Catatan Kuliah Sistem Geometri

Aksioma Insidensi Euclid

Aksioma 2

Jika A dan B dua titik sebarang, maka terdapat tepat 1 garis yang melalui kedua titik tersebut.

Aksioma 1

Jika sesuatu itu garis, maka sesuatu itu himpunan titik.

Jika sesuatu itu bidang, maka sesuatu itu himpunan titik.

Aksioma 3

Jika sesuatu itu bidang, maka dibutuhkan minimal 3 titik yang tidak kolinear yang masing-masing terhubung oleh sebuah garis.

Jika dua bidang (yang berbeda) saling berpotongan, maka perpotongannya adalah sebuah garis.

Aksioma 4

Aksioma 5

Jika A, B terdapat pada L dan L himpunan bagian dari P, maka garis L terletak pada bidang P.

Postulat Jarak

Jika S himpunan titik dan R himpunan bilangan real, maka jarak adalah pemetaan oleh himpunan terurut S ke R atau S X S --> R.

Postulat 1

Jika A, B anggota himpunan titik S, maka d(A, B)=0.

Postulat 2

A=B jika dan hanya jika d(A, B)=0.

Postulat 3 (Postulat Penggaris)

Misal f: L <-> R, f disebut sistem koordinat untuk garis L jika dan hanya jika d(A,B)= "f(A) - f(B)", dengan A,B anggota L. Jika L sebuah garis sebarang, maka L memiliki sistem koordinat.

Postulat 4

Jika A, B sebarang maka d(A, B) = d(B, A).

Postulat 5 (Postulat Penempatan Penggaris)

Jika L sebuah garis dan P, Q anggota dari L, maka L memiliki sistem koordimam dengan P = 0 dan Q = bilangan positif real.

Postulat 0

Copyright©: Raden Muhammad Hadi a.k.a HadimasterPage 20

Catatan Kuliah
Sistem Geometri
Dosen : Dr. Endang Mulyana, M.Pd.

Raden Muhammad Hadi
Matematika C – 2011
1106608
Jurusan Pendidikan Matematika - Prodi Matematika

Catatan Kuliah Semester 4
Dari Pertemuan 1 – Pertemuan 7
Tahun Perkuliahan 2012/2013

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Pendahuluan
Catatan Kuliah Sistem Geometri dibuat berdasarkan mata kuliah Sistem Geometri yang diampu oleh Dosen saya yaitu Dr. Endang Mulyana, M.Pd di Jurusan Pendidikan Matematika Prodi Matematika, Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Pendidikan Indonesia. Pembuatan catatan kuliah ini dimaksud untuk selain dapat digunakan sebagai suplemen/pelengkap dalam mata kuliah ini, ataupun referensi kecil juga dimaksudkan sebagai Management Knowledge yang berguna sehingga dapat dimanfaatkan tidak hanya untuk diri pribadi juga untuk mereka yang ingin mempelajari dan mengetahui mengenai sistem geometri. Dalam catatan kuliah terdapat beberapa ilustrasi dan teorema yang pembuktiannya diperoleh baik dari dosen, saya sendiri maupun dari buku referensi wajib pada mata kuliah ini, yaitu buku Elementary Geometry from an Advanced Standpoints karya Edwin E. Moise.
Kritik, koreksi maupun pendapat mengenai catatan kuliah ini sangat diharapkan oleh penulis dan dapat dikirim melalui email maupun komentar di blog penulis yang dapat dilihat di akhir catatan ini. Penulis berharap catatan kuliah ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Penulis
Raden Muhammad Hadi

Bandung, 07 April 2013
Pertemuan – 1
Beberapa peta konsep
Sistem GeometriObjek Langsung GeometriProsedur
Sistem Geometri
Objek Langsung Geometri
Prosedur

Prinsip/Teorema/DalilFakta (Aksioma/Postulat)Konsep
Prinsip/Teorema/Dalil
Fakta (Aksioma/Postulat)
Konsep

IstilahModel/IlustrasiNotasi/SimbolIstilah Terdefisini/Tidak terdefinisi
Istilah
Model/Ilustrasi
Notasi/Simbol
Istilah Terdefisini/Tidak terdefinisi

Struktur[S, L, P]Titik, Garis, Bidang (Istilah Tidak Terdefinisi)Struktur Geometri
Struktur
[S, L, P]
Titik, Garis, Bidang (Istilah Tidak Terdefinisi)
Struktur Geometri

S himpunan semesta titik
S himpunan semesta titik

L himpunan garisP himpunan bidang
L himpunan garis
P himpunan bidang

Eksplisit (Jika . . . Maka . . .)Ex : Jika sesuatu itu garis, maka sesuatu itu himpunan titikImplisitEx : Garis adalah himpunan titikBentuk Pernyataan I
Eksplisit (Jika . . . Maka . . .)
Ex : Jika sesuatu itu garis, maka sesuatu itu himpunan titik
Implisit
Ex : Garis adalah himpunan titik
Bentuk Pernyataan I

Teorema 1Dua garis saling berpotongan tepat di satu titik.Bentuk eksplisit : Jika terdapat dua garis yang saling berpotongan, maka perpotongannya tepat di satu titik.
Teorema 1
Dua garis saling berpotongan tepat di satu titik.
Bentuk eksplisit : Jika terdapat dua garis yang saling berpotongan, maka perpotongannya tepat di satu titik.

Bukti :
Misal L1 L2, L1 L2 , nL1 L2 1. Harus ditunjukkan bahwa nL1 L2=1. Untuk membuktikan nL1 L2=1 cukup dibuktikan nL1 L2 1. Andaikan nL1 L2 1 salah, artinya nL1 L2>1, misalnya nL1 L2=2 dengan L1 L2={A,B}. Berarti A, B L1 dan , B L2 , maka L1=L2. Hal ini kontradiksi, maka haruslah nL1 L2 1 sehingga L1 L2 dan terbukti karena nL1 L2 1 dan nL1 L2 1, maka nL1 L2=1. Q.E.D

Soal : Buktikan!
Jika sebuah garis memotong sebuah bidang yang tidak memuat garis itu, maka perpotongannya sebuah titik.
Jika sebuah titik terletak diluar sebuah garis, maka terdapat tepat sebuah bidang yang memuat titik dan garis itu.
Jika dua garis berpotongan, maka gabungannya terletak pada satu bidang.
Jawab :
Perhatikan ilustrasi berikut

L adalah garis yang memotong bidang E, tapi L bukan bagian dari E, sehingga L E merupakan sebuah titik yaitu P, dan akan dibuktikan bahwa L E tidak mengandung titik lain, misalnya Q.
Misalkan Q terdapat pada L E, sehingga L E={P,Q}. Berdasarkan aksioma insidensi 1 maka dari titik P dan Q dapat ditarik sebuah garis L=PQ. Berdasarkan aksioma insidensi 5, maka garis PQ E yangmana merupakan kontradiksi karena L dari awal bukan bagian dari E. Q.E.D

Misalkan A,B l dan C l, maka dapat disimpulkan bahwa ketiga titik tersebut tidak ko-linear (tidak terletak dalam satu garis). Maka dengan menggunakan aksioma insidensi 3, dapat ditarik garis g=AC dan t=BC sedemikian sehingga terbentuk bidang E seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut

Dari ilustrasi dapat dilihat bahwa l,g,t E. Karena A,B l, A,C g dan B,C t maka A,B,C E . Q.E.D

Misalkan terdapat garis l dan g yang saling berpotongan di satu titik sehingga l g=B. Ambil sebarang titik A g dan C l sedemikian sehingga g=A,B dan l={C,B}. Karena A,B,C adalah titik-titik yang tidak ko-linear maka berdasarkan aksioma 3 dapat dibentuk sebuah bidang E sebagaimana pada ilustrasi berikut

Karena l,g E dan A,B g, C,B l maka gabungan dari l g=E. Q.E.D

Diskusi:
Diketahui 5 titik yang berbeda dengan tidak ada 3 titik yang segaris dan tidak ada 4 titik yang sebidang.
Berapa banyak garis yang memuat dua dari kelima titik itu?
Berapa banyak bidang yang memuat tiga dari kelima titik itu?
Diketahui n titik yang berbeda dengan tidak ada tiga titik yang segaris dan tidak ada 4 titik yang sebidang
Berapa banyak garis yang memuat dua dari n titik itu?
Berapa banyak bidang yang memuat 3 dari n titik itu?
Tunjukkan bahwa S tidak dapat merupakan sebuah garis!
Tunjukkan paling sedikit terdapat dua bidang!

Pertemuan – 2
Cara Berfikir Geometri
Cara Berfikir Geometri
Deduktif FormalPengenalanAnalisisPengelompokan (Deduktif Informal)Rigor/Keakuratan
Deduktif Formal
Pengenalan
Analisis
Pengelompokan (Deduktif Informal)
Rigor/Keakuratan

JarakA B, ada jarak A-B dalam bilangan real.A=B, jarak A-B=0 RUkuran ruas garisLintasan terpendek
Jarak
A B, ada jarak A-B dalam bilangan real.
A=B, jarak A-B=0 R
Ukuran ruas garis
Lintasan terpendek

Jika A dan B dua titik sebarang maka jarak dari A ke B ditulis d(A,B)
Jika A dan B dua titik sebarang maka jarak dari A ke B ditulis d(A,B)
A=B dA,B=0
A=B dA,B=0
Jika A=B, dA,B=0Jika dP,Q=0 P=Q
Jika A=B, dA,B=0
Jika dP,Q=0 P=Q

Teorema :Jika f adalah sistem koordinat untuk garis L dan gA=-f(A) maka g adalah sistem koordinat untuk L.Bukti:
Teorema :
Jika f adalah sistem koordinat untuk garis L dan gA=-f(A) maka g adalah sistem koordinat untuk L.
F sistem koordinat untuk L jika dan hanya jika d(A,B)=f(A)-f(B). Akan dibuktikan d(A,B)="g(A)-g(B)". Karena g(A)=-f(A) dan g(B)=-f(B) maka
d(A,B)="g(A)-g(B)"="-f(A)+f(B)"="f(B)-f(A)"=d(B,A). Q.E.D
Soal:
Tunjukkan kalau postulat 2, 3 dan postulat 4 merupakan konsekuensi dari postulat 5!
Jawab : Buktinya hampir sama dengan bukti teorema diatas.

Pertemuan – 3
dA,B+dB,C=d(A,B)A, B, C ko-linearMisal A, B, C 3 titik berbeda. B diantara A dan C dinotasikan dengan A-B-C jika dan hanya jika ...Keantaraan
dA,B+dB,C=d(A,B)
A, B, C ko-linear
Misal A, B, C 3 titik berbeda. B diantara A dan C dinotasikan dengan A-B-C jika dan hanya jika ...
Keantaraan

Bentuk Pernyataan II
Bentuk Pernyataan II

SyaratEx : ..., maka ABC PQRSifatEx : Jika ABC PQR, maka ...
Syarat
Ex : ..., maka ABC PQR
Sifat
Ex : Jika ABC PQR, maka ...

Set Theory of Betweenness and Congruence
Misalkan pada suatu garis l terdapat titik A dan B. Perhatikan ilustrasi berikut:

Dari ilustrasi diatas dapat diambil beberapa jenis himpunan garis, diantaranya ruas garis dan sinar :
Ruas garis
Ruas garis AB=A,B {P"A-P-B}

Sinar
Sinar AB=A,B PA-P-B- -n atau AB {Q"A-B-Q}

Konsep Kongruensi
Misal terdapat ruas garis AB dan PQ, maka AB=PQ artinya AB PQ dan PQ AB.
Konsep Kongruensi Ruas Garis
Ruas garis ABdikatakan kongruen dengan PQ jika dan hanya jika AB = PQ atau
AB PQ d(A,B)=d(P,Q)
Sudut

Sudut adalah gabungan 2 sinar yang titik pangkalnya berimpit. Dalam himpunan dinotasikan sebagai ABC=BA BC
Ukuran sudut

Misal terdapat sinar QR QP sedemikian sehingga membentuk sudut PQR. Ukuran sudut didefenisikan sebagai jarak ter-minimal titik P menuju R. Ukuran sudut dinotasikan sebagai m PQR. Terdapat 2 kriteria ukuran sudut:
Ukuran sudut merupakan pemetaan himpunan sudut ke bilangan real atau f:Himp.sudut R
Ukuran sudut f: ABC>0° atau 0°< ABC<180°
Postulat Jika D pada interior ABC, maka m ABD+m DBC=m ABC
Postulat
Jika D pada interior ABC, maka m ABD+m DBC=m ABC

Pertemuan – 4
Soal:
Jika AB suatu ruas garis, maka terdapat tepat satu titik tengah, buktikan!
Bukti:
Perhatikan ilustrasi berikut!

Misalkan L adalah garis yang memuat AB, maka terdapat sistem koordinat f pada garis L sehingga f(A)=0 dan f(B)=x>0
x R+ y=x2, misal f-1y=c, fc=x2=y
Selanjutnya akan ditunjukkan titik c adalah titik tengah AB.
fAC=fC-fA=x2-0=x2=x-x2=fB-fC=CB
Artinya C titik tengah AB. Q.E.D
Soal:
Jika terdapat 2 garis yang berpotongan, maka gabungannya terletak pada satu bidang, buktikan!
Bukti:

Misalkan l dan t berpotongan di C, maka terdapat A l dan B t sehingga A,B,C tidak kolinear. Menurut aksioma insidensi 3, jika terdapat 3 titik yang tidak kolinear, maka dari 3 titik tersebut dapat ditarik garis yang menghubungkan 3 titik tersebut sehingga membentuk sebuah bidang α sedemikian sehingga A,B,C α. Dari sini dapat disimpulkan bahwa gabungan 2 garis yang berpotongan terletak pada 1 bidang. Q.E.D

Pertemuan – 5
KonveksitasBeberapa peta konsep
Konveksitas

Bukan KonveksJika ada titik pada AB EKonveksJika untuk setiap titik AB anggota E, maka AB E
Bukan Konveks
Jika ada titik pada AB E
Konveks
Jika untuk setiap titik AB anggota E, maka AB E

Tidak konveksKonveksKonveks (thin)Konveks (small)

Tidak konveks

Konveks

Konveks (thin)

Konveks (small)

Half-Plane (Setengah Bidang)
Perhatikan ilustrasi berikut.

Half-plane didefinisikan sebagai bidang E yang dibagi/dibatasi oleh garis L sehingga membentuk 2 buah bidang yang saling disjoint/saling terpisah dan konveks di masing-masing daerahnya yaitu H1 dan H2 atau dapat dinotasikan dengan teori himpunan:
E-L=H1 H2 dengan H1 H2=
Bidang H1 didefinisikan sebagai berikut:
H1={Q"PQ L= }
Sedangkan bidang H2 didefinisikan sebagai berikut:
H2={Q"PQ L ,Q L}
Teorema Setengah bidang:
Teorema 1 : Postulat Pasch
Diberikan ABC, dan sebuah garis L di bidang yang sama. Jika L mengandung sebuah titik E diantara A dan C, maka L memotong di salah satu sisi yaitu sisi AB atau BC.
Teorema 1 diilustrasikan sebagai berikut.

Bukti: Gunakan kontradiksi, andaikan L tidak memotong di salah satu sisi. Maka A dan B berada di sisi yang sama dari L dan B dan C juga berada di sisi yang sama dari L sehingga A dan C berada dalam sisi yang sama dari L. Ini merupakan kemustahilan karena E terdapat diantara A dan C sehingga A-E-C sehingga seharusnya A dan C tidak berada di sisi yang sama. Q.E.D
Teorema 2: Himpunan H1 dan H2 tidak kosong kedua-duanya.
Bukti: Gunakan kontradiksi. Misalkan kedua-duanya kosong, maka H1 L H2=L, padahal L memisahkan bidang E menjadi half-plane yang saling disjoint. Maka haruslah H1 L H2=E. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa kedua-duanya kosong, maka haruslah H1 dan H2 tidak kosong kedua-duanya. Q.E.D
Teorema 3: Baik himpunan H1 maupun H2 tidak kosong salah satu.
Bukti: Gunakan kontradiksi, misalkan salah satu dari half-plane kosong yaitu H1, maka H1 L H2=H2. Hak ini kontradiksi karena seharusnya gabungan dari ketiganya merupakan bidang yang tidak berbatas E, sedangkan H2 memiliki batas di L. Maka haruslah H1 L H2=E. Q.E.D
Teorema 4: H1 paling sedikit mengandung 2 titik.
Bukti: Dengan menggunakan definisi bahwa L membagi bidang E menjadi half-plane yang saling disjoint dan konveks di masing-masing daerahnya, maka cukup dengan mengambil sebarang titik A dan B sehingga AB H1. Q.E.D
Teorema 5: H1 paling tidak mengandung 3 titik yang tidak kolinear.
Bukti: Tanpa mengurangi generalisasi dengan menggunakan aksioma insidensi 3, maka dapat diambil sebarang titik A,B,C H1 sehingga dapat dibentuk bidang α H1. Q.E.D

Pertemuan – 6
Kongruensi
Kongruensi

AB CD AB=CD
AB CD AB=CD

ABC PQR m ABC=m PQR
ABC PQR m ABC=m PQR
AB PQ,BC QR,AC PR A P, B Q, C R ABC PQRKorespondensi 1-1 ABC PQR …
AB PQ,BC QR,AC PR
A P, B Q, C R
ABC PQR

Korespondensi 1-1
ABC PQR …

Soal:
Diketahui ABC sama kaki, AB AC, buktikan B C!
Bukti:
Perhatikan ilustrasi berikut:

Perhatikan bahwa
ABC ACB
AB AC
A A (sifat refleksif)
BC CB (sifat refleksif)
Berdasarkan definisi sisi-sudut-sisi ABC ACB sehingga B C. Q.E.D
Soal:
Diketahui ABC PQR, A P, AB PQ, B Q. Buktikan bahwa ABC PQR!
Bukti:

Konstruksikan ruas garis PR1 sehingga QR1 BC, akibatnya
ABC PQR1
A P
B Q
C R1
Perhatikan QPR dan BAC. Karena A P, maka dengan definisi kekongruenan sisi-sudut-sisi diperoleh bahwa AB PQ, dan AC PR sedemikian sehingga ABC PQR. Tapi berdasarkan hipotesis bahwa ABC PQR1 sehingga haruslah R1=R. Q.E.D
Soal:
Diketahui ABC PQR, AB PQ, B Q, dan C R. Buktikan ABC PQR!
Diketahui ABC siku-siku di C, dan PQR siku-siku di R. Bila AB PQ dan AC PR. Buktikan ABC PQR!
Diketahui ABC dengan titik D pada BC sehingga AD merupakan garis tinggi ABC. Jika m ABC=m ACB, buktikan AD garis bagi BAC!
Diketahui ABC sama kaki dengan AC=BC, D titik tengah AC dan E titik tengah BC. Pada perpanjangan AB terletak titik F dan pada perpanjangan BA terletak titik G sehingga BF=AG. Buktikanlah DF=EG!
Diketahui ABC, m ABC=m ACB=70°, titik D pada AB dan titik E pada AC sehingga CD AB dan BE AC. Buktikan AD=AE!
Pada ABC, M titik tengah AB, D pada BC dan E pada AC sehingga AD dan BE merupakan garis-garis tinggi segitiga. Buktikan MD=ME!

Pertemuan 7
Ketidaksamaan Geometri
Teorema-teorema Ketidaksamaan Geometri:
Sebarang sudut luar dari suatu segitiga lebih besar daripada setiap sudut yang berjauhan dari sudut luar itu.
Bukti:

Diketahui ABC dengan ACD merupakan sudut luar, akan dibuktikan (1) ACD> ABC dan (2) ACD> BAC. Dengan menggunakan menggunakan pemahaman mengenai sudut bersuplemen, kita akan membuktikan kedua pernyataan tersebut. Perhatikan ilustrasi berikut!

m DAC+m DAB=180° sebab pada CB dipadang sudut yang berukuran 180°. DAC dan DAB disebut sebagai pasangan linear. Maka DAC dan DAB saling bersuplemen jika dan hanya jika m DAC+m DAB=180°.
Maka dengan menggunakan postulat tersebut diketahui bahwa m ACD+m ACB=180° sedemikian sehingga m ACD=180°-m ACB. Konstruksikan A'B'C ABC seperti pada ilustrasi berikut

Dari ilustrasi dapat diketahui bahwa m ACD+m ACB+m ACA'=180° sehingga m ACD=180°-m ACB-m ACA' mengakibatkan bahwa ACD> ACB. Dengan cara yang analog dengan cara memperoleh ACD> ACB, maka terbukti bahwa ACD> ABC dan ACD> BAC. Q.E.D
Teorema akibat : Melalui suatu titik diluar suatu garis yang diketahui dibuat hanya satu garis yang tegak lurus terhadap garis yang diketahui.
Bukti:

Andaikan ada 2 garis yang melalui P tegak lurus garis L, yaitu pada PA dan PC. Perhatikan PAC, PCD adalah sudut luar PAC. Menurut teorema sebelumnya, PCD> PAC, bertentangan dengan m PAC=m PCD=90°, akibatnya pengandaian salah, seharusnya PCD PAC sehingga satu-satunya garis yang tegak lurus terhadap garis L hanyalah PA atau PC. Q.E.D
Jika dari sebuah segitiga diketahui dua sisinya tidak kongruen, maka sudut-sudut dihadapan sisi itu tidak kongruen. Sudut yang lebih besar terletak dihadapan sisi yang lebih panjang.
Bukti:

Diketahui AB AC, ABm ACB. Konstruksi D pada BC sehingga AD=AB. ABD sama kaki sehingga m ABC=m ADB. Pada ABD, ADB sudut luar. Menurut teorema 1 diperoleh
m ADC>m ACD
m ADC=m ABC
Sehingga m ABC>m ACB menyebabkan m ABC m ACB. Q.E.D
Jika dari sebuah segitiga diketahui dua sudutnya tidak kongruen, maka sisi-sisi dihadapan sudut itu tidak kongruen sehingga sisi yang lebih panjang terletak dihadapan sudut yang lebih besar.
Bukti:

Diketahui ABC dengan B< C. Akan dibuktikan AC Jika AC AB, maka dengan teorema segitiga sama kaki didapat bahwa B C, dan ini tidak sesuai dengan hipotesis,
Jika AC>AB, maka dengan teorema 3 didapat bahwa B> C, dan ini juga tidak sesuai dengan hipotesis,
Maka kemungkinan besar bahwa AC Segmen terpendek yang menghubungkan sebuah titik ke sebuah garis adalah segmen yang tegak lurus dengan garis itu.
Bukti:

Diketahui L sebuah garis, P titik diluar L, Q merupakan titik yang menyebabkan PQ tegak lurus L, dan R titik lain pada L. Akan dibuktikan PQ Misalkan S titik lain pada L sedemikian sehingga S-Q-R, maka PQS sudut luar PQR. Maka dengan menggunakan teorema sebelumnya diperoleh PQS> PRQ. Karena PQ L diperoleh bahwa PQS PQR, sehingga PQR> PRQ. Dengan teorema sebelumnya diperoleh bahwa PR>PQ atau PQ Teorema Ketidaksamaan Segitiga. Dalam sembarang segitiga, jumlah sembarang dua sisi lebih besar daripada sisi yang ketiga.
Bukti:

Diketahui A,B,C tidak kolinear. Akan dibuktikan AB+BC>AC. Misalkan D titik pada CB sedemikian sehingga C-B-D dan BD=BA, maka CD=AB+BC…(1)
Sekarang B merupakan interior DAC. Dengan teorema sudut diperoleh
DAB< DAC…(2)
Semenjak BAD sama kaki, dengan BD=BA, maka D DAC…(3)
Dengan mengaplikasikan teorema 5 pada ADC diperoleh
CD>AC…(4)
Dari (1) dan (4) diperoleh
AB+BC>AC
Q.E.D
Dari dua segitiga yang diketahui, jika 2 sisi segitiga pertama kongruen dengan berturut-turut dua sisi segitiga kedua dan sudut yang diapitnya lebih besar daripada sudut yang diapit oleh 2 segitiga yang kedua, maka sisi dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari segitiga yang kedua.
Teorema Sisi-Sudut-Sisi. Diketahui korespondensi diantara dua segitiga. Jika dua sudut dan sebuah sisi yang berkorespondensi dari segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian yang berkorespondensi pada segitiga yang kedua, maka korespondensi itu merupakan sebuah korespondensi.
Bukti:

Diketahui ABC dan DEF dimana ABC DEF, Jika AB DE dan
A D dan C F. Akan dibuktikan ABC DEF.
Misal F' titik pada DF sedemikian sehingga DF' AC. Dengan definisi Sisi-Sudut-Sisi diperoleh ABC DEF' sehingga F' C F. Tapi kita harus memiliki D-F-F', D-F'-F atau F=F'.
Jika D-F-F', maka F sudut luar EFF' sedemikian sehingga F> F', ini salah secara hipotesis,
Jika D-F'-F, maka F' sudut luar EFF' sedemikian sehingga F'> F, ini juga salah secara hipotesis,
Maka kemungkinan besar F'=F sedemikian sehingga ABC DEF. Q.E.D
Teorema Hipotenusa-sisi siku-siku. Diketahui korespondensi diantar dua segitiga siku-siku. Jika hipotenusa dan sebuah sisi siku-siku yang pertama berkorespondensi dari segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian yang berkorespondensi pada segitiga yang kedua, maka korespondensi itu merupakan sebuah korespondensi.
Bukti:

Diketahui ABC dan DEF sedemikian sehingga m A=m D=90°, AB DE dan BC EF. Akan dibuktikan ABC DEF.
Misal G titik pada F-D-G dan DG AC. Dengan menggunakan postulat sudut yang saling bersuplemen diperoleh EDG adalah sudut siku-siku dan EDG BAC. Dengan teorema Sisi-Sudut-Sisi diperoleh ABC DEG. Hal ini menyebabkan EG BC sehingga EG EF. Dengan teorema segitiga sama kaki, diperoleh F G. Dengan teorema Sisi-Sudut-Sudut diperoleh DEG DEF sehingga ABC DEF. Q.E.D

Biodata Penulis

Nama : Raden Muhammad Hadi
Nickname : hadimaster, master, Hadi

Contact Person via blog dan e-mail
Blog : hadimaster-mymind.blogspot.com
e-mail : [email protected]
Aksioma Insidensi Euclid
Aksioma 1
Jika sesuatu itu garis, maka sesuatu itu himpunan titik.
Jika sesuatu itu bidang, maka sesuatu itu himpunan titik.
Aksioma 2
Jika A dan B dua titik sebarang, maka terdapat tepat 1 garis yang melalui kedua titik tersebut.
Aksioma 3
Jika sesuatu itu bidang, maka dibutuhkan minimal 3 titik yang tidak kolinear yang masing-masing terhubung oleh sebuah garis.
Aksioma 4
Jika dua bidang (yang berbeda) saling berpotongan, maka perpotongannya adalah sebuah garis.
Aksioma 5
Jika A, B terdapat pada L dan L himpunan bagian dari P, maka garis L terletak pada bidang P.
Postulat Jarak
Postulat 0
Jika S himpunan titik dan R himpunan bilangan real, maka jarak adalah pemetaan oleh himpunan terurut S ke R atau S X S --> R.
Postulat 1
Jika A, B anggota himpunan titik S, maka d(A, B)=0.
Postulat 2
A=B jika dan hanya jika d(A, B)=0.
Postulat 3 (Postulat Penggaris)
Misal f: L <-> R, f disebut sistem koordinat untuk garis L jika dan hanya jika d(A,B)= "f(A) - f(B)", dengan A,B anggota L. Jika L sebuah garis sebarang, maka L memiliki sistem koordinat.
Postulat 4
Jika A, B sebarang maka d(A, B) = d(B, A).
Postulat 5 (Postulat Penempatan Penggaris)
Jika L sebuah garis dan P, Q anggota dari L, maka L memiliki sistem koordimam dengan P = 0 dan Q = bilangan positif real.

Catatan Kuliah Sistem Geometri

Recommend Documents