Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías Tecnologías e Ingenierías Curso: Algebra Lineal ase !: Actividad gru"al #$ %ost Tarea Tarea
Unidad 3 - Fase 4: Actividad grupal 3 - Post tarea Presentado a:
Eric& 'iguel Barrios
Entregado por:
(o)n (airo *alencia +o,as Cod -!#./!./ Cristian Ca0ilo %1re2 Cod
Grupo: 208046_4
U!"#E$%"&A& !A'"(!A) A*"E$+A , A &"%+A!'"A _U!A& Escuela de 'iencias *sicas +ecnolog.a e "ngenier.a_ /E'*+" !ovie1re 2 206 'EA&- Pal1ira
1
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingenierías Curso: Algebra Lineal ase !: Actividad gru"al #$ %ost Tarea
"ntroducci5n
En la estructura de es"acio vectorial se 3unda0enta una "arte 0uy i0"ortante de la 0ate0ática: el 4lgebra Lineal5 6oy en día se "uede decir 7ue no )ay "arte de la 0ate0ática 7ue no conte0"le esta estructura8 cuyo 0odelo 0ás sencillo es el de los vectores libres 7ue se estudia en 3ísica y geo0etría5 A)ora bien8 si en esta estructura se tiene en cuenta su as"ecto 3or0al8 se "uede a"licar a diversas situaciones no necesaria0ente geo01tricas5 En 3ísica8 lla0a0os vector a una 0agnitud orientada8 signi3icado 0uy "reciso 7ue sirve "ara di3erenciar de otras 0agnitudes 7ue se lla0an escalares5 En 0ate0áticas8 un vector es un ele0ento de un es"acio vectorial9 de esta 3or0a reciben el no0bre de vector tanto los "olino0ios co0o las sucesiones acotadas8 o las 3unciones continuas de3inidas en un intervalo8 etc5 Todos estos entes 0ate0áticos res"onden a una estructura co0n: el es"acio vectorial 5
2
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela: Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingenierías Curso: Algebra Lineal ase !: Actividad gru"al #$ %ost Tarea 1.) Dado
el con,unto % ; {u1 , u2 } donde
2 7ue % genera a R
u1
; <=8 >? y
u2
; <$#8 $.?5 De0uestre
.
%oluci5n
( x
, y 1 ) de R
2
1
c 1 u1 + c2 u2= x c 1 ( 5,1 ) + c 2 (−3, −2 )=( x 1 , y 1)
(5 c
1
, c 1 ) + (−3 c 2 , −2 c 1) =( x 1 , y1 )
5 c 1−3 c 2= x 1 y c 1−2 c 2= y 1
A =
[
5 1
]
−3 =−10 −(−3 ) −2 A =−10 + 3
+@5 DetA =−7 Co0o la 0atri2 A es di3erente de cero
2.)
Dado el con,unto * ; v>8 v.8 v# de3inido en +!5 Donde *> ; <$>8 .8 $#8 =?8
*. ; <8 >8 .8 >?8 *# ; <.8 8 >8 $.?5 Deter0inar si los vectores de * son lineal0ente inde"endientes5
%oluci5n
%lantea0os la ecuacin vectorial: C 1 V 1+ C 2 V 2+ C 3 + V 3=¿
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−1 C 1
0 C 2
2 C 3=0
2 C 1
1 C 2
0 C 3=0
−3 C 1
2 C 2
1 C 3=0
5 C 1
1 C 2
−2 C 3=0
Al resolver "or 0atrices8 "or el 01todo de auss – (ordán:
[
−1
0
2
0
2
1
0
0
−3
2
1
0
5
1
−2
0
[ [
]
−1
0
2
0
0
1
4
0
0
1
8
0
0
2
−6
0
−1
0
2
0
0 0 0
0 1 0
−4
0 0 0
8 1
]
R3 ↔ R4
]
[
−1
0
2
0
2
1
0
0
5
1
−2
0
−3
2
1
0
]
R 4 →−2 R3 + R4
R 2 → 4 R4 + R 2 R 3 →− 8 R 4 + R 3
R 2→ 2 R1 + R2 R 3 → 5 R 1+ R 3 R 4 → −3 R 1+ R 4
[
R 2 →−1 R 3+ R 2
R 1 → −2 R 4 + R 1
R1
[
−1
0
2
0
0
0
−4
0
0
1
8
0
0
0
22
0
−1
0
0
0
0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
]
R4 →
1 22
R 4
]
+@5 C 1 =0 C 2= 0 C 3=0 0 V 1=0 V 2 + 0 V 3
Los vectores son lineal0ente inde"endientes
.5>5? Fea el con,unto * ; u>8 u.8 u# de3inido en +#5 Dnde u> ; ?8 u. ; <.8 /8$ =? y u# ; <>8$.8#?5 Deter0inar si los vectores de * son lineal0ente inde"endientes8 de lo contrario8 identi3icar la co0binacin lineal corres"ondiente5
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%oluci5n
%lantea0os la ecuacin vectorial: C 1 V 1+ C 2 V 2+ C 3 + V 3=¿
() ( ) ( ) () [
4 C 1 2 1
2 C 2 6 −5
G
1
0
C 3 −2
G
0
;
3
;
0
4 C 1
2C 2
1C 3
¿O
2 C 1
6 C 2
−2C 3
¿0
1 C 1
−5 C 2
3 C 3
¿0
]
Al resolver "or 0atrices8 "or el 01todo de auss – (ordán:
[ [ +@
4
2
¿O
1
2
6
−2
¿0
1
−5
3
¿0
]
R 1→
4
0
5
−5 / 2
¿0
0
−11/ 2
11 / 4
¿0
¿O
0
1
−1 / 2
¿0
0
0
0
¿0
]
2
6
−2
¿0
1
−5
3
¿0
;
¿O
1/ 2
¿O
C 1+ C 3=0 C 2 −C 3= 0
1/ 4
0
1/ 4
]
1/ 2
1
[
R1
1/ 2
R2
1
[
1
1
→
1 5
R2
[
]
R2 → −2 R 1+ R 2 R3 →−1 R 1+ R 3
1
1/ 2
1/4
¿O
0
1
−1 / 2
¿0
0
−11/ 2
11 / 4
¿0
]
1
R1 → − R 2+ R 1 R3 →
2 11 2
R2 + R3
Lineal0ente inde"endiente
#5? Dado el con,unto % ; u8 u28 donde u ; <> – H #? y u. ; <$H G =?5 Deter0inar si % es o no una base de P35
5
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%oluci5n
P3
%ara )ace la de0ostracin se debe 0ostrar 7ue % genera a lineal0ente inde"endiente
y 7ue % es
a$? S genera a P3 : Fea el vector H ;
8 y>? de P3 5 Luego: C 1 V 1+ C 2 V 2= X +ee0"la2ando: C 1
3 <>8$ X ? G C 2 <$H8 G=? ; 8 y>? "erando: < C 1 8
C 2
? ; 8 y>?5 Esto genera el siste0a:
C 1 − x C 2= x 1
[
1
A; −1
J
5
? G < − x C 2 G=
− x 3 C 1 +¿ = C 2 ; y 1
] Det (
−1
3
− x C 1
A )
; <=?$<>?; !
+@ Det
5
b? F es lineal0ente inde"endiente: %lanteando el siste0a: = C 2 ;
A =
[
1 −1
−1 5
0 0
]
R2 → 1 R 1+ R 2
[
1 0
−1 4
6
0 0
]
C 1 − x C 2=0
3 x C 1 +¿ − J
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La lti0a 0atri2 nos 0uestra 7ue el siste0a es inconsistente8 así la nica solucin es la trivial5 c> ; c. ; 5 %or consiguiente F es lineal0ente inde"endiente5 Co0o se )an de0ostrado las dos condiciones8 entonces se "uede concluir 7ue el con,unto F es una base de P3 5
[
!? Dada la 0atri2
−2
5
3 1
−2 1
]
−1 −4 6allar el rango de dic)a 0atri25 −5
%oluci5n A =
[
−2
5
−1
3
−2
−4
1
1
−5
R2 →
[
1
−11
]
R1− R2
[
1
3
5
3
−2
−4
1
1
−5
]
R2 → −3 R 1+ R 2 R3 →−1 R 1+ R3
R2
]
1
3
5
0
1
19 / 11
0
2
− 10
R1 → −3 R 2+ R 1 R3 →−2 R 2+ R 3
[
1
0
−2 / 11
0
1
19 / 11
0
0
72 / 11
]
Co0o la 0atri2 escalonada tiene tres 3ilas di3erentes de cero8 entones el +@5 +an
'onclusi5n
7
[
1
3
5
0
−11
−19
0
2
−10
]
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Des"u1s de )aber reali2ado a "lenitud este traba,o se )an relacionado todos los te0as 7ue se )an visto en el transcurso del ciclo de la 0ateria de 4lgebra Lineal gracias a esta actividad )e0os co0"rendido el conce"to de los es"acios vectoriales y ta0bi1n conocido las di3erentes 0aneras de a"licarlas en la solucin de "roble0as en la vida cotidiana 7ue lo re7uieran8 )e0os conocido una buena )erra0ienta "ara utili2ar en nuestro ca0"o de traba,o5
$e7erencias *iliogr7icas
8
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+FF'AN8 Ftanley5 <>5--/?5 Algebra Lineal5 '1Hico: 'craK 6ill5 6oKard5 <.5?5 Introduccin al Algebra Lineal5 '1Hico: Li0usa555
ANTN8
+(8 (ess5 <.5>?5 Algebra Lineal5 'adrid: 'craK 6ill555 LA+FN8 EdKards5 <.5?5 Introduccin al Algebra Lineal5 '1Hico: Li0usa5 LUBITFMJ8 'artín8 DELLNIT8 'ic)ael5 <.5>?5 Algebra Lineal y Ecuaciones Di3erenciales5 '1Hico: T)o0son$Learning5 ML'AN8 Bernard5 <>5---?5 Algebra Lineal5 '1Hico: %rentice 6all5 +ALEI68 (o)n B8 BEAU+EA+D8 +ay0ond A5 <>5-O-?5 Algebra Lineal5 Estados Unidos: Addison$Pesley5
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