Catatan Kuliah Fismat 2b (part1)

BAB I : REVIEW ANALISIS VEKTOR 1. Pendahuluan Pada bab ini vektor akan dijelaskan melalui dua sisi yaitu - Interpretasi Geometri atau biasa disingkat IG - Aljabar atau biasa disingkat Al Macam-macam solusi persamaan linier: - Ada solusi dan merupakan solusi unik (apabila dua garis pada kurva saling berpotongan) - Ada solusi tetapi solusi tidak unik (apabila dua garis pada kurva saling sejajar) - Tidak ada solusi

2. Definisi Vektor Syarat vektor yaitu memiliki arah, besaran, dan memenuhi operasi vektor (penjumlahan, dot product, dan cross product)

3. Reresentasi Vektor Untuk vektor sendiri biasa diberikan dengan simbol A atau  Dimana jika di interpretasikan dalam aljabar𝑨 = 𝐴𝑥𝒊 + 𝐴𝑦𝒋 + 𝐴𝑧𝒌, sedangkan intrepertasinya dalam geometri menjadi ... Sedangkan untuk |𝑨| = √𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐴𝑧 2

4. Operasi Vektor -

-

-

Penjumlahan Aljabar : 𝑨 + 𝑩 = (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥)𝒊 + (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)𝒋 Interpretasi Geometri (dengan paleogram) Dot product Aljabar : 𝑨. 𝑩 = 𝐴𝑥. 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦. 𝐵𝑦 Interpretasi Geometri: 𝑨. 𝑩 = |𝑨||𝑩| cos 𝜃 Dimana 𝑨𝑥 = |𝑨| cos 𝜃 𝑨. 𝒊 = |𝑨||𝒊| cos 𝜃 = |𝑨|. 1. cos 𝜃 = |𝑨| cos 𝜃 Baik saat A diproyeksikan ke B ataupun saat B diproyeksikan ke A, maka kalikan besar proyeksi dengan vektor arah proyeksi. Cross product 𝒊 𝒋 Aljabar: 𝑪 = 𝑨 𝑥 𝑩 = 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝐵𝑦 Interpretasi Geometri: |𝑪| = (𝑨 𝑥 𝑩) = |𝑨||𝑩| sin 𝜃 dengan 0° ≤ 𝜃 ≤ 180° Contoh pengaplikasiannya adalah sebagao berikut, 1. untuk dot product: 𝑭 . 𝑑𝒓 = 𝑑𝜔 2. untuk cross product: 𝒓 𝑥 𝑭 = 𝜏

5. Rauang Vektor dan Basis Ruang Vektor Syaratnya: ada korespondensi 1-1, titik (x,y,z), vektor 𝒓 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌. Ruang yang dipenuhi oleh syarat dari titik dan vektor tersebut: R3(Real), V3(Vektor), E3(Euclidian). Vektor Basis Merupakan vektor elementasi dasar yang menyusun semua vektor dalam sistem koordinat yang bersesuaian Kartesian: 𝑒̂𝑥 , 𝑒̂𝑦 , 𝑒̂𝑧 Silinder: 𝑒̂𝑟 , 𝑒̂𝜃 , 𝑒̂𝑧 Bundar: 𝑒̂𝑟 , 𝑒̂𝜃 , 𝑒̂𝜑

6. Tambahan Inner product |𝑨|. |𝑩| = ∑𝑛𝑖=1 𝐴𝒊. 𝐵𝒊 Norm (besaran Vektor) ||𝑨|| = √𝐴. 𝐴 = √∑𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 2 Dua vektor dinyatakn ortogonal jika inner productnya = 0 𝑛

∑ 𝐴𝑖. 𝐵𝑖 = 0 𝑖=1

𝐴. 𝐵 cos 𝜃 = 0 Maka cos 𝜃 = 0 sehingga nilai sudutnya adalah 90° Vektor dinyatakan ortonormal jika syarat b dan c = 1 Contoh vektornya adalah vektor 𝒊, 𝒋, 𝒌

BAB II : ANALISIS TENSOR 1

Definisi dari tensor adalah objek geometri atau matematik yang dapat digunakan untuk menggamarkan sifat-sifat fisis dan karakteristiknya. 𝑭

Contoh tensor adalah 𝒂 = 𝑚 yang kemudian bisa dimodifikasi menjadi, 𝑭 = 𝑚. 𝒂 Vektor = vektor . skalar 𝑇 ′ = 𝑇°. 𝑇′ 𝑑𝜔 = 𝑭. 𝑑𝒔 Skalar = vektor . vektor 𝑇° = 𝑇 ′ . 𝑇′ 𝝉=𝒓𝑥𝑭 Vektor = vektor x vektor 𝑇 ′ = 𝑇 ′ 𝑥 𝑇′ Tabel hubungan antara orde tensor dan nilai Euclidiannya: Tensor orde ke Komponen dalam Euclidiannya 0 1 1 3 2 9 Sehingga dapat disimpulkan bahwa hubungannya dapat dilihat melalui rumus: 𝑛𝑜 n adalah nilai euclidian ke-n o adalah nilai ordenya. (dimana orde 1 disebut skalar, orde 2 disebut vektor, orde 3 disebut dyadic) Tensor orde kedua ialah ketika sebuah besaran fisis tidak cukup dideskripsikan dengan satu buah vektor saja. Kemudian operasi inner product dari T’ dengan T 2 akan menghasilkan vektor dengan arah dan besaran yang baru. Contoh: 𝐹 𝜎= →𝐹 =𝜎𝑥𝐴 𝐴 F adalah gaya yang merupakan besaran vektor 𝜎 adalah stress yang bukan merupakan besaran skalar 𝐴 adalah luas yang merupakan besaran vektor

BAB III : ANALISIS TENSOR 2 TRANSFORMASI KOORDINAT Transformasi koordinat ortogonal dan linier 1. Transformasi linier Mislakan 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, dan 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 Kemudian dibuat dalam bentuk matriks menjadi 𝒙 𝑎 𝑏 𝑥 (𝒚) = ( ) ( ) ⇒ 𝑅 = 𝑚. 𝑟 𝑐 𝑑 𝑦 𝒙′ 𝑎 𝑏 𝑥 ( )=( ) ( ) ⇒ 𝑅′ = 𝑚. 𝑟 𝒚′ 𝑐 𝑑 𝑦 Dengan m adalah matriks transformasi linier (yang berisi info tentang transformasinya) Maka setelah ditransformasikan menjadi: 𝑥 ′ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 dan 𝑦 ′ = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 2. Transformasi orthogonal adalah transformasi linier yang mensyaratkan |r| dengan nilai yang tetap |𝒓| = √𝑥 2 + 𝑦 2 dengan 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎𝑏𝑥𝑦 + 𝑏 2 𝑦 2 + 𝑐 2 𝑥 2 + 2𝑐𝑑𝑥𝑦 + 𝑑 2 𝑦 2 = (𝑎2 + 𝑐 2 )𝑥 2 + (2𝑎𝑏 + 2𝑐𝑑)𝑥𝑦 + (𝑏 2 + 𝑑 2 )𝑦 2 Maka 𝑎2 + 𝑐 2 = 1 , 2𝑎𝑏 ≠ 2𝑐𝑑 = 0, 𝑏 2 + 𝑑 2 = 1 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 1 0 Sehingga ( )( )=( ) ⟹ 𝑚𝑇 . 𝑚 = Ι 𝑏 𝑑 𝑐 𝑑 0 1

BAB IV : ANALISIS TENSOR 3 CURVILINIER KOORDINATES Sistem koordinat kurvilinier merupakan sistem koordinat yang garis koordinatnya bisa berupa garis lurus maupun lengkungan. Sistem koordinat ortogonal merupakan sistem koordinat permukaan yang saling tegak lurus. Permukaan koordinat adalah permukaan yang dibentuk dengan mengambil satu variabel sumbu koordinat sebagi konstanta. Contoh: 1. Pada koordinat cartesian y

x x=4 Diamana z=0 dan x=4, maka akan terlihat bahwa garis A merupakan garis potong antara permukaan koordinat. 2. Pada koordinat silinder

Garis tebal merupakan garis perpotongan antara permukaan koordinat. Dimana garis – garis tersebut didapat dari pemisalan berikut: Misalkan 𝜃 =

Misalkan z=3

𝜋 4

Misalkan r=1

BAB V : KOORDINAT UMUM Koordinat kartesian 3 dimensi (x,y,z) – koordinat umum (q1,q2,q3)  Contoh koordinat polar Koordinat polar: 𝑞1 = 𝑟 𝑑𝑎𝑛 𝑞2 = 𝜃 Sehingga 𝑥(𝑟, 𝜃) = 𝑟 cos 𝜃 𝑑𝑎𝑛 𝑦(𝑟, 𝜃) = 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑥

𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜃) 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝒚 = 

𝜕𝑥

𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑑𝒙 = 𝜕𝑟 𝑑𝑟 + 𝜕𝜃 𝑑𝜃 = (cos 𝜃 𝑑𝑟 −

𝑑𝒔 = 𝑑𝑥𝒊 + 𝑑𝑥𝒋 𝜕𝑦 𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝑑𝑟 + 𝜕𝜃 𝑑𝜃 = (sin 𝜃 𝑑𝑟 − 𝑟 cos 𝜃 𝑑𝜃)

Contoh koordinat umum 𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝑑𝑥 = 𝜕𝑞 𝑑𝑞1 + 𝜕𝑞 𝑑𝑞2 + 𝜕𝑞 𝑑𝑞3 1

2

3

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝑑𝑦 = 𝜕𝑞 𝑑𝑞1 + 𝜕𝑞 𝑑𝑞2 + 𝜕𝑞 𝑑𝑞3 1

2

𝜕𝑧

3

𝜕𝑧

𝜕𝑧

𝑑𝑧 = 𝜕𝑞 𝑑𝑞1 + 𝜕𝑞 𝑑𝑞2 + 𝜕𝑞 𝑑𝑞3 1

2

3

Menghitung panjang kurva ds yaitu ds2 (𝑑𝒔)2 = (𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2 + (𝑑𝑧)2 → (𝑑𝒔)2 = ∑𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑗 𝑑𝑞𝑖 𝑑𝑞𝑗 𝜕𝑥 𝜕𝑥

(𝑑𝑥)2 = ∑𝑖𝑗 𝜕𝑞

𝑖

𝜕𝑞𝑗

𝜕𝑦 𝜕𝑦

(𝑑𝑦)2 = ∑𝑖𝑗 𝜕𝑞

𝑖

𝜕𝑞𝑗

𝜕𝑧 𝜕𝑧

(𝑑𝑧)2 = ∑𝑖𝑗 𝜕𝑞 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝑔𝑖𝑗 = 𝜕𝑞

𝑖 𝜕𝑞𝑗

𝑖

𝜕𝑞𝑗

𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞𝑗 𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞𝑗

𝜕𝑦 𝜕𝑦

+ 𝜕𝑞

𝑖 𝜕𝑞𝑗

𝜕𝑧 𝜕𝑧

+ 𝜕𝑞

𝑖 𝜕𝑞𝑗

𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

=𝑑𝑜𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝜕𝑞

𝑖

𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑞𝑖

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑔𝑖𝑗 = 0 (ortogonal) Untuk koordinat ortogonal, maka panjang koordinatnya menjadi (𝑑𝑠)2 = (ℎ1 𝜕𝑞1 )2 + (ℎ2 𝜕𝑞2 )2 + (ℎ3 𝜕𝑞3 )3 𝜕𝑥 2

𝜕𝑦 2

𝜕𝑧 2

𝑖

𝑖

𝑖

Dengan (ℎ𝑖 )2 = (𝜕𝑞 ) + (𝜕𝑞 ) + (𝜕𝑞 ) dengan h adalah faktor skala Untuk koordinat polar, maka panjang koordinatnya menjadi (𝑑𝑠)2 = (ℎ𝑟)2 (𝑑𝑟)2 + (ℎ𝜃)2 (𝑑𝜃)2 𝜕𝑥 2

𝜕𝑦 2

𝜕𝑥 2

𝜕𝑦 2

(ℎ𝑟)2 = ( ) + ( ) = cos 2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1 → ℎ𝑟 = 1 𝜕𝑟 𝜕𝑟 (ℎ𝜃)2 = ( ) + ( ) = 𝑟 2 cos2 𝜃 + 𝑟 2 sin2 𝜃 = 𝑟 2 → ℎ𝜃 = 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜃 ∴ (𝑑𝑠)2 = (ℎ𝑟)2 (𝑑𝑟)2 + (ℎ𝜃)2 (𝑑𝜃)2 = 𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑑𝜃 2 

Contoh koordinat silinder Hubungan variabel koordinat kartesian dengan koordinat silinder 𝑥(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟 sin 𝜃, 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧

𝜕𝑥 2

𝜕𝑦 2

𝜕𝑧 2

𝜕𝑥 2

𝜕𝑦 2

𝜕𝑧 2

𝜕𝑥 2

𝜕𝑦 2

𝜕𝑧 2

(ℎ𝑟)2 = ( ) + ( ) + ( ) = cos2 𝜃 + sin2 𝜃 + 0 = 1 → ℎ𝑟 = 1 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 (ℎ𝜃)2 = ( ) + ( ) + ( ) = 𝑟 2 cos 2 𝜃 + 𝑟 2 sin2 𝜃 + 0 = 𝑟 2 → ℎ𝜃 = 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 (ℎ𝑧)2 = ( ) + ( ) + ( ) = 0 + 0 + 1 = 1 → ℎ𝑧 = 1 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 ∴ (𝑑𝑠)2 = (𝑑𝑟)2 + 𝑟 2 (𝑑𝜃)2 + (𝑑𝑧)2 

Contoh koordinat bola Hubungan variabel koordinat kartesian dengan koordinat bola 𝑥(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑 , 𝑦(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑, 𝑧(𝑟, 𝜃, 𝜑) = 𝑟 cos 𝜃

𝜕𝑥 2

𝜕𝑦 2

𝜕𝑧 2

(ℎ𝑟)2 = ( ) + ( ) + ( ) = (sin 𝜃 cos 𝜑)2 + (sin 𝜃 sin 𝜑)2 + 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 cos2 𝜃 = 1 → ℎ𝑟 = 1 𝜕𝑥 2

𝜕𝑦 2

𝜕𝑧 2

(ℎ𝜃)2 = ( ) + ( ) + ( ) = 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 (𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 sin 𝜑)2 +(𝑟 cos 𝜃 cos 𝜑)2 +(𝑟 sin 𝜃)2 = 𝑟 2 → ℎ𝜃 = 𝑟 𝜕𝑥 2

𝜕𝑦 2

𝜕𝑧 2

(ℎ𝜑)2 = ( ) + ( ) + ( ) = (−𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑)2 + (𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑)2 + 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 0 = (𝑟 2 sin2 𝜃) → ℎ𝜑 = 𝑟 sin 𝜃 ∴ (𝑑𝑠)2 = (ℎ𝑟)2 (𝑑𝑟)2 + (ℎ𝜃)2 (𝑑𝜃)2 + (ℎ𝜑)2 (𝑑𝜑)2 = (𝑑𝑟)2 + 𝑟 (𝑑𝜃)2 + 𝑟 sin 𝜃 (𝑑𝜑)2

Elemen Luas dan Volume Integral Jacobian 

Elemen luas pada koordiant silinder

𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 𝑑𝐴 = 𝑎𝑑𝜃𝑑𝑧 (merupakan elemen luas permukaan bidang dengan jari-jari a) 𝑙

2𝜋

𝑎

𝑙

2𝜋 𝑎2

𝑉 = ∫𝑧=0 ∫𝜃=0 ∫𝑟=0 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 = ∫𝑧=0 ∫𝜃=0

2

𝑙

𝑑𝜃 𝑑𝑧 = ∫𝑧=0

𝑎2 2𝜋 2

𝑑𝑧 =

𝑎2 2𝜋 2

𝑙

∴ 𝑉(𝑟 = 𝑎, 𝜃, 𝑧 = 𝑙) = 𝜋𝑎2 𝑙 

Jacobian Jacobian merupakan matriks yang menentukan elemen variabel koordiant suatu sistem koordinat ke sistem koordianat lain Contoh: untuk integral volume ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)

𝑉 = ∭ 𝑓[𝑥(𝑞1 𝑞2 𝑞3 ), 𝑦(𝑞1 𝑞2 𝑞3 ), 𝑧(𝑞1 𝑞2 𝑞3 )] = 𝜕(𝑞

1 ,𝑞2 ,𝑞3 )

𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)

Dimana 𝜕(𝑞

1 ,𝑞2 ,𝑞3 )

𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)

𝐽 = 𝜕(𝑞

1 ,𝑞2 ,𝑞3 )

=

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2 𝑑𝑞3

adalah faktor skala jacobian 𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑞1 | 𝜕𝑦

𝜕𝑞2 𝜕𝑦

𝜕𝑞3 𝜕𝑦 |

|𝜕𝑞1 𝜕𝑧

𝜕𝑞2 𝜕𝑧

𝜕𝑞3 | 𝜕𝑧

𝜕𝑞1

𝜕𝑞2

𝜕𝑞3

Contoh dalam koordinat polar, untuk mencari luas (dA) 𝑥(𝑟, 𝜃) = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦(𝑟, 𝜃) = 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 → 𝑑𝐴 = 𝐽 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝐽= = | 𝜕𝑟 𝜕𝜃| = − 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕(𝑟, 𝜃) 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜃 = cos 𝜃 . 𝑟 cos 𝜃 − (−𝑟 sin 𝜃) sin 𝜃 = 𝑟 cos 2 𝜃 + 𝑟 sin2 𝜃 =𝑟 ∴ 𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃 

Volume integral

BAB VI : OPERASI VEKTOR DALAM SUMBU KOORDINAT KURVILINIER

Gradien turunan berarah (𝛁∅) dengan ∅ adalah besaran fisis skalar. 𝑑

1. Perubahan besaran yang bergantung pada arahnya 𝑑𝑠 ∅(x, y, z) 2. Gradien fungsi pada arah vektor satuan 𝒖 =

𝒅∅ 𝒅𝒔

= 𝛁∅. 𝐮

3. Sifat gradien tegak lurus dengan permukaan Gradien pada sistem koordinat umum 1 𝜕∅

1 𝜕∅

𝛁∅ = 𝒆1 ℎ

+ 𝒆2 ℎ

1 𝜕𝑞1

1 𝜕∅

2 𝜕𝑞2

+ 𝒆3 ℎ

𝜕𝑞3

3

Gradien pada sistem koordinat silinder 𝜕∅

1 𝜕∅

𝜕∅

𝛁∅ = 𝒆𝑟 𝜕𝑟 + 𝒆𝜃 𝑟 𝜕𝜃 + 𝒆𝑧 𝜕𝑧

Operasi vektor dalam sumbu koordinat kurvilinier 1. Gradien turunan berarah 1 𝜕∅

𝛁∅ = 𝒆1 ℎ

1

𝜕𝑞1

1 𝜕∅

+ 𝒆2 ℎ

2

1 𝜕∅

𝜕𝑞2

+ 𝒆3 ℎ

3

𝜕𝑞3

1 𝜕∅

= ∑𝑛𝑖=1 𝒆𝑖 ℎ

𝑖

𝜕𝑞𝑖

2. Divergensi (𝛁. 𝑽) Divergensi mendeskripsikan aliran total suatu besaran yang masuk atau keluar dari suatu daerah tertentu. Dan menggambarkan bagaimana suatu vektor menyebar pada suatu titik. 𝑽 = 𝑽1 𝒆1 + 𝑽2 𝒆2 + 𝑽3 𝒆3 𝛁𝑽 = ℎ

1

𝜕

1 ℎ2 ℎ3

𝜕

𝜕

[𝜕𝑞 (𝑉1 ℎ2 ℎ3 ) + 𝜕𝑞 (𝑉2 ℎ1 ℎ3 ) + 𝜕𝑞 (𝑉3 ℎ2 ℎ1 )] 1

2

3

3. Curl 𝛁×𝑽=ℎ

1

1 ℎ2 ℎ3

|

ℎ1 𝑒1

ℎ2 𝑒2

𝜕

𝜕

ℎ3 𝑒3 𝜕

𝜕𝑞1

𝜕𝑞2

𝜕𝑞3

|

ℎ1 𝑉1 ℎ2 𝑉2 ℎ3 𝑉3 jika sebuah medan vektor F memenuhi ∇ × 𝑭 = 0 maka F adalah medan konservatif dan ada medan skalar ∅ yang memenuhi: 𝑉 = −∇∅ 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑊 = −∅ = ∫ 𝑭. 𝑑𝒓 4. Laplacian

∇2 . ∅ = ∇. ∇∅ = 𝛁𝑽 = ℎ

1

𝜕

1 ℎ2 ℎ3

𝜕∅ ℎ2 ℎ3

[𝜕𝑞 (𝜕𝑞 1

1

ℎ1

𝜕

𝜕∅ ℎ1 ℎ3

) + 𝜕𝑞 (𝜕𝑞 1

2

ℎ2

𝜕

𝜕∅ ℎ2 ℎ1

) + 𝜕𝑞 (𝜕𝑞 3

3

ℎ3

)]

Aplikasi operator vektor gradien merupakan medan skalar yaitu besaran fisis yang memiliki nilai yang spesifik pada titik tertentu di dimensi 3. Gradien kemiringan menandakan adanya perubahan nilai yang skalar. Contohnya adalah sebagi berikut: 1. Medan skalar 𝛁∅ =

𝜕∅ 𝜕𝑞1

𝒊+

𝜕∅ 𝜕𝑞2

𝒋+

𝜕∅ 𝜕𝑞3

𝒌

2. Gradien di suatu titik Masukan nilai x, y,z pada titik tersebut 3. Turunan berarah 𝑑∅ 𝑑𝑠

= 𝛁∅. 𝒖 dengan u adalah arah

4. Turunan berarah terbesar pada arah tertentu 𝑑∅

( 𝑑𝑠 )

𝛁∅

𝑚𝑎𝑥

= |𝛁∅|

BAB VII: FUNGSI - FUNGSI KHUSUS 1. Fungsi faktorial

∞

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 ∝> 0, ∫ 𝑒 −∝𝑥 𝑑𝑥 = − 0

∞

1 −∝𝑥 ∞ 1 ∞ 1 1 𝑒 | =− | = − (0 − ) = ∝𝑥 0 0 ∝ ∝𝑒 ∝ ∝

∞

𝜕 1 2 (∫ 𝑒 −∝𝑥 𝑑𝑥 = ) ⇔ ∫ −𝑥 2 𝑒 −𝛼𝑥 𝑑𝑥 = − 3 𝜕𝑥 ∝ ∝ 0 ∞

0 ∞

0

0

𝜕 1 2 (∫ 𝑒 −∝𝑥 𝑑𝑥 = ) ⇔ ∫ 𝑥 2 𝑒 −𝛼𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝜕𝑥 ∝ ∝ Maka untuk nilai ∝ > 0 ∞ 𝑛! ∫0 𝑥 𝑛 𝑒 −∝𝑥 𝑑𝑥 = ∝𝑛+1 dimana rumus ini merupakan rumus fungsi faktorial 2. Fungsi gamma ∞

Γ(𝑝) = ∫ 𝑥 𝑝−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥,

𝑝>0

0

dimana p adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat ∞ Γ(𝑛) = ∫0 𝑥 𝑛−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥, 𝑛 > 0 ∞

Γ(𝑛 + 1) = ∫0 𝑥 𝑛 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛! Maka secara umum berlaku rumus: ∞ Γ(𝑝) = ∫0 𝑥 𝑝−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥, 𝑝 > 0 ∞

Γ(𝑝 + 1) = ∫0 𝑥 𝑝 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥, 𝑝 > −1 Sifat fungsi gamma rekursif ∞ Γ(𝑝 + 1) = ∫0 𝑥 𝑝 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ⟹ ∫ 𝑢 . 𝑑𝑣 Misalakan: 𝑢 = 𝑥𝑝 𝑑𝑣 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑝𝑥 𝑝−1 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒 −𝑥 ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 . 𝑑𝑢 ∞ ∫0 𝑥 𝑝 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑝 𝑒 −𝑥 − ∫(−𝑒 −𝑥 )𝑝𝑥 𝑝−1 𝑑𝑥 ∞ ∞ ∞ ∫0 𝑥 𝑝 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑝 𝑒 −𝑥 | 0 + 𝑝 ∫0 𝑥 𝑝−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 Maka sifat hubungan rekursifnya menjadi Γ(𝑝 + 1) = 𝑝Γ(𝑝), 𝑝 ≥ −1 3. Fungsi gamma untuk bilangan negatif

Hubungan rekursif : Γ(𝑝 + 1) = 𝑝Γ(𝑝), 𝑝 ≥ −1 Maka untuk p < 0 : Γ(𝑝) =

Γ(𝑝+1) 𝑝

Contoh: 1

P=-1/2, Γ (− 2) =

1 2 1 − 2

Γ(− +1)

=

1 2 1 − 2

Γ( )

1

= 2Γ (2)

4. Beberapa nilai khusus fungsi gamma 1

Misalkan Γ (2) =? P+1 = ½, p=- ½ ∞ 1

1

Γ (− 2) = ∫0

√𝑥

𝑒 −𝑥 𝑑𝑥

x = y 2 maka dx = 2y. dy 2 ∞1 1 Γ (− 2) = ∫0 𝑦 𝑒 −𝑦 2𝑦 𝑑𝑦 1

∞

2

1

∞

2

1

∞

Γ (− 2) = 2 ∫0 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 , kemudian ubah kembali nilai y menjadi x Γ (− 2) = 2 ∫0 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥, lalu kalikan antara hasil x dengan hasil y Γ (− 2) = 4 ∫0 𝑒 −(𝑥

2 +𝑦 2 )

2

∞

𝑑𝑥𝑑𝑦 , kemudian ubah kedalam koordinat polar

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥. 𝑑𝑦 = 𝑑𝑟. 𝑑𝜃 1

𝜋/2

[Γ (− 2)] = 4 ∫0 ∞

∫0 𝑒 −𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃

Untuk ∫0 𝑒 −𝑟 𝑑𝑟 misalkan 𝑢 = 𝑟 2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑢 = 2𝑟. 𝑑𝑟 1 1 1 1 1 1 1 2 𝑑𝑢 2 2 ∞ = ∫ 𝑒 −𝑢 = ∫ 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 −𝑢 | = − ( ∞ − 0 ) = − (−1) = 0 2 2 2 2 𝑒 𝑒 2 2 Maka 𝜋/2 1 1 2 𝜋/2 [Γ (− 2)] = 4 ∫0 2 𝑑𝜃 = 2𝜃| =𝜋 0 1 ∴ Γ (2) = 𝜋 Selain itu terdapat fungsi khusus lain yaitu: 𝜋 Γ(𝑝 − 1)Γ(1 − 𝑝) = sin 𝜋𝑝 FUNGSI BETA 1. Definisi fungsi beta dalam bentuk integral tentu 1 Β(𝑝, 𝑞) = ∫0 𝑥 𝑝−1 (1 − 𝑥)𝑞−1 𝑑𝑥, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝 > 0, 𝑞 > 0 2. Dalam bentuk trigonometri Jika dipilih 𝑥 = sin2 𝜃 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑥 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝜋/2

∴ Β(𝑝, 𝑞) = ∫ (sin2 𝜃)𝑝−1 (1 − sin2 𝜃)𝑞−1 2 sin 𝜃 cos 𝜃𝑑𝜃 0

𝜋/2

= 2 ∫ (𝑠𝑖𝑛𝜃)2𝑝−1 (𝑐𝑜𝑠 𝜃)2𝑞−1 𝑑𝜃 0

3. Dalam bentuk lainnya

𝑦

1

𝑎−𝑦

Jika dipilih 𝑥 = 𝑎 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑑𝑦 𝑑𝑎𝑛 1 − 𝑥 = 1

∴ Β(𝑝, 𝑞) = ∫ 0

𝑦 𝑝−1

𝑎−𝑦 ( ) 𝑎

𝑎 =

1 𝑎𝑝+𝑞−1

𝑦

Jika dipilih 𝑥 = 1+𝑦 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑦

𝑎

𝑎

𝑞−1 1

1 𝑑𝑦 = 𝑝−1 𝑞−1 ∫ 𝑦 𝑝−1 (𝑎 − 𝑦)𝑞−1 𝑑𝑦 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 0

𝑎

∫ 𝑦 𝑝−1 (𝑎 − 𝑦)𝑞−1 𝑑𝑦 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦

=

1(1+𝑦)−𝑦(1) (1+𝑦)2

𝑑𝑦

𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑥 = (1+𝑦)2

1

1 − 𝑥 = 1 − 1+𝑦 = 1+𝑦 1

𝑦 𝑝−1 1 𝑞−1 𝑑𝑦 ∴ Β(𝑝, 𝑞) = ∫ ( ) 1+𝑦 1+𝑦 (1 + 𝑦)2 0

∞

∞

𝑦 𝑝−1 𝑑𝑦 𝑦 𝑝−1 𝑑𝑦 =∫ = ∫ (1 + 𝑦)𝑝−1 (1 + 𝑦)𝑞−1 (1 + 𝑦)2 (1 + 𝑦)𝑝+𝑞 0

0

4. Hubungan fungsi gamma dan fungsi beta Fungsi gamma dalam variabel bebas t ∞ Γ(𝑝) = ∫0 𝑡 𝑝−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 misalkan t = y 2 maka dt = 2ydy 2 ∞ Γ(𝑝) = ∫0 𝑦 2𝑝−2 𝑒 −𝑦 2𝑦𝑑𝑦 ∞

2

∞

2

Γ(𝑝) = 2 ∫0 𝑦 2𝑝−1 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 Γ(𝑞) = 2 ∫0 𝑥 2𝑞−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 Kemudian kalikan antara hasil variabel p dan variable q 2 ∞ ∞ Γ(𝑝). Γ(𝑞) = 4 ∫0 ∫0 𝑦 2𝑝−1 𝑥 2𝑞−1 𝑒 −(𝑟 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 kemudian ubah kedalm sistem koordinat polar ∞ ∞

2

Γ(𝑝). Γ(𝑞) = 4 ∫ ∫ (𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃)2𝑝−1 (𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃)2𝑞−1 𝑒 −(𝑟 ) 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃 0 0

𝜋 2

∞ 2

= 4 (∫ 𝑟 2𝑝−1 𝑟 2𝑞−1 𝑒 −𝑟 𝑟 𝑑𝑟) ∫ sin 𝜃 2𝑝−1 cos 𝜃 2𝑞−1 𝑑𝜃 0

0

(𝜋

∞

= (2 ∫ 𝑟 2(𝑝+𝑞)−1 𝑒 0

)

2 −𝑟 2

𝑑𝑟) 2 ∫ sin 𝜃 2𝑝−1 cos 𝜃 2𝑞−1 𝑑𝜃 (

0

Γ(𝑝). Γ(𝑞) ∴ Γ(𝑝). Γ(𝑞) = Γ(𝑝 + 𝑞). Β(𝑝, 𝑞) ⟹ Β(𝑝, 𝑞) = Γ(𝑝 + 𝑞) FUNGSI ERROR 2 Fungsi error sendiri didefinisikan sebagai luas dibawah kurva 𝑦(𝑥) = 𝑒 −𝑥 ... Sehingga persamaannya menjadi:

)

erf(𝑥) =

√𝜋

Fungsi distribusi normal atau standar gaussian : Φ(𝑥) = 𝑝(−∞, 𝑥) =

erf(𝑥) =

∫ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 0

𝑥

1 √2𝜋

Fungsi error komplementer:

𝑥

2

∫𝑒

−𝑡 2 2

=

−∞

1 1 𝑥 + 𝑒𝑟𝑓 ( ) 2 2 √2

∞

2

2

√𝜋

∫ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = 1 − erf(𝑥) 𝑥

Jika dinyatakan dalam bentuk Φ(𝑥)menjadi: erf(𝑥) = 2Φ(𝑥√2) − 1 Nilai – nilai khusus, sifat – sifat, dan lain – lain 𝑥

a. Dinyatakan dalam Φ(𝑥): erf(𝑥) = 2Φ ( ) − 1 √2

b. erf(−𝑥) = −erf(𝑥) c. Fungsi error imajiner: erf(𝑥) = 𝑥

2

2 ∞ −𝑡

d. 𝑒𝑟𝑓 ( ) = √𝜋 ∫𝑥 𝑒 √2

e. erf(∞) =

2

2

∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 √𝜋 0

𝑑𝑡

2 ∞ ∫ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 √𝜋 𝑥

2

𝑥

2

=

2 √

( 𝜋

1 2

Γ( )

2

2

√𝜋

)=

√𝜋

(2)=1

f. Untuk nilai x yang sangat kecil, maka fungsi akan didekati dengan ekspansi deret pangkat erf(𝑥) =

2 √𝜋

𝑥

2

∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 0

𝑥

𝑡2 𝑡4 = ∫ (1 − + − ⋯ ) 𝑑𝑡 1! 2! √𝜋 2

0

=

2 √𝜋

(𝑥 −

𝑥3 𝑥5 + −⋯) 3.1! 5.2!

Sifat tambahan dari error function 𝑏

2

Ι = ∫𝑎 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 =

√𝜋 (erf(𝑏) 2

− erf(𝑎))

APROKSIMASI STIRLING 𝑛! ~𝑛𝑛 𝑒 −𝑛 √2𝜋𝑛 untuk nilai n yang sanagta besar, maka nilainya akan mendekati 1 maka Γ(𝑝 + 1)~𝑝𝑝 𝑒 −𝑝 √2𝜋𝑝

∞

Γ(𝑝 + 1) = 𝑝! = ∫ 𝑥 𝑝 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0 ∞ 𝑝

= ∫ 𝑒 𝑙𝑛𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 0 ∞

∞

= ∫ 𝑥 𝑝𝑙𝑛𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑝𝑙𝑛𝑥−𝑥 𝑑𝑥 0

0

∞

= ∫𝑒 −√𝑝

∞

= 𝑒 𝑝𝑙𝑛𝑝−𝑝 √𝑝 ∫ 𝑒 −√𝑝 𝑝 −𝑝

∴ 𝑝! ~ 𝑝 𝑒

√2𝜋𝑝

∞

𝑝𝑙𝑛𝑝+𝑦√𝑝−𝑝−𝑦√𝑝

√𝑝 𝑑𝑦 ~ √𝑝. 𝑒

−𝑝

−√𝑝 −𝑦 2 2

𝑦2

∫ 𝑒 𝑝𝑙𝑛𝑝− 2 𝑑𝑦

𝑑𝑦 = 𝑝𝑝 𝑒 −𝑝 √𝑝[√2𝜋 − 0]

BAB VIII: POLINOMIAL LEGENDRE Fungsi Legendre atau Persamaan Differensial Legendre 𝑑2 𝑦

𝑑𝑦

(1 − 𝑥 2 ) 2 − 2𝑥 + 𝑝𝑦 = 0 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑝 = 𝑙(𝑙 + 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (1 − 𝑥 2 )𝑦 ′′′ − 2𝑥𝑦 ′ + 𝑝𝑦 = 0 → 𝑦 ′′ − 𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑝𝑦 = 0 Ekspansi deret pangkat y: 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎3 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 ′ = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2 + ⋯ + 𝑛𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑦 ′′ = 2𝑎2 + 6𝑎3 + ⋯ + 𝑛(𝑛 − 1)𝑎𝑛 𝑥 𝑛−2 Maka tabel 𝑦 ′′ − 𝑥 2 𝑦 ′′ − 𝑥𝑦 ′ + 𝑝𝑦 = 0 adalah sebagi baerikut: kart 𝑥 𝑥2 𝑦′′ 2𝑎2 6𝑎3 12𝑎4 2 − − −2𝑎2 −𝑥 𝑦′′ −2𝑥𝑦′ − −2𝑎1 −4𝑎2 𝑝𝑦 𝑝𝑎0 𝑝𝑎1 𝑝𝑎2 0 0 0 0 Jumlahkan masing-masing suku ke bawah=0 maka akan didapat, 𝑝 2−𝑝 6−𝑝 𝑎2 = − 𝑎 𝑎0 , 𝑎3 = 6 𝑎1 , 𝑎4 = 12 𝑎2 Hubungan dengan persamaan polinomial legendre 𝑝

𝑎2 = − 𝑎 𝑎0 = − 𝑎3 = 𝑎4 =

2−𝑝 6 6−𝑝 12

𝑎1 = − 𝑎2 =

𝑥𝑛 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑎𝑛+2 (−𝑛)(𝑛 − 1)𝑎𝑛 −2𝑛𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑛 0

𝑙(𝑙+1)

𝑎0 2! (𝑙+1)(𝑙+2)

𝑎

1 3! 𝑙(𝑙+1)(𝑙−2)(𝑙+3) 4!

𝑎0

Sifat-sifat rekursif: a. 𝑙𝑃1 (𝑥) = (2𝑙 − 1)𝑥. 𝑃𝑙−1 (𝑥) − (𝑙 − 1). 𝑃𝑙−2 (𝑥) b. 𝑥𝑃′ 𝑙 (𝑥) − 𝑥𝑃′𝑙−1 (𝑥) = 𝑙𝑃𝑙 (𝑥) c. 𝑃′ 𝑙 (𝑥) − 𝑥𝑃′ 𝑙−1 (𝑥) = 𝑙𝑃𝑙−1 (𝑥) d. (1 − 𝑥 2 )𝑃′ 𝑙 (𝑥) = 𝑙𝑃𝑙−1 (𝑥) − 𝑙𝑥 𝑃𝑙 (𝑥) e. (2𝑙 + 1)𝑃𝑙 (𝑥) = 𝑃′ 𝑙+1 (𝑥) − 𝑃′ 𝑙−1 (𝑥) Ortogonalitas polinom legendre 𝑏 Ortogonal → ∫𝑎 𝐴(𝑥)𝐵(𝑥)𝑑𝑥 = 0 Untuk polinomial legendre 𝑃𝑙 (𝑥) yang merupakan kumpulan fungsi dari An(x) Maka ortogonalitas An(x) pada selang (a,b) menjadi 𝑏 ∫𝑎 𝐴𝑛(𝑥)𝐴𝑚(𝑥)𝑑𝑥 = 0 Normalisasi polinom legendre Norm sendiri berarti besaran Maka norm A(x) pada selang (a,b) adalah 𝑏 𝑏 ∫𝑎 𝐴(𝑥)𝐴(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝐴(𝑥)2 𝑑𝑥 = 𝑁 2 Dimana fungsi x dinyatakan ternormalisasi jika

𝑏

∫𝑎 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 𝑁

=1

Aturan Leibniz Aturan ini merupaka aturan yang digunakan pada differnsial orde tinggi 𝑚 𝑑𝑚−𝑠 𝑑 𝑚 𝑑𝑠 (𝑑𝑥) [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = ∑𝑚 ( ) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑠=0 𝑠 𝑑𝑥 𝑚−𝑠 𝑑𝑥 𝑠 𝑚 𝑚(𝑚−1)(𝑚−2)…(𝑚−3) ( )= 𝑠! 𝑠 𝑚 𝑚 ( ) = 1 𝑑𝑎𝑛 ( ) = 𝑚 0 1 Formula Redigues Formula Redigues ≡ fungsi legendre 𝑃𝑙 (𝑥) 1

𝑑𝑙

𝑃𝑙 (𝑥) = 2𝑙𝑙! 𝑑𝑥 𝑙 (𝑥 2 − 1)𝑙

𝑑𝑙

Jika 𝑣 = (𝑥 2 − 1)𝑙 maka 𝑑𝑥 𝑙 . 𝑣 = 𝑃𝑙 (𝑥) Langkah-langkah menggunakan formula rodigues: i. Samakan antara ruas kiri dan ruas kanan ii. Turunkan i sebanyak (l+1) kali dimana ruas kiri=ruas kanan FUNSI BESSEL 1. Definisi fungsi bessel 𝑑2 𝑦

𝑑𝑥

𝑥 2 𝑑𝑥 2 + 𝑥 𝑑𝑦 + (𝑥 2 − 𝑝2 )𝑦 = 0 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + (𝑥 2 − 𝑝2 )𝑦 = 0 Dimana p adalah konstanta (tidak harus integer) yang merupakan orde fungsi bessel yang mempunyai solusi dari persamaan bessel. 2. Solusi persamaan differensial fungsi bessel Aproksimasi menggunakan metode forbiniues (generalize power series) 𝑛+𝑠 𝑦 = ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 𝑛+𝑠−1 𝑦′ = ∑∞ 𝑛=0(𝑛 + 𝑠)𝑎𝑛 𝑥 ∞ 𝑥𝑦′ = ∑𝑛=0(𝑛 + 𝑠)𝑎𝑛 𝑥 𝑛+𝑠 2 𝑛+𝑠−1 (𝑥𝑦 ′ )′ = ∑∞ 𝑛=0(𝑛 + 𝑠) 𝑎𝑛 𝑥 2 𝑛+𝑠 𝑥(𝑥𝑦 ′ )′ = ∑∞ 𝑛=0(𝑛 + 𝑠) 𝑎𝑛 𝑥 2 ′′ 2 2 [𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦′] + (𝑥 − 𝑦 )𝑦 = 0 𝑥(𝑥𝑦 ′ )′ = 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦′ Maka persamaan differsnsial bessel menjadi: ∴ 𝑥(𝑥𝑦 ′ )′ + (𝑥 2 − 𝑝2 )𝑦 = 0 3. Fungs bessel orde pertama 1

𝑥 𝑝

𝑥 2+𝑝

1

𝐽𝑝 (𝑥) = [Γ(1)Γ(𝑝+1) (2) − Γ(2)Γ(𝑝+2) (2) 𝑥 2𝑛±𝑝

(−1)𝑛

∴ 𝐽𝑝 (𝑥) = ∑∞ 𝑛=0 Γ(𝑛+1)Γ(𝑛±𝑝+1) (2) 4. Hubungan rekursif fungsi bessel 𝑑 a. 𝑑𝑥 [𝑥 𝑝 𝐽𝑝 (𝑥)] = 𝑥 𝑝 𝐽𝑝−1 (𝑥) b.

𝑑

𝑑𝑥

[𝑥 −𝑝 𝐽𝑝 (𝑥)] = 𝑥 −𝑝 𝐽𝑝+1 (𝑥)

c. 𝐽𝑝−1 (𝑥) + 𝐽𝑝+1 (𝑥) =

2𝑝 𝑥

𝐽𝑝 (𝑥)

+⋯]

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠 = 𝑝

d. 𝐽𝑝−1 (𝑥) − 𝐽𝑝+1 (𝑥) = 2𝐽𝑝 ′(𝑥) 𝑝 𝑝 e. 𝐽𝑝′ (𝑥) = − 𝑥 𝐽𝑝 (𝑥) + 𝐽𝑝−1 (𝑥) = 𝑥 𝐽𝑝 (𝑥) − 𝐽𝑝+1 (𝑥)