Catatan Kuliah Gelombang.pdf

Catatan Kuliah Gelombang Sri Soejati, M.Eng.Sc, Dede Djuhana, M.Si dan Iwan Sugihartono, M.Si

Departemen Fisika-QUE Project Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Depok 2004 Copyright© 2004 Que Project Departemen Fisika

Kata pengantar

Rasa syukur yang mendalam kami panjatkan kepada Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan Buku menyelesaikan Buku catatan kuliah gelombang. gelombang . Buku ini merupakan catatan kuliah yang diajarkan dalam kuliah gelombang di Departemen Fisika pada semester tiga. Pe Pembuat mbuatan an buku ini didanai dari kegiatan kegiatan Teaching Grant–QUE Project Departemen Fisika Agustus 2003 sampai Maret 2004. Materi buku ini hampir sebagian besar diambil dari buku The buku The physics of vibrations and Waves karangan H.J. karangan H.J. Pain . Buku catatan ini seluruhnya dikerjakan dengan menggunakan LATEX 2ε yaitu program pengolah kata(typesetting kata(typesetting program ) yang banyak banyak digunakan digunakan dalam penulisan penulisan ilmiah. Dan pada kesempatan ini kami ingin mengucapkan terima kasih kepada saudara saudara Dede Djuhana dan Iwan Sugihartono yang yang membantu dalam penyelesaian buku ini. Tidak ada gading yang tak retak demikianlah demikianlah ungkapan untuk buku ini yang jauh dari sempurna. Akhir kata kami berharap semoga buku ini dapat memberikan manfaat bagi mahasiswa dalam mengikuti kuliah gelombang.

Depok, Agustus 2004 Sri Soejati, M.Eng.Sc

i

Kata pengantar

Rasa syukur yang mendalam kami panjatkan kepada Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan Buku menyelesaikan Buku catatan kuliah gelombang. gelombang . Buku ini merupakan catatan kuliah yang diajarkan dalam kuliah gelombang di Departemen Fisika pada semester tiga. Pe Pembuat mbuatan an buku ini didanai dari kegiatan kegiatan Teaching Grant–QUE Project Departemen Fisika Agustus 2003 sampai Maret 2004. Materi buku ini hampir sebagian besar diambil dari buku The buku The physics of vibrations and Waves karangan H.J. karangan H.J. Pain . Buku catatan ini seluruhnya dikerjakan dengan menggunakan LATEX 2ε yaitu program pengolah kata(typesetting kata(typesetting program ) yang banyak banyak digunakan digunakan dalam penulisan penulisan ilmiah. Dan pada kesempatan ini kami ingin mengucapkan terima kasih kepada saudara saudara Dede Djuhana dan Iwan Sugihartono yang yang membantu dalam penyelesaian buku ini. Tidak ada gading yang tak retak demikianlah demikianlah ungkapan untuk buku ini yang jauh dari sempurna. Akhir kata kami berharap semoga buku ini dapat memberikan manfaat bagi mahasiswa dalam mengikuti kuliah gelombang.

Depok, Agustus 2004 Sri Soejati, M.Eng.Sc

i

Daftar Isi

Kata Pengantar

i

Daftar Isi

ii

Daftar Tabel

v

Daftar Gambar

vi

1 Gerak Harmonik Sederhana & Teredam

1

1.1 Persamaan gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Energi dari GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 Superposisi 2 GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. 1.3.1 1 Sa Satu tu dimen dimensi si,f ,fre reku kuens ensii sama sama dan dan amp amplilitu tudo do dan dan fase ase berb berbed eda a . . . . . .

4

1.3. 1.3.2 2 Sa Satu tu dime dimens nsi, i, beda beda frek frekue uens nsi, i, am ampl plit itud udo o dan dan fase ase sama sama . . . . . . . . . .

4

1.4 1.4 Sup upe erpo rposisi dari 2 GHS yang saling tega gak k lurus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4. 1.4.1 1 Frekue ekuens nsii sam ama, a, am ampl plit itud udo o dan dan fase ase ber berbeda beda . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4. 1.4.2 2 Ampl Amplit itud udo o dan dan fase ase berb berbed eda a dan dan peri period ode e perb perban andi ding ngan an 1:2 1:2 . . . . . . . .

6

1.5 Superposisi sejumlah n GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.1 Superposisi Superposisi sejumlah sejumlah n GHS yang sama amplitudo amplitudo dan berbeda berbeda fase fase tetap 7 1.5. 1.5.2 2 Su Super perpos posis isii n GHS GHS den denga ga amp amplilitu tudo do sama sama dan fase ase semb sembar arang ang . . . . .

8

1.6 Gerak Harmonik Teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.6.1 Energi dissipasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 2.1 Osilator Listrik

13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2 Osilator Mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3 Daya dari gaya memaksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

ii

iii

DAFTAR ISI

3 Osilasi Terkopel

21

3.1 3.1 Osila ilator terk erkope pell deng nga an kop oplling pega gas s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.2 Ko Koord ordinat inat normal, normal, frekue frekuensi nsi normal, normal, mod modus us normal normal dan derajat derajat kebeba kebebasan san . . .

23

3.3 3.3 Metode umum penen enttuan freku ekuensi nsi mod odu us . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.4 Kopling massa atau induktor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.5 Osilator terkopel pada dawai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4 Gelombang Transversal

32

4.1 Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.2 Persamaan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.2.1 Persamaan gelombang dalam tali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.3 Impedansi karakteristik suatu dawai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.4 4.4 Re Refle fleks ksii dan dan Transm ansmis isii gelo gelomb mban ang g pada pada dawa dawaii dipe diperb rbat atas asan an . . . . . . . . . . .

36

4.5 Refleksi dan Transmisi Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.6 4.6 Gelo Gelomb mban ang g ber berdiri diri pada pada daw dawai deng dengan an panj panjan ang g tetap etap . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.7 Energi dawai bervibrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.8 Grup gelombang dan kecepatan grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.9 4.9 Gelomba ban ng grup da dan n teorema leb eba ar ba ban nd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.10 4.10 Gelom elomba bang ng tran trans svers ersal dala dalam m struk truktu turr peri period odik ik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.11 4.11 Ran Rangk gkai aian an lini linier er dari dari 2 ma maca cam m atom atom dala dalam m kris ristal tal ioni ionik k . . . . . . . . . . . . . .

47

4.12 4.12 Absor bsorp psi radia diasi IR oleh leh kristal ionik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.13 Efek Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5 Gelombang Longitudinal

50

5.1 Gelombang bunyi dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

5.2 5.2 Ene nerrgi dis distrib ribusi pad ada a gelo elomba ban ng bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.3 Intensitas gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.4 Impedansi akustik spesifik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.5 Gelombang longitudinal dalam pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.6 5.6 Gelomba ban ng longit gitud udiinal kawat elast astik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.7 5.7 Gelomba ban ng longit gitud udiinal dalam zat pad ada at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.8 5.8 Ap Apli lik kasi asi gelo gelomb mban ang g long longit itud udin inal al pada pada gemp gempa a bum umii . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5.9 5.9 Gelo Gelomb mban ang g long longit itud udin inal al dala dalam m struk truktu turr peri period odik ik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5.10 5.10 Re Refle fleks ksii dan dan tran transm smis isii gelo gelomb mban ang g pada pada bida bidang ng bata batas s . . . . . . . . . . . . . . .

57

6 Gelombang dimensi lebih dari satu

59

6.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2 6.2 Persam ama aan ge gellomba ban ng dua dim dimensi nsi(2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

6.3 6.3 Re Refle fleks ksii gelo gelomb mban ang g 2D pada pada bata batas s tega tegar( r(wa wav vegui eguide de)) )) . . . . . . . . . . . . . . .

62

6.4 6.4 Modu dus s normal rmal pada membran segie giempat 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

6.5 Gelombang tiga dimensi(3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Teaching Grant

QUE–Project

DAFTAR ISI

iv

6.6 Modus Normal dalam 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

6.7 Distribusi frekuensi dari radiasi energi benda panas . . . . . . . . . . . . . . . .

66

6.8 Teori Debye kalor spesifik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

7 Gelombang pada jalur transmisi

69

7.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

7.2 Jalur transmisi tanpa hambatan(ideal lossless) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

7.3 Karakteristik Impedansi Jalur Transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

7.4 Refleksi dari ujung jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

7.5 Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Daftar Pustaka

74

Daftar Indek

75

Teaching Grant

QUE–Project

Daftar Tabel

1.1 Sistem persamaan gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

1

Daftar Gambar

1.1 (a)Bandul matematik, (b)Piringan datar yang tergantung pada tali/kawat tegar, (c)Sistem pegas, (d)Dawai dengan tegangan tali T tetap, (e)Pipa U berisi cairan tidak viskos dan (f) Resonator akustik Helmholtz dimana gas berosilasi pada leher botol dan mengalami proses adiabatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Grafik x v s t dengan titik awal pada siklus dalam sudut fase φ = 0. . . . . . . . .

3

1.3 Grafik energi potensial dan energi kinetik gerak harmonik sederhana terhadap jarak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4 Penjumlahan vektor dari gerak harmonik sederhana sepanjang sumbu x pada kecepatan sudut ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5 Superposisi dua gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.6 Lintasan yang dibentuk dari sistem bergerak simultan yang saling tegak lurus . .

5

1.7 Vektor superposisi dari n gerak harmonik sederhana dengan amplitudo masingmasing a dan beda fase δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.8 Gerak harmonik teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.9 Teredam berat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.10 Teredam kritis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.11 Perbandingan logaritma dari dua amplitudo satu periode disebut penurunan logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1 (a) Osilator listrik dan (b)Osilator mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2 Penjumlah vektor dari hambatan dan reaktansi menghasilkan impedansi listrik  e = R + i(ωL 1/ωC ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z

14

2.3 Grafik variasi φ versus ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4 Grafik variasi fase total antara pergeseran x dan ω . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.5 Kecepatan gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.6 Grafik variasi pergeseran gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa . . . . . . . .

17

−

vi

vii

DAFTAR GAMBAR 2.7 Keadaan steady state, OB =panjang vektor tunak tetap=BA o,BA i =vektor transien yang panjangnya berubah-ubah berupa vektor yang memutar berlawanan arah jarum jam dan OA i =Amplitudo total pada waktu tertentu. . . . . . . . . . . .

18

2.8 Grafik P rerata terhadap ω sebagai kurva disipasi. Lebar pita ω 2 ω1 adalah interval frekuensi pada saat P rerata = 21 P rerata msk . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

−

2.9 Kurva(a) menyatakan kurva disipatif anomali dan kurva (b) menyatakan kurva absorpsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.1 Dua pendulum sama yang tergantung, panjang l dan massa m terkopel oleh sebuah kawat tak bermassa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 (a)Gerakan sefase (b) Gerakan tidak sefase

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 23

3.3 Pergeseran dari saru bandul sejarak 2a merupakan kombinasi dari 2 koordinat normal X dan Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

− Y yaitu gerakan sefase X dan tidak

24

3.4 Gerakan sistem merupakan kombinasi X

sefase Y dan X dan Y berbeda fase π radian (tanda minus). . . . . . . . . . . . .

25

3.5 Simpangan banduk kanan x dan simpangan bandul kiri y secara terpisah. Terlihat pada gambar pada gerakan x menurun dari 2a ke nol, y gerakan naik dari nol ke 2a dan terjadi pergantian energi.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.6 Modus normal vibrasi triatomik molekul C O 2 dan H 2 O. . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.7 Rangkaian LC yang terkopel induktif dan induktansi mutual M . . . . . . . . . . .

27

3.8 Grafik amplitudo arus terhadap ω pada kondisi(a) Kopling kuat (b) Kopling sedang dan (c) kopling lemah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 (a),(b) Massa ke-r bergerak keatas dibawah pengaruh gaya tegang T

. . . . . .

29 29

4.1 Elemen kecil dari permukaan bola dimana tiap gradien ditentukan dengan sebuah variabel tetap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.2 Elemen pergeseran dari kawat dengan tegangan T . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.3 Osilasi pergeseran dalam medium kontinu pada arah x-positif . . . . . . . . . . .

34

4.4 Besar dan arah dari kecepatan partikel pada arah x . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.5 Kawat sebagai sebuah osilator gaya vertikal F 0 eiωt . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.6 Gelombang refleksi dan transmisi dengan impedansi ρ 1 c1 pada batas x=0 dimana kawat mengalami perubahan impedansi ρ 2 c2 . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.7 Impedansi dari Z 1 dan Z 3 dari dua kawat yang disesuaikan oleh panjang kawat dengan impedansi Z 2 . Gelombang datang dan refleksi ditunjukkan pada bidang batas x=0 dan x=l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.8 Empat harmonik dari gelombang berdiri pada kawat yang ujungnya dijepit tetap .

40

4.9 Superposisi dari dua buah gelombang yang mempunyai beda frekuensi ω 1 dan

ω2 yang kecil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.10 Kurva dispersif;(a)garis lurus menyatakan medium non-dispersi(b)hubungan dispersi normal (c) anomali dari hubungan dispersi Teaching Grant

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

QUE–Project

DAFTAR GAMBAR

viii

4.11 Anomali dispersi dari sifat indek refraksi n =

√  terhadap ω dan λ , dimana ω

o

frekuensi atom, absorpsi dinyatakan dengan garis putus-putus . . . . . . . . . .

44

4.12 Gelombang kotak dengan lebar pita ∆ω dengan n frekuensi, a amplitudo dan beda frekuensi umum δω (b) Menyatakan pita frekuensi terhadap waktu sebagai kurva kosinus pada frekuensi rata-rata ω ¯ amplitude modulasi sin α/α. . . . . . .

45

4.13 Hubungan dispersi ω(k) terhadap k untuk gelombang menjalar garis lurus yang menggambarkan struktur periodik dalam atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.14 Hubungan dispersi untuk dua mode osilasi transversal dalam struktur kristal . . .

48

4.15 Pergeseran dari perbedaan jenis atom dalam dua mode dari osilasi transversal dalam kristal (a) Mode optik (b) Mode akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.1 Gelombang longitudinal dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.2 Persamaan gelombang dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.3 Daerah yang diarsir menunjukkan energi potensial p m vm /2 dikuatkan oleh gas dalam kompresi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.4 Energi distribusi dalam ruang gelombang bunyi dalam gas. Baik energi potensial dan kinetik adalah maksimum saat kecepatan partikel η˙ adalah maksimum dan

˙ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nol pada η =

54

5.5 Gelombang longitudinal dalam kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.6 Refleksi dan transmisi gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

6.1 Gelombang bidang menjalar searah  k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.2 Membran dengan ukuran δx

× δy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

terhingga saat y = 0 dan y = b memberikan nilai k 2 tiap refleksi . . . . . . . . . .

62

6.4 Variasi amplitudo gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan n = 1, 2, 3 . k sesuai kondisi batas dari perge6.5 Mode normal membran persegi dalam arah 

63

seran nol pada ujungnya a = n 1 λ/2cos α dan b = n 2 λ/2cos β . . . . . . . . . . .

64

6.3 Perambatan gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan impedansi tak

6.6 Beberapa mode normal pada sebuah membran persegi dimana yang diarsir menyatakan gerakan sinusiodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

6.7 Kisi persegi dalam ruang frekuensi. Panjang vektor pada titik pusat adalah nilai frekuensi yang dibolehkan dan arah vektor menyatakan arah perambatan . . . .

66

6.8 Grafik radiasi benda hitam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

6.9 grafik Debye

68

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1 Suatu elemen dari jalur transmisi ideal dengan induktansi L o (H/m) dan kapasitansi C o (F/m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

7.2 Refleksi di ujung jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

7.3 Efek hambatan dalam jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

7.4 Tegangan dan arus pada ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

Teaching Grant

QUE–Project

BAB 1

Gerak Harmonik Sederhana & Teredam

Gerak harmonik sederhana adalah gerakan di sekitar titik kesetimbangan bergerak bolak balik dengan simpangan berbentuk garis lurus. Beberapa contoh gerak harmonik sederhana ditun jukkan pada Gambar.1.1 dan sistem persamaan geraknya dirumuskan seperti pada Tabel.1.1

Tabel 1.1: Sistem

persamaan gerak harmonik sederhana

Sistem

Persamaan gerak

m¨ x + mg xl = 0; ω 2 = gl ¨ Cθ = 0; ω 2 = C I θ +

Bandul matematik Piringan datar

I s m¨ x + sx = =m m¨ y + 2T yl = 0; ω2 = 2T ml 2g 2g 2 x ¨ + l x = 0; ω = l A x ¨ + γP lρV x = 0 x ¨ + Aρg m x = 0

0; ω 2

Pegas Dawai Pipa-U Resonator Helmholtz Hidrometer

1.1

Persamaan gerak harmonik sederhana

Persamaan gerak harmonik tanpa peredaman

x¨ + ωx = 0 (Mekanik) q¨ + ωq = 0 (Listrik) 1

(1.1) (1.2)

Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam

2

l

θ

x θ

s m x

mg

(a)

(b)

(c)

x 2x x

m

l T

T

θ

V ρ

y x

(d)

Gambar 1.1: (a)Bandul

(e)

(f)

matematik, (b)Piringan datar yang tergantung pada tali/kawat tegar, (c)Sistem

pegas, (d)Dawai dengan tegangan tali T tetap, (e)Pipa U berisi cairan tidak viskos dan (f) Resonator akustik Helmholtz dimana gas berosilasi pada leher botol dan mengalami proses adiabatik

Penyelesaian persaaan gerak

x = A cos ωt + B sin ωt

= a sin(ωt + φ)

1.2

(1.3)

(1.4)

Energi dari GHS

(a) Energi kinetik GHS dari bandul dengan massa m adalah

1 1 EK = mx˙ 2 = ma2 ω2 cos2 (ωt + φ) 2 2

(1.5)

(b) Energi potensial dari bandul adalah

1 1 EP = sx˙ 2 = sa2 sin2 (ωt + φ) 2 2 Teaching Grant

; ω =

s m

(1.6)

QUE–Project

3

Energi dari GHS

Gambar 1.2: Grafik x v s t dengan

titik awal pada siklus dalam sudut fase φ = 0.

(c) Energi total dari bandul

E = EK + EP =

Gambar 1.3: Grafik

1 1 ma2 ω 2 = sa2 2 2

(1.7)

energi potensial dan energi kinetik gerak harmonik sederhana terhadap jarak

Analog untuk GHS dari muatan pada rangkaian listrik LC yaitu

E = = Teaching Grant

1 2 1 q 2 Lq ˙ + ; q = q o sin(ωt + φ) = muatan 2 2 C ω2L 2 1 2 2 q o cos2 (ωt + φ) + q sin (ωt + φ) 2 2C o

(1.8)

(1.9)

QUE–Project


1.3

4

Superposisi 2 GHS

1.3.1 Satu dimensi,frekuensi sama dan amplitudo dan fase berbeda Pandang suatu GHS berikut: x1 = a 1 cos(ωt + φ1 ) dan x 2 = a 2 cos(ωt + φ2 ) dengan beda fase

φ2

− φ1 = δ . Resultan dari GHS adalah x1 + x2 = R cos(ωt + θ)

(1.10)

R2 = (a1 + a2 cos δ )2 + (a2 sin δ )2 = a 21 + a22 + 2a1 a2 cos δ a1 sin φ1 + a2 sin φ2 θ = arctan a1 cos φ1 + a2 cos φ2



Gambar 1.4: Penjumlahan



vektor dari gerak harmonik sederhana sepanjang sumbu x pada kecepatan

sudut ω

1.3.2 Satu dimensi, beda frekuensi, amplitudo dan fase sama Pandang suatu GHS berikut: x 1 = a sin(ω1 t) dan x2 = a sin(ω2 t) dengan ω2 > ω1 dan ω2

0 merupakan frekuensi pelayangan. Resultan dari GHS x = x 1 + x2 = a(sin ω1 t + sin ω2 t) = 2a sin

1.4

ω 1 + ω2 ω 2 ω1 cos t 2 2

−

− ω1 > (1.11)

Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus

1.4.1 Frekuensi sama, amplitudo dan fase berbeda Perbedaan fase (φ2

Teaching Grant

− φ1 = δ ), kedua GHS itu adalah x = a 1 sin(ωt) + φ1 )

(1.12)

y = a 2 sin(ωt + φ2 )

(1.13) QUE–Project

5

Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus

Gambar 1.5: Superposisi

dua gerak harmonik sederhana

Vibrasi partikel akibat menerima kedua getaran dalam bentuk x , y , φ 2 , φ1 adalah dengan cara:

x = sin ωt cos φ1 + cos ωt sin φ1 a1 y = sin ωt cos φ2 + cos ωt sin φ2 a2

(1.14)

dan

2

x a21



x a1

sin2 φ2 +

sin φ2 2

y a22

−

y a2

sin2 φ1

2 axy cos φ1 cos φ2 = 1 a2

sin φ1

− 2 axya 2

x a21

 

1 2 2

+

y a22

2

+

y a2

cos φ1

sin φ1 sin φ2 +

−

2

x a21

x aa

cos φ1



2

cos2 φ2 +

=

y2 a22

cos2 φ1

− a2xya cos(φ2 − φ1) = sin2 (φ2 − φ1)

−

1 2

Persamaan (1.15) merupakan persamaan elips yang merupakan lintasan gerakan partikel.

Gambar 1.6: Lintasan

Teaching Grant

yang dibentuk dari sistem bergerak simultan yang saling tegak lurus

QUE–Project

7

Superposisi sejumlah n GHS

1.5 Superposisi sejumlah n GHS 1.5.1

Superposisi sejumlah n GHS yang sama amplitudo dan berbeda fase tetap

Gambar 1.7: Vektor

superposisi dari n gerak harmonik sederhana dengan amplitudo masing-masing a

dan beda fase δ

Gambar.1.7 menyatakan α adalah sudut fase resultan R=∠CAB δ 2

180o −nδ

∠ABO

=

180o −δ 2

= 90o

−

− nδ2 sehingga α = ∠OAB − ∠OAC = (n − 1)δ/2. R menyatakan alasAOC dengan sudut puncak nδ → R = 2rsin nδ 2 . Ditinjau pada Gambar.1.5, =

∠OAB ; ∠OAC

=

2

= 90o

R menyatakan amplitudo, fungsi getaran resultan diandaikan berbentuk R cos(ωt + α) dapat juga berbentuk R sin(ωt + α).

R cos(ωt + α) = a cos ωt + a cos(ωt + δ ) + a cos(ωt + 2δ ) + a cos(ωt + 3δ ) +

···

(1.22)

dan

nδ δ a dengan a = 2r sin atau r = (1.23) 2 2 2sin δ/2 sin nδ/2 = a = disebut juga besar resultan sin δ/2 sin nδ/2 R cos(ωt + α) = a cos(ωt + (n 1)δ/2)) = fungsi getaran ∴ sin δ/2 a sin α δ nδ α δ δ δ α R = ; bila n α = (n 1) = ;sin = (1.24) sin δ/2 2 2 2 2 2 2 2 sin α sin α R = a = na = na sinc(α) α/n α R = 2r sin

−

→∞→

−

≈

→

≈

Analog diatas fungsi getaran

R sin(ωt + α) = a sin ωt + a sin(ωt + δ ) + a sin(ωt + 2δ ) + a sin(ωt + 3δ ) + sin nδ/2 δ R sin(ωt + α) = a sin(ωt + (n 1) ) sin δ/2 2

··· (1.25)

−

Teaching Grant

QUE–Project


8

Secara matematis superposisi n GHS dalam bentuk komplek

R ei(ωt+α) = a e iωt + a ei(ωt+δ) + a ei(ωt+2δ) + a ei(ω+3δ) + = aeiωt (1 + eiδ + ei2δ + ei3α + 1 einδ = a e iωt 1 eiδ inδ/2 (e−inδ/2 einδ/2 ) iωt e = ae eiδ/2 (e−iδ/2 eiδ/2 )

···

··· )

− −

− −

−2i sin nδ2 −2i sin 2δ cos(ωt + (n − 1)δ/2) + i sin(ωt + (n − 1)δ/2)

i(ωt+(n−1) δ2 )

= ae = a

sin nδ 2 sin 2δ







(1.26)

cos(ωt + (n

− 1)δ/2)

(1.27)

sin(ωt + (n

− 1)δ/2)

= R cos(ωt + α) + i sin(ωt + (n atau dapat dituliskan

R cos(ωt + α) = a

sin nδ 2

R sin(ωt + α) = a

sin nδ 2

sin 2δ sin 2δ



− 1)δ/2)

1.5.2 Superposisi n GHS denga amplitudo sama dan fase sembarang Jika R adalah resultan dengan komponen pada sumbu x (R x ) dan sumbu y (Ry ) maka dapat dituliskan :

R = (Rx2 + Ry2 )1/2

n

 ···  ···          √   → →

Rx = a cos φ1 + a cos φ2 + a cos φ3 +

= a

cos φi

i=1 n

Ry = a sin φ1 + a sin φ2 + a sin φ3 +

= a

Rx2

 =

i=1 1 2 2 na

(1.28)

i=1

n

Rx2 = a 2

sin φi

cos2 φi = a 2

; Ry2 = 21 na2

cos2 φi +

cos φi

R2 = na 2

R =

Dikatakan ada n acak fasenya, amplitudo resultan adalah R =

cos φ j

na

√ na dan intensitas getaran na2,

sedangkan getaran/vibrasi hasil n GHS sefase mempunyai intensitas n 2 a2 .

1.6 Gerak Harmonik Teredam Dalam keadaan sehari-hari adanya redaman, karena sistem resistif, viscous, friksi dll. Gaya redaman tergantung pada kecepatan atau r x˙ , dengan r=konstanta redaman=konstanta proporsional. Sehingga persamaan gerak harmonik teredam menjadi Teaching Grant

QUE–Project

9

Gerak Harmonik Teredam

Gambar 1.8: Gerak

m¨ x =

harmonik teredam

−sx − rx˙

(1.29)

= gaya pulih+gaya redaman Dengan redaman, amplitudo gerakan tidak tetap, menurun menurut fungsi waktu, selain itu energi ada yang hilang. Secara terinci akan dilihat pergeseran (x) merupakan fungsi waktu (t).

m¨ x =

−sx − rx˙

m¨ x + sx + r x˙ = 0

(1.30)

Andaikan penyelesaian

x = C eαt

˙ αeαt → ¨x = C α2 eαt → x = C

mCα2 eαt + rCαeαt + sCeαt = 0

(1.31)

mα2 + rα + s = 0 α = ∴

x =

 − ± −     r 2m

Ce

(r/2m)t

Amplitudo

r2 4m2

s m

r2 exp 4m2

−

s m



1 2

t

(1.32)

Macam-macam gerak harmonik teredam yaitu: (a) Bila

r2 4m2

2

− ms > 0 atau 4mr

2

>

s m yaitu

keadaan teredam berat sehingga dapat dituliskan



r2 x = e (F cosh qt + G sinh qt) q = 4m2 x = Ge(r/2m)t sinh qt t = 0, x = 0 F = 0 (r/2m)t

→

(b) Bila

r2 4m2

2

− ms = 0 atau 4mr

2

=

s m yaitu

1/2

(1.33)

keadaan teredam kritis

x = e (r/2m)t (A + Bt) Teaching Grant

−

s m



10

Gambar 1.9: Teredam

berat

Contoh GHS terdeam kritis pada galvanometer balistik. Pada galvanometer dengan kondisi pada t = 0

˙ → x = 0 dan x = V → x = e(r/2m)t (A + Bt) dan berarti x˙ = x = x =

Nilai t =

2m r

r r (A + Bt)e (r/2m)t + Be (r/2m)t V = − A+B − 2m 2m 0 = A → A = 0 → V = B 2m 2m V t e (r/2m)t → t = x = V e 1 → r r −

−

−

 

(1.35)

−

disebut waktu minimum osilasi dicapai sebelum pergeseran menurun menjadi

nol.

Gambar 1.10: Teredam kritis

Teaching Grant

QUE–Project

11

Gerak Harmonik Teredam

(c) Bila

r2 4m2

−

s m

< 0 atau

r2 4m2

<



s m

 → ± 

r2 4m2

−

s m



1/2

=





  ± −  i

s m

1/2

r2 4m2

=

x = Ce−(r/2m)t e±ω t = e −(r/2m)t C 1 eiω t + C 2 e−iω t diandaikan C 1 = A i(ω t+φ) = Ae e e−i(ω t+φ) 2i = Ae−(r/2m)t sin(ω t + φ)



−(r/2m)t





−





±iω (teredam ringan) A iφ e 2i

C 2 =

− 2iA eiφ

Beberapa besaran yang menyatakan adanya redaman pada osilator (a) Logaritmic decrement (δ )

δ = ln An = amplitudo pada t = nτ  ,τ  =

An An+1

2π ω =periode, A n+1 =amplitudo

pada t = (n + 1)τ 



An Ae−(r/2m)nτ sin(ω  t1 + φ) δ = ln = ln An+1 Ae−(r/2m)(n+1)τ sin(ω  t2 + φ 



= ln e(r/2m)τ Kalau r kecil.

dengan

ω  t1 = 2nπ;

→ φ = π2

ω  t2 = (n + 1)2π

→ δ  artinya nisbah/ratio amplitudo mendekati satu atau penurunan amplitudo

(b) Waktu relaksasi modulus=tr ialah saat amplitudo menjadi A o e−1 (Ao =amplitudo pada saat t=0)

Atr = Ao e−1 = Ao e−(r/2m)tr

→ tr = 2m r

Waktu relaksasi perlu ditentukan karena pada osilasi ini sampai t

→ ∞(secara teori)

energi tersimpan dalam sistem energi yang hilang per siklus 2 −rt/2m E = A 2o e(−rt/2m) = E o e−rt/m maka Jika amplitudo A = A o e

(c) Q = Faktor kualitas =

→

dE =

−dE

=

Q 2π

=

−E o mr e

−rt/m

dt =

−r Edt m

r r 1 Eτ  = E  (energi yang hilang dalam satu siklus) m m ν E E m mν  mω  /2π mω  = =  = = Q = dE r/mEτ  rτ r r r

→

−



→ ω = sm 1/2 = ωo → Q = mωr dan r → Q . Alat dengan r  mempunyai Q , seperti atom yang meradiasi elektron sama dengan osilator teredam mempunyai Q ≈ 108 Jika r kecil

Teaching Grant



o

QUE–Project


Gambar 1.11: Perbandingan

1.6.1

12

logaritma dari dua amplitudo satu periode disebut penurunan logaritma

Energi dissipasi

Energi dissipasi ialah energi yang hilang pada redaman/hamburan dan dinyatakan besarnya

dE dengan E = 21 mx˙ 2 + 21 sx2





d 1 1 ¨x + ˙ sxx˙ dE = mx˙ 2 + sx2 = m x dt 2 2 = x( ˙ rx) ˙ mx˙ + r x˙ + sx = 0 Energi yang hilang/dissipasi

−

dE dt

=

→

−rx˙ 2 menyatakan energi yang hilang persatuan waktu atau laju kerja melawan gaya

friksi/gaya hambat.

Teaching Grant

QUE–Project

BAB 2

Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation)

Pada bagian ini kita akan membahas mengenai osilator dengan gaya yang memaksa F =

F o cos ωt dan potensial V = V o cos ωt pada masing-masig osilator mekanik dan listrik. Menurut hukum Kirchoff beda potensial pada rangkaian Gambar.2.1(a) adalah

dI + IR + dt d2 q dq L 2 +R + d t dt L

q = V C q = V o cos ωt C

(2.1)

Dalam bentuk osilator mekanik menjadi

m¨ x + r x˙ + sx = F o cos ωt

(a)

Gambar 2.1: (a)

(b)

Osilator listrik dan (b)Osilator mekanik

13

(2.2)

Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation)

2.1

14

Osilator Listrik

Osilator listrik dalam bentuk komplek dapat dituliskan

L

d2 q¯ d¯ q q¯ + R + = V o eiωt 2 d t dt C

(2.3)

Bentuk penyelesaiannya adalah

q¯ = q¯ o eiωt

(2.4a)

q¯˙ = q¯ o (iω)eiωt

(2.4b)

q¨¯ = q¯ o ( ω2 )eiωt ( q¯ o ω2 L + iω q¯ o R +

−

q¯ o =

−

V o iωR + ( 1C

=

q¯ o iωt )e = V o eiωt C

(2.4c)

o − iV ¯ ωZ

(2.4d) − ω2L) e ¯e = (R + i(ωL − 1 ))=Impedansi. |Z ¯e | = Z e =harga mutlak Z ¯e . Z ¯e = Z e eiφ = (R2 + (ωL − Z ωC

1 2 1/2 . ωC ) )

Maka solusi untuk q¯ adalah

Gambar 2.2: Penjumlah

q¯ =

−iV o = −iV oeiωt = −iV o ei(ωt

q¯ =

−

ωZ e ω ¯ Z e ωZ e e( iφ) iV o cos(ωt φ) + i sin(ωt ωZ e



−

−φ)

− φ)



(2.5)

 e = R + vektor dari hambatan dan reaktansi menghasilkan impedansi listrik Z

i(ωL − 1/ωC )

2.2 Osilator Mekanik Osilator mekanik(Gambar.2.1(b)) dalam bentuk komplek dituliskan

¨¯ + r x mx ¯˙ + s¯ x = F o eiωt

(2.6)

Penyelesaian untuk osilator mekanik

¯ iωt x ¯ = Ae

(2.7a)

¯ iωt x ¯˙ = iAωe

(2.7b)

¨¯ = x A¯ = Teaching Grant

¯ (iωt) −ω2Ae

(2.7c)

F o iF o = iωr + (s ω 2 m) ω ¯ Z m

−

−

(2.7d) QUE–Project

15

Osilator Mekanik

¯m = (r + i(mω Z s 2 1/2 iφ e . ω) )

− ωs ))=Impedansi. |Z ¯m| = Z m=harga mutlak Z ¯m. Z ¯m = Z meiφ = (r2 + (ωm −

Maka solusi untuk ¯ x adalah

x ¯ = x ¯ = x ¯ =

−iF o ei(ωt φ) ωZ m −iF o cos(ωt − φ) + i sin(ωt − φ) −

 

ωZ m F o sin(ωt ωZ m

− φ) − i cos(ωt − φ)

 

(2.8)

Dari osilator listrik dan mekanik bila dinyatakan F = F o (cos ωt) dan V = V o (cos ωt) maka jika gaya dan potensial yang diberikan pada sistem berbentuk F o cos ωt dan V o cos ωt nilai x dan q adalah

x =

F o sin(ωt ωZ m

− φ)

dan q =

V o sin(ωt ωZ e

− φ)

(2.9)

Dan jika gaya yang diberikan sistem berbentuk F o sin ωt dan V o sin ωt nilai x dan q adalah

x =

−F o cos(ωt − φ)

ωZ m

dan

q =

−V o cos(ωt − φ)

ωZ e

(2.10)

Secara umum kecepatan beban m pada osilator mekanik adalah

Gambar 2.3: Grafik

x = v = ˙

variasi φ versus ω

F o i(ωt−φ) e Z m

(2.11)

atau

F = F o cos ωt

F o sin(ωt − φ) → v = Z F mo cos(ωt − φ) dan x = ωZ m

(2.12)

Dari grafik pada Gambar 2.4 terlihat v selalu ketinggalan φ terhadap gaya yang memaksa dan x ketinggalan (90o + φ) terhadap gaya F o cos ωt . Kecepatan v = amplitudo v =

F o Z m

Teaching Grant

=

F o menunjukkan (r2+(ωm− ωs )2 )1/2

:

F o Z m

cos(ωt

− φ) dan

QUE–Project


Gambar 2.4: Grafik

(a) Pa Pada da ω

16

ω variasi fase total antara pergeseran x dan ω

→ 0 maka v ∼= 0

(b) Pa Pada da ω = ωo maka amplitudo kecepatan maksimum Ar =

F o r

dan terjadi resonansi resonansi ke-

cepatan. (c) (c) Pa Pada da ω

F  maka v A = ωm ≈ 0. o

Gambar 2.5: Kecepatan

Pergeseran x dan amplitudo A x =

gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa

F o s 2 1/2 menunjukkan ω(r2 +(ωm +(ωm− ω ) )

:

x = F s → 0 maka x = ω = ω ω o → Ax = ωF r . (b) Pa Pada da ω = (c) (c) Pa Pada da ω → Ax = ωF m ≈ 0. (a) Pa Pada da ω

o

o o

o

2

Ditinjau secara lengkap pergeseran x berbentuk 1. Pe Pergese rgeseran ran Transient Transient (a) Transient yaitu fungsi pergeseran dari persamaan m¨ mx¨ + r x˙ + sx = sx = 0 s

r2

rt/2m) (i( m − 4m2 )) x = C = C e(−rt/2 e

Teaching Grant

QUE–Project

17

Daya dari gaya memaksa

Gambar 2.6: Grafik

variasi pergeseran gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa

(b) Steady state yaitu berbentuk pergeseran pergeseran berjalan terus walaupun walaupun bentuk/keadaan bentuk/keadaan transient sudah mati.Bila digambarkan x terhadap waktu t, keada keadaan an steady steady (tu(turt/2m) terhadap nak) yang dimodulasi oleh transien yang meluruh eksponesial e (−rt/2

waktu(Gambar.2.7). 2. Steady state dengan yang khusus, mempunyai mempunyai pergeseran

x = = =

F o sin(ωt sin(ωt φ) ωZ m F o (sin ωt cos φ cos ωt sin φ) ωZ m F o r X m sin ωt cos ωt ωZ m Z m Z m

−

−

  −         bagian resistif

bagian reaktif

2.3 Da Day ya dari dari gay gaya mem memak aksa sa Suatu keadaan tunak tercapai bila energi yang hilang sebesar usaha yang dilakukan oleh gaya yang memaksa. Sehingga daya P sesaat sesaat sebesar hasil kali gaya gaya yang memaksa memaksa sesaat sesaat dengan kecepatan sesaat, atau

P = = P rerata = = Teaching Grant





F o F v = F = F o cos ωt cos(ωt cos(ωt φ) Z m F o2 cos ωt(cos ωt (cos ωt cos φ + sin ωt sin φ) Z m T F o2 P = cos ωt(cos ωt(cos ωt cos φ + sin ωt sin φ)dt 0 Z m F o2 cos φ (T=periode) 2Z m

 

−





Gambar 2.7: Keadaan

18

BA o ,BA i =vektor transien yang steady state, OB =panjang vektor tunak tetap= BA

panjangny panjangnya a berubah-ubah berubah-ubah berupa vektor yang memutar memutar berlawanan berlawanan arah jarum jam dan OAi =Amplitudo total pada waktu tertentu. F 2

Sedangkan kerja oleh gaya friksi sesaat adalah r x˙ 2 = r Z 2o cos2 (ωt

− φ) dan rerata kerja oleh

m

gaya friksi adalah

W 

= =

1 rF o2 2 2 Z m 1 rF o2 cos φ 2 Z m

→ Z rm = cos φ

ωo ω2 −ω1 .

Hubungan faktor kualitas Q dengan lebar pita didefinisik didefinisikan an Q =

(2.14)

Makin sempit lebar

pita maka nilai Q makin besar. 1. Kurva Kurva (a) (a)

F o X m 2 ωZ m

= =

Fraksi Fraksi reaktif reaktif impedansi impedansi

− F ωo

ωm s/ω F o m(ω s/ωm)(1 s/ωm)(1/ω /ω)) = r 2 + (ωm (ωm s/ω) s/ω )2 r 2 + (m (m2 )(ω )(ω s/m)) s/m))2 (1/ω)( )(ω )(1/ω)) F o m(1/ω ωo2 ω2 )(1/ω F o m(ωo2 ω 2 ) = m2 m2 (ωo2 ω2 )2 + ω 2 r 2 (ω (ωo2 ω 2 )2 + r 2 ω2



−

−

X m 2 Z m

− −



−

−

−

−

−

merupak merupakan an kompo komponen nen ene energi rgi yang yang tersim tersimpan pan dalam dalam med medium, ium,

merupakan faktor yang mengatur kecepatan dalam medium dan selanjutya menentukan indeks bias. Teaching Grant

QUE–Project

19

Daya dari gaya memaksa

Gambar 2.8: Grafik P rerata terhadap ω sebagai sebagai

P rerata frekuensi pada saat P rerata =

Gambar 2.9: Kurva(a)

1 2

P rerata msk .

kurva disipas disipasi. i. Leb Lebar ar pita ω2 − ω1 adalah interval

menyatakan kurva disipatif anomali dan kurva (b) menyatakan kurva absorpsi.

2. Kurva Kurva (b) (b)

F o r 2 ωZ m

= =

Fraksi resistif impedansi

F o r F o r = 2 2 2 + (ωm (ωm s/ω) s/ω) ) ω (r + m (ω s/mω) s/mω )2 ) F o r F o ωr = 2 2 2 2 ω2 m (ωo ω 2 ) + ωr 2 o 2 ωm 2 ω − + ωr ω ω (r 2

r 2 Z m

yang hilang (loss) sebanding

−

 

−

−

adalah fraksi yang terdisipasi atau terabsorpsi dan energi

−rx˙ 2. Dengan x˙ menyatakan kecepatan pada arah bagian

ini yaitu arah xnya ketinggalan 90 o terhadap gaya dan kecepatan searah dengan gaya. Energi yang hilang sebanding dengan r . Teaching Grant

QUE–Project

Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) Menjadi pertanyaan berapakah lebar pita? diketahui ω 2

P rerata sebesar 21 P rerata mak

Dengan ω 2 > ω1 sehingga ω 2 m

mω2 ω1

−

mω2 ω1 s = ω2 ω1 ω2 m ω1

Faktor kualitas Q =



ωo m r

− ω1 adalah lebar frekuensi pada saat

rF o2 1 F o2 2 = Z m = 2r 2 2 2Z m 2 2r = 2r 2 X m = ωm s/ω = r

P rerata = 2 r 2 + X m

→

−

±

− s/ω = +r dan ω1m − s/ω = −r

− ω2sω1 − ωr2

= dan

r ω1 mω1 ω2

− ω1sω2 = − ωr2



=

r(1/ω1 + 1/ω2 ) = r

ω2

− ω1

=

r m

=

ωo ω2 −ω1

−

20

ω 1 ω2

dan ω1 = ωo

ω1 + ω2 ω2 ω12 = m 2 ω1 ω2 ω1 ω2

−

− r/2m serta ω2 = ωo + r/2m.

ω1 dan ω2

merupakan 2 frekuensi yang penting, merupakan 2 puncak kurva reaktif dan mempunyai daya serap yang sama.

Teaching Grant

QUE–Project

BAB 3

Osilasi Terkopel

Pada bagian ini yang akan dibicarakan adalah menyangkut dua atau lebih osilator terkopel, dengan komponen yang mengkopel, kapasitor atau pegas, induktor atau massa atau resistor. Energi terkirim melewati kopling, tetapi bila melalui resistor, energi hilang (loss) atau berupa energi terdisipasi dan osilasi/vibrasi menjadi berhenti. Osilator terkopel menjadi dasar terjadinya gelombang dan akan dibahas adalah osilator kopling pegas atau kapasitor dan osilator terkopel massa atau induktor.

3.1

Osilator terkopel dengan kopling pegas

Dua osilator yaitu bandul identik dengan massa m tergantung pada kawat ringan panjangnya

l. Kedua massa dihubungkan atau dikopling dengan pegas (kekakuan,s ) . Panjang pegas sedemikian terentang diantara kedua massa yang berasa dalam kesetimbangan dan pergeseran nol. Osilasi kecil terjadi pada bidang kertas dan kedua massa bergerak dengan persamaan gerak.

−mg xl − s(x − y) y m¨ y = −mg − s(y − x) l

m¨ x =

(3.1)

(3.2)

Dari persamaan (3.1) dan (3.2) bentuk GHS dengan bentuk gaya yang mengkopel dari pegas

s(x

− y) pada bandul 1 dan (s(y − x) pada bandul 2. Bila ω o2 = gl , persamaan (3.1) dan (3.2

dapat dituliskan

− sm (x − y) s y¨ + ωo2 y = − − s(y − x) m x ¨ + ωo2 x =

Bagaimana penyelesaian persamaan (3.3) dan (3.4 ? 21

(3.3)

(3.4)

Bab3. Osilasi Terkopel

Gambar 3.1: Dua

22

pendulum sama yang tergantung, panjang l dan massa m terkopel oleh sebuah kawat

tak bermassa

Jika persamaan (3.3) ditambah dengan (3.4) menjadi

− sm (x − y) − ms (y − x)

x ¨ + y¨ + ωo2 (x + y) =

x ¨ + y¨ + ωo2 (x + y) = 0

(3.5)

Jika persamaan (3.3) dikurang dengan (3.4) menjadi

(¨ x (¨ x

− y¨) +



− y¨) + ωo2(x − y)

2s ωo2 + m



(x − y) − sm (x − y) + ms (y − x) = − 2s m

(x + y) = 0

Diandaikan kemudian x + y = X dan x menjadi

=

(3.6)

− y = Y maka persamaan (3.5) dan persamaan (3.6)

¨ + ω 2 X = 0 X o ¨ + ωo2 + 2s Y = 0 Y m





(3.7)

(3.8)

Dari kedua persamaan(3.7) dan persamaan(3.8) diperoleh penyelesaian dan pergeseran

x dan y dapat diperoleh yang merupakan fungsi waktu. Kedua persamaan itu adalah GHS x = y dengan kordinat X dan Y yang menggambarkan osilator terkopel. Jika Y = 0 = x y ¨ + ω o2 X = 0. Frekuensi pada setiap saat maka gerakan ditunjukkan oleh gerakan dengan X

− →

ωo = ω1 . Kedua pendulum sama, gerakan keduanya sefase, pegas tidak berfungsi sebagai kopling, panjang tetap natural(alamiah) yang ditunjukkan pada Gambar 3.1. 1. Jika X = 0 = x + y

→ x = −y terjadi setiap saat dan gerakan sistem digambarkan

oleh gerakan dengan persamaan (3.8). Kedua bandul bergerak tidak sefase (Gambar 3.2) dengan kopling terentang, terkompresi, kopling bekerja efektif dengan frekuensi

  ωo2 +

2s 1/2 m

= ω 2 .

2. Gerakan tidak sefase (out of phase) dengan frekuensi ω 2

Teaching Grant

 ω1. QUE–Project

23

Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan

Gambar 3.2: (a)Gerakan

3.2

sefase (b) Gerakan tidak sefase


Pada pembahasan gerakan sistem diatas telah dipilih koordinatX dan Y , yaitu suatu perameter yang menggambarkan gerakan sistem dan disebut koordinat normal. Beberapa parameter koordinat normal : (a) Koordinat normal, X dan Y yaitu koordinat yang menggambarkan gerkana sistem. Masingmasing berupa perubah persamaan gerak GHS yang persamaan tersebut berupa persaamaan gerak orde-2. (b) ω1 dan ω 2 disebut frekuensi normal atau modus normal. (c) Masing-masing GHS disebut modus atau mode . (d) energi untuk tiap modus dapat dinyatakan sebagai

˙ 2 + bX 2 E x = aX ˙ 2 + dY 2 E y = cY a,b,c,d suatu tetapan.E x dan E y tidak dapat saling tukar, hanya saja bila modus satu bergerak/bervibrasi, modus dua diam. (e) Pada dua osilator terkopel, berarati ada dua energi total (energi kinetik dan energi potensial) dari dua GHS dengan 2

× 2 derajat kebebasan.

Derajat kebebasan adalah bilan-

gan/jumlah cara menyatakan energinya. Sistem osilator ini mempunyai 4 derajat kebebasan. Selanjutnya bagaimana pergeseran masing-masing bandul atau x dan y . Ditinjau kembali koordinat-koordinat

X = X o cos(ω1 t + φ1 ) = x + y Y = Y o cos(ω1 t + φ1 ) = x Teaching Grant

−y QUE–Project


24

X o , Y o =amplitudo modus normal.Kemudian untuk menyederhanakan, diandaikan X o = Y o = 2a dan φ 1 = φ 2 = 0

1 (X + Y ) = a cos ω1 t + a cos ω2 t 2 1 (X Y ) = a cos ω1 t a cos ω2 t 2

x = y =

−

(3.9)

−

(3.10)

Kecepatan

x = ˙

−aω1 sin ω1t − aω2 sin ω2t y = ˙ −aω1 sin ω1 t − aω2 sin ω2

Andaikan pada t = 0

→ x˙ = 0; y˙ = 0; x˙ = y˙ = 0,x = 2a dan y = 0.

(3.11)

(3.12)

Benda 1 ditarik sepan-

jang 2a, kemudian dilepas maka sistem bervibrasi yang merupakan superposisi dari modus X dan Y . Gambar 3.3 menunjukkan pergeseran awal pada t=0,x=2a dan y=0 berupa kombinasi

Gambar 3.3: Pergeseran

dari saru bandul sejarak 2a merupakan kombinasi dari 2 koordinat normal X

dan Y

modus sefase (x = y = a, X o = (x + y)o = 2a) dan modus tidak sefase (x =

−y = a, Y o = 2a).

Bandul kanan ditarik sepanjang x = 2a, kemudian dilepas, gerakan yang terjadi dengan simpangan

x = a cos ω1 t + a cos ω2 t = 2a cos

(ω2

− ω1)t 2

cos

(ω1 + ω2 )t 2

(3.13)

dan bandul kiri dengan simpangan

− a cos ω2t = −2a sin (ω1 −2 ω2)t (ω2 − ω1 )t (ω2 + ω1 )t 2a sin sin

y = a cos ω1 t =

2

2

sin

(ω2 + ω1 )t 2

(3.14)

Simpangan x berupa fungsi cosinus dengan frekuensi rerata, amplitudo bervariasi berupa fungsi cosinus dengan frekuensi

ω2−ω1 2

dan amplitudo fungsi y bervariasi dengan fungsi si-

ω2 −ω1 2 . Pergantian energi antara kedua bandul terjadi secara komplit hanya ω2 +ω1 nisbah ω =bilangan bulat. Pada variasi perubahan amplitudo sangat lambat 2 −ω1

nus dan frekuensi mungkin bila

yaitu terjadi pada ω 1

≈ ω2 atau yang disebut ω2 − ω1=pelayangan (“beat”).

Teaching Grant

QUE–Project

25


Gambar 3.4: Gerakan

sistem merupakan kombinasi X − Y yaitu gerakan sefase X dan tidak sefase Y

dan X dan Y berbeda fase π radian (tanda minus).

Gambar 3.5: Simpangan

banduk kanan x dan simpangan bandul kiri y secara terpisah. Terlihat pada

gambar pada gerakan x menurun dari 2a ke nol, y gerakan naik dari nol ke 2a dan terjadi pergantian energi.

Pada kasus lain yaitu pada awalnya (t=0) bandul kiri diberi simpangan 2a dan x=0, kemudian bandul dilepas, maka yang terjadi gerakan merupakan kombinasi X Y , agar y = 2a dan x = 0.

−

Ditegaskan lagi disini pada bandul terjadi pergantian energi (exchange energy) tetapi tidak terjadi pada modus normal. Contohnya adalah atom-atom dalam molekul seperti CO 2 (molekul non-polar) dan H 2 O (molekul polar) merupakan osilator terkopel dalam molekul. Berturut-turut molekul mempunyai 3,3,3 frekuensi modus( Gambar 3.6). Molekul non-polar susunan atom linier dan molekul polar susunan atom tidak linier, momen dipole tidak nol seperti H 2 O , momen dipole H 2 O =1.85 Debye,P CO 2 = 0 artinya bila P = 0 titik berat muatan positif tidak berhimpit



Teaching Grant

QUE–Project


26

Gambar 3.6: Modus

normal vibrasi triatomik molekul C O2 dan H 2 O.

dengan titik berat muatan negatif.

3.3

Metode umum penentuan frekuensi modus

Masalah dua osilator terkopel dengan pegas ditunjukkan pada Gambar 3.1. Kedua bandul mempunyai persamaan gerak

 

x g y m¨ y + mg g

m¨ x + mg

+ s(x

− y)

= 0

(3.15)

+ s(y

− x)

= 0

(3.16)

Diandaikan penyelesaian persamaan diatas adalah

x = A cos ωt

(3.17)

y = B cos ωt

(3.18)

dengan A dan B adalah amplitudo. Pergeseran x dan y pada frekuensi ω , kedua bandul dari keadaan diam. Untuk memperoleh ω ,x dan y dimasukan kembali pada persamaan gerak, sehingga menjadi

mg mω A + A + s(A l mg mω 2 B + B + s(B l

− −

   

2

− B) − A)

Kedua persamaan gerak ini dijumlahkan diperoleh

(A + B) Teaching Grant

−

mω 2 +

mg = 0 l



 

cos ωt = 0

(3.19)

cos ωt = 0

(3.20)

→ ω2 = gl = ω12


27

Kopling massa atau induktor

dengan ω1 adalah frekuensi normal modus pertama. Jika kedua persamaan dikurangkan diperoleh

(A + B)

−

mω 2 +

mg + 2s = 0 l



= ω 22 → ω2 = gl + 2s m

(3.22)

dengan ω 2 adalah frekuensi normal modus kedua. Dapat dikatakan 1. ω 2 = gl dimasukan ke persamaan awal 2. ω 2 =

g l

+

2s m

→ A = B berarti bandul bergerak sefase

→ A = −B artinya kedua bandul bergerak berlawanan fase.

Kedua frekuensi normal akan diperoleh dengan cara sama bila x = A cos(ωt + α) dan y =

B cos(ωt + α), yang artinya bila pada awal bandul mempunyai kecepatan awal.

3.4 Kopling massa atau induktor Kalau pada kopling pegas, faktor yang mengkopling kekakuan pegasnya, maka kalau kopling induktor, faktor koplingnya dari induktansi mutualnya. Berikut ini ditunjukkan dua osilator dari rangkaian LC terkopel (Gambar 3.7). Jika n p banyaknya lilitan primer dan n s banyaknya lilitan

Gambar 3.7: Rangkaian

LC yang terkopel induktif dan induktansi mutual M .

sekunder, kedua lilitan berarus satu satuan arus, maka total fluks oleh semua lilitan n p ialahn p

×

(n p φ). Induktansi diri dari koil pertama L p = n p2 φ, jika pada kondisi yang sama pada koil

kedua, induktansi diri sekunder L s = n2s φ, φ adalah fluks yang diinduktasikan oleh koil satu dan diterima oleh koil kedua maka induktansi mutualnya M = n s(n p φ) =



Ls L p. Pada kenyataan praktis M<

Bila M





L p Ls

kopling kuat.

Teaching Grant

M = k; (k=koefisien kopling) L p Ls

 →  L pLs

  

→ k  dan kopling lemah, sebaliknya jika M =∼

Ls φ



L p Ls

Lp φ

φ=

(3.23)

→ k  dissebut QUE–Project


28

Kemudian bagaimana penentuan frekuensi modus osilasi ini? Pada koil pertama berarus

I p = I o exp(iωt), voltase induksi pada L p ialah p = −L p(iω)I o eiωt −L p dI dt

dan voltase (tgl) induksi pada koil dua adalah p = −iωMI p −M dI dt

Voltase(tgl) induksi oleh koil dua pada koil satu s = −iωMI s −M dI dt

Kemudian notasi s diganti 2 dan p dengan 1, hukum Kirchoff pada koil satu dan koil dua diperoleh

−iωL1I 1 − C q 1 − iωMI 2

−iωL1I 1

 − −

I o exp(iωt)dt C 1 I 1 iωL1 I 1 iωC 1

−

− iωMI 2 − iωMI 2

= 0 = 0 = 0

(3.24)

atau

iI 1 + iωMI 2 − ωC 1 iI 2 iωL2 I 2 − + iωMI 1 ωC 2 iωL1 I 1

Persamaan (3.25) dikalikan dengan 1 L1 C 1

ω22 =

1 L2 C 2 , ω 1

ω iL1

= 0

(3.25)

= 0

(3.26)

dan persamaan (3.26) dikalikan dengan

ω iL2 ,

ω12 =

dan ω 2 menyatakan frekuensi natural, kedua persamaan diatas berubah

menjadi

M 2 ω I 2 L1 M 2 = ω I 1 L2 Persamaan (3.27) dikalikan dengan (3.28) didapatkan (ω12

− ω2 )I 1 (ω22 − ω 2 )I 2

=

(3.27)

(3.28)

M 2 2 (3.29) ω ω )= ω = k 2 ω4 L1 L2 Jika kedua koil mempunyai frekuensi natural sama ω 1 = ω2 = ωo maka persamaan (3.29) (ω12

−

2

)(ω22

−

2

menjadi

(ωo2

− ω2)2 (ωo2 − ω 2 ) ∴ ω



= k2 ω4 2

= =

±kω 2 → ω2 = 1ω±o → ω = ± (1 ±ωk)o 1/2 ωo (1 + k)1/2

ω  =

ωo (1 k)1/2

−

(3.30)

Pada sistem dengan M kecil dan k lemah terjadi ω  = ω  = ωo . Jika kopling kuat ω  amplitudo arus dengan puncak terpisah lebar Teaching Grant



− ω ,

QUE–Project

29

Osilator terkopel pada dawai

Gambar 3.8: Grafik

amplitudo arus terhadap ω pada kondisi(a) Kopling kuat (b) Kopling sedang dan (c)

kopling lemah

3.5 Osilator terkopel pada dawai Pada osilator ini diperlihatkan massa manik-manik ke-r dan 2 di tetangganya(Gambar 3.9). Pergeseran manik-manik ke-r

Gambar 3.9: (a),(b)

− 1,r,r + 1 berturut-turut y r

−1

, yr dan y r+1. Jika sudut θ 1 dan θ 2 ,

Massa ke-r bergerak keatas dibawah pengaruh gaya tegang T

sudut dibuat oleh dawai dengan horisontal maka

sin θ1 =

yr

− yr a

−1

sin θ2 =

yr

− yr+1 a

(3.31)

Persamaan gerak osilator ke-r adalah

d2 yr m 2 dt

= Jumlah gaya bekerja pada m r =

Teaching Grant



Gaya dari tegangan kiriT sin θ 1 dari kananT sin θ2 QUE–Project


30

atau

d2 yr m 2 dt

= = =

−T sin θ1 − T sin θ2 −T yr −ayr 1 + y r −ayr+1



−

T (yr−1 ma



− 2yr + yr+1)

Jika gerakan dipandang berupa kombinasi dari modus normal dengan frekuensi ω maka y merupakan fungsi waktu dari getaran harmonik sederhana berosilasi terhadap sumbu kesetimbangannya. Dapat dituliskan pergeseran :

yr = Ar exp(iωt) yr+1 = Ar+1 exp(iωt)

(3.32)

yr−1 = Ar−1 exp(iωt) Dengan memakai persamaan (3.32) pada persamaan gerak, diperoleh

T (Ar 1 − 2Ar + Ar+1 )exp(iωt) −ω2Ar exp(iωt) = ma

−

(3.33)

Persamaan(3.33) ini merupakan persamaan fundamental untuk menentukan ω . Dari persamaan fundamental, jika ada satu manik-manik, maksudnya satu osilator, hanya ada satu

ω1 . Ada dua osilator berarti ada dua ω frekuensi modus dan bila ada n osilator berarti ada n frekuensi modus dengan n persamaan. Secara formal penyelesaian n persamaan, dengan teori matrik dapat menyelesaikan yaitu determinan besarnya nol dari matrik. Ke-n persamaan tersebut (dengan syarat y o = Ao = 0 dan y n+1 = A n+1 = 0) adalah

r = 1 r = 2 r = 3 .. .

r = n

  → − −   →− − −   →− − −   →− − −

maω 2 A1 A2 = 0 T maω 2 A1 + 2 A2 A3 = 0 T maω 2 A2 + 2 A3 A4 = 0 T

0+ 2

maω 2 T

An−1 + 2

An

(3.34)

An+1 = 0 (An+1 = 0)

n persamaan disebut juga persamaan non trivial , yaitu persamaan mempunyai penyelesaian tidak nol semuanya dengan syarat determinannya nol (∆ = determinan = 0),di mana 2 maω T

2

= C

 − ···   − − ···   ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ··   ··· −  C

1

1

C

0

Teaching Grant

0

0

−

0

1

0

1

=0

(3.35)

C

QUE–Project

31

Osilator terkopel pada dawai

Contoh 2 osilator terkopel, maka bentuk determinan matriknya

 −

C 1

 −   1

C

=0

2

→ C − 1

2

  → − − 2

maω 2 T

1 =0

→ 2 − maω T

2

=

±1

(3.36)

Penyelesaian persamaan(3.36) adalah

maω 2 =1 T maω 2 =3 T

Teaching Grant

T → ω12 = ma 3T → ω22 = ma

(3.37)

QUE–Project

BAB 4

Gelombang Transversal

Pada bab yang lalu telah dibahas gerakan suatu benda seperti bandul pada getaran harmonik sederhana, teredam, ada gaya yang memaksa dengan simpangan (pergeseran) merupakan fungsi waktu saja. Lain halnya kalau bandul atau massa tadi bergerak merupakan bagian dari medium maka gerakan massa menyebabkan gerakan bagian medium lainnya. Misalnya tali (string) ujung satu dipegang dan ujung lain dilepas, kemudian ujung yang dipegang dinaikkan sesaat terjadi gerakan tali, maka asumsikan titik massa m bergerak menyimpang y , benda

m1 menyimpang y1 dan benda m2 menyimpang y2 , jadi y merupakan fungsi x digerakkan pada t = t

→ y = t(x; t), y adalah simpangan merupakan fungsi x dan t (tempat dan waktu).

Perubahan dari x atau t menyebabkan perubahan y , secara matematik dinyatakan

dy =

   ∂y ∂x

Kalau diuaraikan dalam ruang y

dx +

t

∂y ∂t

dt = diferensial total

(4.1)

x

→ z, x → y, t → y, yang dimaksud diferensial parsial yaitu

dz = dz 1 + dz2 =

   ∂z ∂x

dx +

y

∂z ∂y

dy

(4.2)

x

Secara fisis dikatakan bahwa besaran z ditentukan oleh x dan y .

4.1

Gelombang

Gerakan massa-massa tali (medium) berupa gelombang (waves). Gerakan air dari tengah laut ke pantai karena pada tengah laut tadi air mendapat gaya berupa ombak tidak lain adalah gelombang air. Juga getaran dari tali sehingga terdengar bunyi ( yang didengar orang lain), juga pada udara terkirim gelombang bunyi. Gelombang yang berjalan pada medium panjang 32

33

Gelombang

Gambar 4.1: Elemen kecil dari permukaan bola dimana tiap gradien ditentukan dengan sebuah variabel

tetap

disebut progressive waves . Jadi gejala gerak medium disebut gelombang, jika medium terbatas, seperti pada tali gitar ujung tali terikat), getaran/vibrasi tali bergerak maju mundur dan terpantul sehingga berupa gelombang berdiri. Gelombang pada tali berupa gelombang transversal dengan pergeseran atau osilasi medium transversal terhadap propagasi gelombang. Jika osilasi paralel, arah propagasi gelombang disebut gelombang longitudinal. Pada medium gas hanya mungkin terjadi gelombang longitudinal. Pada medium padat dapat meneruskan gelombang longitudinal maupun gelombang transversal. Dalam medium cair seperti halnya pada padatan dapat meneruskan gelombang transversal dan longitudinal. Macam lain gelombang bidang datar dan gelombang bola. Ada tiga macam kecepatan dalam gerak gelombang yaitu

1. Kecepatan partikel, tidak lain kecepatan gerakan partikel harmonik sederhana pada posisi kesetimbangan.

2. Kecepatan fase merupakan kecepatan bidang sefase, puncak dan lembah menjalar menembus medium, sama dengan kecepatan gelombang.

3. Kecepatan grup yaitu sejumlah gelombang berbeda frekuensi, panjang gelombang dan kecepatan kemungkinan bersuperosisi membentuk grup seperti cahaya putih terdiri dari sejumlah cahaya dengan berbeda frekuensi dan panjang gelombang. Cahaya putih mungkin dapat berdispersi menjadi komponen-komponennya. Kecepatan grup adalah merupakan juga kecepatan energi yang ditransmisikan. Teaching Grant

QUE–Project

Bab4. Gelombang Transversal

34

4.2 Persamaan Gelombang 4.2.1 Persamaan gelombang dalam tali Segmen tali sepanjang dx ditarik keatas sehingga panjang tersebut ds = dx dengan gaya tegang T pada ujung-ujungnya. T bekerja di x pada sudut θ dan di x + dx pada sudut θ + dθ . Gerakan sepotong tali ini vertikal dengan harmonik sederhana. Gaya pada elemen tali

Gambar 4.2: Elemen

T sin θ ∂ 2 y

T

dx ∂x 2 ∂ 2 y ∂x 2

pergeseran dari kawat dengan tegangan T

→ = =

T

  −    ∂y ∂x

ρdx

x+d

∂y ∂x

∂ 2 y

(4.3)

x

∂t 2 ρ ∂ 2 y T ∂t 2

(4.4)

→ c12 = T ρ

Jika ξ adalah simpangan, pada nilai t tertentu maka ξ = f (x). Pada jarak a = ct maka

ξ = f (x

− a)

ξ = f (x + a)

ke kanan

(4.5)

ke kiri

Penyelesaian umum persamaan gelombang adalah

Gambar 4.3: Osilasi

Teaching Grant

pergeseran dalam medium kontinu pada arah x-positif

QUE–Project

35

Persamaan Gelombang

ξ = f (x = ∂ 2 ξ = ∂x 2

± ct) f 1 (ct − x) + f 2 (ct + x) 1 ∂ 2 ξ c2 ∂t 2

(4.6)

(4.7)

Bentuk penyelesaian dari persamaan yang sering dipakai dalam bidang

ξ (x, t) = a sin

2π (ct λ

− x) → ξ = ξ (x, t)

(4.8)

Tempat kedudukan pergeseran osilator dalam medium kontinu sebagai lintasan gelombang menjalar sepanjang sumbu x dengan λ adalah jarak terpisah antara 2 osilator yang berbeda fase 2π radian

y = a sin2π vt

(4.9)

− kx); → k = 2πλ = ωtc a exp i(ωt − kx)

= a sin(ωt =

x λ

−

Gerak gelombang tidak lain ialah perubahan pergeseran osilaotor-osilator dinyatakan dalam pergeseran

∂x ∂t adalah

kecepatan fase,

∂y ∂x adalah

− kx) dan ∂x∂y = ∂y ∂y = − ωk ∂x = −c ∂x =

kecepatan partikel=ωa cos(ωt

−k cos(ωt − kx) adalah gradien dari profi le gelombang. Maka nilai ∂y∂t − ∂x∂y ∂x∂t . Arah panah menunjukkan arah gerakan partikel/osilator dan besarnya pada tiap x.Arah ∂y gerakan partikel searah gaya transversal pada gelombang yaitu T ∂x dimana T =tension.

Gambar 4.4: Besar dan arah dari

Teaching Grant

kecepatan partikel pada arah x

QUE–Project


4.3

36

Impedansi karakteristik suatu dawai

Dawai sebagai medium tempat gelombang menjalar mempunyai atau ditandai berapa besar impedansinya. Medium hanya berisi parameter inersia dan elastisitas(energi storing ) atau tidak ada resistivitas atau tidak ada dissipasi. Jika ada energi terdissipasi berbentuk komplek, dawai mendapat gaya transversal F , impedansi karakteristik dinyatakan

Z =

tranverse force F = v transverse velocity

(4.10)

Pada ujung dawai gaya F o exp(iωt) bekerja vertikal ke atas. Dawai dan gaya terletak pada bidang kertas, T=gaya atau tension pada dawai. Pada ujung dawai tercapai keseimbangan

F o exp(iωt) =

−T sin θ ≈ −T tan θ =

  − T

∂y ∂x

;θ

≈0

(4.11)

Pergeseran gelombang y = A ei(ωt−kx) pada x = 0 terpenuhi

  −  

∂y F o F o c = ikT A exp i(ωt kx) = A = (4.12) ∂c x=0 ikT iω T F o c (4.13) exp i(ωt kx) y = iω T F o c F o T exp i(ωt kx); v = ; Z = = ρc v = y = (4.14) iω T Z c dengan Z =impedansi, nilai c besarnya ditentukan oleh inersia (Z, s) dan elastik (L, m) juga F o exp iωt =

T

−

→



−

−

nilai Z .

Gambar 4.5: Kawat

4.4

sebagai sebuah osilator gaya vertikal F 0 eiωt

Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan

Gelombang menjalar pada dawai yang dihubungkan secara halus pada x = 0 dan disini terjadi

ρ1 c1 = Z 1 dawai kiri dan ρ 2 C 2 = Z 2 pada dawai disebelah kanan. yi = A1 exp i(ωt

Teaching Grant

− k1x) = gelombang datang

(4.15)

yr = B1 exp i(ωt + k1 x) = gelombang refleksi

(4.16)

yt = A2 exp i(ωt

(4.17)

− k2x) = gelombang transmisi

QUE–Project

37

Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan

Gambar 4.6: Gelombang

refleksi dan transmisi dengan impedansi ρ 1 c1 pada batas x=0 dimana kawat

mengalami perubahan impedansi ρ 2 c2

Syarat batas : 1. Pada batas di x = 0 pergeseran tidak mengalami diskontinuitas, kondisi geometri y i +yr =

yt 2. Kondisi dinamis yaitu terjadi kontinuitas gaya transversal T ∂ yr ) = T ∂x (yt )

 ∂y ∂x

x=0

∂ sedemikian T ∂x (yi +

Dari syarat batas(1) diperoleh

yi + yr = yt A1 exp i(ωt

− k1x) + B1 exp i(ωt + k1 x)

= A2 exp i(ωt

A1 + B1 = A2 ;

(4.18)

− k2x)

(x = 0)

syarat batas(2) diperoleh

∂ (yi + yr ) ∂x T ( ik1 A1 + ik1 B1 ) ω ω T A1 + T B1 c1 c1 Z 1 ( A1 + B1 ) T

− −

−

∂ (yt ) ∂x = iT A2 k2 ω = T A2 c2 = Z 2 A2 = T

(4.19)

− −

substitusi persamaan(4.18) dan (4.19) dihasilkan

B1 A1 A2 A1

= =

Z 1 Z 2 = koefisien refleksi Z 1 + Z 2 2Z 1 = koefisien transmisi Z 1 + Z 2

−

(4.20) (4.21)

Kedua koefisien tersebut tidak tergantung pada ω dan f dan merupakan bilangan riil, jika bernilai negatif berarti berbeda fase π . Jika Z 1 = B1 A1

=

∞ artinya ujung tetap dan tidak ada transmisi yaitu

−1 artinya refleksi total dan berbeda fase π antara gelombang datang dan refleksi. Pada

Z = 0 adalah ujung bebas yaitu Teaching Grant

B1 A1

= 1 dan

A2 A1

= 2.

QUE–Project


4.5

38

Refleksi dan Transmisi Energi

Berapa energi yang ditransmisikan dan direfleksi bila gelombang melewati bidang batas? Energi total E =

1 2 2 2 2 ρ A cω

dengan k atau c kecepatan gelombang maka energi yang terbawa

sepanjang dawai adalah energi x kecepatan= 12 ρ2 A2 cω 2 . energi yang sampai pada batas x = 0 dan energi yang meninggalkan batas, yaitu :

1 2 ρ1 c1 ω 2 A21 2 1 Z 1 ω 2 A21 2 A21

× Energi A21

= = =

1 2 1 ρ1 c1 ω 2 B12 + ρ2 c2 ω 2 A22 2 2 1 1 Z 1 ω 2 B12 + Z 2 ω2 A22 2 2

dan dan

   

1 1 2 2 2 2 2 Z 1 ω B1 + 2 Z 2 ω A2 A21

1 2 ω Z 1 2

1 2 2 ω A1 2

Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2

−

(Z 1 + Z 2 ) (Z 1 + Z 2 )

 

2



A21

(4.22)

(4.23)

1 + ω 2 Z 2 2

2



2Z 1 Z 1 + Z 2

(4.24)

 2

A21

1 Z 1 ω2 A21 2

Z 1 =

jumlah energi refleksi + energi transmisi=energi datang . Maka koefisien refleksi dan transmisi adalah

Z 1 B12 R = Z 1 A21 Z 2 A22 T = Z 1 A21

= =

  

B1 2 Z 1 Z 2 = A1 Z 1 + Z 2 4Z 1 Z 2 (Z 1 + Z 2 )2

−

−



2

(4.25)

(4.26)

kondisi Z 1 = Z 2 disebut impedansi match

4.6

Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap

Suatu dawai dengan panjang l akan direfleksikan total di Z =

∞ dengan beda fase π , sedan-

gkan dawai dengan panjang tertentu, kedua ujungnya diklem akan terjadi gelombang berdiri. Diasumsikan adanya gelombang monokromatik dengan frekuensi ω dan amplitudo a menjalar sepanjang x positif dan amplitudo b pada arah negatif sehingga pergeseran dawai pada sembarang titik dapat dinyatakan

y = ae i(ωt−kx) + bei(ωt+kx)

(4.27)

syarat batas di y = 0; x = 0 dan x = l sepanjang waktu. Pada kondisi x = 0

0 = aei(ωt−kx) + bei(ωt+kx) = e iωt (a + b)

→ a = −b

(4.28)

arti fisisnya gelombang pada suatu arah tertentu dengan ujung impedansi tak hingga, secara lengkap akan direfleksikan dengan beda fase π (amplitudonya negatif). Dalam bentuk umum untuk gelombang dan frekuensinya menjadi



y = aeiωt e−ikx Teaching Grant

− eikx ) = (−2i)aeiωt sin kx


39

Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap

Gambar 4.7: Impedansi

dari Z 1 dan Z 3 dari dua kawat yang disesuaikan oleh panjang kawat dengan

impedansi Z 2 . Gelombang datang dan refleksi ditunjukkan pada bidang batas x=0 dan x=l

Pernyataan ini adalah suatu gelombang berdiri yang terjadi kapan saja (tidak tergantung waktu) dan memenuhi persamaan

∂ 2 y + k 2 y = 0 ∂x 2 Harga

∂ 2 y ∂t 2

=

2

(4.30)

2

− 2i(i2 ω2 )eiωt a sin kx = − ω2y dan c1 ∂ ∂xy = − ωc y = − k2y = 2

2

2

1 ∂ 2 y merupakan c2 ∂x 2

persamaan gelombang. Jika kondisi y = 0; x = l

−2ieiωt a sin kl;

0 = kl = nπc l

ω cl

→ sin kl = 0 → sin ωc l = 0.

Bila

→ ν n = nc2l . ν n=frekuensi dan l =

nc 2ν n

ωl c

=

= nπ nλ 2 .

k =

2π λ

n = 0, 1, 2, 3,

Maka sin kx = sin

··· . ωn x c

(4.31) nπc l nπ l x.

ωn = = sin

→ 2πν n =

ωn =normal

frekuensi (mode vibration atau eigen frequency).

n = 1

→ ν = 1 = Frekuensi harmonik 1 n = 2 → ν = 2 = Frekuensi harmonik 2 n = 3 → ν = 3 = Frekuensi harmonik 3 ↓ n = N → ν = N = Frekuensi harmonik N Pada suatu gerakan dawai semua mode normal ini ada dan pregeseran ialah superposisi dari pergeseran pada tiap frekuensi. Sehingga pernyataan pergeseran yang mencakup n harmonik adalah

ω n x yn = 2a( i)(cos ωn t + i sin ωn t)sin c ω n x = An cos ωn t + Bn sin ωn t sin c

−

Teaching Grant







Gambar 4.8: Empat

40

harmonik dari gelombang berdiri pada kawat yang ujungnya dijepit tetap

Amplitudo modus yang ke–n=(A2n + Bn2 )1/2 = 2a Dalam gelombang berdiri, titik-titik simpul(node) adalah titik-titik diam pada dawai, yaitu titik pada

nπ x = rπ l

(r = 0, 1, 2, 3,

··· , n)

(4.33)

→ x = 0 dan r = n → x = l, maksudnya bila n = 1; r = 0, 1 → nπl = rπ → x = rl , pada x = 0 dan x = l terjadi simpul. Bila n = 2 → r = 0, 1, 2 → x = rl n = 0,l,l/2 dan r =0

seterusnya. Terjadi titik-titik simpul bila amplitudo gelombang datang dan direfleksikan sama, tetapi bila tidak sama akan menghasilkan minimum A 1

B1 A1

< 1. Amplitudo total maksimum A1 + B 1 dan

− B1, maka dapat didefinisikan SW R(Standing Wave Ratio) =

bila R = 1

A1 + B1 1+R B1 = ; R = A1 B1 1 R A1

−

(4.34)

−

→ SW R = ∞ artinya terjadi simpul dan R=koefisien refleksi amplitudo.

4.7 Energi dawai bervibrasi Energi kinetik dari elemen dawai dx dengan rapat massa ρ ialah sebesar 21 ρy˙ 2 dx. Energi kinetik total adalah 21

 

l 2 0 ρ y˙ dx.

Energi potensial adalah kerja yang dilakukan oleh gaya tegang T dalam

elemen dx menjadi ds ialah

E p =

 Teaching Grant

T (ds

1 T 2

− dx) =

   t

0

dy dx

2

dx

 

2

T (dx

2 1/2

     − 

− dy ) − dx

=

T 1 +

dy dx

1/2

1 dx (4.35) (4.36)

QUE–Project

41

Grup gelombang dan kecepatan grup

artinya untuk elemen dx, panjangnya berubah menjadi



1 dy 2 2 dx dx.

bervibrasi dipandang dari gerak harmoniknya

E n (kinetik) = E n (potensial) =

1 2

    l

Selanjutnya untuk dawai

ρy˙ 2 dx

(4.37)

0

1 T 2

dy dx

2

dx

(4.38)

Untuk gelombang berdiri dengan parameter

yn = y˙n = dyn dx

=

ω n x c ω n x An ωn sin ωn t + Bn ωn cos ωn t sin c ωn ω nx An cos ωn t + Bn sin ωt cos c c

 − 



An cos ωn t + Bn sin ωnt sin



Maka persamaan (4.37) dan (4.38) menjadi

E n (kinetik) = E n (potensial) = = dengan T = ρc2 dan



(4.39)

(4.40)

(4.41)

  

l 1 2 ω n x 2 ρωn ( An sin ωn t + Bn cos ωn t) sin2 dx 2 c 0 l 1 T ωn2 ω n x (An cos ωn t + Bn sin ωn t) cos2 dx 2 c c 0 l 1 2 ω n x ρωn (An cos ωn t + Bn sin ωn t) cos2 dx 2 c 0



−

l 2 ωn x dx 0 sin c

=

energi potensial adalah

E n (kinetik+potensial) =



l 2 ωn x dx 0 cos c

(4.42) (4.43)

= 21 l. Maka jumlah energi kinetik dengan

1 2 1 ρωn l(A2n + Bn2 ) = mωn2 (A2n + Bn2 ); 4 4

m = ρl (4.44)

dengan A 2n + Bn2 adalah jumlah kuadrat amplitudo. Energi total pada dawai ialah

E n (total) = E 1 + E 2 + E 3 ,

4.8

··· , E n

(4.45)

Grup gelombang dan kecepatan grup

Pada umumnya di alam, gelombang terjadi dari campuran banyak gelombang dengan komponen frekuensi masing-masing. Seperti cahaya putih merupakan komposisi cahaya, dengan ◦

panjang gelombang 3000

◦

A − 7000A yaitu dari warna biru sampai warna merah.

Gelombang

menjalar dengan kecepatan grup. Pada bagian ini akan dibahas mengenai kecepatan grup hasil superposisi dua buah gelombang yang berbeda sedikit frekuensi dan bilangan gelombang k nya dengan amplitudo sama yaitu

−

y1 = a cos(ω1 t Teaching Grant

− k1x)

dan

y2 = a cos(ω2 t

− k2x)



42

hasil superposisi y = y 1 + y2 adalah

y = y 1 + y2 = 2a cos



ω1

− ω2 t − k1 − k2 x 2

2

 

ω1 + ω2 cos t 2

−

k 1 + k2 x 2

gelombang superposisi ini berupa gelombang dengan amplitudo 2a frekuensi



ω1 +ω2 2

(4.47)

≈ ω1 ≈

ω2 dan termodulasi dalam ruang dan waktu dengan “envelope” yang amat lambat dengan frekuensi ω1 −ω2 k1 −k2

k1 −k2 2 .

Sistem ini seperti osilator terkopel dengan kecepatan c =

ω1 k1

=

ω2 k2

atau

= c .

Gambar 4.9: Superposisi

dari dua buah gelombang yang mempunyai beda frekuensi ω 1 dan ω 2 yang

kecil

Kecepatan grup, komponen-komponen frekuensi menjalar dengan kecepatan sama dengan

c dan profile dari kedua kombinasi tetap konstan selama penjalarannya. Amplitudo maksimum 2a terjadi dua kali setiap perioda, frekuensi yang termodulasi (ν 1

− ν 2) intensitas maksimum bila maplitudo 2a. “Beat” atau pelayangan dengan frekuensi (ν 1 − ν 2 ) menyatakan berapa kali

fluktuasi intensitas maksimum terjadi. Kalau gelombang grup adalah gelombang bunyi, maka pada amplitudo kecil (amplitudo bervariasi 0 termodulasi amplitudo, gelombang y

A = a + b cos ω  t yaitu y = a cos(ωt frekuensi ω

±ω



−

→ 2a), suara lemah dan bila gelombang yang = A cos(ωt − kt), A=amplitudo termodulasi berbentuk

b kx) + cos((ω + ω  )t 2





− kx) + cos((ω − ω )t − kx)



(4.48)

adalah frekuensi sideband atau tones . Amplitudo modulasi terjadi pada trans-

misi radio dengan sideband terdengar pada dua frekuensi yang berdekatan yaitu ω



±ω .

Kemudian bila kedua gelombang yang bersuperposisi berbeda kecepatan fasenya

ω1 k1

= ωk , 2

2

kecepatan grup yaitu kecepatan gelombang atau kecepatan pada puncak maksimum bergerak

vg =

ω1 −ω2 k1 −k2

=

∆ω ∆k

dan vg berbeda dengan kecepatan masing-masing yaitu ωk11 dan

ω2 k2 , profilenya

berubah-ubah terhadap waktu. Medium yang kecepatan fasenya tergantung frekuensi (atau Teaching Grant

QUE–Project

43

Gelombang grup dan teorema lebar band

nilai

ω k tidak

tetap) disebut medium dispersif . Hubungan antara ω dan k disebut hubungan

dispersif. Bila grup berbentuk banyak komponen dengan frekuensi berdekatan ∆ω ∆k =

dω dk

dan

kecepatan grup

vg =

dω d(kv) dv = = v + k = v dk dk dk

dv ; − λ dλ

k =

2π λ

(4.49)

Sekali lagi disebutkan kecepatan grup merupakan kecepatan energi terkirim dalam medium, merupakan juga kecepatan amplitudo masksimum dari grup gelombang menjalar. Dari hubun-

− λ dkdv , bila dkdv = 0 → vg = v disebut medium non-dispersif . Bila dkdv < 0 → dv > v disebut dispersif anomali dan bila dk > 0 → vg < v disebut medium dispersif nor-

gan diatas v g = v

vg

mal . Bahan konduktor bersifat anomali terhadap gelombang elektromagnet . Bahan dielektrik bersifat normal terhadap gelombang elektromagnet pada frekuensi lebih kecil dari frekuensi normal(ωo ).

Gambar 4.10:

Kurva dispersif;(a)garis lurus menyatakan medium non-dispersi(b)hubungan dispersi

normal (c) anomali dari hubungan dispersi

4.9

Gelombang grup dan teorema lebar band

Suatu grup gelombang terdiri banyak frekuensi yang terletak pada daerah (range ) frekuensi yang sempit ∆ω dan tiap komponen dengan amplitudo sama dengan a . Telah dibahas pada sbelumnya yaitu tentang superposisi n-SHM yang amplitudonya sama a dan mempunyai beda fase(δ ) tetap diperoleh amplitudo resultan.

R =

a sin nδ/2 sin δ/2

(4.50)

dan getaran resultan

R cos(ωt + α) = a Teaching Grant

a sin nδ/2 cos(ωt + (n sin δ/2

− 1) 2δ ;

α = (n

− 1) 2δ

(4.51)

QUE–Project


Gambar 4.11: Anomali

44

dispersi dari sifat indek refraksi n =

√  terhadap ω dan λ , dimana ω

o

frekuensi

atom, absorpsi dinyatakan dengan garis putus-putus

Analog diatas, bila tiap gelombang mempunyai amplitudo a dan δ adalah beda fase antar tiap komponen, maka

R =

a

cos ω1 t + a cos(ω1 + δω)t + a cos(ω1 + 2δω)t +

+ a cos(ω1 + (n

···

(4.52)

− 1)δω)t

Batasan-batasannya

sin n(δω)t/2 cos(ω1 + (n sin(δωt/2) sin n(δω)t/2 = a cos ω ¯t sin(δωt/2)

R cos(ωt + α) = a

ω = ω 1 + 21 (n dengan ¯

n

sin∆ωt/2 cos ω ¯t sin∆ωt/2n sin∆ωt/2 = na cos ω ¯t sin∆ω/2 sin α ∆ω R(t) = A cos ω ¯ t; A = na, α = α 2

→

Pada R(t) = A = na yaitu di t = 0 karena 2π ∆ω

(4.53)

− 1)δω dan nδω = ∆ω. Resultan R = a

∆t =

− 1) δω2 )t,

sin α α

(4.54)

= 1. Seusudah ∆t menjadi α =

(4.55) ∆ω∆t 2

¯ ∆t = 0. Nilai 2∆t ini adalah ukuran lebar pulsa sentral. dan R(t) = A sinπ π cos ω

=π

→

Bentuk ∆t∆ω = 2π

→ ∆t(2π)∆ν = 2π → ∆t∆ν = 1 adalah Teorema Bandwidth, artinya lebih besar ∆ω akan lebih cepat ∆t sehingga bila ∆ω = 0 → ∆t = ∞ Dari nilai ∆ω → ∆k, ∆t → ∆x maka ∆k∆x = 2π → ∆x∆(1/λ) = 1, juga berarti ∆k = 0 (gelombang monokromatik)→ ∆x → ∞ (infi nitely long wavetrain ). Dalam persoalan gelombang grup disederhanakan dengan berbagai frekuensi tetapi amplitudo sama dengan a . Bila

a(ω), persoalan menjadi sulit dan metode Fast Fourier dan teorema Bandwidth menjadi asas ketidakpastian Heisenberg Teaching Grant

QUE–Project

45

Gelombang transversal dalam struktur periodik

kotak dengan lebar pita ∆ω dengan n frekuensi, a amplitudo dan beda


frekuensi umum δω (b) Menyatakan pita frekuensi terhadap waktu sebagai kurva kosinus pada frekuensi

¯ amplitude modulasi sin α/α. rata-rata ω

4.10 Gelombang transversal dalam struktur periodik Suatu dawai ringan merupakan suatu struktur periodik dari n massa sama sebesar m. Persamaan gerak partukel ke-r adalah

T m¨ yr = yr+1 + yr−1 a



dengan frekuensi normal

ωs = Bila a

2T = 1 ma

−

→ dx maka = = ∂ 2 yr ∂t 2 m ρ = dx

∴ m

=

→

cos

sπ n+1





− 2yr



s = 1, 2, , 3,

··· , n

    − → − −   −   

1 1 yr+1 + yr−1 2yr yr+1 yr a dx ∂y ∂y ∂ 2 y = dx ∂x r+1/2 ∂x r−1/2 ∂x 2 r ∂ 2 yr ∂ 2 yr T ∂ 2 yr T 2 dx = ∂x ∂t 2 ρ ∂x 2

(4.56)

yr

− yr

(4.57)

−1



(4.58)

→

y = exp i(ωt

− kx)

y merupakan propagasi gelombang transversal sepanjang array linear atom-atom dengan massa m, gaya elastik T x dan T /a sebagai stiffnes , dimana a=jarak antar atom(a Teaching Grant

≈ 10

−11

m).

QUE–Project


46

Hubungan dispersi ω(k) terhadap k untuk gelombang menjalar garis lurus yang

Gambar 4.13:

menggambarkan struktur periodik dalam atom

Bila yang diklem diganti ujung berupa kristal, persamaan gelombang

yr = A r exp i(ωt

− kx) = Ar exp i(ωt − kra)

(4.59)

Persamaan gerak menjadi

−ω 2 m

= =

ω2 = ωs2

=

ka 2

= =

Bila λ = 2a fase π atau

T (exp(ika) + exp( ika) 2) a 2 T T ka exp(ika/2) exp( ika/2) = 4 sin2 a a 2 T ka 4 sin 2 ma 2 2T sπ T sπ 1 cos = 4 sin 2 ma n+1 ma 2(n + 1) sπ a pλ (n + 1)a = l = 2(n + 1) a 2 sπa sπa sπa = = 2l 2 pλ/2 pλ

−



−

−

−

−



(4.60)

−



→

(4.61) (4.62)

4T 4T sin 2 π2 = ma → ka2 = ps π2 → ω2 = ma yang berarti atom tetangga mempunyai beda

yr

∼ exp(ika) = exp(iπ) = −1

yr+1

Frekuensi besar menandakan kopling maksimum untuk λ

4T ka ma 2 4T = c2 = ma

ω2 =

 ω k

2



(4.63)

→ k = 2πλ  dan sin ka2 → ka2 dari

2

(4.64) 2

× a4

=

T T a = m ρ

→ c = kecepatan gelombang

(4.65)

Dan secara umum pada sistem dengan partikel terstruktur diperoleh

v = Teaching Grant

ω sin ka/2 = c k ka/2


47

Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik

Persamaan diatas merupakan relasi dispersi antara ω vs k.a berpengaruh pada λ pendek dan 2π ra 27 2 10 (rad/s)

km =

2π λ

=

π a

≈ 10 10 m 1. Gaya elastik T /a kristal ≈ 15 N/m, m = 60 × 10 27 kg,ω2 = → ν = 5 × 1012 Hz atau daerah infra merah. E o ialah amplitudo maksimum medan =

−

−

listrik E = E o e1ωt . Atom–atom ion dengan frekuensi osilasi ω akan menyerap energi maksimum pada frekuensi resonansi.

4.11 Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik Kristal berbentuk rantai satu dimensi terdiri dari dua atom berbeda dengan massa M dan m yang dinyatakan sebagai berikut:

T (y2r+1 + y2r−1 2y2r ) a T (y2r+2 + y2r 2y2r+1 ) a

m¨ y2r =

−

M ¨ y2r+1 =

−

(4.67)

(4.68)

y2r = Am ei(ωt−2kra)

(4.69)

y2r+1 = AM ei(ωt−ka(2r+1)) substitusi persamaan(4.69) pada persamaan(4.67) dan (4.68)

−mω2Am −M ω2AM

T 2T Am AM (e−ika + eika ) a a T 2T AM Am (e−ika + eika ) a a

=

− −

=

(4.70)

(4.71)

Dari persamaan(4.70) dan (4.71) diperoleh



T 1 1 ω2 = + a m M

 ± 

(a) Keadaan m > M diambil yang positif

1 1 + m M

2

4sin2 ka mM



1/2

(4.72)

⊕ dari persamaan(4.72) maka diperoleh

  →

→ ω2 = T a 1m + M 1 π 2T k = km = 2a → ω2 = aM

k = 0

−

Optical branch

(4.73)

(b) Keadaan m > M diambil negatif dari persamaan(4.72) maka diperoleh 2 2



2T k a → ω2 = a(M +m) → Acoustical branch π 2T 2 k = km = 2a → ω = am

k = 0

Teaching Grant

(4.74)

QUE–Project


Gambar 4.14: Hubungan

Gambar 4.15: Pergeseran

48

dispersi untuk dua mode osilasi transversal dalam struktur kristal

dari perbedaan jenis atom dalam dua mode dari osilasi transversal dalam

kristal (a) Mode optik (b) Mode akustik

4.12

Absorpsi radiasi IR oleh kristal ionik

Suatu kristal dengan km = 1010 m−1 , radiasi IR dengan frekuensi 3 2π λ

× 1012 Hz, λ = 100µm

× 104 m 1 sehingga k IR  km maka kIR dapat diabaikan.Suatu sepasang ion dengan muatan ± e dipengaruhi medan listrik gelombang radiasi EM, medan listrik total dan k =

=6

−

E = E o eiωt maka di[eroleh persamaan

−ω2mAm −ω2M AM

= =

2T (AM Am ) eE o ; m bermuatan e a 2T (AM Am ) + eE o ; M bermuatan + e a

−

− − −

−

(4.75)

(4.76)

Persamaan (4.75) ditambah dengan persamaan (4.76)

−ω2(Am m + AM M ) = 0 → AAM m = − M m Teaching Grant


49

Efek Doppler

maka persaman (4.75)

2T m ω mAm = Am Am eE o a M 2T m + M Am ω2 m + = eE o a M e E o e E o Am = = m+M m m ωo2 ω2 ω 2 + 2T a mM 2T 1 1 m m e E o e E o ωo2 = + , AM = Am = = a M m M M m ωo2 ω 2 M ω 2 ω 2

−



2

−  − − 

−

− −  −   −    −  −    − − −

Misalkan hitung λ dari N a Cl bila M Na+ = 23 amu dan mCl

 

2T 1 1 a M + m 15×1010 . π

−

(4.78)

−

= 35 amu dengan ω 2 = ωo2 =

. Hasil perhitungan λ = 61 µm; KCl = 71µm, T = 15N/m; a =

π 1010

dan

T a

=

4.13 Efek Doppler Efek Doppler ialah efek terjadinya perubahan frekuensi yang terdengar pengamat terhadap frekuensi gelombang sumber, akibat sumber bergerak pengamat bergerak atau medium bergerak (angin misalnya).

ν  = ν c c ν  = ν

c

−u −v c

(4.79)

Sumber bergerak dengan kecepatan u mendekati pengamat, c kecepatan gelombang maka frekuensi yang terdengar pengamat lebih besar ν  > ν . Kemudian sumber tetap, pengamat menjauhi sumber dengan kecepatan v maka frekuensi yang terdengar pengamat lebih kecil

ν  < ν .

Teaching Grant

QUE–Project

BAB 5

Gelombang Longitudinal

Gelombang longitudinal ialah gelombang yang menjalar dalam medium searah dengan arah gerakan partikel-partikelnya atau osilator-osilatornya. Gelombang menjalar dalam plasma, gas, zat cair maupun zat padat.Dalam gas dan zat padat dilakukan pembatasan-pembatasan, dalam zat padat penjalarannya tergantung pada dimensi medium. Zat cair dan gas dapat meneruskan gelombang longitudinal.

5.1 Gelombang bunyi dalam gas Asumsikan gas dengan massa tetap m, menempati ruangan V o dengan tekanan P o dan kerapatan ρ o . Harga-harga tersebut menunjukkan keadaan kesetimbangan. Bila gas diganggu atau mengalami deformasi karena kompresi dan peregangan besaran–besaran akan mengalami perubahan yaitu:

P o

→ P = P o + p V o → V = V o + v ρo → ρ = ρ o + ρd

(5.1)

Tekanan p (excess pressure) ialah amplitudo tekanan maksimum dari gelombang bunyi dan merupakan komponen yang berubah-ubah superimposed disekitar atau menambah tekanan gas dalam kesetimbangan P o , sedangkan fraksi perubahan volume adalah perubahan kerapatan Harga δ

≈ s = 10

−3

ρd ρ

, p = 2

v V o

= δ dan fraksi

= s keduanya berurutan disebut sebagai dilatasi dan kondensasi . −5

× 10

N/m2 dan ν = 1000Hz . Untuk gas dengan massa tetap

ρo V o = ρV = ρ o V o (1 + δ )(1 + s)

→ (1 + δ )(1 + s) = 1 → s = −δ 50

(5.2)

51

Gelombang bunyi dalam gas

Harga δ dan s menunjukkan sifat keelastisitan gas sedang ukuran kompresibilitas didefinisikan sebagai:

B =

dP dP = −V − dV/V dV

(5.3)

B berharga positif, ∆V > 0 dan dP < 0 serta B tergantung pada gerakan gelombang. Apa sebab adiabatik atau isotermik?. Adanya gelombang bunyi (sound wave) pada gas akan terjadi perubahan tekanan yaitu ∆ p, kalau ∆ p besar akan ada ∆T dan adanya faktor konduktivitas akan memindahkan energi dari sistem gas. Dengan asumsi P = P o + p dan Badb tetap, p besar menunjukkan gelombang yang mengganggu yaitu gelombang kejut(shock waves). Bila gas tersebut mengalami proses adiabatik maka akan terpenuhi

P V γ = tetap V γ dP + P γV γ −1 dV = 0 dP V = γP = B a dan dP = p dV p P = P o + p Ba = p = Ba δ = B a s v/V o

→

→

−

→

−

(5.4)

Dalam gelombang bunyi ini pergeseran partikel sepanjang sumbu x dan dipilih kordinat η sebagai pergeseran. Bagaimana persamaan geraknya?. Pandang lapisan gas x dipindah sejauh η dan lapisan gas setebal x + dx bergeser sejauh η + dη dan perubahan tebal gas dx dari elemen persatuan luas adalah dη . Medium di deformasi karena tekanan sepanjang sumbu x sehingga


longitudinal dalam gas

sisi elemen tidak seimbang. Gaya netto yang bekerja pada elemen ialah

P x

− P x+dx

 −

−

Teaching Grant



∂ P x = P x P x + dx ∂x ∂P x ∂ = dx = (P o + p)dx = ∂x ∂x

−

(5.5)

∂p dx − ∂x QUE–Project

Bab5. Gelombang Longitudinal

52

Massa elemen sebelum ρ o dx, sehingga berdasarkan hukum Newton

∂ 2 η ρo dx 2 = ∂t ∂η dη = dx; δ = ∂x

∂p dx − ∂x

∂η v dη ∂η ∂x dx = = = = V o dx dx ∂x ∂η p = Ba δ = Ba ∂x 2 ∂p ∂ η ∂ 2 η = Ba 2 = ρ o 2 ∂x ∂x ∂x 2 2 ∂ η ρo ∂ η 1 ρo = = ∂x 2 Ba ∂t 2 c2 Ba

−

(5.6)

−s

−

−

(5.7)

(5.8)

(5.9) (5.10)

→

Persamaan(5.10) adalah persamaan diferensial dan penyelesaian dalam arah x positif ialah

η = ηm exp i(ωt

− kx);

η = iωη; ˙

δ =

∂η = ∂x

−ikη = −s

(5.11)

p = Ba s = iB a kη Penyelesaian dalam arah x negatif

η = ηm exp i(ωt + kx); p = Ba s =

η = iωη; ˙

δ =

∂η = ikη = ∂x

−s

(5.12)

−iBakη

Dari Gambar.5.2 dapat disimpulkan yaitu

Gambar 5.2: Persamaan

gelombang dalam gas

(a) Untuk gelombang pada arah x(+) di η = 0 maka η˙ maksimum pada arah x(+), p positif(kompresi), s maksimum dan v minimum. (b) Untuk gelombang pada arah x( ) di η = 0 maka η˙ maksimum pada arah x(+), p maksimu

−

negatif, s minimum dan v maksimum. Teaching Grant

QUE–Project

53

5.2

Energi distribusi pada gelombang bunyi

Energi distribusi pada gelombang bunyi

Energi kinetik dalam gelombang bunyi diperoleh pada elemen gas setebal dx

1 E kin = ρo dxη˙ 2 2

(5.13)

dengan

2π η = ηmak cos (ct x) λ 2π 2π η˙ = ηmak sin (ct λ λ 2π = η˙ mak sin (ct x) λ



−

−

1 ρo dx η˙ 2 2 = rerata kecepatan pada nλ = E kin rerata =

=

E k 

2 η˙m



nλ 2 2π 0 sin λ (ct

nλ

(5.14)

(5.15)

− x)

−

∆E kin η˙ 2 

 

(5.16)

− x)dx = 1 ˙η2 2

m

= rapat energi kinetik rerata 1 1 2 2 = ρo ˙ηm = ρo ω 2 ηm 4 4

(5.17)

Kemudian rapat energi potensial adalah ∆E p sebesar kerja p dV yang dilakukan pada massa gas bervolume V o selama perubahan adiabatik karena gelombang bunyi sebesar

E p =

 −

pdV

(5.18)

Tanda minus karena p positif, dV negatif yaitu pada kompresi dan pada penarikan ( rarefaction)

p negatif dan dV positif. Dalam grafik P V (Gambar.5.3) kerja yang dilakukan dalam kompresi (1) dan pada penarikan (2) besarnya sama yaitu 21 pv , pada kompresi tekanan membesar dan pada penarikan tekanan mengecil.

Gambar 5.3: Daerah

yang diarsir menunjukkan energi potensial pmvm /2 dikuatkan oleh gas dalam

kompresi.

Teaching Grant

QUE–Project

Bab5. Gelombang Longitudinal Selanjutnya bila s =kondensasi=

54 

dV V o

=

Ba s ∴

 − 

E p =

o

dan secara incremental dV =

−V ods dan p =

Ba s( V o ds)

=

−

Ba sV o ds =

1 1 Ba V o s2 = Ba V o s2 dx 2 2

1 Ba δ 2 dx 2

= Jika η = η m exp i(ωt

− V v

(5.19)

± kx) dan δ = ∂x∂η = ±ikη = ±i ωc η = ± 1c ∂x∂η = ± 1c ˙η maka ∆E p =

∆E p

=

1 η˙ 2 1 Ba 2 dx = ρo ˙η 2 dx 2 c 2 1 2 ρo ˙ηm 4

(5.20)

Energi total

∆E  = ∆E k  = ∆E p  = 12 ρo ˙ηm2

(5.21)

∆E  maksimum bila η˙ m2 maksimum dan minimum bila η˙ m2 = 0 Rapat energi kinetik dan energi

Gambar 5.4: Energi

distribusi dalam ruang gelombang bunyi dalam gas. Baik energi potensial dan

kinetik adalah maksimum saat kecepatan partikel η˙ adalah maksimum dan nol pada η = ˙ 0 2 dan rapat energinya rerata adalah 1 ρ ˙ 2 potensial sama yaitu 21 ρo ˙ηm 4 o ηm berarti energi kinetik dan

energi potensial berharga maksimum dan minimum pada waktu yang sama dengan kata lain η˙ menyatakan besar energinya.

5.3

Intensitas gelombang bunyi

Intensitas ialah ukuran fluks energi diukur dalam J/s.m 2 = watt/m2 =rapat energi. Intensitas dituliskan

I = = Teaching Grant

1 1 2 2 2 ρo ˙ηm c = ρo ω 2 ηm c = ρ o cη˙ rms 2 2 p2rms prms = ρo c y˙ rms

(5.22)

QUE–Project

55

Impedansi akustik spesifik

Intensitas bunyi standar I o = 1 antara 10 −12

−2

× 10

watt/m2 . Gelombang bunyi normal dengan intensitas

→ 1 watt/m2 . Tingkat Intensitas

I I o 10 −1 = log −2 = 1 bel 10

T I = log

(5.23)

1bel = 10dB

5.4 Impedansi akustik spesifik Impedansi akustik spesifik dapat didefinisikan sebagai: Impedansi akustik =

p tekanan excess = η˙ kecepatan partikel

Bila gelombang bergerak ke kanan x + maka

x+ x−

5.5

→ ηp˙ → ηp˙

=

Ba k ; ω

=

− ρo c

iBa kη Ba = = ρ o c iωη c

(5.24)

(terjadi perubahan fase)

Gelombang longitudinal dalam pegas

Suatu pegas panjang L ditarik perlahan-lahan, hingga panjangnya bertambah l , maka gaya F akan sama ditiap-tiap titik pada pegas dalam keadaan setimbang (F =gaya yang bekerja). Gaya yang bekerja F ini sebesar K Ll , K disebut modulus elastisitas. Menurut hukum Hooke F = kl , maka hubungan antara k dan K ialah k =

K L , k disini

konstanta pegas atau stiffnes. Kemudian

akan ditinjau bila pertambahan panjang pegas karena ada gangguan, akibatnya pegas tegang dan terjadi perubahan panjang η . Maka gaya pada bagian segmen dx sebesar F = K ∂∂xη . Jika massa persatuan panjang adalah µ, maka menurut Newton, gaya yang bekerja pada sepotong segmen dx sebesar

∂ 2 η µdx 2 ∂t ∂ 2 η ∂t 2

= =

∂F ∂ 2 η dx = K 2 ∂x ∂x 2 K ∂ η µ ∂x 2

(5.25)

Sehingga kecepatan rambat gelombang longitudinal dalam pegas

v =

5.6

    K = µ

kL = µ

KL = m

kL2 m

(5.26)

Gelombang longitudinal kawat elastik

Kawat setebal dx dalam keadaan diam terletak antara x dan x + dx. Karena gangguan posisi berubah dan kawat pada kedudukan antara x + η dan x + η + δx + δη atau dikatakan terjadi regangan δx + δη Teaching Grant

QUE–Project


56

∂η Gaya per luas di x sebesar Y ∂x , dengan

sebesar Y



∂η ∂ 2 η + ∂x ∂x 2



, sehingga gaya total

∂η ∂x =regangan, sedang 2 sebesar Y A ∂x∂ 2ηδx .

gaya per luas di x + dx

Menurut hukum Newton II :

∂ 2 η ∂ 2 η Y A 2 δx = Y Aρδx 2 ∂x ∂t 2 2 ∂ η ρ ∂ η = ∂x 2 Y ∂t 2 ∂ 2 η ∂x 2

1 ∂ 2 η c2 ∂t 2

=

→ c =

(5.27)



Y ρ

c=kecepatan gelombang longitudinal pada kawat.

5.7

Gelombang longitudinal dalam zat padat

Kecepatan gelombang longitudinal dalam zat padat sangat tergantung pada spesimen dimana gelombang menjalar. Dalat zat padat, kecepatan rambat adalah

c = Pada bulk selain ada regangan

∂η ∂x ada



Ba ρ

∂ρ ∂y (arah

⊥ x), β ialah pergeseran pada arah

= σ = Poisson’s ratio

(5.29)

regangan

y, merupakan fungsi x dan y adalah

−

∂ρ ∂y ∂η ∂x

(5.28)

σ adalah hubungan dengan konstanta elastik Lame λ dan µ ialah σ =

λ ; 2(λ + µ)

λ =

σY (1 + σ)(1

− 2σ) ;

Y = (λ + 2µ

− 2λσ)

(5.30)

µ disebut koefisien rigiditas transversal=mobil stress transversal terhadap regangan transversal. σ umumnya < 21 dan biasa σ =

1 3,

dalam bulk solid

→ µ adalah menunjukkan keelastisan,

dan pada zat padat tipis adalah Y(modulus Young) menunjukkan keelastisan.

Geser(shear) dalam zat padat bulk akan menghasilkan gelombang transversal, ∂β ∂x =regangan

geser transversal dan µ ∂β ∂x =stress geser transversal= T x .

Persamaan gerak transversal pada elemen tipis dx ialah

T x+dx T x ∂ ∂β µ dx ∂x ∂x ∂ 2 β µ 2 ∂x ∂ 2 β ∂x 2

 −

c Teaching Grant

2

= ρdx¨ y

(5.31)

= ρdx¨ y ∂ 2 β ∂t 2 ρ ∂ 2 β µ ∂t 2 µ c = ρ

= ρ = =

→



µ ρ QUE–Project

57

Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi

Dari hubungan berikut

Y ρ Y ρ

λ + 2µ ρ λ + 2µ ρ

= =

− 2λσ ρ bila

2λσ ρ

(5.32)

≈0

(5.33)

Gelombang longitudinal mempunyai kecepatan lebih besar pada bulk solid . Pada medium bulk solid isotrop

2 B = λ + µ = Y (3(1 3

dan kecepatan longitudinal pada bulk solid adalah c L =

5.8

−1

− 2σ))

(5.34)

B+ 43 µ 1/2 ρ

 

dan c T =

 µ ρ

1/2

Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi

Gempa bumi ialah gelombang seismik dan diperhatikan gelombang pada permukaan. Didekat permukaan bumi ada gelombang longitudinal dengan c = 8 km/s dan gelombang transversal

c = 4, 45 km/s. Nilai c

 sampai pada kedalaman 1800 mil, selanjutnya pada bidang diskon-

tinyu cl

≈ 0 . Pada permukaan ada gelombang Rayleigh yaitu crayleigh σ = 0, 25 → f (σ) = 0, 9194 dan σ = 0, 5 → f (σ) = 0, 9553. 5.9

= f (σ)

 µ ρ

1/2

bila

Gelombang longitudinal dalam struktur periodik

Jarak antar atom dalam kristal a (Gambar 5.5), pergeseran atom dari kedudukan kesetimbangan η dan jarak antar atom a menjadi a + η , regangan  = sη s =  as . Kemudian modulus Young Y = sa = as s = Y a2 co 103 m/s, 2πa . co =kecepatan bunyi dalam zat padat=5

×

→

η a dan

normal stress per a 2 adalah

a dan ν = a = 2

ω 2π

=

−10

× 10

1 2π

  s m

=

m, ν = 3

1 2πa

Y ρ

=

× 1012 Hz.

Kemudian analog dengan gelombang transversal, persamaan gerak partikel ke-r adalah

m¨ ηr = s(ηr+1 + ηr−1 ηr =

− 2ηr ) ηmaks exp i(ωt − kra)

(5.35)

Karena

Y >B Y >µ

→

cL > cT

(5.36)

5.10 Refleksi dan transmisi gelombang pada bidang batas Bila gelombang bunyi menjalar, kemudian mengenai batas yang memisahkan dua media(Gambar 5.6) yang berbeda impedansinya yaitu ρ 1 c1 dan ρ2 c2 , maka berapakan gelombang yang direfleksikan dan ditransmisikan ? Bila kecepatan partikel η˙ dan tekanan akustik p, bidang batas tersebut dengan kondisi luas tak terbatas dan kondisi pada kontak adalah Teaching Grant

QUE–Project


Gambar 5.5:

58

Gelombang longitudinal dalam

Gambar 5.6: Refleksi dan transmisi gelombang

kristal

bunyi

η˙ i + η˙ r = η˙ t pi + pr = pt ρ1 c1 ˙ηi

dan

(5.37)

p = ρc η˙

− ρ1c1 ˙ηr = ρ2c2 ˙ηt Z 1 ˙ηi − Z 1 ˙ηr = Z 2 ˙ηt

(5.38)

(5.39)

(5.40)

Dari persamaan(5.37) dan (5.40) diperoleh

Z 1 ˙ηi

− Z 1 ˙ηr η˙ i (Z 1 − Z 2 )



η˙ r η˙ i



Z 1 Z 2 Z 1 ˙ηi Z 1 ˙ηi Z 1 + Z 2 Z 1 (Z 1 + Z 2 ) Z 1 (Z 1 Z 2 ) (Z 1 + Z 2 )Z 2

−

−

−

−

= Z 2 (η˙ i + η˙ r ) = η˙ r (Z 1 + Z 2 ) Z 1 Z 2 ωη r ηr = = = Z 1 + Z 2 ωηi ηi

−

(5.41)

= Z 2 ˙ηt η˙t 2Z 1 Z 2 2Z 1 = = η˙i Z 2 (Z 1 + Z 2 ) Z 1 + Z 2

=

(5.42)

Sedangkan

pr pi pt pi

=

η˙ r 2 − Z 1 =− − Z Z 11 ˙η ˙ηri = Z Z 1 + Z 2 η˙ i

(5.43)

=

Z 2 ˙ηt Z 2 2Z 1 2Z 2 = = Z 1 ˙ηi Z 1 Z 1 + Z 2 Z 1 + Z 2

(5.44)

bila Z 2 > Z 1 kecepatan partikel yang direfleksikan sefase dengan η˙ i , tekanan akustik yang direfleksikan berbeda fase π dengan p i , η˙ t selalu sefase dengan η˙ i , p t selalu sefase dengan p i , dan Z 2 =

∞ → η˙t = 0 = η˙ i + η˙ r .

Refleksi dan transmisi intensitas bunyi adalah

I r I i I t I i

Teaching Grant



=

Z 1 (η˙ r2 )maks = Z 1 (η˙ i2 )maks

=

Z 2 (η˙ t2 )maks Z 2 = Z 1 Z 1 (η˙ i2 )maks

Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2

−





2

2Z 1 Z 1 + Z 2

(5.45)



2

=

4Z 1 Z 2 ; (Z 1 + Z 2 )2

I r I t + =1 I i I i

(5.46)

QUE–Project

BAB 6

Gelombang dimensi lebih dari satu

6.1 Pendahuluan Kecepatan fase c dari gelombang menyatakan kecepatan garis yang berfase sama(2 dimensi) atau bidang yang berfase sama(3 dimensi) bergerak dan ditunjukkan arahnya garis atau bidang dengan vektor  k( k menyatakan vektor bilangan gelombang juga,  k = 2π ) Dalam bidang

⊥

λ

(2 dimensi) gelombang menjalar searah k

k1 = l k k2 cos β = = m k k 2 = k12 + k22

cos α =

→ cosinus arah → cosinus arah

(6.1) (6.2)

p = ct = lx + m = jarak dari 0 ke garis dengan fase sama,lembah dan puncak (trough and k Bila gelombang searah menempuh jarak p, pergeseran/lintasannya crest ) menjalar searah 


bidang menjalar searah  k.

59

Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu

60

pada kedudukan r maka beda fase gelombang ketika berada di 0 dan pada garis fase sebesar φ, maka φ = 2π p =  k.r λ

ˆ (xî + y j) ˆ = k1 x + k2 y = kp = (k1î + k2 j)

·

(6.3)

Dan fungsi gelombang yang sering dinyatakan

y = y o exp i(ωt

− kx) atau

η = η o exp i(ωt

− kx)

(6.4)

dalam dimensi 2 menjadi (secara umum)

φ = φ o exp i(ωt

− kr)

(6.5)

Dalam ruang(3 dimensi), fungsi gelombang

φ = φo exp i(ωt

−  k · r)

(6.6)

 ˆ k3 kˆ k = k1î + k2 j + ˆ z kˆ r = xî + y j + dengan cos α = l =

k1 k2 k3 k ;cos β = m = k ;cos γ = n = k

p = jarak O ke bidang dengan fase sama(wave front) = ct = lx + my + nz kp =  k r = k 1 x + k2 y + k3 z

·

6.2

Persamaan gelombang dua dimensi(2D)

Perhatikan suatu membran dengan ukuran δxδy bergerak/bervibrasi sepanjang z , rapat massa(ρ) dan teregang oleh gaya/tegang T yang uniform. Gaya T δy bekerja pada elemen δx meng-

Gambar 6.2: Membran

dengan ukuran δx × δy

hasilkan gaya

Tδyδx Teaching Grant

∂ 2 z ∂x 2

(6.7) QUE–Project

61

Persamaan gelombang dua dimensi(2D) 2

∂ y (analog pada dawai T ∂x 2 dx= gaya tegak lurus x ) dan gaya T δx bekerja pada elemen δy meng-

hasilkan gaya

Tδyδx

∂ 2 z ∂y 2

(6.8)

Gaya pada persamaan(6.7) dan (6.8) bekerja pada membran sebesar gaya Newton sepanjang

z Tδyδy

∂ 2 z ∂ 2 z + Tδxδy ∂x 2 ∂y 2 ∂ 2 z ∂ 2 z + ∂x 2 ∂y 2

= ρδxδy =

∂ 2 z ∂t 2

ρ ∂ 2 z 1 ∂ 2 z = 2 2 T ∂t 2 c ∂t

(6.9)

→ c2 = T ρ

dan penyelesaiannya

z = A exp i(ωt

−  k · r) = A exp i(ωt − (k1x + k2y))

(6.10)

Penyelesaian bentuk lain dari gelombang 2 dimensi, bentuk umum

δ 2 φ δ 2 φ 1 δ 2 φ + 2 = 2 2 δx2 δy c δt

(6.11)

dengan φ = X (n)Y (y)T (t)

∂ 2 φ ∂x 2

∂ 2 φ ∂ 2 φ = X xx Y (y)T (t); = XT Y yy ; = X Y T tt ∂y 2 ∂t 2 ∂ 2 X ∂ 2 Y ∂ 2 T = ; Y = ; T = yy tt ∂x 2 ∂y 2 ∂t 2

X xx

maka persamaan (6.11) menjadi

X xx Y yy 1 T tt + = 2 X Y c T

(6.12)

−(k12 + k22) = −k2

(6.13)

Kemudian diandaikan

X xx = X

−k12;

X xx = X

−k22 ;

1 T tt = c2 T

maka

X xx + k12 X = 0 Y yy + k12 Y = 0 T tt + k 2 c2 T = 0

X = A cos(k1 x) + B sin(k1 z)

→ → → sin

(6.15)

T = A 2 cos(kct) + B2 sin(kct)

(6.16)

cos



(6.14)

Y = A 1 cos(k2 y) + B1 sin(k2 y)

φ = XY T = c

k1 x

sin cos



k2 y

= ce±ik1 x e±ik2 y e±ikct

sin cos



(6.17)

kct (6.18)

Kapan φ merupakan fungsi sin atau cos tergantung syarat awal. Teaching Grant

QUE–Project


6.3

62

Refleksi gelombang 2D pada batas tegar(waveguide))

Gelombang 2D menjalar dengan arah  k dalam bidang xy sepanjang membran dengan lebar

b di bawah pengaruh gaya tegang T antara 2 batang tegar mempunyai impedansi tak hingga. Gelombang menjalar sepanjang sumbu x , maka tiap kali setelah dipantulkan k 2 berbalik arah, sehingga membran bergerak sepanjang sumbu z yang merupakan superposisi gelombang datang dan yang dipantulkan.

Gambar 6.3: Perambatan

gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan impedansi tak terhingga

saat y = 0 dan y = b memberikan nilai k 2 tiap refleksi

z = A1 sin(ωt

− (k1x + k2 y)) + A2sin(ωt − (k1 x − k2y)) Syarat batas pada y = 0 dan y = b → z = 0 sehingga y = 0 → z = 0 = A 1 sin(ωt − k1 x) + A2 sin(ωt − k1 x) → A1 = A2 y = b → z = 0 = A 1 sin(ωt − (k1 x + k2 b)) + A2 sin(ωt − (k1 x − k2 b))

(6.19)

(6.20)

Pada t = 0, x = 0, dan z = 0

0 = A1 sin( k2 b) + A2 sin(k2 b)

−

A1 sin( k2 b) =

−

(6.21)

−A2 sin(k2b) = A1 sin(k2 b)

pada persamaan (6.21) ruas kiri sama dengan ruas kanan, hanya mungkin bila nilai sin(k 2 b) =

0

→ k2 b = nπ → k2 = nπb ; n = 0, 1, 2, ··· . Dengan hasil di atas z = A1 sin(ωt − (k1 x + k2 y)) − A1 sin(ωt − (k1 x − k2 y) 2ωt −k1x − k2y − k1x + k2y sin −k1x − k2y + k1 x − k2y = 2A1 cos + 2 2 2 = 2A1 cos(ωt − k1 x) sin(−k2 y) = −2A1 sin k2 y cos(ωt − k1 x)



Teaching Grant

 

(6.22)



QUE–Project

63

Modus normal pada membran segiempat 2D

Gelombang menjalar sepanjang sumbu x dengan kecepatan fase

v p = v kecepatan membran < v p , dan k12 = k 2 maka 2ωdω = v 2 2k1 dk1 atau

dω dk1

=

v2 k1 ω ,

ω kv = k1 k1 2

− k22 = k 2 − nbπ 2

sehingga

k1 = (k 2 dan v g pada arah x adalah

dω dk1

=

1 2 ω k1 v

=

k1 k v ,

v p vg = 2

(6.23)

2 2

− n bπ2

2

=

ω2 v2

2

− nbπ

2

2

1

)2

dan bila

ω2 v2

= k12 +

n2 π 2 b2

(6.24)

dipenuhi

kv k1 v = v 2 k1 k

(6.25)

2

− nbπ dimana k1 merupakan suatu bilangan ≥ 0, maka n2 π 2 ω2 n2 π 2 2 k ≥ 2 → ν 2 ≥ b2 (6.26) b n2 π 2 v 2 nπv nv 2 ω ≥ 2πν ν → ≥ → ≥ b2 b 2b dengan ν = nv 2b =frekuensi cutt off ; n = 1, 2, 3, ··· frekuensi yang lebih besar atau sama yang diijinkan lewat, bukan sembarang gelombang. Bila cahaya v = c → v g v p = c 2 dan v g < c. Dan kembali ke k 12 = k 2

Gambar 6.4: Variasi

6.4

2

amplitudo gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan n = 1, 2, 3

Modus normal pada membran segiempat 2D

Suatu membran ukuran a

× b gelombang bergerak pada membran dengan arah  k( k arah sem-

barang). Pada batas membran gelombang direfleksi sehingga pada membran terjadi gelombang berdiri (standing wave ). Dan dipenuhi bila a = n 1 AA dan b = n2 BB  , dimana n1 , n2 adalah bilangan bulat,dengan

AA = BB  = a = Teaching Grant

λ λk λ2π π = = = 2cosα 2k1 2λk1 k1 λ λk λ2π π = = = 2cosβ 2k2 2λk2 k2 n1 π n2 π dan b = k1 k2

(6.27) (6.28) (6.29) QUE–Project


Gambar 6.5: Mode

64

normal membran persegi dalam arah  k sesuai kondisi batas dari pergeseran nol

pada ujungnya a = n 1 λ/2cos α dan b = n 2 λ/2cos β

maka

k 2 = k12 + k22 = ( 2 λ



=

n21 n 22 + 2 a2 b

n1 π 2 n2 π 2 2π ) +( ) = ( )2 a b λ 2 1/2 2 n1 n 22 1/2 = + 2 c/ν a2 b



  →       → 

(6.30)

→

c n21 n22 ν = + 2 2 a2 b



Pada n 1 = n 2 = 1 adalah frekuensi fundamental

ν = ν =

c n21 n 22 + 2 2 a2 b

1/2

;

c =

T ρ

1/2

T 1 2 + 4ρ a2 b2

z = A

sin

cos



1/2

k1 x

sin cos



k2 y

(6.31)

(6.32)

sin cos



kct

Garis lembah terjadi pada

3a , , ··· , a → na1 , 2a n1 n1 b 2b 3b y = 0 → , , , ··· , b n1 n1 n1

x = 0

dengan z = A sin

    n1 πx a

sin

n2 πy b

(6.33)

sin(kct) dimana z = 0 di x = y = 0,x = a dan y = b .

Modus ditentukan oleh n 1 dan n 2 . Modus yang sama dikatakan tergenerasi pada membran, sedangkan modus(4, 7) dengan (7, 4) sama frekuensinya juga (8, 1) dan (1, 8). Pada membran a=3b, modus (3, 3) = (9, 1).

6.5 Gelombang tiga dimensi(3D) Persamaan umum gelombang tiga dimensi adalah

∂ 2 φ ∂ 2 φ ∂ 2 φ + 2 + 2 = ∂x 2 ∂y ∂z Teaching Grant

∇

2

1 ∂ 2 φ φ = 2 2 c ∂t


65

Modus Normal dalam 3D

Gambar 6.6: Beberapa

mode normal pada sebuah membran persegi dimana yang diarsir menyatakan

gerakan sinusiodal

Gelombang bidang

φ = A

sin cos



k1 x

= A exp i(ωt

sin cos



−  k · r);

k2 y

sin cos



k3 z

sin cos



kct

(6.35)

 k r = k 1 x + k2 y + k3 z

·

Gelombang sferis 2

∇φ

= =

1 ∂ 2 ∂φ 1 ∂ ∂φ 1 ∂ 2 φ r + 2 sin θ + 2 r 2 ∂r ∂r r ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 A exp i(ωt  k r) r

   − ·





(6.36)

Gelombang silindris 2

∇φ

= =

1 ∂ 2 ∂φ 1 ∂ 2 φ ∂ 2 φ r + 2 2 + 2 r 2 ∂r ∂r r ∂θ ∂z A exp i(ωt  k r) r

  

√

(6.37)

− ·

6.6 Modus Normal dalam 3D Dalam tiga dimensi gelombang mempunyai frekuensi

c n21 n 22 n 23 1 ν = ( + + )2 2 l1 l2 l3 Teaching Grant



66

dimana l1 , l2 , l3 merupakan panjang sisi-sisi rectangular enclosure . Sel mempunyai sisi

c c c 2l1 , 2l2 , 2l3 .

Garis dari titik 0 ke titik ( n2l11c , n2l22c , n2l33c ) menunjukkan frekuensi. Volume cell

c3 8l1 l2 l3

(6.39)

Berapa banyak cell dalam range frekuensi ν dan ν + dν ? jawaban untuk pertanyaan ini adalah semua bilangan bulat positif n 1 , n2 ,dan n 3 .

c2 n21 n 22 n 23 ν < ( + + ) = (ν + dν )2 4 l1 l2 l3 2

(6.40)

dan banyaknya cell atau titik (=banyaknya modus normal), yaitu

= =

volume sel bola 8 volume bola 1 4πν 2 dν ν 2 dν = 4πl l l 1 2 3 1 3 8 c3 8 c /l1 l2 l3

×

 →

(6.41)



1 Oktan 8

jadi jumlah modus normal yang mungkin dalam range ν dan ν + dν per satuan volume dari 2

permukaan tertutup adalah 4π ν c3dν

Gambar 6.7: Kisi

persegi dalam ruang frekuensi. Panjang vektor pada titik pusat adalah nilai frekuensi

yang dibolehkan dan arah vektor menyatakan arah perambatan

6.7

Distribusi frekuensi dari radiasi energi benda panas

Suatu benda panas pada suhu T memancarkan energi panas dalam interval frekuensi ν dan

ν + dν dapat dituliskan E ν dν . Menurut Rayleigh-Jeans : 4πν 2 dν 8πν 2 kTdν E ν dν = (2kT ) = c3 c3

× 21

(2 derajat kebebasan, 2 bidang polarisasi transversal) ini tidak cocok untuk ν Teaching Grant

(6.42)

= 2kT . Ternyata Rayleigh-Jeans

 ultraviolet catastrophy diganti oleh Planck, energi bukan kT tetapi QUE–Project

67

Teori Debye kalor spesifik

hν exp(hν/kT )−1 maka

energi yang dipancarkan dengan frekuensi antara ν dan ν + dν adalah

8πν 2 hν E ν dν = 3 c exp(hν/kT )

Gambar 6.8: Grafik

6.8

− 1 dν

(6.43)

radiasi benda hitam

Teori Debye kalor spesifik

Menurut Debye banyaknya modus per volume (dn) adalah

2 1 dn = 4πν dν 3 + 3 cT cL 2





T=transversal dan L=longitudinal. Tiap modus mempunyai energi rerata (Planck), maka pada volume V A , interval frekuensi ν

(6.44)

E =

hν exp(hν/kT )−1

→ ν + dν untuk rerata energi adalah

V A ¯dn = 4πV A

E



2 1 hν 3 + c3T c3L exp(hν/kT )



− 1 dν

(6.45)

Energi total per gram atom E A adalah

E A =

 E      ≈  −       V A ¯dn = 4πV A e3 dx ex 1

2 1 + c3T c3L

ν m

0

hν 3 exp(hν/kT )

π4 15

− 1 dν

(6.46)

dan bila N =bilangan Avogadro maka

dn = 3N = 4πV A =

Teaching Grant

4πV A 3

ν m 2 1 + 3 ν 2 dν 3 cT cL 0 2 1 3 + ν m 3 3 cT cL

(6.47)

QUE–Project


68

E A=Energi total per gram atom meliputi seluruh frekuensi yang ada yaitu



4πV A 2 1 + 3 c3T c3L



∴ E A

= = =

C v x =

=

hν ; kT

3N 3 ν m 4πV A 2 1 + 3 c3T c3L 9N 3 ν m

 

ν m

(6.48)

 

ν m

ν 2 dν

0

2

  

ν dν = 9RT

0

T Θo

Θo

3

0 Θo /T 4 4 e x

  

x3 ex

dE A T 3 = 9R dx x Θo 1 dT e 0 hν m R Θo = = suhu Debye; k = kT N

−

9 dx + RΘo 1 8

−

(6.49)

Kondisi dari temperatur Debye yaitu

Gambar 6.9: grafik Debye

1. T

 Θo

  

T C v = 9R Θo

Θo /T

3

2

x dx = 9R

0

T Θo

1 Θo 3 T

 ×   3

3

= 3R

(6.50)

2. T

 Θo E A

    −   

T = 9R Θo

∞

3

0

x3

ex

1

dx +RΘo

π 4 /15

T 3 π 4 + RΘo Θo 15 dE A 9Rπ 4 4T 3 12 4 T = = = π R dT 15 Θ3o 5 Θo = Kalor jenis = 9RT

C v

Teaching Grant

×

 

3

(6.51)

QUE–Project

BAB 7

Gelombang pada jalur transmisi

7.1 Pendahuluan Medium dapat mengirim gelombang. Medium yang sengaja dibuat dari kabel/kawat/kawat koaksial, awat/kabel sejajar dapat mengirim gelombang, gelombang arus listrik dan gelombang potensial dari generator AC ke terminal. Pada kabel mengalir muatan yang berarti ada arus. Suatu generator AC, arus yang dikirim maksimum dan minimum berganti-ganti menurut waktu dan ruang. Berhubungan dengan arus ada gelombang tegangan, dalam generator arus dan tegangan sefase dan daya terkirim dalam jalur. Arus yang mengalir pada kabel akan membentuk medan magnet dan medan listrik sehingga pada antara kedua kabel terbentuk induktor dengan indukstansi diri L o (H/m) dan kapasitor dengan kapasitansi C o (F/m) . Bila pada kawat tidak ada R maka kawat disebut loss less

7.2

Jalur transmisi tanpa hambatan(ideal lossless)

Gambar 7.1 adalah elemen panjang dx(dx <<< λ yaitu panjang gelombang tegangan dan gelombang arus). Pada waktu tertentu laju perubahan tegangan persatuan panjang sebesar tegangan turun dalam induktor,

∂V dx = ∂x

∂V ∂I = −Lo −Lodx ∂I → ∂t ∂x ∂t 69

(7.1)

Bab7. Gelombang pada jalur transmisi

Gambar 7.1:

70

Suatu elemen dari jalur transmisi ideal dengan induktansi Lo (H/m) dan kapasitansi

C o (F/m)

Juga laju perubahan arus pada waktu tertentu sepanjang kawat sebesar jumlah muatan pada kapasitor

∂q ∂ ∂I ∂ = (C o dx)V dx = (C o dx)V dan ∂t ∂t ∂x ∂t ∂I ∂V = C o ∂x ∂t persamaan(7.1) dan (7.2) diturunkan lagi terhadap t dan x didapatkan dI =

−

(7.2)

−

∂ 2 V ∂ 2 V = L o C o 2 (7.3) ∂x 2 ∂t ∂ 2 I ∂ 2 I (7.4) mboxdan = L o C o 2 ∂x 2 ∂t Dari persamaan(7.4) diperoleh v 2 = Lo1C o , dimana v adalah kecepatan gelombang arus dan gelombang tegangan yang menjalar sepanjang kabel dengan

v v

≈ ≈

(mgnetic inertia)

Lo

× ( kapasitas menyimpan energi potensial)

× C o

Untuk kabel koaksial dengan jejari dalam r 1 dan luar r 2 yang berisi bahan polythene dengan permeabilitas magnetik µ dan permitivitas listrik  akan mempunyai induktansi per satuan pan jang,

µ r 2 ln 2π r1 2π ln rr21

Indukstansi/m Lo = Kapasintasi/m C o = Catatan : µ o = 4π

7.3

−7

× 10



henry/m dan  o = 36π

× 109



−1

farad/m

Karakteristik Impedansi Jalur Transmisi

Dari persamaan(7.1) dan (7.2) didapatkan 2π 2π V + = V o+ sin (vt x) dan V − = V o− sin (vt + x) λ λ 2π 2π I + = I o+ sin (vt x) dan I + = I o+ sin (vt + x) λ λ

− −

Teaching Grant

(7.5)

(7.6)

QUE–Project

71

Refleksi dari ujung jalur transmisi

dengan tanda (+) gelombang menjalar ke kanan atau x + dan tanda ( ) gelombang menjalar ke kiri atau x − . Mengacu pada persamaan(7.1) maka untuk tanda (+)

− 2πλ V o+ cos 2πλ (vt − x)

−

−LoI o+ 2πλ v cos 2πλ (vt − x)

=

V o+ = I o+ Lo

1 = I o+ Lo C o

√



Lo C o

(7.7)

atau

V o+ = vLo I o+ Didefinisikan Z o =

V + I +

= vLo =



Lo C o

Ω dan

total pada jalur transmisi adalah :

V = V + + V −

V + = vL o I +

→

−Z o = dan

V I

−

−

=



Lo C o .

(7.8)

Jadi tegangan total dan arus

I = I + + I −

(7.9)

Bila arus dan tegangan menjalar pada satu arah, arus dan tegangan sefase. Secara terus menerus energi dikirim oleh generator pada jalur. Tetapi bila dua arah dan arah yang satu sebagai refleksi yang lain maka tidak berlaku pernyataan di atas.

7.4 Refleksi dari ujung jalur transmisi Anggaplah bahwa impedansi karakteristik Z o dari jalur transmisi memiliki panjang berhingga dan pada ujung lain impedansi muatan Z L terpusat pada generator dengan arah penjalaran berlawanan, seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Pada ujung “diload” berlaku

Gambar 7.2: Refleksi

V + + V − = V L V L = Z L I L

di ujung jalur transmisi

I + + I − = I L V + V − = = Z o I + I −

dan dan

−

(7.10)

(7.11)

Dari persamaan(7.10) dan (7.11) diperoleh Koefisien refleksi amplitudo tegangan,

V − Z L Z o = V + Z L + Z o

−

Teaching Grant


Bab7. Gelombang pada jalur transmisi Koefisien refleksi amplitudo arus,

72

I − Z o Z L = I + Z L + Z o

(7.13)

V L 2Z L = V + Z L + Z o

(7.14)

−

Koefisien transmisi amplitudo tegangan

Koefisien transmisi amplitudo arus

dimana Z L = Z o

→

→

I L 2Z o = (7.15) I + Z L + Z o gelombang “dimatch” atau refleksi tidak ada dan Z L = 0 terhubung pendek

V L = V + + V − = 0

→ V + = −V yaitu total refleksi dan berubah fase π . Hubungan pendek −

dengan Z L = 0 terbentuk gelombang berdiri diujung dengan arus maksimum dan tegangan nol. Kemudian karena ada beda fase pada posisi x dimanapun di garis transmisi, dapat dinyatakan tegangan dari dua buah gelombang

V x = V + + V − = Z o I +

− Z oI

−

(7.16)

= V o+ ei(ωt−kx) + V o− ei(ωt+kx)



V o+ = V o− = V o+ e iωt e−ikx dan

I x = I + + I − = =

ikx

−e



=

−(i)2V o+ sin kxeiωt

(7.17)

V o+ −ikx e + eikx eiωt Z o 2V o+ cos kx eiωt Z o





(7.18)

Kalau dilihat dalam ruang, arus terdahulu 90 ◦ dari tegangan dan dalam waktu arus terdahulu

90◦ terhadap tegangan juga ( j) artinya arus tertinggal 90 ◦ terhadap tegangan. Sedangkan

−

energi yang tersimpan dalam kapasitor adalah 21 C o V 2 dan dalam induktor 21 Lo I 2 , berganti setiap 41 siklus.

7.5

Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi

Efek hambatan dalam jalur transmisi diakibatkan adannya hambatan pada kabel. Pandang suatu rangkaian RLC dimana pada C diparalelkan dengan (konduktansi) sepanjang jalur berlaku

G

∂V ∂I = iωC o V dan = −Lo − Ro I = −(Ro + iωLo )I → C o ∂V ∂t ∂x ∂x ∂I ∂I ∂V I = I o eiωt → Lo = iωL o I dan = −C o − GoV = −(Go + iωt)V ∂t ∂x ∂t

V = V o eiωt

(7.19)

(7.20)

Jika persamaan(7.19) dan (7.20) diturunkan lagi terhadap x maka diperoleh

∂ 2 V ∂I = (R + iωL ) = +(Ro + iωLo )( o + iωC o )V = γ 2 V o o 2 ∂x ∂t 2 ∂ I ∂V = ( + iωC ) = +( o + iωC o )(Ro + iωL o )I = γ 2 I o o 2 ∂x ∂t

− G

Teaching Grant

G

G

(7.21) (7.22)

QUE–Project

73

Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi

Gambar 7.3: Efek

dengan nilai γ 2 = +(

γ = α + ik

→

γ 2

hambatan dalam jalur transmisi

Go + iωC o)(Ro + iωLo )I = Ro Go − ω2Lo C o +i ω(LoGo + RoC o).

= α 2

−

k2

      α2 −k2

2αk

+ 2iαk (Konstanta propagasi), α =attenuasi=koefisien absorpsi dan

k = bilangan gelombang.

Sedangkan penyelesaian secara umum merupakan fungsi x dan t yaitu

∂ 2 V ∂x 2

2

− γ V = 0 → V

=

                Ae−γx + Be +γx e jωt

(7.23)

= A e−αx ei(ωt−kx) +B eαx ei(ωt+kx) 1

∂ 2 I ∂x 2

− γ 2I = 0 → I

=

2

A e−γx + B e+γx eiωt

(7.24)

= A e−αx ei(ωt−kx) +B  eαx ei(ωt+kx) 1



Gambar 7.4: Tegangan

2



dan arus pada ...

Kesimpulan : (a) 1 dan 1’ adalah gelombang menjalar ke kanan dengan amplitudo bervariasi e −αx (merupakan gelombang datang). Teaching Grant

QUE–Project

Bab7. Gelombang pada jalur transmisi

74

(b) 2 dan 2’ adalah gelombang menjalar ke kiri dengan amplitudo bervariasi e −αx (merupakan gelombang pantul). (c) Bila jalur transmisi berisi hambatan berarti ada energi yang hilang yang sebanding dengan

  e−αx

2

= e −2αx (jalur bersifat resistif, viskos, friksi atau difusif)

(d) Bila jalur transmisi berisi murni induktor(inersia) dan kapasitor(elastisitas) maka bentuk gelombang sinus atau cosinus (e) Bila jalur transmisi ada hambatan R maka gelombang berbentuk eksponensial.

Teaching Grant

QUE–Project

Daftar Pustaka

[1] Pain, H.J.,(1999), The Physics of Vibarations and Waves , 5th Edition, John Wiley & Sons. [2] Puri, S.P.,(1989), Fundamental of Vibration and Waves , Tata McGraw Hill Publishing Company Limited. [3] Alonso, M and Finn, E.J.,(1971), Fundamental Physics II, Fields and Waves , Addison– Wesley. [4] Crawford Jr, F.S.,(1968), Berkeley Physics Course ”Waves” , Volume 3, McGraw-Hill Book Co.

75

Daftar Indek

Beat, 24

Gerak

Bulk, 56

harmonik sederhana, 1

Bulk solid, 57

harmonik teredam, 8

Debye, 68

Impedansi

Derajat kebebasan, 23

jalur transmisi, 71

dilatasi, 50

Impedansi

Diskontinyu, 57

match, 38 Impedansi akustik, 55

Efek

induktansi

hambatan, 73

diri, 27

Energi

mutual, 27

dissipasi, 12 kinetik, 2

Kabel kosksial, 71

potensial, 2

kondensasi, 50

total, 3

Konstanta Lame, 56 konstanta redaman, 8

Faktor kualitas, 11

Kopling

Fluks energi, 54

kuat, 27

Gelombang

lemah, 27

aruslistrik, 70

pegas, 21

berdiri, 33 Logaritmic decrement, 11

bidang, 33

Lossless, 70

bola, 33 kejut, 51

Max Planck, 68

longitudinal, 33, 50

Mode, 23

potensial, 70

Modus, 23

transmisi, 70

normal, 64

transversal, 32 Gempa bumi, 57

Non trivial, 30 76

Catatan Kuliah Gelombang.pdf

Recommend Documents