CD Trabajo Colaborativo 1 No de Grupo 100410 399 - Copia

CALCULO DIFERENCIAL UNIDAD 1

Presentado por: MARTA QUINTERO JUAN CARLOS ORTIZ Grupo: 100410_399

Presentado a: Tutor, FÉLIX ANTONIO GONZÁLEZ.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELAS DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA – ECBTI PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Agosto de 2016

INTRODUCCIÓN. El siguiente trabajo tiene como objetivo comprender los temas tratados de sucesiones aritméticas y progresiones geométricas, identificando sus fundamentos con ayuda del material que se encuentra en el entorno de conocimiento. Para posteriormente realizar la actividad con la miscelánea de ejercicios propuestos analizarlos y construyendo una solución a cada uno, para nuestro conocimiento tanto profesional como personal.

FASE I a) de las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior 3n n−1

5n n−3 Solución: 5n n =5 3 ¿ n− nn lim ¿ 1→∞

7 9 11 13 −5, ,− , ,− ,... 2 3 4 5 Solución: es oscilante. Justificación: es oscilante porque su límite tiende a infinito y por más que sus valores no parara de crecer.

1.

n+2 2 n−1 Como ya conocemos el término general, procedemos a hallar la cota inferior cuando n=1 an =

n+ 2 2 n−1

Remplazando tenemos a1=

1+ 2 2(1)−1

a1=

3 3 = =3 2−1 1

Debemos seguir remplazando para podemos hallar la sucesión a2=

2+ 2 4 4 = = 2(2)−1 4−1 3

a3 =

3+2 5 5 = = =1 6−1 5 2(3)−1

a 4=

4+2 6 6 = = 2(4 )−1 8−1 7

De esta manera tenemos como resultado la siguiente sucesión: 4 6 7 3, , 1, , , … 3 7 9 De esta manera podemos determinar que es monótona estrictamente decreciente.

Luego procedemos a hallar el límite superior cuando n tiende a infinito, es decir: lim n →∞

( 2n+2 n−1 )

Para simplificar esta fórmula y llegar al resultado de una forma sencilla, lo primero será dividir por el denominador de la máxima potencia: n 2 2 + 1+ n+2 n n n = = 2 n−1 2 n 1 1 − 2− n n n Tenemos entonces que: 2 n lim 1 n →∞ 2− n

( ) 1+

Lo cual es igual a:

( 2n ) 1 lim (2− ) n lim 1+

n →∞

n→∞

Luego procedemos a resolver por separado, primero

( 2n )=1+ lim ( 2n )

lim 1+ n →∞

n →∞

Sabemos por las propiedades para límites infinitos que: lim

x→∞

( xc )=0 a

Esto quiere decir que:

( 2n )=1+ lim ( 2n )=1+ 0=1

lim 1+

n →∞

n →∞

Ahora procedemos a resolver la segunda parte:

( 1n )=2−lim ( 1n )

lim 2− n →∞

n →∞

De igual forma, aplicamos las propiedades para límites infinitos, obteniendo:

( 1n )=2−lim ( 1n )=2−0=2

lim 2− n →∞

n →∞

Esto nos da como resultado: 2 n 1 lim = =0.5 1 2 n →∞ 2− n

( ) 1+

Es decir que el límite superior es 0.5 Con base en los límites podemos concluir que:  Es una sucesión convergente  Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.  0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.  Por tanto, la sucesión está acotada.  0.5
4, 9, 16,25, 36, 49, … Lo primero que debemos hacer, es entender la forma de la sucesión, analizando podemos darnos cuenta que es así: S n=( n+ 1 )

2

Luego Comprobaremos reemplazando: 2

2

S 1=( 1+1 ) =2 =4

2

2

2

2

2

2

S 2=( 2+1 ) =3 =9

S 3=( 3+1 ) =4 =16 S 4 =( 4 +1 ) =5 =25

S 5=( 5+1 )2=62=36 2

2

S 6=( 6 +1 ) =7 =49

De esta manera también podemos deducir que el límite de la sucesión es infinito, por lo tanto, es una sucesión divergente. Teniendo en cuenta que se cumple: S n < Sn +1 Esto nos indica que nuestra sucesión es estrictamente creciente y monótona.

Problema 4. La suma de los términos de una progresión aritmética es 425 y su término central es 17. Hallar el número de términos. Sn=425 a2=17 an=2 d=2 an=a1 + ( n−1 ) d Por sistema de ecuaciones

Problema 7. En una progresión geométrica el primer término es 5. ¿Cuál debe ser la razón para que la suma de términos sea 50/11? an =a1∗r

n−1

50 n−1 =5∗r donde n=2 terminos 11 50 =5∗r 2−1 11 50 11 = 5 * r despejamos la razón

50 11 r= 5 1 r=

50 remplazamos r en la ecuacion inicial 55

50 2−1 ¿ donde n=2 55 50 =5∗¿ 11 50 50 =5∗( ) 11 55 50 250 = simplificando queda 11 55 50 50 = 11 11

Problema 8. En una progresión geométrica se da: el primer término, 9; la razón, 0,2; y la suma de los términos 11,232. Hallar el número de éstos. Solución: Sea

a1 , a3

y

a5

los tres términos impares de la progresión geométrica.

Expresando los tres términos en expresión a1 . a1=¿

Sea

a2 , a 4 y a6

a1

a3 =¿

a1 x r 2

a5 =¿

a1 x r 4

los tres términos pares de la progresión geométrica.

Expresando los tres términos en función a1 . a2=¿

a1

xr

a 4=¿

a1

x r3

a6 =¿

a1

x r5

Sabemos las sumas de los tres términos impares y las sumas de los tres términos pares, luego: Suma términos impares:

s 2 n−1 = a1 +a 3+ a5=1365 1365=a1+ a1 x r 2 +a1 x r 4=a 1 ( 1+r 2 +r 4 ) ecuacion1

Suma términos pares: s 2 n−1 = a2 +a 4 +a6 =5460 5460 = a1 + xr +a 1 x r 3+ a1 x r 5

Podemos calcular la razón “r“ Para ello, dividimos ambas sumas para eliminar a1 . 2 4 2 4 1365 a1 ( 1+r +r ) ( 1+r +r ) = = 5460 a 1 ( r +r 3 +r 5 ) ( r +r 3 +r 5 )

( 1+r 2 +r 4 ) 1365 1365 = = 5460 1365 × 4 ( r +r 3 +r 5 ) ( 1± r 1 +r 4 ) ( r +r 3 +r 5 )

1 =¿ 4

r +r 3 +r 5 =4 × ( 1+r 2 +r 4 ) =4 +4 r 2 4 r 4 Ordenando en función del mayor exponente de "r" tenemos. 5

4

3

2

r −4 r + r −4 r +r−4=0 A continuación, resolvemos la ecuación aplicando la regla de Ruffini. 1−4 1−4 1−4 4 404 04 1 01 0 1 0

La solución válida para la razón de la progresión geométrica es 4, (el resto de soluciones no pertenecen al conjunto de los números reales) luego: r=4

. 1

De la ecuación 1 obtenemos el valor de a

.

1+¿ a1 x r 2 +a1 x r 4=a 1 ( 1+r 2 +r 4 )=1365 ecuancion 1 . s2 n−1=a¿

1365=a1 ( 1+r 2+r 4 ) a1=

1365 1365 1365 + = =5 2 4 ( 1+r +r ) ( 1+16+256 ) 273

Problema 10: En una progresión geométrica se da: el primer término, 9; la razón, 0,2; y la suma de los términos 11,232. Hallar el número de éstos. Solución: a1=9 r=0,2 s n=11,232

Mediante la fórmula de la suma hallamos an : s n=

an r −a1 r −1

11,232=

a n x 0,2−9 2,2−1

an−¿45 4 11232 = 1000

an an−45 an−45 −9 5 5 5 = = = =−¿ 2 2−10 −8 −4 −1 10 10 10 5

an x

2 −9 10

11232 −a n−45 = 1000 4

4 x 11232 =−an +45 1000 11232 + an=45 250 an =45−

11232 11250−11232 9 = = 250 250 125

Mediante la fórmula de cálculo del último término hallamos el número de términos “n “. an =a1 r n−1 9 1 =9( )n−1 125 5

1 1n−1 = n−1 125 5 1 1 = n−1 125 5 5n−1=125=53 n−1

5

3

=5

n−1=3 n=4

Luego el número de términos de la progresión es 4. a) De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.

4

2 5 8 11 14 , , , , 4 9 16 25 36

2

n+ 1¿ ¿ 2 5 8 11 14 3 n−1 3 n−1 , , , , = 2 = ¿ 4 9 16 25 36 n +2 n+1

lim

3 n−1 n +2 n+1 2

{ an } ={ 0,5 ; 0,55; 0,5; 0,44 ; 0,38 ; 0,34 … … 0,0029 } ←{a 100}

Sucesión

convergente Lim finito

Conclusión

y

divergente x

lim no – infinito

an>0

Por lo tanto, podemos determinar que es una sucesión convergente porque tiene límite finito, por mucho que se escoja valores muy altos nunca llegara a cero (0) Nota: “es una sucesión monótona porque {an} va decreciendo”

INCISO A a) De la siguiente sucesión determinar la cota inferior y/o superior n+1 3n Desarrollo:

u1=

1+1 =2 1

u2=

2+1 3 = 2 2

u3=

3+1 4 = 3 3

u4 =

4+1 5 = 4 4

{

3 4 5 un= 2, , , … .. 2 3 4

}

La sucesión es decreciente. Un→∞

Un→∞

Un→∞

n n+1 n n n 1 + n n 1 1+0

Un→∞1 Cota inferior = 1 Cota superior = 2

INCISO B b) De la siguiente sucesión, Determinar si es monótona y si converge o diverge, justificar la respuesta. 3, 8,15, 24,35, 48

tenemos que es una sucesión monótona creciente, puesto que va en incremento a partir del número inmediatamente anterior; por lo tanto, el número siguiente será mayor que el anterior siempre en la sucesión INCISO C Problema 3. El primer término de una progresión aritmética es 5, el tercer término es 9 y la suma de los 3 primeros términos es 21. Halla la suma de los 10 primeros términos. Contamos con: a1=5, a 3=9,

a1 +a 2+ a3=21

Colocando los términos en función de a1: a3 =a1 +2 d=9

después a1 +2 d=9 ecuación 1

Por otra parte:

a1 +a 2+ a3=21

a1 + ( a1+ d ) +a3 =21

a1 + ( a1+ d ) +9=21

a1 +a 1+ d+ 9=21

2.5+d +9=21

10+d +9=21

d +19=21

d=21−19 d=2

Reemplazamos el valor d en la ecuación 1 a1 +2.2=9

a1 + 4=9

a1=9−4

a1=5 se calcula a10 , conociendo que a10=5+ ( 10−1 ) .2

an =a1 + ( n−1 ) . d

a10=5+ 9.2 a10=5+18 a10=23

Volviendo al enunciado del problema.

S n=

( a +a2 ) . n 1

n

( a +2a ) .n

S 10=

1

10

.10 ( 5+23 2 )

S 10 =

S 10 =( 14 ) .10

S 10 =140

Problema 5. Calcula las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que están en progresión aritmética y que el menor de ellos mide 8 cm. Los otros 2 lados serán. a1=8, a2=8+ d , a3 =8+ ( 3−1 ) d a3 =8+2 d Correspondiendo

a1 = cateto menor del triángulo rectángulo a2 = cateto mayor del triángulo rectángulo a3 = Hipotenusa del triángulo rectángulo a23 =a21 +a22 (8+2 d )2=82 +(8+d )2 Desarrollando.

2

2

64+ 4 d +32 d=64 +64+ d +16 d 2

2

4 d −d +32 d−16 d−64=¿

0

3 d 2+ 16 d−64=¿ 0 d=

−16 ± √ 256+768 =¿ 6

d=

−16 ± √ 256+768 6

d=

−16 ± √ 1024 −16 ±32 = 6 6

d 1=

−16+ 32 16 8 = = Solución válida . 6 6 3

d 2=

−16−32 −48 = =−8 Solución no válida. 6 6

Después los lados del triángulo rectángulo son: a1=8 8 32 a2=8+d=8+ = 3 3 8 16 40 a3 =8+2 d=8+ 2. =8+ = 3 3 3

ASE II

a) ��=6�−2

La progresión es aritmética porque su término se obtiene cogiendo el anterior y sumándole la diferencia común. Diferencia común es 6. Y es creciente porque a medida que n crece Un también.

La progresión es geométrica. Ya que se puede evidenciar que no existe una diferencia común, Es una progresión creciente porque con cada término su valor aumenta.

FASE III

Como tecnóloga en gestión de obras civil y construcción es muy importante la aplicación del uso de las progresiones ya que son necesarias para identificar y aplicar en las operaciones para promover el resultado de una acción.

Las progresiones pueden ser de gran uso en la vida diaria en muchas cosas por ejemplo cuando se saca un préstamo para pagar la universidad se tienen que utilizar las progresiones para saber cuánto tiene que pagar mensualmente. en la ingeniería al momento de tener que hacer presupuestos para la realización de un proyecto, la suma de los diferentes valores del material y la cantidad de materia prima que se requiere.

BIBLIOGRAFÍAS. 

Rondón, J. (2010). 100410 – Cálculo Diferencial. Unidad 1 – Análisis de Sucesiones y Progresiones. Pág. 7-38. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/4806



Cabrera, J. (2015). Progresiones en Geogebra. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/4807

CONCLUSIONES.



Después de analizar las lecturas sobre los temas sucesiones y progresiones, se toman los fundamentos de cada una, para solucionar la miscelánea de ejercicios propuestos, teniendo en cuenta el análisis y el desarrollo obteniendo los conocimientos que nos ayudaran en nuestro campo profesional como personal del día a día.



Mediante esta actividad logramos identificar cuáles son las sucesiones crecientes y decrecientes.



Las sucesiones y progresiones pueden determinar resultados futuros, de esta forma se pueden tomar decisiones para cumplir con los objetivos propuestos.