Matemáticas V
Unidad III TRANSFORMADA DE LAPLACE
3.11 Transformadas de Laplace de una función periódica
*Problemario*
EJERCICIO 1.-
Se la función y(t) =
con periodo 2.
Hallar la transformada de Laplace.
L * ( )+
( )
∫ ( (
) ) )
1
)(
1
∫
(
(
(
1
1
(
0∫ )
)
(
(
)
*Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992),
)
EJERCICIO 2 .-Encontrar la transformada de la siguiente función periódica. ∫
∫ (
)
Multiplicamos por e
. Veamos esta expresión:
(
√(
) )
√
√
2
√
√
por identidades hiperbólicas del ángulo mitad2.
2
Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992),
EJERCICIO 3.- Sea ( ) que se extiende como una función periódica. Esta es una onda de dientes de sierra y se muestra en la fig. De arriba. Su primer periodo es:
2
De esto obtenemos ( ) ( Y entonces por el teorema 6.8
( )
( ))
( )
( )
, ( )-
, (
)
Por el último teorema 6.9
3
Proporciona el resultado:
, ( )-
3
3
.
/
( (
) )
Isabel Car mona Jover, Ecuaciones Diferenciales (México: Addison Wesley Longman, 1992),
EJERCICIO 4.-La figura 4.23 muestra la grafica de la función de onda cuadrada ( ) , -representa el máximo entero que no excede a x. Por ( ), - cuyo periodo es el teorema 2, la transformada de Laplace de ( ) es:
( )
∫
( )
∫ (
(∫ ([
4
( (
)
[
] )
) )
(
)
Por tanto: ( )
(
4
]
)
(
)
)
Ecuaciones Diferenciales Elementales y problemas con condiciones en la frontera. C.H. Edwards, Jr. Tercera edición
EJERCICIO 5.- 5Determine la transformada de Laplace de la función periódica que muestra la fig. 7.29 Solución: la función se puede definir en el intervalo ( ) Y fuera del intervalo mediante (
como sigue:
2
)
( ) con
* ( )+
aplicamos la ecuación 9: ( )
∫
Y la integración por partes: * ( )+
∫
( )
*∫ [ ( (
5
∫ ]
) )
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill, sexta edición, pag. 325.
+
EJERCICIO 6.-6 Determine la transformada de Laplace de la función onda cuadrada del ejemplo 4.47 Solución: se tiene que ( )
( ) *
( ( )+
*
) (
)+
Por lo tanto * ( )+
6
( ) (
)
(
)
*Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a
EJERCICIO 7.-7Halle * ( )+para ( ) Solución: en este caso se tiene *
( )+
2
(
( )
(
*
(
)
( )
) y el periodo es
)+
*
+
*
(
)+
*
(
. Luego )+
( ) Por lo tanto * ( )+
7
( ) (
)(
)
(
)(
)
*Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a
EJERCICIO 8.- Resolver
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
Solución: * ( )+
En el ejemplo 4.49 se encontró que ( ) Luego,
*
( )
( )+
* ( )+. Así ( )
( ) (
( )
( )
) ( ) ( )
(
)
donde
(
)
(
)
De donde, * ( )+
( )
{
}
{
(
)
}
{
| (
)
,
(
)
(
( )
(
(
)
}
) )- (
)
8
Equivalente
( )
8
{
Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a
EJERCICIO 9.- Resuelva la ecuación integro-diferencial ( )
( )
∫
Solución: La ecuación se pude escribir como ( ) transformada de Laplace y despejar ( ) se tiene
( )
( ) sea * ( )+ entonces al aplicar
( )
( ) ] ( )
[
( ) Al despejar y usar fracciones parciales, se tiene ( )
( (
)( )(
) )
9
De donde, ( )
9
* ( )+
Ecuaciones Diferenciales ordinarias, Fernando Mesa, Universidad Tecnológica de Pereira, PEREIRA-RISARALDA 2011: http://es.scribd.com/doc/96531058/61/Bibliograf%C2%B4%C4%B1a
EJERCICIO 10.- 10Determine la transformada de la función cuya grafica es:
Solución: Esta función es periódica con período T=2 y para el cálculo de su transformada podemos * ( )+ ( ) utilizar la formula: ∫ Puesto que la función es seccionada en el intervalo [0,2] entonces la integral se calcula también por secciones: ∫
( )
∫
(∫
)
Así: ∫
( )
(
)
Por tanto * ( )+
10
(
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm
)
EJERCICIO 11.- 11Sea ( )una función continua por partes en el intervalo [0,∞), y de orden exponencial, con periodo T entonces : * +
∫
( )
Aplicamos entonces la definición que tenemos anteriormente: * +
∫
( )
Y sustituimos los valores correspondientes, quedándonos la transformada de laplace de la siguiente manera. * +
∫
( )
Resolviendo la integral anterior tenemos: * +
(
. (
11
)(
/
(
))
)
)
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Transformada_de_laplace_de_funciones_peri%C3%B3dicas
EJERCICIO 12.- 12Para esta función tenemos que el periodo es 2. También debemos saber cuál es la función que estamos evaluando, para esto tenemos que: ( ) Ya sabiendo esto podemos aplicar la integral anteriormente enunciada * +
∫
( )
∫
( )
Es decir nuestra integral a evaluar es la siguiente: * +
Entonces nuestro resultado queda de la siguiente manera:
(
12
)
(
))
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Transformada_de_laplace_de_funciones_peri%C3%B3dicas
EJERCICIO 13.- 13Determine la trasformada de Laplace de la función periódica definida como: ( )
2
Solución: aplicando la ecuación: * ( )+
( )
∫
Resulta: ( )
∫
∫
Evaluando las integrales se tiene: ( )
( ) Ya que el denominador de la expresión anterior es una diferencia de cuadrados perfectos, nos queda: ( )
13
(
)
http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf. Pag.268
EJERCICIO 14.- 14Determine la transformada de Laplace de la función ( )
|
( )|
Solución: La función dada es periódica con periodo T= y se conoce como la onda seno rectificada de onda completa. Su representación grafica se ilustra en la fig. 2.3, aplicando la transformada, resulta: *|
( )|+
∫
( )
( )
* (
Con base a la ecuación: ( )
∫
)+
Se tiene: ( )
∫
*
( )+
*
*
( )+
(
)+
Entonces, la transformada de la función periódica seno rectificada de onda completa es:
*|
14
( )|+
(
)(
)
http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf, pag 269
EJERCICIO 15.- 15Determine la transformada de Laplace de la función periódica, definida como: ( )
2
Solución: la función ( )corresponde a la señal triangular con periodo , ilustrada en la figura 4.4, aplicando la transformada de Laplace para una señal periódica, resulta: ( )
∫
(
∫
)
Efectuando las integrales, tenemos: (
( )
)
( ) ( ) En el denominador teneos una diferencia de cuadrados entonces simplificando nos queda: ( )
15
( ) (
)
http://microe.udea.edu.co/~alince/recursos/ecuaciones/libro/Ecuaciones-Cap4.pdf pag. 270
