Área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de las Estructuras
Elasticidad y Resistencia de Materiales Curso 2011/2012
T08: Pandeo
Alejandro Doménech Monforte (TC-2330-DD)
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Introducción
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Carga crítica de Euler
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Influencia Influen cia de los enlaces. Longitud Longitud de pandeo
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Tensión crítica de Euler. Concepto de esbeltez
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Introducción
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Carga crítica de Euler
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Influencia de los enlaces. Longitud de pandeo
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Tensión crítica de Euler. Concepto de esbeltez
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Introducción Requisitos del diseño mecánico
RIGIDEZ ESTABILIDAD
RESISTENCIA
Las pequeñas perturbaciones que afecten a la estructura no deben comprometer el equilibrio estable
Soportar las cargas de diseño sin romper σmax σadm Deformaciones acotadas dentro de los límites del proyecto
de la misma
δmax δadm
PANDEO
P
Fenómeno de inestabilidad elástica que puede darse en elementos comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de desplazamientos importantes transversales a la dirección principal de compresión 4 / 16
Introducción Hasta ahora (tema 6) no se ha hecho distinción entre el diseño de elementos a tracción y a compresión
diseño resistente P
P
→
P
P
|σnx | =
→
|P| t,c σad A
Sin embargo, el agotamiento de un prisma mecánico sometido a compresión puede darse para tensiones inferiores a la máxima admisible por el material si se da el fenómeno de
pandeo o flexión lateral
P
⇒ fallo por inestabilidad
Estabilidad y fenómeno de pandeo
P
d
Equilibrio Estable
Al someter al sistema a una pequeña perturbación δ éste recupera la posición de equilibrio
Equilibrio Inestable
Al someter al sistema a una pequeña perturbación δ éste se aleja de la posición de equilibrio
Carga crítica Pcr
Valor de la carga de compresión que hace que el equilibrio pase de estable a inestable. El fallo por pandeo es repentino, no como el agotamiento por plastificación del material
Esbeltez
Pequeña perturbación
Cuanto más esbelto sea el prisma (mayor relación entre la longitud del prisma y la dimensión de su sección recta), mayor será la diferencia entre el comportamiento del prisma a tracción y a compresión
Cualquier efecto externo que desvíe al sistema de su posición de equilibrio (excentricidad de la carga, falta de alineación del prisma...) La perturbación existe siempre
→ estructuras ideales!! 5 / 16
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Introducción
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Carga crítica de Euler
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Influencia de los enlaces. Longitud de pandeo
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Tensión crítica de Euler. Concepto de esbeltez
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Carga crítica de Euler Consideremos una barra recta de sección constante articulada en sus extremos y sometida a compresión La barra se deforma lateralmente por un defecto de simetría o falta de homogeneidad aparece en cada sección un momento flector (equilibrio en configuración deformada Momento de segundo orden)
⇒ → →
M(x) = −Pv(x) Esta expresión se sustituye en la ED de la curvatura de deflexión M(x) v (x) = EI
→
EI v (x) = −P v(x)
·
·
Se obtiene la ED de 2o orden, homogénea, lineal y de 2
coeficientes constantes: v (x) + k v(x) = 0
P k = EI 2
solución → v(x) = C1 sen(kx) + C2 cos(kx) Las constantes C1 y C2 se obtienen a partir de las condiciones de contorno del elemento v(0) = 0
⇒C
2
v(L) = 0
biarticulado:
=0
⇒ C sen(kL) = 0 ⇒ 1
C1 = 0
⇒ v(x) = 0 → Equilibrio estable sen(kL) = 0 ⇒ kL = nπ → Equilibrio inestable: PANDEO 7 / 16
Carga crítica de Euler P
P
n=1 ,
n=2 ,
n=3 ,
modo 1
modo 2
modo 3
P
Aparecen diferentes posiciones de equilibrio inestable para valores Modos de pandeo n = 1,2, 3...
⇒
P k2 = EI kL = nπ
Pcr
n2 π2 EI = L2
v(x) = C1 sen
nπx L
La menor carga crítica para un elemento con extremos articulados (n = 1) es la
Carga Crítica de Euler
→
PEuler
π2 EI = L2
P
P < PEuler
→ Equilibrio estable
P = PEuler
→ Equilibrio inestable
P > PEuler
→ Agotamiento por pandeo
P
Los modos n > 1 solo suceden si se restringe el desplazamiento de los nodos del elemento
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Carga crítica de Euler
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Influencia de los enlaces. Longitud de pandeo
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Tensión crítica de Euler. Concepto de esbeltez
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Influencia de los enlaces. Longitud de pandeo Se ha obtenido la carga crítica para un elemento biarticulado Con diferentes tipos de apoyos y siguiendo un proceso análogo se obtienen los valores de carga crítica correspondientes: Articulado - Articulado
Empotrado - Empotrado
Empotrado - Articulado P
P
P
Empotrado - Libre
P
0,25L
Le =0,7L
L
Le =0,5L
Le =2L
L =Le
0,3L 0,25L
2
Pcr
P
P
P
π EI = L2
Pcr =
P
π2 EI 2
(0.5L)
Se emplea la misma fórmula para los 4 casos: Pcr =
Pcr =
π2 EI 2
√ L
2
Pcr
π2 EI = (2L)2
π2 EI L2eq 10 / 16
Influencia de los enlaces. Longitud de pandeo Longitud equivalente de pandeo → Longitud que tendría un elemento biarticulado para que su carga crítica de pandeo fuese la del elemento real Leq = β L
·
Pcr =
π2 EI L2eq
Articulado - Articulado β = 1 Leq = L
Empotrado - Empotrado β = 0.5
Leq = 0.5L
Empotrado - Articulado β=
1 √ ≈ 0.7 2
Leq = 0.7L
Empotrado - Libre β=2
Leq = 2L
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Carga crítica de Euler
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Influencia de los enlaces. Longitud de pandeo
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Tensión crítica de Euler. Concepto de esbeltez
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Tensión crítica de Euler. Concepto de esbeltez Tensión crítica de Euler → σcr
Pcr π2 EI = = 2 A Leq A
Radio de giro de la sección → i = Esbeltez mecánica → λ =
Leq i
I A
⇒
Esbeltez mecánica mínima → σcr
⇒
σcr =
≡ σE ⇒
σcr =
s
π2 Ei2 L2eq
scr
π2 E λ2
λmin =
π2 E σE
l
Fallodelmaterial s
λ < λmin & σ < σE
→ Resistencia y estabilidad λ < λmin & σ > σE → Plastificación (Agotamiento del material) λ > λmin & σ < σcr → Resistencia y estabilidad λ > λmin & σ > σcr → Inestabilidad (Agotamiento por pandeo)
Fallopor pandeo
sE
Resistenciay estabilidad l
lmín
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Tensión crítica de Euler. Concepto de esbeltez Plano de pandeo
Pandeo en plano XY
Pcr,xy
π2 EIz = 2 Leq,xy
Leq,xy = βxy L
σcr,xy
π2 E = 2 λxy
σcr,xz
π2 E = 2 λxz
λxy
Leq,xy = iz
iz =
Iz A
Pandeo en plano XZ
Pcr,xz
π2 EIy = 2 Leq,xz
Leq,xz = βxz L
λxz
Leq,xz = iy
iy =
Iy A
El elemento pandeará en el plano de menor Pcr (o mayor λ)
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Carga crítica de Euler
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Influencia de los enlaces. Longitud de pandeo
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Tensión crítica de Euler. Concepto de esbeltez
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Diseño real de elementos esbeltos sometidos a compresión centrada. Normativa El pandeo en un elemento se produce antes de que su axil alcance la carga crítica de Euler debido a los siguientes factores: Falta de rectitud inicial del elemento Tensiones residuales Excentricidad de las cargas aplicadas ... Los elementos de esbelteces intermedias son los más sensibles a la influencia de estas imperfecciones comportamiento de estos elementos se desvía más de la teoría de Euler
⇒ el
En elementos de esbelteces altas la carga de fallo por pandeo real es similar a la carga crítica de Euler Se han llevado a cabo campañas experimentales y cada norma de cada material, ha publicado sus curvas de pandeo basadas en la carga teórica de Euler Curvas CTE acero
σnx(kg/cm2)
σE
Grado de imperfección
Hipérbola de Euler Curva acero A42B (EA95)
λmin
λ 16 / 16
