Centroides De Gravedad De Líneas, Áreas Y Volúmenes De Cuadros Compuestos Utilizando Tablas.

CENTROIDES DE GRAVEDAD DE LÍNEAS, ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUADROS COMPUESTOS UTILIZANDO TABLAS.

TEMA 3.7.

Cada partícula que existe en la Tierra, tiene al menos una fuerza en común con cualquier otra partícula:

su peso.

En el caso de un cuerpo formado

por múltiples partículas, éstas fuerzas son esencialmente paralelas y dirigidas hacia el centro de la Tierra. Independientemente de la forma y tamaño del cuerpo, existe un punto en el que se puede considerar que está concentrado todo el peso del cuerpo. Por supuesto, el peso no actúa de hecho en éste punto, pero podemos calcular el mismo tipo de momento de torsión respecto a un eje dado si consideramos que todo el peso actúa en este punto. El centro de gravedad de un cuerpo regular, como una esfera uniforme, un cubo, una varilla o una viga, se localiza en su centro geométrico. Aún cuando el centro de gravedad es un punto fijo, no necesariamente tiene que estar dentro del cuerpo. Por ejemplo, una esfera hueca, un aro circular y un neumático tienen su centro de gravedad fuera del material del cuerpo. A partir de la definición de centro de gravedad, se acepta que cualquier cuerpo suspendido desde este punto está en equilibrio. Esto es verdad, ya que el vector peso, que representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada parte del cuerpo, tienen un brazo de palanca igual a cero. Por lo tanto, es posible calcular el centro de gravedad de un cuerpo, determinando el punto en el cual una fuerza ascendente producirá un equilibrio rotacional.

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Problema de centro de gravedad. 1. Calcule el centro de gravedad de las dos esferas que se presentan en la figura siguiente. La masa M es de 16 libras y la masa m es de 8 libras, la distancia entre los dos objetos es de 30 pulgadas

Solución: Primero se dibuja un vector hacia arriba que indique la fuerza en el centro de gravedad que equilibraría el sistema. Suponga que se elige para ubicar a este vector a una cierta distancia del centro de la esfera de 16 libras. La distancia x puede trazarse y marcarse sobre la figura. Puesto que la fuerza ascendente debe de ser igual a la suma de las fuerzas descendentes, la primera condición del equilibrio nos lleva a plantear lo siguiente: F = 16 lb+ 8 lb = 24 lb. Ahora elegimos el eje de rotación del centro de la esfera de 16 lb. Esta es la mejor elección, puesto que la distancia x se mide a partir de este punto. La segunda condición del equilibrio, se aplica en la forma siguiente: M = 24 lb (x) -8 lb (30 inches) = 0 M = 24 lb (x)-240 lb.in = 0 M = 24 lb (x) = 240 lb.in. M = x = 240 lb.in/24lb =

10 inches.



2. Una barra de material uniforme tiene una longitud de 6 metros y pesa 30 Newtons. De su extremo izquierdo pende una pesa de 6 Newtons y se aplica una fuerza de 20 Newtons en su extremo derecho. ¿A qué distancia del extremo izquierdo se deberá aplica una sola fuerza ascendente para establecer el equilibrio?

F=¿ r=¿

50 N

3m

3m

30 N

20 N

Aplicando la primera condición del equilibrio: ΣFy = F-(50 N+30 N + 20 N) = 0 ΣFy = F – (100 N) = 0 ΣFy = F – 100 N = 0 ΣFy = F = 100 N. Aplica Aplicando ndo La segund segundaa condic condición ión del equilí equilíbri brio o y calcul calculand ando o momen momentos tos de fuerza fuerza respecto al peso de 60 Newtons, es decir del extremo izquierdo: ΣM 50 N = F (r) – 30 N (3 m)- 20 N (6 m) = 0 ΣM 50 N = 100 N (r) – 90 N.m- 120 N.m = 0 ΣM 50 N = 100 N (r) – 210 N.m = 0 ΣM 50 N = 100 N (r) = 210 N.m Despejando La distancia r:

210 N .m =

100 N

2.1metros.



3. Pesas de 2, 5, 8 y 10 Newtons penden de una varilla ligera de 10 metros de longitud a distancias de 2, 4, 6 y 8 metros del extremo izquierdo respectivamente. ¿A qué distancia del extremo izquierdo está el centro de gravedad?

2m

2m

2m

2m

2m

2N 5N 8N 10 N Aplicando la primera condición del equilibrio, tenemos: Σ F y = F – 2 N, - 5 N- 8 N-10 N = 0 Σ F y = F-25 N = 0 F = 25 N. Aplicando la segunda condición del equilíbrio y calculado momentos de fuerza respecto al extremo izquierdo de la varilla. Σ M = 25 N (r)- 2 N(2 m)- 5 N(4 m) – 8 N (6 m) – 10 N (8 m) = 0. Σ M = 25 N (r) – 4 N.m – 20 N.m – 48 N. m- 80 N. m = 0. Σ M = 25 N (r) -152 N.m = 0 Σ M = 25 N (r)= 152 N.m Despejando El valor de r tenemos: ΣM=r=

152 N .m =

25 N

6.08metros.

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