , su centro de masa tiene una velocidad de M pies*s y una aceleración de G pies*sM, amabas medidas con respecto a la plata"orma y dirigidas a lo largo del eje positivo y. Si la plata"orma tiene los movimientos &ue se muestran, determine la velocidad y aceleración de su centro de masa en este instante.
y
x
( )
v B= v A + ) !r B + v B xy* A
A
( )
v A = v# + )! r A + v A xy* #
#
v A =0 + ( 0.5 k ) ! ( 5 j ) + 2 j v A =( 0.5∗5 )( k ! j )+ 2 j v A =−2.5 i + 2 j
"t*s
(
)
( ) ( )
a A =a # + +! r A + ) ! )! r A + 2 ) ! v A xy*+ a A xy* #
#
a A =# + ( 0.2 k ) ! ( 5 j ) + ( 0.5 k ) ! ( 0.5 k ! 5 j ) + 2 ( 0.5 k ) ! ( 2 j ) + 3 j a A =( 0.2∗5 ) ( k ! j ) + ( 0.5 k ) ! ( 0.5∗5 ) ( k ! j )+ 2 ( k ! j ) + 3 j a A =−i−1.25 j −2 i + 3 j a A =−3 i + 1.75 j
"t*sM
#
#
