Una bailarina tendrá más Momento de Inercia si extiende los brazos, girando más rápido, que cuando los contrae.
El Momento de Inercia (símbolo I) es una medida de la Inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado Tensor Inercia. Inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscopicos giroscopicos..
El Momento de Inercia (símbolo I) es una medida de la Inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado Tensor Inercia. Inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscopicos giroscopicos..
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
a
Z
I (2)(3) (5)(2) 38kg .m 2
ZZ
Z
m 2kg r 3m 1
1
m 5kg r 2
2
2m
2
2
Ecuaciones del Momento de Inercia ¿Cuál de los giros de la figura siguiente resulta más difícil? El Momento de Inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
I m r
2
i
i
¿Cuál de estos giros resulta más difícil? El Momento de Inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. El Momento de Inercia representa la resistencia A la rotación
2 I
2
I
1
Para un cuerpo de masa continua (Medio Continuo), se generaliza como:
I r dm 2
.r dV 2
Solo se cumple en el Plano
Z
Z
G
En el espacio
En el Plano
x x
z m I y m I
I x´ I xG y 2 z 2 m I xG d x2 m I y´ I yG I z ´ I zG
2
2
2
2
yG
d y m
zG
d z m
2
2
Z
I I ZZ
Z
G
Z G Z G
mD
2
Determine por integracion el Momento de Inercia de la masa M con respecto al eje centroidal Y
Traslación, Rotación y movimiento plano cualquiera de un cuerpo rígido Los problemas de movimiento plano se pueden clasificar, según su naturaleza, en: 1.- Traslación. 2.- Rotación en torno a un eje fijo. 3.- Movimiento plano cualquiera. Los dos primeros son casos particulares del Movimiento plano cualquiera. Para un cuerpo de forma arbitraria, las ecuaciones de Movimiento plano cualquiera desarrolladas anteriormente vienen dadas por las ecuaciones en la forma:
F ma G
M I
G
G
Traslación Pura Un cuerpo rígido lleva movimiento de Traslación cuando todo segmento rectilíneo del cuerpo se mantenga paralelo a su posición inicial a lo largo del movimiento. Durante la Traslación, no hay movimiento angular (ω = α = 0); por tanto, todas las partes del cuerpo tienen la misma aceleración lineal a. La Traslación sólo puede tener lugar cuando la recta soporte de la resultante de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo pase por su cdm G. En el caso de Traslación, con el origen del sistema de coordenadas xyz en el centro de masa G del cuerpo x y 0 , las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a:
F x m aGx F y m aGy M Gz 0
Rotación en torno a un eje fijo Este tipo de movimiento plano se produce cuando todos los elementos de un cuerpo describen trayectorias circulares alrededor de un eje fijo. La figura representa un cuerpo rígido simétrico respecto al plano de movimiento y que gira en torno a un eje fijo que pasa por el cdm G del cuerpo
x y 0
En este caso aG = 0; por tanto, las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a
F x m aGx 0 F y m aGy 0
M Gz I Gz
I Gzx I Gyz 0
Movimiento plano cualquiera En la figura, donde un émbolo está conectado a un volante mediante una biela AB, se ilustran tres formas de movimiento plano: 1.- Rotación del volante en torno a un eje fijo. 2.- Traslación rectilínea del émbolo 3.- Movimiento plano cualquiera de la biela AB. Cuando el volante gira un ángulo θ, el pasador A recorre una distancia s A = R θ a lo largo de un camino circular. El movimiento del pasador B se puede considerar que es una superposición de los desplazamientos resultantes de una traslación curvilínea de la biela y de una rotación de la biela en torno al pasador A. Como resultado de estos dos desplazamientos, el pasador B recorre una distancia sB a lo largo de un camino horizontal. Así pues, el movimiento plano de la biela AB es la superposición de una traslación y una rotación en torno a un eje fijo.
Análisis Cinético de la Biela: Tenemos dos posibilidades:
A.- Si se toma el origen de coordenadas en el pasador A y los ejes x e y están orientados según el eje de la biela y perpendicularmente a ella y 0 , respectivamente, las ecuaciones generales de movimiento plano quedan así:
F x m aGx F y m aGy
M Az a Ay x m I Az
B.- Si se sitúa el origen del sistema de coordenadas en el cdm G de la biela, las ecuaciones se reducen a:
F x m aGx F y m aGy
M Gz I Gz
BLOQUE A (4 ptos) La barra delgada uniforme de 3m de largo y 10 kg de masa se mueve con la velocidad angular indicada por acción del Par mostrado en el instante mostrado: Determinar: 1.- Realice el DCL sobre la barra. 2.- La aceleración angular dela barra.(rad/s2) 6,9 rad/s2 3.- La fuerza de reacción en O, en la dirección horizontal.(N) 375 N 4.- La fuerza de reacción en O, en la dirección vertical.(N) 5,5 N
El disco de 60 kg se encuentra con una velocidad angular de 10 rad/s en sentido anti horario por causa del bloque de 20 kg. Determine: 1.- La aceleración angular del disco.(m/s2) 9,8 rad/s2 2.- La fuerza de tensión del cable.(N) 117,6 N 3.-La fuerza de reacción horizontal en O.(N) 4.- La fuerza de reacción vertical en O.(N) 705,6 N
El carrito incluyendo los paquetes tiene una masa de 50 kg. Determine: 1.- La aceleración del carrito.(m/s2) 2.-La fuerza de reacción en B.(N) 3.- La fuerza de reacción en A.(N)
En la figura mostrada, las barras AB y CD son de masa despreciable se sabe que la masa de la barra BGD es de 50 kg Determine: 1.- La fuerza vertical en el apoyo D.(N) 2.- La fuerza vertical en el apoyo C.(N) 3.- La fuerza en el apoyo B.(N) 4.- La aceleración angular de la barra AB.(rad/s2) 5.- La fuerza horizontal en el apoyo D.(N) 6.- La fuerza horizontal en el apoyo C.(N)
El cilindro de 2 kg cuelga del disco de 20kg y 0.2m de radio cuyo momento de inercia respecto de A es 0.4kg.m 2, si el cilindro pequeño desciende con 2 m/s constante, calcule: La magnitud de la fuerza de tensión en la cuerda (N) La magnitud de la fuerza de reacción en A, relativo al eje X(N) La magnitud de la fuerza de reacción en A, relativo al eje Y(N)
DATOS: Bloque: m= 6kg; Vo = 2m/s Disco: M=20kg; R= 0.2m; I A=0.4kg.m2
PARA EL DISCO CAUSAS
EFECTOS
=
PARA EL BLOQUE EN t=3s: CAUSAS
EFECTOS
=
RESPUESTAS
PROBLEMA El aro de 12 kg. y radio de giro respecto a su centro de masa de 0,6 mm. rueda sin deslizamiento. Cuando θ = 0° el centro de la rueda tiene una rapidez de 3 m/s. para θ = 90° calcule: 01. El trabajo realizado por el peso. (J) 02. La velocidad angular del aro. (rad/s) 03. La fuerza normal sobre el aro. (N) 04. La fuerza de fricción. (N) 05. La aceleración angular del aro. (rad/s2)
ESTADO 1
ESTADO 2
W peso = -mg(Z2 - Z1) = -12.(9,81).(5x10-2) W peso = -5,88 J
1
Aplicamos el: PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
PARA EL ESTADO 1 calculamos : T1 Y Ep1 T1 = ᶦ/₂ mVG12 + ᶦ/₂ IGW12 Ep1 = mg(0) = 0
Cálculo de T1 :
PARA EL ESTADO 2 calculamos : T2 Y Ep2
T2 = ᶦ/₂ mVG22 + ᶦ/₂ IGW22 Ep1 = W Peso = 5,88
CALCULAMOS:
r2
CALCULAMOS: T 2
CON LOS VALORES OBTENIDOS REEMPLAZAMOS EN:
T1 + Ep1 = T2+ Ep2 2 )
47,04 + 0 = 3,39.(W2 + 5,88 2 (W2) =
12,141593
W2 = 3,4844788 rad/s
PARA EL ESTADO 2: CAUSAS
HALLAMOS aG2 :
EFECTOS
Acomodamos las 3 ecuaciones
0
+
f
+
9.
N
+
0
+
0,6.
= 7,28496
G2
= 117,6
G2
0,05.N + 0,75.f – 4,32 x 10-6.
G2
=
0
