Catatan Kuliah Fuzzy.pdf

MATERI PERKULIAHAN

Dosen Pengampu : Drs. Sri Mulyana, M.Kom

Editor: MULYANTO

PROGRAM PASCA SARJANA ILMU KOMPUTER FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA  YOGYAKARTA  YOGYAKARTA 2012

1

Pertemuan 2 12/9/2012

Bentuk lain inferensi pvq p . q Cerita: Ada fakta-fakta: Telah terjadi pembunuhan - Terdapat banyak jejak di seluruh ruang - Tidak ada barang yang hilang Apa motif pembunuhan ? (Politik, pencurian, other) Asumsi: p : motif politik q : motif pencurian r : other motif s : ada barang hilang t : pembunuh segera pergi u : banyak jejak kaki Rule: 1. q  s 2. p  t 3. t  u Inferensi 1. p v q v r (kesimpulan) 2. q  s s q (MP) q

 p v r

r 3. t  u (u) t p  t

t (MT)



p

Himpunan Klasik & Himpunan Fuzzy Himpunan: kmpulan obyek dengan syarat keanggotaan tertentu. Penyajian: - list A = {a, b, c, d, e} - Syarat A = {x | x 5 abjad pertama} Disimbolkan: x  A  A x anggota A Y  A  y bukan anggota A

2

1

Pertemuan 2 12/9/2012

Bentuk lain inferensi pvq p . q Cerita: Ada fakta-fakta: Telah terjadi pembunuhan - Terdapat banyak jejak di seluruh ruang - Tidak ada barang yang hilang Apa motif pembunuhan ? (Politik, pencurian, other) Asumsi: p : motif politik q : motif pencurian r : other motif s : ada barang hilang t : pembunuh segera pergi u : banyak jejak kaki Rule: 1. q  s 2. p  t 3. t  u Inferensi 1. p v q v r (kesimpulan) 2. q  s s q (MP) q

 p v r

r 3. t  u (u) t p  t

t (MT)



p

Himpunan Klasik & Himpunan Fuzzy Himpunan: kmpulan obyek dengan syarat keanggotaan tertentu. Penyajian: - list A = {a, b, c, d, e} - Syarat A = {x | x 5 abjad pertama} Disimbolkan: x  A  A x anggota A Y  A  y bukan anggota A

2

2

Universe (Semesta pembicaraan) , dilambangkan dengan V atau X : himpunan yang memuat semua obyek yang dibicarakan. Operasi Dasar Himpunan: A & B himpunan dalam semesta X 1. Union : A  B = {x  X | x  A atau x  B} 2. Irisan: A  B = {x  X | x  A dan x  B} 3. Complemen : Ac = {{x| x  X dan x  A} - Ac = X – A 4. Differensi: A | B atau A – B = {x | x  A dan x  B} 5. Selisih simetri: A  B = (A  B) – (A  B) atau A  B = (A  – B)  (B – A) Derajat Keanggotaan A (x)  {1, 0} Dimana: A (x) = 1, x  A 0, x  A Sifat-sifat operasi himpunan setara dengan logika ^ v C deMorgan (p ^ q) = p v q (p v q) = p ^ q

not(A  B) = not(A)  not(B) (A B)c = Ac  Bc

p ^ p = 0 pvp=1

A  Ac = Ø A  Ac = X(S)

tidak berlaku di fuzzy

Pembuktian A  B A  B = (A  B) – (A  B) = (A  B)  (A  B)c = (A  B)  (Ac  Bc) = {(A  B)  Ac}  {(A  B)  Bc} = {(A  Ac)  (B  (B Ac) }  {(A  Bc)  (B  Bc)} = (B (B Ac)  (A  Bc) = (B – A)  (A – B) = (A – B)  (B – A) Gambar himpunan keanggotaan 1 , a  x  b A (x) =

x

1

0, x < a atau x > b A (x) : fungsi keanggotaan x pada himpunan A (membership function ) a

b

Contoh: 1. X = {1, …, 8}

3

3

A = {x | x  4}

 {1, 2, 3, 4}

=

B = {x | x genap}  {2, 4, 6, 8}

=

A  B =



1 1

1

1

1

0

1

0

2

3

4

5

6

7

  1 1 0

+ + + + + + +

1 1

1

1

1

0

0

0

0

2 1

3 0

4 1

5 0

6 1

7 0

8 1

2

3

4

5

6

7

8

+ + + + + + + + + + + + + +

8



Himpunan Fuzzy X = semesta pembicaraan Himpunan fuzzy A (A), suatu himpunan dengan A (x)  [0, 1] Contoh:  A 1

0

2

4

6

8

        ⋯    ∫ 

Penyajian: 1. A

=

1

1

2

+

2

+

 =

 diskrit

Kalo pak Yoyo nulisnya: A = {(x 1, A (x1)), (x2, A (x2)), … } ( )

Kalo kontinu : A =

Fungsi keanggotaan yang biasa dipakai:

A (x) =

1

a

−− 0,

x
1,

x  b

b

−− 1,

1

A (x) =

0,

a

x
b

1

1

Inti dari membership function  nilai maksimum 1, nilai minimum 0. Di Buku Wang ada membershift function “number close to zero”  gaussion function

-x2

 = e 0

4

4

1

A (x) =

-1

0

0 x+1 1 – x

, x <-1 atau x  1 , -1  x < 0 , 0  x < 1

1

Operasi Himpunan Fuzzy Himpunan semesta X Didefinisikan himpunan fuzzy A, B pada X. 1. 2. 3.

A B (x)

= A(x) B (x) = A(x)  = 1 - A(x)

B(x)

= min( A(x), B(x) = max( A(x),

  A

B(x)) B(x))

Grafiknya: 1

 A

B

 A

1

A  B

B

1

 A

A

A  B

Yang tidak berlaku Fuzzy, tapi berlaku di klasik. A  Ac A  Ac Kalau pada klasik A   Ā = X

1

A   Ā = Ø

Kalau pada Fuzzy  A  Ac  X

1

A  AC  Ø

Contoh: x = {1, 2, 3, 4, 5}

    

Didefinisikan A = B=

1

+

2 0,5 2

0,5

+

+

3 0,7 3

0,3

+

+

4 0,2 4

0,2

+



5 0,4 5

    

Tentukan : , , AB, AB, A – B, B – A, AB, A  , A  , B  , (A  B)C, (A  B)c

5

5

                                     Jawab:  =

 =

1

1 1 1

0

+ + +

2 0,5

0

AB =

1 1

AB =

2

0,5

+

2

+

+

3

c c

2 0,5

B – A = B  A  =

+ +

2

5 0,6 5

0,2

+ +

0,8

+

4

3 0,3

4 0,5

A – B = A  B  =

+

4 0,8

0,5

+

2 0,7

0,7

+

3

0,5

+

+

3 0,3

5 0,3

+

3

A   = A   = B   =

2 1

0,3

+

+

3

1

0,5

+ +

1 0,5 3

2

+

0,2 4 1

C

(A  B) = 1 –

2

0,3

3

+

+

c

5 0,7 3

c

= A  B  = 0

(A  B)c = 1 -

1

+

c

0,4

1

1 0,5

c

= A  B  =

+

2 1 1

0,3

+

2 0,5

3 0,5 2

+

0,5 3

+

0,2 4

+

0,2 5

5 0,4

5 0,5

0,3

+

3

+

4

0,4 5

5

0,4

+

4 0

2

0,6

+ +

+

+

2

+

4

+

4 0,5

0,5

0,2

+

4 0,2

5

0,8

+

0,3

0,2

+

4

 bisa ditulis

5

+

3 0,5

A  B = (A – B)  (B – A) = 0,5

0,2

+

4 0,4

5 0,3

+

+

3 0,2

+

4 0,5 3

1

 =

1

0,7

+

+

+

4 0,2 5 0,8 4

0

0,3

2 0,6

3

+ + 5

+

0,7

+

4

0,6 5

(prove)

1

 =

+

1 0,8

+

0,5 2

+

0,5 3

+

0,8 4

+

0,8 5

5

Pembuktian bahwa A  Ac  Ø A  Ac = A  Ac =

0,5 3 1 1

+

0,3 4

+

1

0,5

2

3

+ +

0,2 5

+

 Ø

0,7 4

+

0,8 5

 X =

1 1

1

1

1

1

2

3

4

5

+ + + +

Contoh untuk yang kontinu 1

anak

muda

10 15

45 50

− − 1

A (x) =

  

15

5

0 0  (x) =



10

5

1

− − 0

 (x) =

tua

10

5

1

50

5

60

usia

, x < 10 , 10  x < 15 , x  15 , x < 10 , 10  x < 15 , x  15 , x < 10 atau x  50 , 10  x < 15 , 15  x < 45 , 45  x < 50

6

6



− − − − 1

 (x) =

15

5

0

45

5

0

45

T (x) =



15

1 1

60

 (x) =

15

0 anak

1

, x < 10 atau x  50 , 10  x < 15 , 15  x < 45 , 45  x < 50 , x < 45 , 45  x < 60 , x  60 , x < 45 , 45  x < 60 , x  60 muda

tua

AM (x) = 10 15

1

anak

45 50

usia

60

muda

− − 0

, x < 10 atau x  15

10

, 10  x < 12,5

5 15

, 12,5  x < 15

5

− − − 0

tua

MT (x) =

10

5

1

50

10 15

45 50

usia

60

5 45

15

1

, x < 10 , 10  x < 15 , 15  x < 45 , 45  x < 48,75 , 48,75 x < 60 , x  60

Fuzzy Relations Relasi fuzzy melibatkan dua buah himpunan yang saling berelasi. Misal usia dengan kekuatan. Konsep-konsep dasar himpunan Fuzzy Support dari himpunan A adalah yang memiliki fungsi keanggotaan A (x) > 0. Supp (A) = { x  U | A (x) > 0 } Contoh : (di Wang) several =



0,5 3

+

0,8 4

1

1

0,8

5

6

7

+ + +

Supp (several) = { 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

+

0,5 8



Konsep lain: alpha cut (cut) cut (A) = { x  U | A (x)   } Misalnya: untuk  = 0,7 maka several  = {4, 5 , 6 ,7}

7

7

Pada fuzzy yang kontinu.

1

-1

Jika  = 0,1 maka A = [-0,9 ; 0,9] Jika  = 0,9 maka A = [-0,1 ; 0,1]

0

1

8

8

Pertemuan 3 (19 September 2012) Standard Zadeh µAB (x) = max (µ A (x), µB (x)) µAB (x) = min (µ A (x), µB (x))  = 1 - µ A (x)

  

Operator-operator yang lain: Fuzzy Complement, yang penting memenuhi 2 syarat pokok. Fuzzy complement me rupakan komplemen  jika memenuhi aksioma-aksioma: i) C(0) = 1 dan C(1) = 0 (boundary condition) ii) a, b  [0, 1] jika a ≤ b maka C(a) ≥ C(b) (non increasing condition ) Contoh: µA (x1) = 0,5 µA (x2) = 0,2 1  = 0,5 2  = 0,8

        , x2 < x1

     

2

>

1

Berdasarkan aksioma di atas, berikut termasuk complement: 1. Sugeno Complement C (a) =

−  −−

1

1+

Kalau: a = 0,2

b = 0,4 2.

C (a) =

1

+

1

Jika: a = 0 a=1

3. Yager Complement



C(a) = (1 – a)1/ a=0 a=1

,   (-1, )

 

= =

− − −−   −− 

1 0,2 1+0,2 1 0,4 1+0,4

,   [0, 1]

= =

1 0

0+ 1+

1 0 1 1 1 1

 =  = 1 0

 =  = 0 1

,   (0, )

  = (1 – 0)1/ = 1   = (1 – 1)1/ = 0

Contoh:

9

9

      − −  −   − −  −    

1. x : {1, 2, 3, 4, 5} A= B=

0

1

0,5

+ +

1 0

2 0,5

+

1

3 0,7

+

2

0,3

+

4 0,2

+

3

0,2

+

5 0,4

+

4

5

Tentukan A-B, B-A, dengan menggunakan C Sugeno  = 2! (standard himpunan) =

=

B =

(1 0)/(1+2.0) 1

0

0,25

+ +

1

=

+

1

+

2

+

0,57

+

3 4 min (0,1)

A – B = A  B  =

0

=

+

1

1 0,25 2

0

=

1

2

+

3

+

0,3

0,25

2

3

2 0,2

+

4

4

+

+

+

min (0.5,0.125) 3

0,2

+

min (0.5,0)

1 0

3

+

4

−

(1 0,2)/(1+2.0,2)

0,33

0,125

+

+ +

(1 0,7)/(1+2.0,7)

+

5 min (1,0.25)

+

min (0,1)

B – A = B  Ac =

−

(1 0,3)/(1+2.0,3)

+

2

+

+

3

4 5 (1 0,5)/(1+2.0,5)

0,125

c

(1 0,5)/(1+2.0,5)

+

2 0,57

0,44

+

1 2 3 (1 0)/(1+2.0) 1 0,25

(1 1)/(1+2.1)

+

1

+

4

min (0.3,0.57) 4

+

−

(1 0,2)/(1+2.0,2)

+

5

−

(1 0,4)/(1+2.0,4) 5

min (0.7,0.25) 3

+

min (0.2,0.44) 4

+





min (0.2,0.33) 5



5

+



min (0.4,0.57) 5

0,4 5

Untuk yang gabungan (union), misalkan akan diperiksa apakah hukum de Morgan berlaku jika menggunakan Sugeno Complement dengan  = 2? Contoh: (A  B)c = Ac  Bc A= B= c

     − −  −     

A  = c

B  =

0

1 0

1

+ +

+

1 1 1 1 1

2 0,5 2 0

+

+

c

(A  B)

2 0,25 2 0 1

=

= =

c

A  B

=

=

3 0,25 3

+

0,3

+

3 0,7

+ +

(A  B) =

c

0,5

4 0,2

+

+

+

4

+

3

+ +

5 0,4

4 0,44

0,125

1

0,2

+

0,7

5 0,57

+

5

0,57

+

+

4 0,3

+

2 3 4 (1 0)/(1+2.0)

1/1

+

1 1

1 0/3 2

0

+ +

1 1

0,3/2,4 3

0,125

1 2 min (1,1)

+

0,44

+

2 0,7/1,6

+

3 4 min (0,0.25)

+

1 0

0,125

2

3

+ +

5 0,4

5 (1 1)/(1+2.1)

+

+

0,33

+

2 0,44 4

4 0,33

+

+

0,6/1,8

3

+

−

(1 0,3)/(1+2.0,3) 4

+

−

(1 0,4)/(1+2.0,4) 5

5

5 min (0.25,0.125)

+

+

(1 0,7)/(1+2.0,7)

3

0,33

+

min (0.44,0.57) 4

+





min (0.57,0.33) 5

5

Dengan menggunakan komplemen Sugeno dan union/intersection standard, hukum de Morgan tetap berlaku. (A  B) =

 −  0 1

(A  B)c = = =

+

0,5

+

0,5

+

2 3 (1 0)/(1+2.0)

1/1 1 1 1

+

+

1 0,5/2

0,25 2

2

+

+

0,2 4

+

0,2

5 (1 0,5)/(1+2.0,5)

0,5/2

0,25 3

−

+

3

+

+

0,57 4

2 0,8/1,4

+

4 0,57 5

+

−

(1 0,5)/(1+2.0,5)

  +

0,8/1,4 5

3

+

−

(1 0,2)/(1+2.0,2) 4

+

−

(1 0,2)/(1+2.0,2) 5



10

10

Ac  Bc

= =



max (1,1) 1 1

1 0,25

+

2

max (0,0.25)

+

2 0,25

+

3

+

Relasi / Fungsi C : [ 0, 1 ]  [ 0, 1 ]

0,57 4

+

+

max (0.25,0.125)

0,57 5



3

+

max (0.44,0.57) 4

+



max (0.57,0.33) 5

complement

Union (S-Norm) S : [ 0, 1 ] x [ 0, 1 ]  [ 0, 1 ] Union dari himpunan fuzzy dengan himpunan fuzzy menghasilkan sebuah himpunan fuzzy. µA (x) dan µB (x)  µAB (x) Pemetaan fungsi keanggotaan himpunan A dan himpunan B ke fungsi keanggotaan A  B dinyatakan: S (µA (x), µB (x)) = µ AB (x) Suatu fungsi S merupakan fungsi union (S-norm) jika memenuhi aksioma-aksioma sebagai ber ikut: 1. S(1, 1) = 1, S(0, a) = S(a, 0) = a (boundary condition) 2. S(a, b) = S(b, a) (comutative condition) 3. Jika a ≤ a’ dan b ≤ b’ maka S(a, b) ≤ S(a’, b’) (non decreasing condition ) 4. S(S(a, b), c) = S(a, S(b, c)) (assosiative condition ) Beberapa fungsi yang memenuhi S-Norm 1. Dombi Class

− − − − −  1

S(a, b) = 1+

1

1

1

1

+

,   [ 0, ]

1

 −− − −  −    

2. Dubois-Prade Class +

S(a, b) =

min ( , ,1

max (1

,1

)

, )

,   [ 0, 1]

3. Yager Class

1

S (a, b) =

1,

+

,   [ 0, ]

4. Drastic Sum

a, jika b = 0 SDS (a, b) = b, jika a = 0 1, others 5. Einstein Sum SES (a, b) =

  +

1+

6. Algebraic Sum

S AS (a, b) = a + b –  ab 7. Zadeh – Standard S (a, b) = max (a, b)

Contoh: x = {1, 2, 3, 4, 5} A= B=



0

1 0 1

1

+ + +

2 0,5 2

0,5

+

3 0,7

+

3

0,3

+

4 0,2

+

4

0,2



5 0,4

+

5

11

11

Drastic Sum SDS (x) = Algebraic Sum SAS (x) = =

   0 1

0 1

1

1

1

1

2

3

4

5

+ + + + 0+0



− ∗  − ∗  − ∗  − ∗  − ∗ (0 0)

1

1

0,85

2

3

+ +

+

+

1+0,5

0,44 4

+

(1 0,5)

2 0,52 5



+

0,5+0,7

(0,5 0,7)

3

+

0,3+0,2

(0,3 0,2)

4

+

0,2+0,4

(0,2 0,4)

5



Pertemuan 4 (26 September 2012)

Untuk sembarang S-norm, berlaku: max (a, b) ≤  S (a, b) ≤  SDS (a, b)

Pembuktian: 1. Max (a, b) ≤ S (a, b) Menurut aksioma 1 dan 3 S (a, b) ≥ S (a, 0) = a

Juga S (a, b) = S (b, a) ≥ S (b, 0) = b Dari (1) dan (2) diperoleh: S (a, b) ≥ max (a, b) Atau max (a, b) ≤  S (a, b)

2. Drastic Sum menyatakan a jika b = 0, b jika a = 0, 1 untuk yang lain. S (a, b) ≤  SDS (a, b)

Di matematika, dikenal dengan pembuktian berdasarkan kasus: o Jika b = 0, S(a, b) = S (a, 0) = a, sehingga S(a, b) = SDS (a, b) = a o Jika a = 0, S(a, b) = S (0, b) = b, sehingga S(a, b) = SDS (a, b) = b o Jika a  0, b  0, sehingga SDS (a, b) = 1 ≥ S (a, b) Dari ketiga kondisi di atas, diperoleh S (a, b) ≤ SDS (a, b) Fuzzy Intersection (T-Norm) t : [ 0, 1 ] x [ 0, 1 ]  [ 0, 1 ] Pemetaan fungsi keanggotaan fuzzy A dan B ke fungsi keanggotaan himpunan fuzzy A  B t (µA (x), µB (x)) = µAB (x) Yang sudah dikenal sebelumnya (standard Zadeh) µAB (x) = min (µ A (x), µB (x))

Aksioma-aksioma pada t-norm 1. t(0, 0) = 0, t(1, a) = t(a, 1) = a 2. t(a, b) = t(b, a) 3. Jika a ≤ a’ dan b ≤ b’ maka t(a, b) ≤ t(a’, b’) 4. t(t(a, b), c) = t(a, t(b, c))

(boundary condition) (comutative condition) (non decreasing condition ) (assosiative condition )

12

12

Beberapa fungsi yang memenuhi t-norm 1. Dombi Class

−  −    1

t(a, b) = 1+

1

1

1

1

+

,   [ 0, ]

 pembuktian pake pendekatan limit

1

   

2. Dubois-Prade Class t(a, b) =

.

,   [ 0, 1]

max ( , , )

3. Yager Class Tw (a, b) = 1 ,   [ 0, ]

−  −  −  1,

1

+ 1

1/

4. Drastic Product a, jika b = 1 tDS (a, b) = b, jika a = 1 0, others

  −  −

5. Einstein Product tEP (a, b) =

.

2 ( +

)

6. Algebraic Product tAP (a, b) = a.b

7. Zadeh – Standard t (a, b) = min (a, b) Untuk sembarang t-norm, berlaku: tDP (a, b) ≤ t (a, b) ≤ min (a, b) Bukti: 1. tDP (a, b) ≤ t (a, b) Jika b = 1, t (a, b) = t (a, 1) = a sehingga t (a, b) = tDP (a, b) = a Jika a = 1, t (a, b) = t (1, b) = b sehingga t (a, b) = tDP (a, b) = b Jika a  1, b  1 sehingga tDS (a, b) = 0 ≤ t (a, b) 2. t (a, b) ≤ min (a, b) Menurut aksioma 1 dan 3 t (a, b) ≤ t (a, 1) = a (1) Juga t (a, b) = t (b, a) ≤ t (b, 1) = b (2) Dari (1) dan (2) diperoleh: t (a, b) ≤ min (a, b) Atau min (a, b) ≥ t (a, b) Contoh: x = {1, 2, 3, 4, 5} A= B=



0

1 0 1

1

+ + +

2 0,5 2

0,5

+

3 0,7

+

3

0,3

+

4 0,2

+

4

0,2



5 0,4

+

5

13

13

   ∗  ∗ ∗  ∗ ∗        ∩   ∪    −  −  −       

Standard Zadeh

min (0,0)

µAB (x) =

1

=

0

+

1

0,5 2

+

+

min (1,0.5)

0,5 3

+

2 0,2 4

min (0.5,0.7)

+

+

3

+

min (0.3,0.2) 4

0,2 5

+



min (0.2,0.4) 5

Algebraic Product µAB (x) = =

0 0 1

0

+

1

+

0,5 2

(1 0,5)

+

2 0,35 3

+

+

(0,5 0,7) 3

0,06 4

+

+

(0,3 0,2) 4

+

(0,2 0,4) 5

0,08 5

Drastic Product µAB (x) =

0 1

+

0,5 2

0

0

0

3

4

5

+ + +

Hukum de Morgan  = Jika diterjemahkan dalam bentuk Fuzzy , = , Contoh: Buatlah  dengan Yager Class dan Algebraic Sum/Product menggunakan C Standar , 1

Yager Class : Sw (a, b) =

1,

+

tw (a, b) = 1

,

 =

1,

1

+ 1

1/

,

1

= 1 –

1,

+

Algebraic Sum : SAS (a, b) = a + b – ab Product : tAP (a, b) = a.b C(a) = 1 – a C(b) = 1 – b  = (1 – a) (1 – b) = 1 – a – b + ab , = 1 – (a + b  – ab) = 1 – a – b + ab ,

          Contoh:

Buatlah  dengan Algebraic Sum/Product menggunakan C Standard. , = , tAP (a, b) = a.b  = 1 – a.b , C(a) = 1 – a C(b) = 1 – b  = (1 – a) + (1 – b) – (1 – a) * (1  – b) , = 2 – a – b – (1 – a – b + ab) = 1 – ab

14

14

Relasi Fuzzy Relasi : cara mengkawankan

 A

B

Cartesian Product untuk dua himpunan A dan B A x B = { (x, y) |  x  A,  y  B } Pada keanggotaan biner, relasi dari A ke B = subset dari A x B Misal: A = {1, 2}, B = {a, b} A x B = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b) }  R = { (1, a), (2, b) B x A = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) }  S = { (a, 2), (b, 1) 2 A x A = A  = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} Jika A  B maka A x B  B x A Syarat keanggotaan klasik  µR (x, y)  { 0 , 1 } Ditulis: 1 , (x, y)  R µR (x, y) = 0 , (x, y)  R Misal: A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} R = { (1, b), (3, b), (2, c) } =

 1

(1, )

+

 

1

(3, )

+

1

(2, )

Dalam bentuk gambar: 1

a

2

b

3

c

 A

B

Kalau di Fuzzy  µR (x, y)  [ 0, 1 ] Tidak hanya pada semesta yang diskrit, bisa juga didefinisikan pada semesta yang kontinu. Sembarang relasi biner A ke A atau B ke B UA = A x A (univers semesta pembicaraan) IA = { (x, y) | x = y,  x, y  A }  I : Identitas Misal : A = {0, 1, 2} UA = { (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2) } IA = { (0, 0), (1, 1), (2, 2) }

15

15

Misalkan suatu relasi : S = { (x, y) | y ≥ 2x, x, y  R } Semua sifat pada himpunan juga berlaku pada relasi. Misalkan R dan S adalah relasi. Maka berlaku: R  S, R  S, Rc, Sc

Sifat-sifat relasi: Didefinisikan relasi R, S pada X, Y. RXxY (subset dari X x Y) SXxY (subset dari X x Y) Maka: R  S  µRS (x, y) = S (µR (x, y), µS (x, y)) = max (µ R (x, y), µ S (x, y)) R  S  µRS (x, y) = t (µ R (x, y), µS (x, y)) = min (µ R (x, y), µS (x, y)) Rc =  , = C (µR (x, y)) = 1 - µR (x, y) Contoh: A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c} R = { (1, b), (3, b), (2, c) } S = { (1, a), (2, b), (1, b), (3, e) } R  S = { (1, a), (1, b), (2, b), (2, c), (3, b), (3, e) } R  S = { (1, b) }  = semua anggota semesta yang bukan relasi R. (Semesta = U = A x

  



(standard zadeh) (standard zadeh) (standard zadeh)

B)

Komposisi Relasi 1

a

x

2

b

y

3

c

z

 A

B

C

Relasi langsung dari A ke C  T = R  S Misalkan kita mempunyai R : relasi dari semesta X ke Y dan S : relasi dari semesta Y ke Z Maka relasi T yang merealisasikan dari X ke Z disebut komposisi relasi. Contoh : R

S

1 1

1

2

2

3

3

2

4

X

Y

Z

R = { (x1, y1), (x1, y3), (x2, y4) } S = { (y1, z2), (y3, z2) } Apa relasi T dari X ke Z ? T = R  S Kita bisa menggunakan 2 buah metode: 1. Max-Min Komposisi relasi 2. Max – Product komposisi relasi

16

16

                                                                                               

Jika digambarkan secara membership function 1

1

R=

2 3

1 0 0

2

0 0 0

T (x1, z1) =

3

1 0 0

4

0 1 0

1

1

S=

T (x1, z2) =

,

1,0 1,0 , 0,0,0,0 0,0,0,0

1,

= = =1

3

4

1,

= = =0

2

1,1 1,1 , 1,0,1,0 1,0,1,0

2

0 0 0 0

1 0 1 0

,

1

0,0 0,0 ,

,

,

0,0 0,0 ,

1,0 1,0 ,

0,0 0,0

1,1 1,1 ,

0,0 0,0

2

Dan seterusnya, sehingga diperoleh : 1

1

T=

2 3

0 0 0

2

1 0 0

17

17

Pertemuan 5 (3 Oktober 2012)

Pada logika Crisp T = R  S µT (x, z) = µT (x, z) =

∈∈∈∈  ∧∘   , ,

 max – min  max – product

, ,

Relasi Fuzzy Relasi crisp tidak akan dapat merepresentasikan dengan baik untuk kasus sebagai berikut: X = {SF, HK, TKY} , Y = { Boston, HK } R : x  R sangat sangat jauh (very var) Misal :

        0,3 1 0,95

R=

0,9 0 0,1

Kalau di crisp  relasi adalah subset dari A x B Kalau di fuzzy  relasi adalah A x B itu sendiri Relasi Fuzzy: Q = { ((u 1, u2, ..., un), µQ  (u1, u2, ..., un)) | (u1, u2, ..., u n)  U1 x U2 x ... x Un } Dimana µQ  (u1, u2, ..., un)  [0, 1] Misal: A : himpunan fuzzy pada semesta X B : himpunan fuzzy pada semesta Y Jadi R : A  B adalah A x B maknanya A x B = R (X x Y), dengan µR (x, y) = min (µ A (x), µB (y)) Contoh: X = {x1, x2, x3}, Y = {y 1, y2} A=

     

0,2 1

B=

0,3 1

+

+

0,5 2

+

1 3

0,9 2

        1

1

R=

2 3

1

=

2 3

2

min (0.2,0.3) min (0.5,0.3) min( 1, 1,0.3)



min (0.2,0.9) min (0.5,0.9) min (1, 0.9) 0.9)

2

0,2 0,3 0,3

1



0,2 0,5 0,9

 Relasi Fuzzy

Komposisi Relasi Fuzzy

Misal: diberikan 2 relasi S (x, y) dan T (y, z) maka komposisi relasi dinyatakan S  T adalah relasi pada X x Z dengan fungsi keanggotaan µST (x, z) = max t (µS (x, y), µT (y, z)), dimana t = t-norm. Contoh: X = {x1, x2, x3}, Y = {y 1, y2}, Z = { z1, z2 } A=

    

0,2 1

B=

0,3 1

+

+

0,5 2

+

1 3

0,9 2

18

18

C=

  1

+

1

0,5 2

R1 : A  B R2 : B  C

       

  

1

1

R1 =

2 3

R2 =

2

0,2 0,3 0,3

0,2 0,5 0,9

1

2

0,3 0,9

1

2

0,3 0,5

µR1R2 (x1, z1) = max (min (µR1 (x1, y1), µR2 (y1, z1) ), ), min (µR1 (x1, y2), µR2 (y2, z1) )) ))

0,2 R1  R2 = 0,3 0,3

    

0,2 0,3 0,5  0,9 0,9



0,3 0,5

               

max min min 0.2,0.3 0.2,0.3 ,min , min 0.2,0.9 0.2,0.9 = max min min 0.3,0.3 0.3,0.3 ,min , min 0.5,0.9 0.5,0.9 max min min 0.3,0.3 0.3,0.3 ,min , min 0.9,0.9 0.9,0.9 0,2 = 0,5 0,9

0,2 0,5 0,5

max min min 0.2,0.3 0.2,0.3 ,min , min 0.2,0.5 0.2,0.5 max min min 0.3,0.3 0.3,0.3 ,min , min 0.5,0.5 0.5,0.5 max min min 0.3,0.3 0.3,0.3 ,min , min 0.9,0.5 0.9,0.5

Diketahui: R : A  A Tentukan R  R A=

  

0,2 1

+

0,5 2

+

1 3

                                              

0,2 R  R = 0,2 0,2

0,2 0,5 0,5

0,2 0,2 0,5  0,2 1 0,2

0,2 0,5 0,5

0,2 0,2 0,5  =  = 0,2 1 0,2

0,2 0,5 0,5

0,2 0,5 = 1

Contoh di Wang

0,3 1 0,95

P (very far) : U  V

0,9 0 0,1

0,95 0,1

Q (very near) : V  W

0,1 0,9

P  Q = ? Max – Min 

0.3,0.95 0.3,0.95 , 1,0.95 1,0.95 ,

0.95,0.95 0.95,0.95 ,

0.9,0.1 0.9,0.1 0,0.1 0,0.1

0.1,0.1 0.1,0.1

0.3,0.1 0.3,0.1 , 1,0.1 1,0.1 ,

0.95,0.1 0.95,0.1 ,

   

0.9,0.9 0.9,0.9

0,0.9 0,0.9

0.1,0.9 0.1,0.9

19

19

                                  0,3 0,95 0,95

=



0,9 0,1 0,1

Max – Product

0.285,0.09 0.95,0 0.9025,0.01

0,285 0,95 0,9025

=

0.03,0.81 0.1,0 0.095,0.09

0,81 0,1 0,095

Sifat-Sifat Relasi pada Himpunan Crisp Diberikan A : himpunan. Didefinisikan Relasi R : A  A (A2). Berikut sifat-sifat relasi: 1. Reflektif, x  A, x R x a b c d a b c

1 1 1

d

1

2. Simetris, x, y  A, jika x R y maka y R x a b c d a 1 1 1 b 1 c

1

d

1

1 1

3. Transitif,  x, y, z  A, jika x R y dan y R z maka x R z

Jika hanya memenuhi (a) refleksif dan (b) simetris maka disebut relasi tolerans , sedangkan jika ditambahkan (c) transitif maka disebut relasi ekuivalensi .

20

20

Relasi tolerans bisa diekuivalensikan dengan melakukan komposisi relasi terhadap dirinya sendiri (n-1) maksimum (n-1) kali.   R1  = R1   R1   ...   R1 (sebanyak n-1 kali)

       

Contoh:

1

1 1 0 0 0

1

2

R1 =

3 4 5

2

1 1 0 0 1

3

0 0 1 0 0

4

5

0 0 0 1 0

0 1 0 0 1

Sifat: reflektif, simetris, tetapi tidak transitif (x1, x2)  R dan (x2, x5)  R tetapi (x1, x5)  R tidak transitif

1 1 R1  R1 = 0 0 0

1 1 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 1 0 0 1

1 1 = 0 0 1

1 1 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1 1 2 0  = R1  ekuivalens. 0 1



1 1 0 0 0

 

1 1 0 0 1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 1 0 0 1



Bagaimana pada relasi fuzzy? Relasi fuzzy merupakan relasi ekuivalensi jika: 1. Reflektif : (xi, xi)  R, µR (xi, xi) = 1 2. Simetris : µR (xi, x j) = µR (x j, xi) 3. Transitif : µR (xi, x j) = 1 dan µR (x j, xk) = 2 maka µR (xi, xk) =  dengan  ≥ min (1, 2) Seperti pada relasi crisp, jika relasi fuzzy bersifat reflektif dan simetris (toleran), maka dapat dibawa ke ekuivalensi : R1(n-1) = R1  R1  ...  R1 Contoh: 1 0,8 0 0,1 0,2 0,8 1 0,4 0 0,9 0 0 Diberikan R = 0 0,4 1 0,1 0 0 1 0,5 0,2 0,9 0 0,5 1 Refleksif & simetris tetapi tidak transitif. µR (x1, x2) = 0,8 µR (x2, x5) = 0,5 µR (x1, x5) = 0,2 ≥ min (0.8; 0.5)  salah, tidak transitif.



1 0,8 R  R = 0 0,1 0,2



0,8 1 0,4 0 0,9



0 0,4 1 0 0

0,1 0 0 1 0,5

0,2 0,9 0 0,5 1

 

1 0,8 0 0,1 0,2



0,8 1 0,4 0 0,9

0 0,4 1 0 0

0,1 0 0 1 0,5

0,2 0,9 0 0,5 1

 21

21

1 0,8 = 0,4 0,2 0,8



0,8 1 0,4 0,5 0,9

0,4 0,4 1 0 0,4

0,2 0,5 0 1 0,5

0,8 0,9 0,4 0,5 1



µR (x1, x2) = 0,8 µR (x2, x4) = 0,5 µR (x1, x4) = 0,2 ≥ min (0.8; 0.5)  salah, tidak transitif.

1 0,8 R  R = 0,4 0,2 0,8

0,8 1 0,4 0,5 0,9

0,4 0,4 1 0 0,4

0,2 0,5 0 1 0,5

0,8 1 0,9 0,8 0,4  0,4 0,5 0,2 1 0,8

1 0,8 = 0,4 0,5 0,8

0,8 1 0,4 0,5 0,9

0,4 0,4 1 0,4 0,4

0,5 0,5 0,4 1 0,5

0,8 0,9 0,4 0,5 1

 

 

0,8 1 0,4 0,5 0,9

0,4 0,4 1 0 0,4

0,2 0,5 0 1 0,5

0,8 0,9 0,4 0,5 1



µR (x1, x2) = 0,8 µR (x2, x3) = 0,4 µR (x1, x3) = 0,4 ≥ min (0.8; 0.4)  benar, transitif.

22

22

Pertemuan 6 (10 Oktober 2012) VARIABEL LINGUISTIK DAN ATURAN FUZZY

Variabel Linguistik: variabel yang bisa dinyatakan dengan bahasa alami. Contoh: suhu, tekanan udara, berat. Variabel linguistik merupakan dasar representasi pengetahuan. Zadeh : (X, T, U, M) X : nama variabel linguistik T : Himpunan Fuzzy linguistik U : Domain variabel linguistik M : Aturan bagi masing-masing fuzzy-nya ( membership function untuk T ) Contoh: X : kecepatan mobil T : { lambat, sedang, cepat } U : [ 0, Vmax] = [ 0, 120 ] M : { µlambat (x), µsedang (x), µcepat (x) } y

lambat

sedang

1

cepat

µlambat (x) =

60

−

20

0

− − 0

40

60

−

120

µsedang (x) =

20 80 20

0

µcepat (x) =

80

x

40

, x ≤ 60 60

, x ≤ 40

, 40 ≤ x ≤ 60 , x ≥ 60 , x ≤ 40 atau x ≥ 80

, 40 ≤ x ≤ 60 , 60 ≤ x ≤ 80

, 60 ≤ x ≤ 80

20

1

, x ≥ 80

Istilah-istilah pada variabel linguistik: - Primary term: lambat, sedang, cepat - Combination term: lambat dan sedang, lambat dan tidak cepat, sedang atau cepat - Hedges term (penyangatan): sangat (very), agak (rather) 

Sangat/very (x) 



Agak / rather



   

2

Ada juga yang mendefinisikan fungsi tersendiri untuk ‘sangat’ dan ‘agak’. y

lambat

cepat

Sangat lambat 40

Sangat cepat 60

80

120

x

23

23

Kombinasi: - sangat lambat dan agak cepat

             2

-

,

Tidak sangat cepat 2

1-

Contoh: U = { 1, 2, 3, 4, 5 } µkecil (x) =

1 1

+

µ agak kecil (x) =

µ tidak kecil (x) =

0,8

2 1 1 0 1

+

+

+

µsangat tidak kecil (x) =

0,6

3 0,89 2 0,2 2 0 1

+

+

+

+

0,4

4 0,77

3 0,4

3 0,04 2

0,2

+

+

+

+

5 0,63

0,6

4

+

4 0,16 3

+

0,45

0,8

+

5

5 0,36 4

+

0,64 5

Aturan Fuzzy IF < proposisi fuzzy > THEN < proposisi fuzzy >

Proposisi fuzzy : - Atomic : bisa dieksekusi secara langsung dengan atomic function X is A µA (x) = ? - Compound/majemuk :  Jika pake AND (intersection) gunakan membership function t-norm  Jika pake OR (union) gunakan membership function s-norm  Jika pake NOT gunakan fuzzy complement Untuk proposisi fuzzy yang compound bisa berasal dari linguistik / domain yang berbeda. Misal: kecepatan angin + kelembaban udara  curah hujan. Misalkan: x, y variabel linguistik pada V dan W A, B himpunan fuzzy pada V dan W AND : x is A and y is B  A  B µAB (x, y) = t (µA (x), µB (y)) OR : x is A or y is B  A  B µAB (x, y) = S (µA (x), µB (y)) NOT : ,  = 1 - µA (x, y)

   

   −   −       −     −      ℎ Contoh:

µFP (x) = S

1

,

µFP (x) = S

1

,

, 1 2

, 1

24

24

−       −        ℎ  −    −  ∨∧∨  ∧∨∨∧ ∨  ∨    −       −           −    ≤                     ∘   µFP (x) = S

1

,

µFP (x) = S

1

,

2

2

,

1

, 1

Interpretasi Sebuah Aturan Fuzzy IF-THEN  p  q   p  q   1  Beberapa interpretasi fuzzy IF – THEN (Bentuk umum: IF THEN 1. Implikasi Dienes – Rescher , = 1 , 1 2 2. Implikasi Lukasiewicz , = 1, 1 + 1 2 3. Implikasi Zadeh , = , , 1 1 2 1 4. Implikasi Godel 1 , 1 2 , =  , yang lain 2 5. Implikasi Mamdani  Min , = , 1 2  Product , = 1 2

Contoh: U = {1, 2, 3, 4} V = {1, 2, 3} 0

0,1

1 1

2 0,4

1

2

Large : + Small : +

+ +

0,5 3 0,2

+

1 4

, pada U , pada V

3

Rule : IF x is Large THEN y is ‘agak not small’  Tentukan µQ  (x, y) dengan metode Dienes  – Rescher dan Zadeh Jawab: 0

0,6

1

2 0

Not Small : +

+

Agak not small : + 1

0,8 3 0,77 2

+

0,89 3

Metode Dienes – Rescher R: Agak not 1 2 small 0 0,77 Large 1 2

0 0,1

1 0,9

1 0,9

3 0,89 1 0,9

25

25

3 4

0,5 1

µQD (x, y) =

0,5 0

0,77 0,77

0,89 0,89

 1

+

1,1

1

+

1,2

1

0,9

+

1,3

+

2,1

0,9 2,2

+

0,9 2,3

+

0,5

+

3,1

0,77 3,2

+

0,89 3,3

+

0

4,1

+

0,77 4,2

+

0,89 4,3

Metode Zadeh R: Agak not small

Large

1 2 3 4

0 0,1 0,5 1

µQD (x, y) =

1 0

2 0,77

3 0,89

1 0,9 0,5 0

1 0,9 0,5 0,77

1 0,9 0,5 0,89

 1

1,1

+

1

+

1,2

1

1,3

0,9

+

+

2,1

0,9 2,2

+

0,9 2,3

+

0,5

+

3,1

0,5

3,2

+

0,5

3,3

+

0

4,1

+

0,77 4,2

+

0,89 4,3

Contoh 2: U = {1, 2, 3, 4} V = {1, 2, 3} W = {1, 2, 3, 4} 0

0,1

1 1

2 0,4

Large : + Small : + 1

Middle :

0,2 1

+ +

2

+

0,5 3 0,2

0,8 2

3

+

+

1 4

, pada U , pada V

0,8 3

+

0,2 4

 , pada W

Rule : IF x is large AND x is middle THEN y is tidak kecil. Tentukan µQ  (x, y) dengan metode Dienes  – Rescher Jawab: Tahap penyelesaian: Selesaikan dulu FP1 compound x is large AND x is middle  t-Norm Misalkan digunakan t-Norm standard Zadeh FP1 : FP2 :

min (0,0.2)

min (0.1,0.8)

− − −

1 1 1

1

+

1 0,4 2

FP2

0 0,1 0,5 0,2

µQD (x, y) =

+

2 1 0,2 3

+

min (0.5,0.8)

0

0,6

1

2

 = +

1 0 1 0,9 0,5 0,8

FP1

1 2 3 4

+

+

2 0,6 1 0,9 0,6 0,8

3 0,8

+

min (1,0.2)

0

0,1

4

1

2

 = +

+

0,5 3

+

0,2 4

3

3 0,8 1 0,9 0,8 0,8

 1

1,1

+

1

1,2

+

1

1,3

Contoh untuk fungsi kontinu Misalkan: x1 : kecepatan x2 : akselerasi

+

0,9 2,1

+

0,9 2,2

+

0,9 2,3

+

0,5

3,1

+

0,6

3,2

+

0,8

3,3

+

0,8

4,1

+

0,8

4,2

+

0,8

4,3

[0, 100] [0, 30]

26

26

y : kekuatan akselerator [0, 3] Rule: IF x1 is slow AND x 2 is small THEN y is large

1

slow

1

35

1 55

µslow (x1) =

10

µsmall (x2) =

1

−

x2

1

2

3

y

, x1 ≥ 55 2

, x2 ≤ 10 , x2 ≥ 10

0 µlarge (y) =

10

, 35 ≤ x1 ≤ 55

10

0

large

1

, x1 ≤ 35

20

0

x1

55

− −

small

,y≤1 ,1≤y≤2 ,y≥2

1

1

Tentukan µQ  (x1, x2, y), dimana intersection (AND) menggunakan aljabar product, dan IF-THEN menggunakan Dienes-Rescher? Jawab FD1 = µslowsmall (x1, x2)  menggunakan algebraic product x2

− ∗ − −

0 , x1 ≥ 55 or x2 ≥ 10 FD1 = µslowsmall (x1, x2) =

10

small 35

55

1

10

2

, 35 ≤ x1 ≤ 55 and x2 ≤ 10

20 10 10 2 , x1 ≤ 35 10

and x2 ≤ 10

x1

55

slow

   −    −   − −−  − 

Implikasi Dienes  – Rescher , = 1

,

1

2

1 , x1 ≥ 55 or x2 ≥ 10

1

1

,

 =

1

1-

55

10

10

1

10

200

2

 =

2

10

2

, 35 ≤ x1 ≤ 55 and x2 ≤ 10

, x1 ≤ 35 and x2 ≤ 10

27

27

y 3

1

1

1

2

1

1

1 x1 ≤ 35

35 ≤ x1 ≤

x1 ≥ 55 or

and

55 and

x2 ≥ 10

x2 ≤ 10

x2 ≤ 10

−  −  −    −− −  −   − 

1

  ,

, x1 ≥ 55 or x2 ≥ 10 or y ≥ 2

55

1 =

(x1, x2)

2

10

1

10

2

200

, 35 ≤ x1 ≤ 55 and x2 ≤ 10 and y ≤ 1

, x1 ≤ 35 and x2 ≤ 10 and y ≤ 1

max

1

max

2

10

55

1

10

200

,

2

,

1  , 35 ≤ x1 ≤ 55 and x2 ≤ 10 and 1 ≤ y ≤ 2

1 , x1 ≤ 35 and x2 ≤ 10 and 1 ≤ y ≤ 2

28

28

            −                                                                      

Latihan Soal:

 , µAB (x) =

=1

Untuk semua soal menggunakan operator

,

,

µAB (x) = , 1. Diketahui himpunan semesta U = {1, 2, 3} dan V = {a, b, c, d} R1 = R2 =

0,1

1, 0,1

,1

+

+

0,3

1, 0,8

,2

0,6

+

1, 0,4

+

+

,3

+

0,8

1, 0,2

,1

+

+

0,1

2, 0

,2

+

+

0

2, 0,4

,3

0,1

+

+

+

2, 0,1

+

,1

0,5

2, 0,3 ,2

+

+

1

3, 0,5

,3

+

+

0,8

3, 0,6

,1

+

+

0,5

3, 0,2

,2

+

+

0,1

3, 0

,3

Dengan menggunakan max-product  tuliskan himpunan: a. R1  R2c b. R2  R1c Jawab:

   

  

   

1 0,1 R1 = 2 0,1 3 1

0,3 0 0,8

0,6 0,1 0,5

1 0,1 0,2 0,1 0,6

2 0,8 0 0,3 0,2

3 0,4 0,4 0,5 0

R2 =

0,8 0,5 0,1



0,9 0,9 0

0,7 1 0,2

0,4 0,9 0,5

0,9 0,8 R2c = 0,9 0,4

0,2 1 0,7 0,8

0,6 0,6 0,5 1

0,9 0,8 0,8 0,5  ° 0,9 0,1 0,4 3 0,8 0,5 0,6

0,2 1 0,7 0,8

0,6 0,6 0,5 1

0,4 0,9 0,5

0,2 0,5 0,9

R1c =

0,2 0,5 0,9



Relasi Fuzzy menggunakan max-product



0,1 c a. R1  R2  = 0,1 1

0,3 0 0,8

1 1 0,54 = 2 0,2 3 0,9



2 0,64 0,4 0,8



          

0,1 0,2 b. R2  R1c = 0,1 0,6

=

0,6 0,1 0,5

0,8 0 0,3 0,2

0,72 0,18 0,27 0,54

0,4 0,9 0,4  ° 0,9 0,5 0 0

0,8 0,14 0,3 0,42

0,72 0,2 0,27 0,24

0,7 1 0,2

 

0,4 0,36 0,45 0,12

2. Sebuah variabel linguistik ‘Kecepatan’ mempunyai fungsi keanggotaan sebagai berikut: 1

Slow (S)

Medium (M)

35

55

Fast (F)

75

Vmax

Tentukan fungsi keanggotaan dari proposisi berikut serta gambarkan grafiknya! a. P1 = ( x is S or x is Not F ) and x is M , dan tentukan P1(70) b. P2 = ( x is M and x is not F ) or x is S dan tentukan P2 (42)

29

29

Jawab: 1 55

µs (x) =

−

, x ≤ 35

, 35 ≤ x ≤ 55

20

0

, x ≥ 55

− − − 0

, x ≤ 35 or x ≥ 75

35

µm (x) =

, 35 ≤ x ≤ 55

20 75

, 55 ≤ x ≤ 75

20

0

, x ≤ 55

55

µf  (x) =

, 55 ≤ x ≤ 75

20

1

, x ≥ 75

 x is Not F 



1 75

 =

−

, x ≤ 55

, 55 ≤ x ≤ 75

20

0

, x ≥ 75

 x is S or x is Not F 1

Slow (S)

Not F

  − ∪   −    ∪∩ 35

55

75

Vmax

0,1  , x ≤ 35 55

 =

20 75

0,

, 1  , 35 ≤ x ≤ 55

20

−

1 , x ≤ 55 75

20

 , 55 ≤ x ≤ 75

, 55 ≤ x ≤ 75

0, x ≥ 75

0,0 , x ≥ 75

( x is S or x is Not F ) and x is M 1

− − 0

=

35

20 75 20

35

55

75

, x ≤ 35 or x ≥ 75  , 35 ≤ x ≤ 55  , 55 ≤ x ≤ 75

P1 (70) =

Vmax

−

75 70 20

 = 0,25

( x is M and x is not F ) or x is S

 x is M and x is not F 1

1

35

55

75

Vmax

1

35

55

75

Vmax

35

55

75

Vmax

30

30

− −

Menentukan titik potong 35 ≤ x ≤ 55 55

 =

20

35

 55 – x = x – 35

20

 2x = 90  x = 45

− − − 1

∩∪ P2 (42) =

55

, 35 ≤ x ≤ 45

20 35

=

, 45 ≤ x ≤ 55

20 75

0

55 42

 =

, 55 ≤ x ≤ 75

20

− −

20

, x ≤ 35

55

20

=

13 20

, x ≥ 75

  = 0,65

3. Diberikan himpunan U = {1, 2, 3, 4}, V = {a, b, c} dan W = {#, *}. Untuk sembarang x  U, y  V, z  W diberikan aturan Fuzzy sebagai berikut: Q = IF x is A and Y is not B THEN z is very C . Masing-masing himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut: A =

0,3 1

+

0,5

+

2

0,7 3

  

1

1

+ ,B= + 4

0,4

+

0,1

, dan C =

0,75 #

+

∗

0,25

a. Tentukan µQD (x, y, z)  Implikasi Fuzzy Dienes-Rescher b. Tentukan µQZ (x, y, z)  Implikasi Fuzzy Zadeh Jawab: FP1 = x is A and Y is not B  t-Norm Not B =

   0

+

0,6

+

Y is not B

a 0 0 0 0 0

x is A

1 2 3 4

0,9

0,3 0,5 0,7 1

µFD1 (x, y) =

b 0,6 0,3 0,5 0,6 0,6

                        ∗ ∗ 0

+

1,

0,3

1,

FP2 = z is very C C=

0,75 #

+

Very C =

c 0,9 0,3 0,5 0,7 0,9

+

0,3 1,

+

0

2,

+

0,5

2,

+

0,5 2,

+

0

3,

+

0,6

3,

+

0,7 3,

+

0

4,

+

0,6

4,

+

0,9 4,

..... hedges

0,25

0,5625 #

+

0,0625

Implikasi Fuzzy Dienes-Rescher FP2 # * FP1 0,5625 0,0625 (1,a) 0 1 1 (1,b) 0,3 0,7 0,7 (1,c) 0,3 0,7 0,7 (2,a) 0 1 1

31

31

(2,b) (2,c) (3,a) (3,b) (3,c) (4,a) (4,b) (4,c)

0,5 0,5 0 0,6 0,7 0 0,6 0,9

µQD (x, y, z) =

0,5625 0,5625 1 0,5625 0,5625 1 0,5625 0,5625

     ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗ 1

1, ,# 0,5

2, ,

0,5625 4, ,#

+

+

+

Implikasi Fuzzy Zadeh FP2 # FP1 0,5625 (1,a) 0 1 (1,b) 0,3 0,7 (1,c) 0,3 0,7 (2,a) 0 1 (2,b) 0,5 0,5 (2,c) 0,5 0,5 (3,a) 0 1 (3,b) 0,6 0,5625 (3,c) 0,7 0,5625 (4,a) 0 1 (4,b) 0,6 0,5625 (4,c) 0,9 0,5625 µQZ (x, y, z) =

0,5 0,5 1 0,4 0,3 1 0,4 0,1 1

1, , 1

3, ,#

0,7

+

+

1, ,# 1

3, ,

+

+

0,7

1, ,

0,5625 3, ,#

+

+

0,77

1, ,# 0,4

3, ,

+

+

0,7

1, ,

0,5625 3, ,#

+

+

1

2, ,# 0,3

3, ,

+

+

1

2, , 1

4, ,#

+

+

0,5625 2, ,# 1

4, ,

+

+

0,5

2, ,

0,5625 4, ,#

+

+

0,5625 2, ,# 0,4

4, ,

1, ,# 0,5

2, ,

0,5625 4, ,#

+

+

+

+

0,1

4, ,

* 0,0625 1 0,7 0,7 1 0,5 0,5 1 0,4 0,3 1 0,4 0,1

     ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗      ∗ 1

+

1

1, , 1

3, ,#

+

+

0,7

1, ,# 1

3, ,

+

+

0,7

1, ,

0,5625 3, ,#

+

+

0,7

1, ,# 0,4

3, ,

+

+

0,7

1, ,

0,5625 3, ,#

+

+

1

2, ,# 0,3

3, ,

+

+

1

2, , 1

4, ,#

+

+

0,5

2, ,# 1

4, ,

+

+

0,5

2, ,

0,5625 4, ,#

+

+

0,5

2, ,# 0,4

4, ,

+ +

0,1

4, ,

32

32

Pertemuan 8 (7/11/2012) FORMULA LOGIKA (Logic Formula) Logika: studi tentang metode/prinsip penalaran. Penalaran: bisa menemukan proposisi baru dari proposisi-proposisi yang sudah ada. Rule formula logika: 1. Nilai kebenaran [0, 1] adalah logic formula 2. Jika p = proposisi, maka p dan  logic formula 3. Jika p, q = proposisi, maka  dan  juga logic formula. 4. Logic formula hanya dinyatakan dengan 1, 2, atau 3.

 ∧ ∨

Inferensi hakikatnya menggunakan bentuk-bentuk tautologi (selalu benar). Contoh-contoh tautologi: 1. 2.

 ⇢  ⟺ ∧∨ ∨  ⇢  ⟺  

Semua bentuk tautologi, dapat digunakan untuk inferensi deduktif biasa dikenal: inference rule. Ada tiga aturan yang sering dikenal: 1. Modus Ponens (MP) Dapat ditulis: Premis 1 :  x is A Premis 2 : IF x is A THEN y is B Conclusion : y is B 2. Modus Tollens (MT) Dapat ditulis: Premis 1 : y is not B Premis 2 : IF x is A THEN y is B Conclusion :  x is not B 3. Hypothetical Syllogism (HS)

∧  →  →   ∧ →  → 

 → ∧ →  ⟺ → 

Dapat ditulis: Premis 1 : IF x is A THEN y is B Premis 2 : IF y is B THEN z is C  Conclusion : IF x is A THEN z is C 

Prinsip dasar inferensi pada logika Fuzzy Dikenal: GMP (Generalized Modus Ponens) GMT (Generalized Modus Tollens) GHS (Generalized Hypothetical Syllogism) 1. GMP Premis 1 : x is A’  Premis 2 : IF x is A THEN y is B Conclusion : y is B’ 

33

x is A’ (premis 1)  x is A  x is very A  x is very A  x is agak A  x is agak A  x is not A  x is not A

Kriteria P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

y is B’ (conclusion) y is B y is very B y is B y is agak B y is B Tidak tahu / unknown y is not B

2. GMT Premis 1 : y is B’  Premis 2 : IF x is A THEN y is B Conclusion : x is A’ 

y is B’ (premis 1) y is not B y is not very B y is not more or less B y is B y is B

Kriteria t1 t2 t3 t4 t5

x is A’ (conclusion) y is not A y is not very A x is not more or less A Tidak tahu / unknown x is A

3. GHS Premis 1 : IF x is A THEN y is B Premis 2 : IF y is B’  THEN z is C  Conclusion : IF x is A THEN y is C’ 

GMP Diberikan himpunan fuzzy A’ dalam U (untuk  x is A’ ) Aturan fuzzy : IF x is A THEN y is B Relasi fuzzy A  B dalam U x V Suatu himpunan Fuzzy B’ dalam V didefinisikan:

′  ∈   ′   →    →   =

,

t

,

,

: sembarang interpretasi fuzzy IF-THEN : sembarang t-Norm

Contoh: U = {x 1, x2, x3), V = {y1, y2} Didefinisikan aturan fuzzy: IF x is A THEN y is B Dengan: A = 0.5/x1 + 1/x2 + 0.6/x3 dan B = 1/y1 + 0.4/y2 Diberikan fakta: 0.6/x1 + 0.9/x2 + 0.7/x3 Tentukan: B’ a. Implikasi Dienes Rescher dan t min

34

    −    ,

 =

1

x1 = 0.5 x2 = 1.0 x3 = 0.6

, y1 1 1 1 1

y2 0.4 0.5 0.4 0.4

Untuk y1  µB’ (y1) = Sup (min(0.6; 1), min(0.9;1), min(0.7;1)) = Sup (0.6; 0.9; 0.7) = 0.9 Untuk y2  µB’ (y2) = Sup (min(0.6; 0.5), min(0.9;0.4), min(0.7;0.4)) = Sup (0.5; 0.4; 0.4) = 0.5 B’ = 0.9/y1 + 0.5/y2 b. Implikasi Mamdani Product dan t Aljabar Product ,  = 1 2

    ∙ 

y1 1 0.5 1.0 0.6

x1 = 0.5 x2 = 1.0 x3 = 0.6

y2 0.4 0.2 0.4 0.24

Untuk y1  µB’ (y1) = Sup (0.6  0.5, 0.9  1, 0.7  0.6) = Sup (0.3; 0.9; 0.42) = 0.9 Untuk y2  µB’ (y2) = Sup (0.6  0.2, 0.9  0.4, 0.7  0.24) = Sup (0.12; 0.36; 0.168) = 0.36 B’ = 0.9/y1 + 0.36/y2 Misal diberikan fakta : 1. A’= A 2. A’ = Sangat A 3. A’ = Agak A Dicoba dengan : a. Implikasi Zadeh dan t Einstein Product b. Implikasi Mamdani min dan Drastic Product Jawab. 1. A’ = A Implikasi Zadeh dan t Einstein Product µQZ (x, y) = , , 1 1 2 y1 1 x1 = 0.5 0.5 x2 = 1.0 1.0 x3 = 0.6 0.6

     − 

tEP (a, b) =

 − −

1

y2 0.4 0.5 0.4 0.4

.

2

+

Untuk y1  µB’ (y1) =



  

0.5; 0.5 ,

  

1.0; 1.0 ,



0.6; 0.6

35

      

   

= 0.2; 1; 0.31 = 1.0 Untuk y2  µB’ (y2) = 0.5; 0.5 , = 0.25; 0.4; 0.19 = 0.4 B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B)

  

1.0; 0.4 ,



0.6; 0.4

Implikasi Mamdani min dan t - Drastic Product µQM (x, y) = , 1 2

    y1 1 0.5 1.0 0.6

x1 = 0.5 x2 = 1.0 x3 = 0.6

tDP (a, b) =

y2 0.4 0.4 0.4 0.4

a, jika b = 1 b, jika a = 1 0, others

                     

Untuk y1  µB’ (y1) = 0.5; 0.5 , = 0;1;0 = 1.0 Untuk y2  µB’ (y2) = 0.5; 0.4 , = 0;0.4;0 = 0.4 B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B)

2. A’ = sangat A = 0.25/x 1 + 1/x2 + 0.36/x3 Implikasi Zadeh dan t Einstein Product Untuk y1  µB’ (y1) = 0.25; 0.5 , = 0.09; 1; 0.17 = 1.0 Untuk y2  µB’ (y2) = 0.25; 0.5 , = 0.09; 0.4; 0.10 = 0.4 B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B)

         

     

0.6; 0.6

1.0; 0.4 ,

0.6; 0.4

     

     

0.36; 0.6

1.0; 0.4 ,

0.36; 0.4

                       

 

1.0; 1.0 ,

Implikasi Mamdani min dan t - Drastic Product Untuk y1  µB’ (y1) = 0.25; 0.5 , 1.0; 1.0 , = 0;1;0 = 1.0 Untuk y2  µB’ (y2) = 0.25; 0.4 , 1.0; 0.4 , = 0;0.4;0 = 0.4 B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B) 3. A’ = agak A = 0.71/x 1 + 1/x2 + 0.77/x3 Implikasi Zadeh dan t Einstein Product Untuk y1  µB’ (y1) = 0.71; 0.5 , = 0.31; 1; 0.42 = 1.0

 

1.0; 1.0 ,

  

     

 

  



1.0; 1.0 ,

0.36; 0.6

0.36; 0.4

0.77; 0.6

36

   

  

Untuk y2  µB’ (y2) = 0.71; 0.5 , = 0.31; 0.4; 0.27 = 0.4 B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B)

  

1.0; 0.4 ,

Implikasi Mamdani min dan t - Drastic Product Untuk y1  µB’ (y1) = 0.71; 0.5 , 1.0; 1.0 , = 0;1;0 = 1.0 Untuk y2  µB’ (y2) = 0.71; 0.4 , 1.0; 0.4 , = 0;0.4;0 = 0.4 B’ = 1.0/y1 + 0.4/y2 (sama dengan B)

                     



0.77; 0.4

     

 

0.77; 0.6

0.77; 0.4

37

Pertemuan 9 (14/11/2012) GMT Didefinisikan himpunan fuzzy B’ (untuk y is B’ ) dan relasi A  B dalam U x V (untuk representasi) Aturan fuzzy : IF x is A THEN y is B Maka himpunan fuzzy A’ dalam U didefinisikan:

 ′  ∈  ′   →   =

,

,

Sembarang tautologi bisa digunakan untuk inferensi deduktif. Contoh: U ={x1, x2, x3}, V = {y1, y2} Fuzzy IF-THEN IF x is A THEN y is Bi Dengan A = 0.5/x1 + 1/x2 + 0.1/x3 B = 1/y1 + 0.4/y2 Jika faktanya diberikan: B’ = 0.1/y1 + 0.7/y2 Tentukan A’ = ? Gunakan: a. t Norm standard dan implikasi Dienes Rescher y1 1 x1 = 0.5 1 x2 = 1.0 1 x3 = 0.1 1 µA’ (x1) =

         ′ ′      ∈   →    →        1

,

= 0.1, 1 , = Sup (0.1, 0.5) = 0.5 µA’ (x2) =

1, 1

,

2

,

1, 2

0.7, 0.5

         ′ ′      ∈   →    →                 ′ ′      ∈   →    →        1

,

= 0.1, 1 , = Sup (0.1, 0.4) = 0.4 µA’ (x3) =

y2 0.4 0.5 0.4 0.9

= 0.1, 1 , = Sup (0.1, 0.7) = 0.7 A’ = 0.5/x1 + 0.4/x2 + 0.7/x3

2, 1

,

2

,

2, 2

3, 1

,

2

,

3, 2

0.7, 0.4

1

,

0.7, 0.9

b. t Norm Algebra Product dan implikasi Mamdani - Min y1 y2 1 0.4 x1 = 0.5 0.5 0.4 x2 = 1.0 1 0.4 x3 = 0.1 0.1 0.1

38





µA’ (x1) = 0.1 × 0.5 , 0.7 × 0.4 = Sup (0.05, 0.28) = 0.28



µA’ (x1) = 0.1 × 1 , 0.7 × 0.4 = Sup (0.1, 0.28) = 0.28

 



µA’ (x1) = 0.1 × 0.1 , 0.7 × 0.1 = Sup (0.01, 0.07) = 0.07 A’ = 0.28/x1 + 0.28/x2 + 0.07/x3

GHS Diberikan relasi fuzzy A  B (IF x is A THEN y is B) Dan relasi fuzzy B’  C (IF y is B’ THEN z is C ) Didefinisikan:

dalam U x V dalam V x W

 → ′   ∈   →   ′ →   ,

=

,

,

,

Contoh: Diberikan U = {x 1, x2, x3}, V = {y1, y2}, W = {z1, z2, z3} Diketahui himpunan fuzzy A pada U dengan: A = 0.2/x1 + 0.5/x2 + 0.8/x3 Didefinisikan himpunan fuzzy B pada V dengan: B = 0.9/y1 + 0.4/y2 Dan C pada W dengan: C = 0.9/z1 + 0.6/z2 + 0.3/z3 Jika diketahui fakta B’ = 0.8/y 1 + 0.5/y2 Tentukan: , ! Aturan: t standard Zadeh dan implikasi Dienes Rescher y1 y2 A B 0.9 0.4 x1 = 0.2 0.9 0.8 x2 = 0.5 0.9 0.5 x3 = 0.8 0.9 0.4

 → ′  

C

z1 0.9

z2 0.6

z3 0.3

y1 = 0.8

0.9

0.6

0.3

y2 = 0.5

0.9

0.6

0.5

B’

µAC’ (x1, z1) = µAC’ (x2, z1) = µAC’ (x3, z1) = µAC’ (x1, z2) = µAC’ (x2, z2) = µAC’ (x3, z2) = µAC’ (x1, z3) = µAC’ (x2, z3) = µAC’ (x3, z3) =

        

                 

0.9, 0.9 0.9, 0.9 0.9, 0.9 0.9, 0.6 0.9, 0.6 0.9, 0.6 0.9, 0.3 0.9, 0.3 0.9, 0.3

, , , , , , , , ,

        

0.8, 0.9 0.5, 0.9 0.4, 0.9 0.8, 0.6 0.5, 0.6 0.4, 0.6 0.8, 0.5 0.5, 0.5 0.4, 0.5

 = Sup (0.9, 0.8) = 0.9  = Sup (0.9, 0.5) = 0.9  = Sup (0.9, 0.4) = 0.9  = Sup (0.6, 0.6) = 0.6  = Sup (0.6, 0.5) = 0.6  = Sup (0.6, 0.4) = 0.6  = Sup (0.3, 0.5) = 0.5  = Sup (0.3, 0.5) = 0.5  = Sup (0.3, 0.4) = 0.4

39

C’

z1 0.9

z2 0.6

z3 0.3

x1 = 0.2

0.9

0.6

0.5

x2 = 0.5

0.9

0.6

0.5

x3 = 0.8

0.9

0.6

0.4

A

Jika A’ = Sangat A, tentukan µC’ (z) ! A = 0.2/x1 + 0.5/x2 + 0.8/x3 Sangat A = 0.04/x1 + 0.25/x2 + 0.64/x3 µC’ (z1) =

  ∈    ∈ 

 

0.25,0.9 ,

 

0.25,0.6 ,

  ∈ 

 

0.25,0.5 ,

0.04,0.9 ,

= sup (0.04, 0.25, 0.64) = 0.64 µC’ (z2) =

0.04,0.6 ,

= sup (0.04, 0.25, 0.6) = 0.6 µC’ (z3) =

0.04,0.5 ,

= sup (0.04, 0.25, 0.4) = 0.4 Jadi C’ = 0.64/z 1 + 0.6/z2 + 0.4/z3

 



 



 



0.64,0.9

0.64,0.6

0.64,0.4

Kalo pake Modus Tollens, bisa ditanyakan: Jika C’ = sangat C, tentukan µA’ (x) ! C = 0.9/z1 + 0.6/z2 + 0.3/z3 Sangat C = 0.81/z1 + 0.36/z2 + 0.09/z3 µA’ (x1) =

  ∈    ∈ 

= sup (0.81, 0.36, 0.09) = 0.81 µA’ (x2) =

  ∈ 

 

0.09,0.9

 

 

0.09,0.6

 

 

0.09,0.4

0.36,0.9 ,

0.81,0.6 ,

= sup (0.6, 0.36, 0.09) = 0.6 µA’ (x3) =

 

0.81,0.9 ,

0.36,0.6 ,

0.81,0.5 ,

= sup (0.5, 0.36, 0.09) = 0.5 A’ = 0.81/x1 + 0.6/x2 + 0.5/x3

0.36,0.5 ,

  

Sifat-sifat Khusus Akan dilihat nilai µA’(x), µB’(y), µAC’ (x, z) dengan berbagai variasi A’ dan B’. 1. GMP Dipilih t-Norm : min dan implikasi: Mamdani Product  A : normal (ada nilai x yang membershift function = 1, Beberapa tipe A: a. A’ = A (seperti pada konvensional) µB’ (y) =

  ∈   

   ∈      ∙  ∈    

= Sup (µA (x), µB(y))

,

karena

=1

= 1)

40

= µB (y) b. A’ = very A

      ∙  ∈      2

µB’ (y) =  jika

,

> = Sup (µA (x), µB(y)) = µB (y)

Contoh: A = 0.5/x1 + 1/x2 + 0.4/x3 B = 1/y1 + 0.5/y2

A’ = A A

B

x1 = 0.5 x2 = 1.0 x3 = 0.4

y1 1.0 0.5 1.0 0.4

y2 0.5 0.25 0.5 0.2

               

Untuk y1  µB’ (y1) = 0.5,0.5 , = 0.5,1.0,0.4 = 1.0 Untuk y2  µB’ (y2) = 0.5,0.25 , = 0.25,0.5,0.2 = 0.5 B’ = B = 1/y1 + 0.5/y2

A’ = very A = 0.25/x 1 + 1/x2 + 0.16/x3 Untuk y1  µB’ (y1) = 0.25,0.5 , = 0.25,1.0,0.16 = 1.0 Untuk y2  µB’ (y2) = 0.25,0.25 , = 0.25,0.5,0.16 = 0.5 B’ = B = 1/y 1 + 0.5/y2

       

c.

1.0,1.0 ,

1.0,0.5 ,

0.4,0.4

0.4,0.2

        1.0,1.0 ,

1.0,0.5 ,

0.16,0.2

A’ = more or less A

         ∙  ∈              ∙    ∙ µB’ (y) =

,

Jadi: µB’ (y) = sup = µB (y)

d. A’ = not A = 0.5/x 1+ 0/x2 + 0.6/x3 Untuk y1  µB’ (y1) = 0.5,0.5 , = 0.5,0.0,0.4 = 0.5 Untuk y2  µB’ (y2) = 0.5,0.25 , = 0.25,0,0.2 = 0.25

                0,1.0 ,

0,0.5 ,

 

0.16,0.4

0.6,0.4

0.6,0.2

41

B’ = B = 0.5/y1 + 0.25/y2

  ∈  

terjadi apabial 1 - µA (x) = µA (x) . µB (y) µA (x) . µB (y) + µ A (x) = 1 µA  (x) (µB (y) + 1) = 1

    −    ′    =

=

1

+1

µA (x) =

1

  

(titik potong)

+1

42

Pertemuan 10 (21/11/2012) 1. GMP Syarat: - T Norm = min - µAB (x, y) = mamdani product Jika: a. A’ = A b. A’ = very A c. A’ = more or less A

µB’ (y) = µB (y) Harus fuzzy bukan crisp

Contoh: fungsi kontinu Misal: kita punya rule: if x is A then y is B Contoh: jika harga tinggi maka stock rendah. 1

Harga tinggi

25

50

75

100

Harga

5

10

−

, x  50

1

, 50  x  75

15

1

, 75  x  100

0

50

µA (x) =

Stock rendah

1

25

µB (y) =

15

−

10

0

20

, y  5 , 5  y  15 , 15  y  20

Buat µAB (x, y) dengan mamdani product. 100

1

75

0

mB(y)

m A(x)

m A(x) . mB(y)

0

0

0

0

50

5

15

20

0

− − −   − 50

25 15

µAB (x, y) =

10

50

15

25

10

1 Misalkan diberikan A’ sbb:

, x  50 atau 15  y  20 , 50  x  75 dan y  5 , 75  x  100 dan 5  y  15 , 50  x  75 dan 5  y  15 , 75  x  100 dan y  5 0 µA’ (x) =

A’

1

25

50

75

100

, x  25

−

, 25  x  75

1

, 75  x  100

25

50

Stock

43

  ′   →    ∈   ′    ′     ′        

µB’ (y) =

,

1. y  5

,

 µB’  (y) =

,0 ,

,

0    x   50

= =1

0,

,

,1

50    x   75

75    x    100

,1

2. 5  y  15 

 ′    ′                        ′    ′    ′          

µB’ (y) =

,0 ,

,

   x   50

= = 3. 15  y  20 µB’ (y) =

0,

1 15

µB’ (y) =

1,

75    x    100

,

,0 ,

= =0

,

50    x   75

.

0

.

 x

,0 ,

50

50

 x

75

,0

75

 x

 100

0,0,0

, 0  y  5

−

, 5  y  15

10

, 15  y  20

0

2. GMT Fakta: IF x is A THEN y is B y is B’   x is A Syarat: - T Norm = min - µAB (x, y) = mamdani product - Sup µB (y) = 1

  ∈  ′   →       −      ∈     ∈  −                       m m m m µA’ (y) =

,

,

Misalkan: Diberikan B’ = µA’ (y) =

1

,

.

Nilai

 minimum terjadi di y 0

1

 =

.

 = 1 + + 1  = 1 1

.

=

1+ A’ (x) = 1 - B (y) = = mA (x) . =

A (x)

.

B (y)

1

m B (y) substitusi dari hasil yg diperoleh sebelumnya

         1+

1+

Contoh 2: Misalkan: Diberikan B’ = B µA’ (x) =

 V, dimana:

  ∈        ,

.

44

= =

 ∈        ∈      ,

.

.

 µB(y) maksimal bernilai 1 sesuai dengan asumsi 

= µA(x)

Contoh: fungsi kontinu di GMP 1. B’ = B 100

1

75

0

mB(y)

m A(x)

m A(x) . mB(y)

0

0

0

0

50

5

15

20

Diberikan B’ = B Stock rendah

1

5

10

15

Stock

20

   →    ∈            

µA’ (x) =

,

a. 0  x  50 µA’ (x) =

1,0 ,

,

0    y    5

,0 ,

5    y   15

0,0

15    y    20

= 0,0,0 =0 b. 50  x  75 

                                          

µA’ (x) =

1,

,

,

0    y    5

c.

= = 75  x  100

,

µA’ (x) =

= =1

 y

.

 5

1,

µA’ (x) = µ A (x) =

,

5

 y

15

−

, 0  x  50 50

25

1

, 50  x  75 , 75  x  100

,

0,0

15

0,0

15    y    20

,0

,0

0

,

5    y   15

1,1 ,

0

.

 y

 20

45



2. B’ =

100

1

75

0

mB(y)

m A(x)

m A(x) . mB(y)

0

0

0

0

50

Diberikan B’ =

5



15

20

, 0  y  5 , 5  y  15

1

, 15  y  20

5

µB’ (y) =

1

5

−

0

10

15

10

20

 ′   →    ∈    

µA’ (x) =

,

a. 0  x  50 µA’ (x) =

,

  ′     0,0 ,

,0 ,

0    y    5

5    y   15

 

= 0,0,0 =0 b. 50  x  75  µA’ (x) = 0,

1,0

15    y    20

    ′         − − −  =   − − − =  ,

,

0    y    5 5

0,

10

5

,

,

5    y   15

,

50

50

25

×

25

×

15

10

1,0

15    y    20

,0

15

−  = −  Nilai Sup  min dicapai ketika: ′ − = − . −  10

.

10

50 25

y V     5

10

− − 

=

5=

25

5

15

−

=

50

×

15

25 10 50 15

−  −

−

25

50

25 (y – 5) = (x – 50) (15 – y) 25y – 125 = 15x – 750  – xy + 50y -25y = 15x – xy – 625 xy – 25y = 15x – 625 y(x – 25) = 15x – 625 y=

µA’ (x) = =

−′ 

625

25

5

−10 −

15

=

− −

15

625 25

10

−  = − −  −  5

15

625 5 +125

10

25

 =

−  = −  = −  −  −  − 

10

500

10

50

50

10

25

10

25

25

Atau bisa juga menggunakan rumus [Wang, 1997, p.84]:

46

     = −−    

50 25 50 1+ 25

mA’ (x) = 1+ c.

 =

− −

50 25 25+ 50 25

75  x  100  µA’ (x) =

0,1 ,

0

 y  5

− −

50

 =

25

  ′      ,

5

,

 y  15

 ′   

0, , = = , Sup minimum terjadi pada

1,0

15

 y  20

,0

′     ′  − − 5

10

=

=

15

10

y – 5 = 15 – y 2y = 20 y = 10 µA’ (x) =

′  

10  =

−  =

10 5

5

10

10

, 0  x  50

0

− −

µA’ (x) =

 = 0.5

50

, 50  x  75

25

, 75  x  100

0,5 3. B’ = not very B 100

1

75

0

mB(y)

m A(x)

m A(x) . mB(y)

0

0

0

0

50

5

15

20

Diberikan B’ = not very B 0

1

µB’ (y) =

1

1 5

10

15

−

15

− 

2

10

, 0  y  5 , 5  y  15 , 15  y  20

20

  ∈  ′   →        ′      

µA’ (x) =

,

a. 0  x  50 µA’ (x) =

0,0 ,

,

,0 ,

0    y    5

5    y   15

1,0

15    y    20

= 0,0,0 =0 b. 50  x  75  µA’ (x) =

   ′          ′       ′     0,

,

,

0    y    5

= =

0,

5    y   15

,

,

.

.

.

,0

,

1,0

15    y    20

47

Nilai Supy V   min dicapai ketika:   = . Dengan menggunakan rumus [Wang, 1997, p.84] µA’ (x) = µA(x) . µB(y)

′     

        −   = 2

2

+4

2

−

50 25

=

50 2 +4 25

50 2 25

2

−

= c.

   −  −− 

50

50

   −  − −  50 2

25

50 2

1

+4

2

75  x  100  µA’ (x) =

0,1 ,

0

 y  5

25

  ′      ,

5

,

 y  15

 ′   

0, , = Sup minimum terjadi pada 1−

−

100 225+30 100

2

15−





10 2

−

2

=

=

′ − 

15−

1,0

15

 y  20

,0

  =

10

150 10 100

y  – 30y – 10y + 150 + 125 = 0 2 y  – 40y + 275 = 0

−  −   −      − =    = 2

±

y1,2 =

4

2

40±

40 2 4.1.275 2.1

40± 500

= y1 = y2 =

2 40±22,36 2 66,36 2 17,64 2

 = 33,18

 µA’ (x)

 = 8,82

 µA’  (x) =

=

15−33,18 15−8,82 10

−

 = 0,618 , 0  x  50

0 µA’ (x) =

 = -1,818 (tidak memenuhi karena negatif)

10

50

50

   −  − − 

0,618

50 2

25

+4

1 2

50 2

25

, 50  x  75 , 75  x  100

48

Pertemuan 11 (28/11/2012)

FUZZY RULE BASED DAN FUZZY INFERENCE ENGINE Fuzzy rule Based  System Fuzzy  Fuzzy Inference Engine Arsitektur Sistem Fuzzy secara umum: Input  x U (crisp)

Fuzzifier

Fuzzy set di U 

Fuzzy Rule Based

Fuzzy Inference Engine

Defuzzifier

Output y V (crisp)

Fuzzy set di V 

Fuzzifikasi: 1. Fuzzy singleton  Tsukamoto  ketika x=1 2. Fuzzy Segitiga (triangular) 3. Fuzzy Norm. Yang kompleks: U-nya banyak, misal: n U = U1 x U2 x ... x Un  R n x = (x1, x2, ..., xn)  R  , y  R  multiple input, single output.

Struktur Basis Aturan Fuzzy Secara umum bentuknya: l   Ru : IF x1 is 1  and x2 is dengan:

 

 

 

2  and

... and xn is

 

 dan Bl  suatu himpunan fuzzy dalam U i  R dan V  R. T  ( x1 , x2 , ... , xn)  U = U1  U2  ...  Un dan y  V .

Misal: -  M  : banyaknya aturan -  L = 1, 2, ..., M . Aturan Fuzzy IF ... THEN dapat berbentuk: a. Partial rules l   IF x1 is 1  and ... and xm is  THEN y is B , dimana m < n Contoh: Harga Stok Permintaan Rendah Banyak Naik Tinggi Sedikit Turun Jika harga rendah dan stock banyak permintaan naik

 

 

l 

THEN y is B

49

Kalo parsial: Jika harga tinggi maka permintaan turun. b. Formula OR

IF (x 1 is c.

 

1

 and ... and x m is

 

 ) OR (x m+1 is

 

+1

 and ... and x n is

 

 ) THEN y is Bl 

Pernyataan tunggal  y is Bl

d. Aturan Gradual The smaller the x, the bigger the y e. Aturan Non Fuzzy  convensional production rules.

Properties Himpunan Rule a. Completeness (lengkap) Suatu himpunan Fuzzy IF THEN disebut lengkap jika ada paling sedikit 1 aturan dari basis aturan dimana ( ) 0, untuk semua i = 1, 2, ..., n. Contoh Komplet:

    ≠

U 1

U 2

V

Harga Stock Permintaan Rendah Banyak Naik Rendah Sedikit Turun Tinggi Banyak Naik Tinggi Sedikit Turun IF x 1 is Rendah and x  2 is Banyak THEN y is B 1 IF x 1 is Rendah and x  2 is Sedikit THEN y is B 2 IF x 1 is Tinggi and x  2 is Banyak THEN y is B 3 IF x 1 is Tinggi and x  2 is Sedikit THEN y is B 4 b. Consistent Jika x-nya sama, maka y-nya tidak boleh beda.

FUZZY INFERENCE ENGINE Rule based: himpunan m buah rule. Prinsip: mengkombinasikan semua aturan/rule tersebut sehingga menjadi 1 rule dalam U  V. Yang perlu diketahui: intuitively antar rule bagaimana? Misal: IF X1 is A1 THEN y is B 1 IF X2 is A2 THEN y is B 2 IF X1 is A1 and X2 is A2 THEN y is B 3

independen



saling bergantungan

Mamdani  saling independen  pakai S-Norm Godel  saling bergantung  pakai t-Norm Apa makna dari aturan-aturan tersebut (secara intuitif) 1. Aturan-aturan tersebut merupakan pernyataan kondisional yang independen.  union (s-norm)  mamdani 2. Semua aturan merupakan satu kesatuan (saling memberi dampak pada kesimpulan)  interseksi (t-norm)  godel

50 Misal: Rnl relasi fuzzy pada U x V sebagai representasi fuzzy IF ... THEN (rule).  Bl  Rnl = 1 × 2 × ×

    ⋯  

U = U1  U2  ...  Un Didefinisikan:

    ⋯   →  ⋯       ⋯     1× 2×

×

1, 2,

,

=

1 

1



Dimana  merepresentasikan sebarang operator t-norm. Untuk sudut pandang Union, diperoleh relasi fuzzy QM dalam U  V adalah:



                  ⋯       =

=1

Kombinasi ini dikenal sebagai Kombinasi Mamdani, ditulis: 1 2 , = , + , +

 

+

,

Dengan +  sebarang s-norm. Untuk sudut pandang irisan, diperoleh relasi fuzzy QG dalam U  V adalah:



  =



=1

Kombinasi ini dikenal sebagai Kombinasi Godel, ditulis: 1 2 , = ,  ,

 

         ⋯     



,

Dengan + sebarang t-norm. Misal: A’ sebarang himpunan fuzzy dalam U (sebagai input)

′  ∈   ′      ′  ∈   ′      =

atau

,

=

,

,

 Union (Mamdani)

,

Contoh: A = { x1, x2, x3} B = { y1, y2} Diberikan aturan:  IF x1 is A2 THEN y is B1  IF x2 is A1 THEN y is B2 Dengan : A1 = 0.6/ x1 + 1/ x2 + 0.4/ x3 B1 = 1/ y1 + 0.4/ y2 A2 = 0.4/ x1 + 0.8/ x2 + 0.7/ x3 B2 = 0.8/ y1 + 0.5/ y2 Jika A’ = 0.5/ x1 + 0.9/ x2 + 0.6/ x3 tentukan B’ ! Misal, dipakai: mamdani min, t-norm min, s-norm max Metode: komposisional dan individual Jawab: Individual rule based inference , 2 1

  →   R 1

A2

 x1 = 0.4  x2 = 0.8  x3 = 0.7

B1  y1 1 0.4 0.8 0.7

 y2 0.4 0.4 0.4 0.4

Irisan (Godel)

51

  →   1

,

2

B2

R 2

A1

 y1 0.8 0.6 0.8 0.4

 x1 = 0.6  x2 = 1  x3 = 0.4

 y2 0.5 0.5 0.5 0.4

Untuk individual masing-masing rule akan diberikan input terhadap A’ akan didapat B1’ dan B2’. B’ tinggal dipandang sebagai minimum/intersection.

′  ′   ′   ′  ′  ′   ′   ′  ′ 

=

1

  ∈   ′    →    ∈      ∈       ∈   ′    →    ∈      ∈           ,

2

1

,

   

 

   

 

1

1

=

0.5, 0.4 ,

0.9, 0.8 ,

0.6, 0.7  = 0.8

1

2

=

0.5, 0.4 ,

0.9, 0.4 ,

0.6, 0.4  = 0.4

 = 0.8/ y1 + 0.4/ y2

1

=

2

,

1

2

,

2

1

=

0.5, 0.6 ,

0.9, 0.8 ,

0.6, 0.4  = 0.8

2

2

=

0.5, 0.5 ,

0.9, 0.5 ,

0.6, 0.4  = 0.5

 = 0.8/ y1 + 0.5/ y2

2

 

= 0.8/

1  +

0.5/

2

= 0.8/

1  +

0.4/

2

 = ?

Komposisional

                     ,

=

,

=

1

,

1

+

,



Mamdani R  x1  x2  x3

′   ′   ′  1

=

2

=

1  +

 Godel

 y1

 y2

0.6 0.8 0.7

0.5 0.5 0.4

′   ∈  

   

 

0.5, 0.6 ,

0.9, 0.8 ,

0.6, 0.7  = 0.8

0.5, 0.5 ,

0.9, 0.5 ,

0.6, 0.4  = 0.5

0.5/

Godel R  x1  x2  x3

=

,

2

 Mamdani

 ∈      ∈    

= 0.8/

1

,

2

2

 y1

 y2

0.4 0.8 0.4

0.4 0.4 0.4

 

0.5, 0.4 ,

 

0.9, 0.8 ,



0.6, 0.4  = 0.8

52

′   ∈     ′    2

=

= 0.8/

0.5, 0.4 ,

1  +

0.4/

 

0.9, 0.4 ,



0.6, 0.4  = 0.4

2

Hasilnya sama baik yang menggunakan metode individual maupun komposisional. Beberapa fuzzy inference engine 1. Product Inference Engine - Individual  union - Implikasi  Mamdani product - S-Norm  max - T-Norm  algebraic product 2. Minimum Inference Engine - Individual  union - Implikasi  Mamdani min - S-Norm  max - T-Norm  min 3. Lukasiewicz Inference Engine - Individual  intersection - Implikasi  Lukasiewicz - T-Norm  min 4. Zadeh Inference Engine - Individual  intersection - Implikasi  Zadeh - T-Norm  min 5. Dienes-Rescher Inference Engine - Individual  intersection - Implikasi  Dienes-Rescher - T-Norm  min Jika A’ adalah fungsi singleton, maka fuzzy inference engine diperoleh: 1. Product = . 2. Min = min , 3. Lukasiewicz = min 1, 1 + 4. Zadeh

′    ∗  ′      ∗   ′    −   ∗  ′       ∗    −   ∗ ′    −   ∗   =

5. Dienes-Rescher

min

= max 1

Catatan: Fuzzy set A’ merupakan fuzzy singleton, apabila 1, jika x = x*  = 0, selain itu

 ′ 

,

,  1

,

53

Contoh: diberikan rule IF x1 is A1 and x2 is A2 and ... and xn is An THEN y is B 1 - | y | , -1  y  1 Dimana B = 0, yang lain Jika A’ merupakan fuzzy singleton, tentukan  ?

1

′   ∗  ∗    ∗ ⋯    ∗           ∗    ∗     ∗ ≥ Misal, diperoleh: µA ( x1, x2, ... , xn) = min

1

1

,

2

2

,

-1

0

1

,

=

=

=1

Case 1 :

0,5

1

1

mAp( x p*) mA( x*)

-1

0

1

y

y

Mamdani-Min

Mamdani-Product

1

1

mA p( x p*) 1-mAp( x p*) -1

0

1-mAp( x p*) 1

y

-1

Lukasiewicz

0

1

y

Zadeh

1

1-mAp( x p*) -1

0

1

y

Dienes-Rescher Case 2 :

   ∗

< 0,5 1

1

mAp( x p*) -1

0

Mamdani-Min

mAp( x p*) mA( x*) 1

y

-1

0

Mamdani-Product

1

y

y

54

1

1

1-mAp( x p*)

-1

0

1-mAp( x p*)

y

1

-1

0

Lukasiewicz

1

y

Zadeh

1

1-mAp( x p*)

-1

0

y

1

Dienes-Rescher Jika tidak singleton, maka pada product inference engine, rumusnya menjadi:

Bernilai 1 jika singleton

Pertemuan 12 (5/12/2012) * * Pemetaan titik x  U ( x : bilangan real) ke suatu himpunan fuzzy A’ dalam U. Beberapa yang dikenal: 1. Singleton Fuzzifier * * Yaitu memetakan  x  U ke himpunan fuzzy A’ dalam U dengan nilai keanggotaan 1 pada  x dan 0 untuk yang lain. * 1, x = x 1 µA’ ( x) = 0, yang lain  x*

2. Gaussian Fuzzifier * Yaitu memetakan  x  U ke himpunan fuzzy A’ dalam U dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut:

 − ∗  −  ′  =  1

1

1

2



Dimana ai adalah parameter positif, dan t-norm atau min.

⋯

 − ∗  −  

2



 biasanya

menggunakan algebraic product

3. Triangular Fuzzifier * Yaitu memetakan  x  U ke himpunan fuzzy A’ dalam U dengan fungsi keanggotaan triangular sebagai berikut:

∗  − 1 −   1

 ′ 

1

1

=



⋯  − −∗   −∗  

1

, jika

1

0, yang lain Dimana bi adalah parameter positif, dan t-norm atau min.

 biasanya

bi, i = 1, 2, ..., n

menggunakan algebraic product

55

Defuzzifier Memetakan dari suatu himpunan fuzzy di dalam U sebagai output dari fuzzy inference engine ke dalam sebuah titik y* dalam V dimana y adalah crisp. Ada 4 cara untuk melakukan defuzzifier, yaitu: 1. Center of gravity defuzzifier (centroid) : biasanya untuk fungsi yang kontinu. *  y  adalah titik berat dari area yang dibatasi oleh fungsi-fungsi B.

 .     ′  ∗  =  ′  

2. Center average

   .   ∗  =   =1

=1

3. Maximum membership principal  terlalu kasar, optimistik µB’ ( y*)  µB’ ( y), untuk semua y  V.

w1 *

 y  = w1

w2

 y1

y2

4. Min-Max membership (middle of maxima)

*

 y  =

  1+

w1 2

w2

2

 y1

y2

56

Contoh: Suatu survey memberikan 3 buah B’ (output)

Tentukan z * ? a. Center of average

 y* =

2,5 . 0,3 + 5 . 0,5 + 6,5 . 1

=

0,3+0,5+1

9,75 1,8

 = 5,42

b. Middle of maxima

 y* = c.

6+7 2

=

13 2

 = 6,5

Centroid

− 2

3

−

= 0,3  y = 3,6 5 = 0,5  y = 5,5

 ′         −     −       −       −       −       −  

Pembilang =

.

3,6 4 3 5,5 0,3. + . + 0,5 1 3,6 2 4 7 8 5  . + 6 + 7 8 . 1 3,6 4 5,5 = 13.0,3 3 + 12 .0,3 2 + 16 3 34 2 + 14 2 + 13 3 0 1 4 3,6 8 1 2 7 + 4 2 13 3 2 6 7

=

1 0,3 0 6 5,5

.

+

.

+

5 2

2

6 5,5

+

= 0,1 + 1,794 + 0,611 + 3,5625 + 2,167 + 6,5 + 3,667 = 18,4005 Penyebut =

 ′       −     −      −       −     −    −  

1 0,3 0 7 + 6

=

= 12.0,3

8

2

+

+

1

0 1 2

8 7

+ 0,3 2

3,6 0,3 1

+

4 3,6

3

+

2

18,4005 =4,953 3,715

+

6 5,5

5

8

3,6 1

+

1 4

2

3 2

4

3,6

+ 12

5,5 4

8 7

= 0,15 + 0,78 + 0,16 + 0,75 + 0,375 + 1 + 0,5 = 3,715

 y*=

5,5 0,5 4

+

1 2

2

5

6

5,5

+

7 6

+

57

Contoh 2: Diberikan sistem fuzzy 2 input 1 output. Didefinisikan aturan fuzzy: IF x1 is A1 and x 2 is A2 THEN y is A1 IF x 1 is A2 and x 2 is A1 THEN y is A2 dengan A1 dan A2 = himpunan fuzzy dalam R dengan fungsi keanggotaan: µA1 ( x) = µA2 ( x) =

 − − ≤  ≤  − − ≤  ≤ 1

, 1 1 , yang lain

0

1

1 0

,0 , yang lain

2

∗ ∗ ′    ∗   ′    ∗   ∗      ∗   ∗                                       

Inputan : 1 , 2 = (0.3, 0.6) dengan singleton fuzzifier. Tentukan output sistem fuzzy, dengan: product inference engine dan center of average. = .

= = = =

. 0,3 . 1 0,7.0,6. 0,42. 1 1

1

. 1 , 0,6 . 1 , 2 , 0,3.0,4. 2 , 0,12. 2 2

2

1

1

. 0,3 . 1

2

2

. 2 0,6 .

2

1

1

1

2

1 0,42 0,12

-1

0

1

0

1

A1

2

-1

0

1

2

A2

Center of average *  y  =

0,42.0+0,12.1 0,42+0,12

 =

0,12 0,54

 = 0,222

Khusus untuk fungsi semacam ini:  Center of average

 y* =





1+

w1+w2

w1

2

 

w1

1

w2

2 -1

Centroid Penyebut = luas area = luas area 1 + luas area 2 + irisan = w1 + w2 - 12 1+ 2

 ∙   1

0

1

2

2

. 0,12 = 0,42 + 0,12 - 12 0,42 0,42+0,12

= 0,4933 Pembilang =



−       −         − 0

1+

1

1

+

1 1+ 2

0

−  + +     − = 0,42+0,12+   =

1 6 1 6

1

2

1 6

3 1 2 + 1 2 1 0,423 6 0,42+0,12 2

= 0,0923 *

 y  =

0,0923 0,4933

 = 0,1872

Bentuk-bentuk implementasi fuzzy logic Inference engine yang sering dijumpai: 1. Mamdani min  singleton fuzzifier 2. Sugeno (TSK) 3. Tsukamoto

1

1

+

1

1 1+ 2

2

+

2

1

2

2

58

Mamdani Min - Singleton fuzzifier - µB’( y) = min (µA’ ( x) . µB ( y))

 Karena singleton=1 µB’( y) = µB ( y)

mA( x2)

mA( x2)

mB’( y)

mA( x1)

 x2

 x1

Contoh: Suatu perusahaan makanan kaleng akan memproduksi makanan jenis ABC. Dari data 1 bulan terakhir, permintaan terbesar sehingga mencapai 5000 kemasan/hari, dan permintaan terkecil sampai 1000 kemasan/hari. Persediaan barang di gudang terbanyak sampai 600 kemasan/hari, dan terkecil pernah sampai 100 kemasan/hari. Dengan segala keterbatasannya, sampai saat ini, perusahaan baru mampu memproduksi barang maksimum 7000 kemasan/hari, serta demi efisiensi mesin dan SDM tiap hari diharapkan perusahaan memproduksi paling tidak 2000 kemasan. Apabila proses perusahaan tersebut menggunakan 4 aturan fuzzy. [R1] IF Permintaan TURUN and Persediaan BANYAK THEN Produksi BERKURANG. [R2] IF Permintaan TURUN and Persediaan SEDIKIT THEN Produksi BERKURANG. [R3] IF Permintaan NAIK and Persediaan BANYAK THEN Produksi BERTAMBAH. [R4] IF Permintaan NAIK and Persediaan SEDIKIT THEN Produksi BERTAMBAH. Berapa kemasan makanan jenis ABC yang harus diproduksi, jika jumlah permintaan sebanyak 4000 kemasan dan persediaan di gudang masih 300 kemasan? Jawab: Ada 3 variabel fuzzy yang akan dimodelkan: permintaan, persediaan dan produksi.

TURUN

 

SEDIKIT

NAIK

1 0,75

 

 

BERTAMBAH

1

0,6 0,4

0,25 1000

4000 5000

100

300

600

2000

Permintaan Persediaan (kemasan/hari) (kemasan/hari) * * Input ( x1 , x2 ) = (permintaan, persediaan) = (4000, 300) [R1]

BERKURANG

BANYAK

1

7000

Produksi Barang (kemasan/hari)

IF Permintaan TURUN and Persediaan BANYAK THEN Produksi BERKURANG.

m(x)

m(y)

m(z)

TURUN

BERKURANG

BANYAK

1

1

BERKURANG

1

1

0,25

0,4

0,25 1000

4000 5000

100

300

600

2000

7000

2000

7000