Capitulo 1 - El Incremento y Diferencial de Una Funcion

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INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCION Este capítulo se limita a presentar incrementos y diferenciales, ya que la diferencial de una función es uno de los conceptos más importantes del cálculo y, uno de los que tiene mayor diversidad de aplicaciones, tanto en la formulación de modelos como en el análisis de errores basados en la linealización de funciones. Podemos decir, a grosso modo, que su utilidad radica en que una pequeña parte representativa contiene la información de un todo. La idea general que subyace detrás es que el todo se forma por la unión de sus partes, de manera que una propiedad global podría calcularse obteniendo cada una de las contribuciones de los pedazos que lo forman. Reservaremos su uso en la integración. En esta sección se ilustra la solución de ejercicios y problemas adecuados, que sirven de modelos para el desarrollo de ejercicios propuestos en este capítulo, cuyas respuestas están al final de éste.

1.1. INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN ________________________________________________________________________

Definición: El incremento de una función y = f ( x ) denotado por ∆y , es el cambio que sufre ésta cuando la variable independiente x cambia una cantidad ∆x , pasando de x a x + ∆x , y está dado por:

∆y = f (x + ∆x ) − f ( x ) (1.1) Si x varía de x1 a x2 y ∆x es el incremento entonces, x 2 = x1 + ∆ x _______________________________________________________________________ Ejemplo 1.1: 1.1

•

Calcular ∆y cuando x cambia de 1 a 1,1 ; si y = 3 x 2 + 1

Solución:

Tenemos que x = 1 y ∆x = 1,1 − 1 = 0,1 luego Aplicando la definición anterior se tiene: ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x )

(

)

∆y = 3( x + ∆x ) + 1 − 3 x 2 + 1 2

∆y = 3 x 2 + 6 x (∆x ) + 3(∆x ) + 1 − 3 x 2 − 1 2

∆y = 6 x (∆x ) + 3(∆x )

2

1

[---------------------CAPITULO ---------------------CAPITULO 1-------------------1--------------------

∆y = 6(1)(0,1) + 3(0,1)

2

∆y = 0,63

1.2 DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN _________________________________________________________________________ Definición: Sea y = f ( x ) donde f es una función derivable, y sea ∆x un incremento de x . i. La diferencial dx de la variable independiente x es dx = ∆x . ii. La diferencial dy de la variable dependiente y es :

dy = f ´( x )∆x = f ´( x )dx

(1.2) _________________________________________________________________________ OBSERVACIÓN: La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente

Ejemplo 1.2: .2

• a) b) c) d)

Determina la diferencial de las siguientes funciones: y = 5x3 − 1

u = t 2e −t

2

z = ln 2 (sen 3u ) = [ln (sen 3u )]

2

v = arcsen x Solución:

Para calcular la diferencial de las funciones, solo basta con hallar la derivada y multiplicarla por el diferencial de la variable independiente.

2

a)

Para y = 5 x 3 − 1 , entonces dy = 15 x 2 dx

b)

−t 3 −t −t 2 Para u = t 2 e − t , entonces du = 2te − 2t e dt => 2te 1 − t dt

2

(

2

2

)

2

(

)

-------------------CAPITULO -------------------CAPITULO 1-------------------1-------------------Para z = ln 2 (sen3u ) , entonces

c)

dz = 2 ⋅ ln (sen3u ) ⋅

1 ⋅ cos 3u ⋅ 3du sen3u

dz = 6 ln (sen3u ) ⋅ cot 3u ⋅ du

Para v = arcsen x , entonces 1 1 −1 dv = ⋅ x 2 ⋅ dx 2 2 1− x

d)

( )

dv =

dx dx = 2 x 1 − x 2 x − x2 Ejemplo 1.3: .3

•

Sea y = x 2 + 1 , hallar ∆y y dy cuando x cambia de 1a 1,01.

Solución:

Aplicando la fórmula (1.1) tenemos que:

(

)

∆y = ( x + ∆x ) + 1 − x 2 + 1 2

∆y = x 2 + 2 x(∆x ) + (∆x ) + 1 − x 2 − 1 2

∆y = 2 x(∆x ) + (∆x )

2

Pero ∆x = 1,01 − 1 = 0,01 , además x = 1 , entonces: ∆y = 2(1)(0,01) + (0,01) = 0,0201 2

Aplicando la fórmula (1.2), se tiene que: dy = 2 xdx , pero dx = ∆x = 0,01 ; entonces

dy = 2 (1)(0, 01 ) = 0 ,02

Ejemplo 1.4: .4

•

Dada la función f ( x) = x 3 + 4 x 2 − 5 x + 6 calcula ∆y y dy si ∆x = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; y x = 3. Interpreta los resultados obtenidos. 3


Solución:

De la definición de incremento de una función tenemos: ∆y = f (3 + ∆x) − f (3)

= [(3 + ∆x)3 + 4(3 + ∆x) 2 − 5(3 + ∆x) + 6] − 54 Desarrollando, ∆y = (∆x)3 + 13(∆x) 2 + 46∆x Por otro lado, como f ′( x) = 3x 2 + 8 x − 5 se tiene, de la definición de diferencial, que: dy = f ' (3)dx = 46 dx

Sustituyendo ∆x = 0,1 en las dos expresiones anteriores, incremento y diferencial se obtiene que: ∆y = 4,731 y dy = 4,6 Para el caso ∆

0.01 resulta: ∆

0.461301

0.46

En la siguiente tabla se presentan los incrementos de la variable independiente (△x), los valores de ∆y y de dy y las diferencias entre estas dos cantidades. Observa que las función es derivable en x=3 y que entre más cercano este △x a cero, más próxima a cero estará la diferencia △y – dy.

x

△x

△y

dy

△y - dy

3 3 3 3

0,1 0,01 0,001 0,0001

4,731 0,461301 0,046013 0,00460013

4,6 0,46 0,046 0,0046

0,131 0,001301 0,000013 0,00000013

(Tabla 1.1) En consecuencia, sera una mejor aproximación de ∆ en la medida en la que ∆ esté más cercana a cero.

4


1.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

(Figura 1.1) Esta interpretación geométrica muestra que dy ≈ ∆y ( dy es aproximadamente igual a ∆y ) cuando ∆x este es más cercano a cero ( ∆x ≈ 0) . Cuando los incrementos son negativos se obtiene un resultado análogo.

Ejemplo 1.5: .5

•

El radio r de un círculo se incrementa de 10 cm a 10 ,1cm . Estimar el incremento en el área del círculo, calculando dA , Comparar el resultado con el cambio real

∆A

(Figura 1.2) Solución:

El área A del circulo está dada por A = πr 2 , donde r =radio del círculo. Tenemos r = 10cm y ∆r = dr = 10,1 − 10 = 0,1cm . 5

[-----------------------------------------CAPITULO CAPITULO 1-------------------1--------------------

Hallemos dA

dA = 2πr ⋅ dr Reemplazando los valores de r y dr se tiene: dA = 2π (10 cm )(0,1cm ) dA = 2πcm 2

Ahora, hallamos el cambio real ∆A ∆A = A(r + ∆r ) − A(r ) = π (r + ∆r ) − πr 2 2

= πr 2 + 2πr∆r + π (∆r ) 2 − πr 2 = 2πr∆r + π ( ∆r ) 2 = 2π (10)(0,1) + π (0,1) 2 = 2,01πcm 2

Por lo tanto, ∆A − dA = 0,01πcm 2 Esto muestra que la aproximación dA es muy precisa cuando ∆r es más cercano a cero Ejemplo 1.6: .6

•

¿En cuánto aumenta aproximadamente el lado de un cuadrado si su área aumenta de 9cm 2 a 9,1cm 2 ?

(Figura 1.3)

Solución:

Sea x = área del cuadrado y = Lado del cuadrado Luego x = y 2 es el área del cuadrado 6


Expresemos y en función de x , entonces y = x , además ∆x = dx = 9,1 − 9 = 0,1 y x = 9 Para encontrar el aumento aproximado del lado del cuadrado hallamos dy 1 dy = ⋅ dx 2 x 1 dy = (0,1) 2 9 dy = 0,016m Ejemplo 1.7: .7

•

La arena que se escapa de un recipiente va formando un montículo cónico cuya altura siempre es igual a su radio. Use diferenciales para estimar el incremento del radio correspondiente a un aumento de 2cm 3 en el volumen del montículo, cuando el radio mide 10 cm

Solución:

1 El volumen del montículo cónico viene dado por la ecuación V = πr 2 h donde r = 10 3 radio del cono y h =altura del cono. 1 Pero r = h , luego nos queda que V = πr 3 3 Debemos estimar el incremento del radio ∆r = dr = ? Conocemos el incremento en el volumen ∆V = dV = 2cm 3 1 Tenemos que V = πr 3 , Hallando dV se tiene que, 3 (Figura 1.4) dV = π ⋅ r 2 ⋅ dr entonces dr =

dV 2cm 3 1 = = cm 2 2 π ⋅r 50π π (10cm )

Por tanto dr =

1 cm incremento de radio. 50π

7


1.4 ERROR RELATIVO Y PORCENTUAL _________________________________________________________________________ Definición: Sea x una medida con un error máximo ∆x . Por definición ∆x i) Error relativo = x ii) Error porcentual = (error relativo) (100%) _________________________________________________________________________ Ejemplo 1.8: .8

El radio de una esfera mide 30cm y el error máximo en la medición es de 0.15cm. a) estimar el máximo error que se comete al calcular el volumen de la esfera. b) estimar el error relativo y porcentual para el valor calculado del volumen Solución:

a) Consideremos, r = valor medido del radio = 30cm dr = ∆r =error máximo en r = ± 0.15cm 4 V = volumen de la esfera = π r 3 3 Sea ∆ V el cambio de V correspondiente a ∆r . Podemos interpretar ∆ V como el error en el volumen calculado debido al error ∆r . Podemos estimar ∆ V en términos de dV esto es: ∆ V ≈ dV = 4 π r 2 dr

Remplazando los valores de r = 30cm y dr = 0.15cm obtenemos: dV = 4 π ( 30 cm ) 2 ( ± 0 . 15 cm ) = ± ( 540 )π = ± 1696 cm 3 El error máximo posible en el volumen calculado V debido al error de medición del radio es, aproximadamente ≈ ±1696cm 3 . El volumen V calculado es

V =

8

4 4 π r 3 = π ( 30 cm ) 3 = 36000 π cm 3 3 3


b) Error relativo =

∆V dV ± ( 540 )π = ± 0 . 015 ≈ = V V 36000 π

Error porcentual = ± ( 0 . 015 ).( 100 %) = ± 1 . 5 % Ejemplo 1.9: .9

Un silo (observa la figura) tiene la forma de un cilindro circular recto coronado por una semiesfera. La altura del cilindro es de 25 metros (altura que aquí consideraremos exacta); en tanto que la circunferencia de la base mide 10 metros, con un error máximo en la medición de 15 centímetros. Calcula el volumen del silo a partir de tales medidas y usa diferenciales para estimar el error máximo cometido en el cálculo del volumen. Determina también los errores absoluto y porcentual.

Solución:

Denotemos con P la circunferencia de la base. Entonces, ΔP = Pexac – Pmed representa el “error exacto” de tal medición. El problema radica, precisamente, en que es imposible obtener este “error exacto”. De acuerdo con la información de este ejercicio, lo que sabemos es que |ΔP| ≤ 0.15; dicho de otra manera, el valor Pexac satisface Pmed – 0.15 ≤ Pexac ≤ Pmed + 0.15

Figura 1.5: Pequeños errores en la medición de dimensiones grandes tienen efectos importantes en el cálculo de errores. El volumen del silo, con las dimensiones proporcionadas, se obtiene sumando el volumen del cilindro y el volumen de la semiesfera. Tenemos, entonces, V = V(r) =25πr2 + 2π/3 r3 9


Ahora, a partir de Pmed = 2πrmed = 10, ⇒r =

5

π

hallamos que:

V = 25π (5/π)2 + 2π/3 (5/π)3 = 1875π + 250/3π2 ≈ 207,387 Para estimar el error cometido en el cálculo anterior necesitamos encontrar ΔV(r). De |ΔP| ≤ 0,15 deducimos que |Δr| ≤ 0,15/2π, luego ΔV(r) = dV(r) = (50 π r + 2 π r2) dr De la desigualdad del triangulo para valores absolutos |a + b| ≤ |a| + |b|, concluimos que: |ΔV (5/π)| ≈ |dV (5/π)| = | [50π (5/π) + 2π (5/π)2] dr| ≤ (250 + 50/π) |dr| ≤(250 + 50/π) (0,15/2π) = 6,348 m3 Aunque en apariencia es muy grande, este error depende de la magnitud de las dimensiones que se midieron. Desde este punto de vista, el error relativo es mas representativo; concretamente |∆V (5/π)| / V (5/π) ≤ 6,348/207,387 = 0,0306 Es decir, en el cálculo del volumen del silo se cometió un error (porcentual) de únicamente 3,06%.

1.5 APLICACIÓN APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL PARA CÁLCULO APROXIMADO _________________________________________________________________________ Cuando el valor absoluto del incremento ∆x de la variable independiente x es pequeño, la diferencial dy de la función y = f ( x ) y el incremento ∆y de dicha función son aproximadamente iguales entre sí, es decir: ∆y ≈ dy

De donde f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ≈ f ´( x )dx , entonces f ( x + ∆ x ) ≈ f ( x ) + f ´( x )dx (Aproximación lineal) (1.3) _________________________________________________________________________ 10


Ejemplo 1.10: .10

•

Use diferenciales para estimar el valor de

4,2

Solución:

Para resolver este tipo de ejercicios necesitamos una función y un valor de referencia donde resulte sencillo el cálculo de la función y tan cercano como se pueda del valor que queremos obtener. Para esta estimación aplicamos la fórmula considere que la función es f (x ) = además x + ∆x = 4,2 , entonces

f ( x + ∆ x ) ≈ f ( x ) + f ´( x )dx , para este caso,

x y tomemos a x = 4 , como punto de referencia

∆x = 4,2 − 4 = 0,2 = dx f (x + ∆x ) =

x + ∆x ≈

⇒ 4 + 0,2 ≈ 4 +

1 2 4

x+

1 2 x

⋅ dx

⋅ (0,2 )

1 2 1 41 ⋅ = 2+ = = 2,05 4 10 20 20 ⇒ 4,2 ≈ 2,05 ⇒ 4,2 ≈ 2 +

Ejemplo 1.11: .11

•

Calcular el valor aproximado de (0 ,98 )4

Solución:

Sea f (x ) = x 4 y tomemos ∆x = 0,98 − 1 = −0,02 = dx

x = 1,

además

x + ∆x = 0,98 ;

entonces

Aplicando la fórmula (1.3) se tiene:

11


f ( x + ∆x ) = ( x + ∆x ) ≈ x 4 + 4 x 3dx 4

⇒ (1 − 0,02 ) ≈ (1) + 4(1) (− 0,02 ) 4

4

3

⇒ (0,98) ≈ 1 − 0,08 4

⇒ (0,98) ≈ 0,92 4

Ejemplo 1.12: .12

•

Calcular el valor aproximado de cos 61°

Solución:

Sea f (x ) = cos x , tomemos x = 60° = π ; x + ∆x = 61° 3

⇒ ∆x = dx = 1° =

π

180

Aplicando la fórmula (1.3) se tiene:

cos( x + ∆x) ≈ cos x − senxdx

π

⇒ cos 61° ≈ cosπ − senπ ⋅ 3 3 180 1 3 π − ⋅ 2 2 180 ⇒ cos 61° ≈ 0,48

⇒ cos 61° ≈

12


1.6

FORMULAS DE LA DIFERENCIAL

Sean u y v dos funciones derivables de x , c es una constante.

FORMULAS DE LA DIFERENCIAL

Diferencial de una constante

d (c ) = 0

Diferencial de un múltiplo por una constante

d (cu ) = cdu

Diferencial de una suma o resta

d (u ± v ) = du ± dv

Diferencial de un producto

d (uv ) = udv + vdu

Diferencial de un cociente

 u  vdu − udv d  = v2 v

Diferencial de una potencia

d u n = nu n−1du

( )

EJERCICIOS Y PROBLEMAS (1.1) •

Ejercicios 1 y 2 use diferenciales para estimar el cambio en f (x ) , cuando x varia de a a b

1. f ( x ) = 4 x 5 − 6 x 4 + 3 x 2 − 5 2. f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x − 7

a =1 a = 3,95

b = 1,03 b=4

3. Hallar el incremento ∆y y la diferencial dy de la función y = 5 x + x 2 para

x = 2 y∆ x = 0,001 13


4. Calcular la diferencial de la función y = tan x , para x = π

3

y∆ x = π

180

5. Emplee diferenciales para estimar el incremento en el volumen de un cubo cuando sus lados cambian de 10 cm a 10 ,1cm . ¿Cuál es el incremento exacto del volumen? 6. La medida del radio de un tronco ha dado 28cm, con un margen de error de 1 cm . 4 Usar diferenciales para determinar el error que se encontrará al calcular con este dato el área de la sección del tronco. 7. Un tanque cilíndrico abierto tendrá un revestimiento de 2cm de espesor. Si el radio interior tiene 6m y la altitud es de 10 m , calcule mediante diferenciales la cantidad aproximada de material de revestimiento que se usará. 8. Use diferenciales para estimar (calcular aproximadamente) el valor de: a) tan 44°

b) e0, 2

e)

f) sen31°

5

c) ln (0,9 )

d) arctan 1,05

g) (2 ,01 )

3

h) 4 17

9. ¿En cuánto aumenta aproximadamente el volumen de una esfera si su radio r = 15cm se alarga en 2mm ? 10. La medida del lado de un cuadrado es 15cm. Aproximar el porcentaje de error cometido al calcular el área, si el posible error en la medida del lado es de 0.05cm. 11. Se nos dice que el radio de una esfera es 6cm. Posible error de 0.02cm, usando diferenciales, estimar el máximo error posible al calcular: a) El volumen de la esfera. b) La superficie de la esfera. c) Hallar los errores porcentuales de a, b.

14


AUTOEVALUACION 1. Si f ( x ) = x 2 −

1 , elige la opción que contiene ∆y y dy x

  1 a) ∆y = 2 x + ∆x +  ∆x x( x + ∆x)  

1   dy =  2 x + 2 dx x  

  1 b) ∆y = 2 x +  ∆x x( x + ∆x)  

1   dy =  2 x + 2 dx x  

  1 c) ∆y = ∆x +  ∆x x( x + ∆x)   d) ∆ y = [2 x + ∆ x ]∆ x

1   dy =  2 x + 2 dx x  

dy = 2 xdx

2. Una caja con forma de cubo tiene en cada una de sus aristas una longitud de 4 centímetros, con un posible error de 0.005 cm. Elige la opción que da el posible error al calcular el volumen de la caja. a) 3.2

b)

c)

1.8

d) 2.8

2.4

3. Indica la opción que contiene el valor de ∆ . a) -0.3095

b) 0.04615

para x=1/2 , ∆

c) 0.342

0.2 y

d) 0.052

6 define implícitamente la función y y = f (x ) . Si (3,2) satisface la ecuación anterior, a partir del concepto de diferencial, elige la opción que contiene un valor aproximado de f (3,2 ) .

4. Supón

a) 3.2

que la ecuación dada por xy − x =

2.1324

b) 3.2

1.9556

c) 3.2

1.5413

d) 3.2

0.9826

5. Elije la opción que proporciona el volumen de una cascara esférica que tiene un radio interior de 10 centímetros y un espesor de 2 milímetros. a) !

40"

b) !

60"

c) !

100"

d) !

80"

6. La distancia l de un objeto se calcula con mediciones angulares hechas en los extremos de una línea base, de longitud b (considerada como exacta) y normal a la 15

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distancia l. Elige la opción que indica la relación entre el error de la distancia con el error en la medición del ángulo a)

− bdθ = (b 2 + l 2 )dl

b) − bdl = (b 2 + l 2 )dθ c) − bdθ = (b + l ) dl d) − l 2dl = (b 2 + l 2 )dθ

7. Elige la opción que proporciona el volumen aproximado de un tubo cilíndrico de pared delgada que tiene un radio interior de r centímetros, una altura de h centímetros (considerada exacta) y un espesor △r centímetros. a)

16

b)

c)

d)


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1.1

17


1. 0.06 2. 1.25 3. ∆y=0.009001 ; dy=0.009 4. dy =

π 45

5. dv=30plg3 ; △v=30.301plg3 6.

5 π ≈ 2m 3 8

7.

12 πm 3 5

8. a) 0.965 b) 1.2 c) -0.10 π d) + 0,025 ≈ 0,81 4 e) 2.225 f) 0.515 g) 8.06 h) 2.03 9. 565cm3 10.

2 % 3

11. a) ± 2.88π cm 2 1% ; % 3

18

3

b) ± 0.96π cm 2 c)

Capitulo 1 - El Incremento y Diferencial de Una Funcion

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