“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE LOS ANDES Facl!ad de Ingenie"#a E$cela %"o&e$ional %"o&e$ional de Ingenie"#a Ingenie"#a Ci'il
TEMA
: MÉTODO DE TAYLOR
NOMBRE DEL CURSO
: MÉTODOS NUMERICOS
PROFESOR
: IN ING. WILSON CANDIA
FECHA
: ANDAHUAYLAS, 10 DE DICIEMBRE DEL 2018
FORMULADO POR
: RUDY A, CCORIMANYA CCORISONCCO : BER BERTHA THA MOSC MOSCOS OSO O
ANDAHUAYLAS – APURIMAC 2018
INTRODUCCIÓN Uno de los objet objetivo ivos s primor primordia diales les es aprend aprender er como como funcio funcionan nan las aproxi aproxima macio ciones nes poli polinó nómi mica cas, s, ya que que es de gran gran impo importa rtanc ncia ia para para pode poderr así así calc calcul ular ar las las func funcio ione nes s logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. También así, darle una visión más amplia al estudiante sobre este tema, llevando un lenguaje no tan extenso y más centrado en lo práctico y lo necesario para poder realiarse este tipo de cálculos matemáticos, que en el cálculo diferencial e integral, encontramos infinidad de temas que a veces no nos llaman la atención de practicar. !n las aproximaciones polinómicas veremos lo sencillo que resulta.
OBJETIVO "plicar el método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales, que como se verá es la misma solución solución que proporcion proporciona a la solución solución en series series de potencias potencias #o de coeficientes coeficientes indeterminados$. !sto es, si la solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor también entregará dic%a so&lución en forma cerrada. 'or lo tanto, en el caso de solución en puntos ordinarios, debería de ense(arse el método de desarrollo de Taylor, pues viene a ser muc%o más cómodo para un estudiante de ecuac ecuacion iones es difere diferenci nciale ales, s, pues pues cuando cuando se trabaj trabaja a con soluci solución ón median mediante te series series de potencias, el acomodo de los índices de la sumatoria siempre es un poco confuso para ellos. )in embargo ambos métodos son en esencia los mismos. *eamos en que consiste cada método.
+a que no %ay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo tanto no se podr podría ía escr escrib ibir ir la solu soluci ción ón en form forma a cerra cerrada da y por por cons consig igui uien ente te tend tendrí ríam amos os que que conformarnos con alguna aproximación numérica. "pliquemos "pliquemo s inicialmente inicial mente el método de Taylor.
eemplaando #-.$ y #-./$ en #-.-$, encontramos
)eg0n el autor, debe ser obvio que es más fácil obtener valores adicionales de los coeficientes de la serie utiliando el método de los coeficientes indetermina&dos, que utiliando el método de las series de Taylor. !n consecuencia, dice el autor, usualmente se empleará el método de los coeficientes indeterminados, descartando entonces el método de las series de Taylor. 'ero si seguimos trabajando un poco en el ejemplo anterior, por el método de series de Taylor, tenemos
y x
2 xe
y x
y
iv
4 x
2
x
2
2e
;
x
2
;
x 8 x 3 12 x e
y x v
16 x
4
48 x
2
x
12
x 120 x 160 x
y
vi
y
vii
2
3
x 120 720 x 2
;
e
x
2
;
32 x
5
480 x
e 4
x
2
;
y 0
y 0
2
y
iv
0 0
y
v
0 12
y 6
64 x e
x
2
;
0
vi
y
2! 1!
12 * 2 2
4! 2!
0 0
vii
0 120
12 * 6 6
6! 3!
)e observa la siguiente ley de formación1
2uevamente se obtiene la solución encontrada por series de potencias1
!n conclusión, el ejemplo para mostrar que el método de la series de Taylor no produce la misma calidad de las soluciones, no es válido. !s más, el autor dice que el método de Taylor se adapta fácilmente a problemas de valor inicial, lo cual, como veremos más adelante, el método funciona si lo que se quiere resolver es una ecuación diferencial sin condiciones iniciales, con la misma calidad de las soluciones que el método de las series de potencias. Solución en series de Taylor alrededor de un punto ordinario 3as ecuaciones diferenciales %omogéneas lineales de segundo orden de la forma
3a solución de esas ecuaciones, en general, no pueden expresarse en términos de funciones elementales familiares. 'or lo cual utiliaremos los polinomios de Taylor. Definición (punto ordinario$
2ecesitaremos el próximo teorema.
Teorema (existencia de souciones en series de Ta!or"
incluso la ecuación de Legendre #4$ , la ecuación de Ayry #5$, la ecuación de Chebyshev #5$, y la ecuación de Hermite #/ $. !n el ejemplo siguiente se dará la solución en series de Taylor para la ecuación #6$, la cual la %aremos, sin pérdida de generalidad para el caso
!l ejemplo resultará ilustrativo, ya que mostrará como trabajar en todos los casos. E#empo $% !ncuentre la serie de potencias en x para la solución general de
)olución1 7uscamos la solución general de la forma
"l derivar la ecuación #4.-$ implícitamente con respecto a x, se obtiene1
3uego se encuentra que
E#ercicio% E#empo &% !ncuentre la serie en series de potencias en x para la solución general de
)olución1
"%ora determinemos los coeficientes de las potencias impares de x1
" partir de #8$ y #9$ vemos que
!l siguiente ejemplo muestra que, en muc%os casos %ay que conformarnos con encontrar un n0mero finito de términos, ya que no se tiene una formula cerrada para los coeficientes de las soluciones en series de potencia. E#empo '. esolver el problema de valor inicial mediante series de potencias
)olución1
3uego la solución del '.*.: viene dada por
E#empo % ;eterminar mediante los polinomios de Taylor la solución general de la ecuación diferencial
)olución
!ncontremos los primeros términos.
3uego la solución del '.*.: viene dada por
;eberá observarse que %emos %allado dos series en una forma puramente for&mal, las cuales son convergentes para todo x finito. 'ara ver que ambas son li&nealmente independientes definimos lo siguiente1
E#empo )% esolver el problema de valor inicial
elaliando las multiplicaciones
"sí pues,
*+todo series de Ta!or, 7uscamos soluciones de la forma
3a misma solución dada por el método de los coeficientes indeterminados, pero encontrada de una forma más sencilla como puede verse. !n el ejemplo siguiente, encontraremos por el método de Taylor , la solución de una de las ecuaciones diferenciales importantes que aparecen en la física.
E#empo -% (.a ecuación de .e/endre" !ncuentre la solución en series Taylor alrededor de x<= para la solución general de
1 x 2
d 2 y dx
2
2 x
dy dx
y0
1
7.1
)olución1 7uscamos la solución general de la forma
donde
"l derivar la ecuación #>.-$ implícitamente con respecto a x, se obtiene1
;erivando la ecuación #>.$ se tiene
?ontinuando el proceso, se obtiene la fórmula siguiente para @<-,4,A
B bien,
luego continuarAAAAAAA
E#empo 0% esuelva la ecuación diferencial
)olución.
1or e m+todo de Ta!or .
!ncontremos varios valores
!ntonces
!n nuestro próximo ejemplo encontraremos una situación en la cual el método de Taylor no da ninguna solución #como es el caso cuando se usa series de po&tencias$.
E#empo 2% ?onsidere la ecuación de !uler
!n el próximo ejemplo, aplicaremos el método del desarrollo de Taylor para encontrar la solución de una ecuación diferencial, en donde los coeficientes de la ecuación #-$ ya no son polinomios.
E#empo 34. esolver el problema de valor inicial
)olución. 2ótese que en la ecuación diferencial todos los puntos son ordinarios.
;erivamos nuevamente #-=.5$ y reemplaamos
luego la solución general viene dada por
ealicemos este mismo ejemplo, pero a%ora usando solución en series de potencias. 'ara esto necesitamos del siguiente teorema.
"%ora ya podemos seguir con el ejemplo anterior. )uponemos la solución de la forma
"%ora aplicamos el teorema anterior, para escribir el producto de las dos series en la siguiente forma1 x k x x a k x k a a x a x a x 1 x 2! 3! k k ! k a a a a a a x a a x a a x 2! 3! 2! k a j k x . ! k j k j
0
2
2
0
1
2
3
3
3
0
0
0
0
1
2
1
0
3
1
2
2
3
0
0
)ustituyendo esta expresión en #-=./$, obtenemos
;eberá notarse que la solución obtenida por series de potencias es más pobre que la obtenida por Taylor.
E#ercicio . !ncuentre una series de potencias para la solución general de la ecuación diferencial
3os próximos ejemplos tratan con ecuaciones diferenciales no lineales.
E#empo 33% !ncuentre la solución en series de potencias y en series de Taylor del problema de valor inicial 2 y 1 y ; y 0 0.
11.1
)olución. 3a ecuación diferencial #--.-$ no es lineal, sin embargo, se conoce su solución mediante el uso de separación de variables, a saber,
*+todo series de potencias, )uponemos que la ec. #--.-$ tiene como solución
:gualando los coeficientes, obtenemos
*+todo series de Ta!or,
epitiendo el proceso una ve
'or 0ltima ve
2otése que estamos en capacidad de de calcular en forma recurrente los coe&ficientes de la serie pero no somos capaces de expresar facilmente aCn explí&citamente como función de n. ;e nuevo no podemos enciontrar su radio de con&vergencia. 'ero si podemos calcular recurrentemente tantos coeficientes de la serie como sea necesario para producir una solución con una exactitud deseada. !sto es lo que pasa cuando se trata de encontrar solución en series de proble&mas no lineales.
E#empo 33% !ncuentre la solución en series de potencias y en series de Taylor del problema de valor inicial
)olución. !n este problema podemos encontrar su solución en forma analítica como sigue1
3a ecuación #-4./$ resulta ser lineal, se encuentra que el factor integrante viene a ser
eemplaando la condición inicial para encontrar ?, obtenemos
"%ora encontremos su solución por el método de las series de Taylor1
epitiendo el proceso anterior
epetiremos el proceso unas cuantas veces
Détodo de ;escomposición de "domian.
)e deja como ejercicio resolver el mismo problema de valor inicial con el método de las series de potencias.
