CAPÍTULO CAPÍTULO 4. ECUACION ECUACION DE LA CIRCUNFERE CIRCUNFERENCIA NCIA
Capít apítul ulo o 4 EC ECU UACION ION DE LA CIRCUNFERENCIA GRUPO 15 Dibujar una …gura para cada ejercicio. 1. Escribir Escribir la ecuación de la circunfer circunferencia encia de centro centro C ( ( 3; 5) y 5) y radio 7 radio 7..
Solución.
(x + 3)2 + (y (y + 5) 2 = 72 x2 + 6x 6x + 9 + y2 + 10y 10y + 25 = 49 2 2 x + y + 6x 6x + 10y 10y 15 = 0
2
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0 0
y 2
4
6
8
x
-2
-4
-6
-8
-10
-12
2. Los extremos extremos de un diámetro diámetro de una circunfer circunferencia encia son los puntos puntos A (2; (2; 3) y 3) y B ( 4; 5). 5). Hallar la ecuación de la curva.
Solución.
El punto medio es el centro h =
2
4 = 1
2 3+5 k = =4 2
el radio está dado por 2
r2 = ( 1
2)
+ (4
2
3)
= 10
sustituyendo en la ecuación de la circunferencia (x + 1)2 + (y (y 4)2 = 10 x2 + 2x 2x + 1 + y2 8y + 16 = 10
2
Alvaro Cabrera Javier
x +y
2
+ 2x 2x 8y + 7
149
= 0 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 15
8
y
7 6 5 4 3 2 1 0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6 x
3. Hallar Hallar la ecuación ecuación de la circunfere circunferencia ncia cuyo centro centro es el punto C (7; (7; 6) y que pasa por el punto A (2; (2; 2). 2).
Solución.
El radio está dado por r2 = (2
2
+ (2 + 6)2 = 89
7)
sustituyendo en la ecuación de la circunferencia (x x2
2
7)
+ (y (y + 6) 2 = 89
2
14x + 49 + y + 12y 12y + 36 14x x + y 14x 14x + 12y 12y 4 2
2
= 89 = 0
y 2 -10
-8
-6
-4
-2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
x 20
-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16
4. Hallar Hallar la ecuación ecuación de la circunfer circunferencia encia de centro centro C (2; (2; 4) y 4) y que es tangente al eje y.
Solución.
Como es tangente al eje y eje y entonces el radio es r es r = = 2, sustituyendo
2
x Alvaro Cabrera Javier
(x 2)2 + (y (y + 4) 2 = 22 4x + 4 + y 2 + 8y 8y + 16 = 4
x2 + y2
8y + 16 4x + 8y 150
= 0 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO CAPÍTULO 4. ECUACION ECUACION DE LA CIRCUNFERE CIRCUNFERENCIA NCIA
x -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 -1
-2
-3
-4
-5
-6
5. Una circunfere circunferencia ncia tiene su centro centro en el punto C (0; (0; 2) y 2) y es tangente a la recta 5x 12y 12y + 2 = 0. 0. Hallar su ecuación.
Solución.
Aplicando distancia de un punto a una recta para hallar el radio r =
5(0)
12 (2) + 2 = 2 p 5 + 12 2
2
sustituyendo en la ecuación de la circunferencia x2 + (y (y + 2) 2 = 22 x2 + y2 + 4y 4y + 4 = 4 x2 + y 2 + 4y 4y = 0 y -5
-4
-3
-2
-1
1
0
0
1
2
3
4
x 5
-1
-2
-3
-4
6. Hallar Hallar la ecuación ecuación de la circunferenci circunferencia a cuyo centro es el punto punto ( 4; 1) y que es tangente a la recta 3 recta 3x x + 2y 2y 12 = 00..
Solución.
r =
p 12 = 2p 13
3 ( 4) + 2 ( 1) 32 + 22
la ecuación de la circunferencia (x + 4)2 + (y (y + 1) 2 =
p
2
2 13
x2 + 8x 8x + 16 + y2 + 2y 2y + 1 = 52 Alvaro Cabrera Javier
x2 + y2 + 8x 8x + 2y 2y 151
35
= 0 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 15
y 6
4 2 0 -14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12 x
-2 -4 -6 -8
7. La ecuación ecuación de una circunferenc circunferencia ia es (x 3)2 + (y + 4) 2 = 36. 36. Demostrar que el punto A punto A (2; (2; 5) es 5) es interior a la circunferencia y que el punto B ( 4; 1) es exterior.
Solución. 2
(x x2
-4
2
2
y -5
+ (y (y + 4) 2 = 36
6x + 9 + y + 8y 8y + 16 x + y 6x + 8y 8y 11 2
-6
3)
-3
-2
= 36 = 0
2 1 0 0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x 12
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
8. Hallar Hallar la ecuación ecuación de la circunferenc circunferencia ia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x 2y 24 = 0, 0, 2x 2 x + 7y 7y + 9 = 0. 0.
Solución.
3x 2y 24 = 0 2x + 7y 7y + 9 = 0
la solución del sistema es: x es: x = = 6 y y =
2
x Alvaro Cabrera Javier
3, sustituyendo
(x 6)2 + (y (y + 3) 2 = 52 12x 12x + 36 + y2 + 6y 6y + 9 = 25
x2 + y2
12x + 6y 6y + 20 12x 152
= 0 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO CAPÍTULO 4. ECUACION ECUACION DE LA CIRCUNFERE CIRCUNFERENCIA NCIA
y 2 -4
-2
0
0
2
4
6
8
10
12
x
14
-2
-4
-6
-8
9. Halla Hallarr la ecuaci ecuación ón de la circun circunfer ferenc encia ia que pasa por el punto punto A (7; (7; 5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x 9y 10 = 0 y 2x 5y + 2 = 0. 0.
Solución
7x 9y 10 = 0 2x 5y + 2 = 0
la solución del sistema es: x es: x = = 4 y y = 2, el radio está dado por r2 = (4
2
7)
+ (2 + 5)2 = 58
sustituyendo
2
x
(x 4)2 + (y (y 2)2 = 58 8x + 16 + y2 4y + 4 = 58
2
x +y y
2
8x 4y 38
= 0
10
7.5
5
2.5 0 -10
-7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15 x
-2.5
-5
10. Una cuerda cuerda de la circunferencia x circunferencia x2 + y2 = 25 está 25 está sobre la recta cuya ecuación es x 7y + 25 = 0. 0 . Hállese la longitud de la cuerda.
Solución.
x2 + y 2 = 25 x 7y + 25 = 0
la solución del sistema es: P es: P 1 (3; (3; 4) y P 2 ( 4; 3), 3), la distancia de la cuerda
Alvaro Cabrera Javier
d =
q ( 4
3)2 + (3 153
2
4)
p
=5 2 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 15
y
6
4
2 0 -12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12 x
-2
-4
-6
11. Hallar la ecuación de la mediatriz de la cuerda del ejercicio 10, y demostrar que pasa por el centro de la circunferencia. Solución.
Hallamos el punto medio 3
x =
4 = 1
y =
2 2 4+3 7 = 2 2
m1 =
3 4 1 = 4 3 7
la pendiente está dado por
por condicion de perpendicularidad m2 =
7
la ecuación está dada por y
2y
7 = 2 7 =
1 2 7
7 x+
14x
7x + y = 0 y
6
4
2 0 -12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
8
10
12 x
-4
-6
es claro que la ecuación 7x + y = 0, pasa por el origen. Los ejercicios 12 - 16 se re…eren al triángulo cuyos vértices son A ( 1; 0), B 2; 49 y C (5; 0). Alvaro Cabrera Javier 154 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
12. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el vértice A y que es tangente al lado B C . Solución.
Hallamos la ecuación del lado BC 9 0 4 (x 5) y 0 = 5 2 3 y 0 = (x 5) 4 4y = 3x + 15 3x + 4y 15 = 0
Distancia de un punto a una recta para hallar el radio r =
3 ( 1) + 4 (0) 32 + 4 2
p
15 = 18 5
sustituyendo en la ecuación de la circunferencia 2
18 (x + 1) + y = 5 324 x2 + 2x + 1 + y2 = 25 2 2 25x + 25y + 50x + 25 = 324 2
25x2 + 25y2 + 50x y
2
299
= 0
3.75
2.5
1.25 0 -5
-3.75
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
3.75
5 x
-1.25
-2.5
-3.75
13. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo. Solución.
Una solución es aplicar la ecuación general de la circunferencia x2 + y2 + Cx + Dy + E = 0
sustituyendo los tres puntos C + E + 1 = 0 9 2 9 2 (2) + + 2C + D + E = 0 4 4 2 2 (5) + (0) + 5C + E = 0
8> < >:
7 La solución del sistema es: C = 4, D = y E = 4 ecuación general de la circunferencia
Alvaro Cabrera Javier
4x2 + 4y 2
5. Sustituyendo en la
16x + 7y 20 = 0 155
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 15
y
3
2
1 0 -2.5
-1.25
0
1.25
2.5
3.75
5 x
-1
-2
-3
-4
14. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo. Solución.
15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo. Solución.
Los puntos medios de los vértices A ( 1; 0), B 2; 49 y C (5; 0),
son D
1 9 7 9 ; , E ; 2 8 2 8
y F (2; 0)
sustituyendo en la ecuación general de la circunferencia x2 + y2 + Cx + Dy + E = 0
8> >< >>: 2
9 2 1 9 + + C + D + E = 0 8 2 8 2 2 9 7 9 + + C + D + E = 0 8 2 8 2 (2) + 2C + E = 0
1 2 7 2
25 Resolviendo el sistema, se tiene: C = 4, D = y E = 4, sustituyendo 8 en la ecuación 8x2 + 8y 2 32x 25y + 32 = 0
y 3
2
1
0 -2
0
2
4
6 x
-1
16. Demostrar que la circunferencia del ejercicio 15 pasa por los pies de las alturas del triángulo. Alvaro Cabrera Javier 156 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
17. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje x y que pasa por los dos puntos A (1; 3) y B (4; 6). Solución.
Dada la forma (x
2
h)
+ (y
2
k)
= r 2
su centro está sobre el eje x, esto es k = 0 (x
2
h)
+ y2 = r 2
sustituendo los dos puntos
(1 (4
2
+ 32 = r 2 2 + 62 = r 2
h) h)
p
Resolviendo el sistema se tiene que: h = 7 y r = 3 5, sustituyendo (x x2
+ y2 = 45
2
14x + 49 + y 45 x + y 14x + 4 2
y
2
7)
2
= 0 = 0
7.5
5
2.5 0 -5
0
5
10
15 x
-2.5
-5
-7.5
18. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje y y que pasa por los puntos A (2; 2) y B (6; 4). Solución.
Dada la forma (x
2
h)
+ (y
2
k)
= r 2
su centro está sobre el eje y , esto es h = 0 x2 + (y
2
k)
= r 2
sustituendo los dos puntos
22 + (2 k)2 = r 2 62 + ( 4 k)2 = r 2
Resolviendo el sistema se tiene que: k =
11 2 325 x + y + = 3 9 22 68 x2 + y 2 + y = 0 3 3 3x2 + 3y 2 + 22y 68 = 0 157 GEOMETRIA ANALITICA 2
Alvaro Cabrera Javier
113 y r = 35 p 13, sustituyendo
GRUPO 15
: y 2.5
-10
-5
0
0
x
5
10
-2.5
-5
-7.5
-10
19. Una circunferencia pasa por los puntos A ( 3; 3) y B (1; 4) y su centro está sobre la recta 3x 2y 23 = 0. Hállese su ecuación.
Solución.
Sea la forma canónica de la circunferencia (x
2
h)
+ (y
2
k)
= r 2
sustituyendo los puntos A y B y como el centro C (h; k) en está sobre la recta, sustituyendo, tenemos ( 3 h)2 + (3 k)2 = r 2 (1 h)2 + (4 k)2 = r 2 3h 2k 23 = 0
8< :
resolviendo el sistema se tiene que: h = 2, k =
(x
17 2) + y + 2
x2 + y2
-15
-10
=
4x + 17y 81 y
-20
2
2
-5
172 y r = 21 p 629, entonces 629 4
= 0
5 2.5 0 0
5
10
15
20
x 25
-2.5 -5 -7.5 -10 -12.5 -15 -17.5 -20 -22.5
20. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 9x+2y+13 = 0, 3x+8y 47 = 0 y x y 1 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita. Alvaro Cabrera Javier 158 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA Solución.
Aplicando distancia de un punto a una recta
8> >< >> :
la solución del sistema: h = k =
9h + 2k + 13 92 + 22 3h + 8k 47 r = 32 + 8 2 h k 1 r = 12 + 1 2 r =
p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 850
2 73 85
36 2 85
12 2 85 + 2 73 85 + 170 3066 2 85 146 73 85 + 24 820
438 2 85 + 73 73 85 + 6205 66 85 r = 6 2 85 + 73 85 + 85
expresado de otra forma: h = 0;46089, k = 3: 0168 y r = 2;5144, sustituyendo (x
0;46089)
2
+ (y y
3;0168)
2
= 2;51442
8 7 6 5 4 3 2 1 0
-10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
-2 -3
21. La ecuación de una circunferencia es x2 + y 2 = 50. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto ( 2; 4). Hallar la ecuación de la cuerda.
Solución.
Hallamos la pendiente del punto al origen m1 =
4 0 = 2 0
2
la pendiente de la recta perpendicular es m2 =
1 2
la ecuación está dada por 1 (x + 2) 2 2y + 10 = 0 159 GEOMETRIA ANALITICA y
Alvaro Cabrera Javier
x
4
=
GRUPO 15
y
8 6 4 2 0 -12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12 x
-2 -4
-6 -8
22. La ecuación de una circunferencia es (x 4)2 + (y 3)2 = 20. Hallar la ecuación de la tangente a este circulo en el punto (6; 7).
Solución.
Hallamos la pendiente del punto al centro de la circunferencia m1 =
7 6
3 =2 4
la pendiente de la perpendicular es
12
m2 = la ecuación de la tangente y
7 x + 2y 20
=
12 (x 6)
= 0
y 10
8
6
4
2 0 -2.5
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20 x
23. La ecuación de una circunferencia es (x + 2)2 + (y 3)2 = 5. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3; 3). (Dos soluciones).
Solución.
Sea la ecuación de la tangente y = mx + b;
satisfacen el punto (3; 3) Alvaro Cabrera Javier
3m + b 3 = 0 160
(1) GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
por distancia de un punto a una recta
p
5=
m ( 2) (3) + b m2 + 1
p
ordenando
2m + b 3
p
5m2 + 5 = 0
(2)
3 1 9 resolviendo (1) y (2) se tiene: b = y m = ; b = y m = 2 2 2 en nuestra ecuación, se tiene dos soluciones
12 , sustituyendo
x 2y + 3 = 0 x + 2y 9 = 0
y
6
5
4
3
2
1 0 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6 x
24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7; 5) y es tangente a la recta x y 4 = 0 en el punto B (3; 1).
Solución.
8< :
(7
2
2
2
2
2
2
h) + (5 p k) = r hk4r 2 =0 (3 h) + (1 k) = r p resolviendo el sistema: h = 5, k = 3 y r = 2 2 (x 5) + (y + 3) = 8 2
y -2
-1
2
1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
10
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Alvaro Cabrera Javier
161
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 16
25. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta 6x + 7y 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas 8x + 15y + 7 = 0 y 3x 4y 18 = 0. (Dos soluciones).
Solución.
<8 :
6h + 7k 16 = 0 8h + 15k + 7 = 17r 3h 4k 18 = 5r
resolviendo el sistema: h = 5, k = 2 y r = 1, sustituyendo (x 5) + (y + 2) = 1 2
2
x -1
0
1
2
3
4
5
6
7
0
-1
-2
-3
y
-4
GRUPO 16 Dibujar una …gura para cada ejercicio. En cada uno de los ejercicios 1-3, reduciendo la ecuación dada a la forma ordinaria, determinar si representa o no una circunferencia. Si la respuesta es a…rmativa, hallar su centro y radio. 1. 2x2 + 2y2
6x + 10y + 7 = 0.
Solución.
Primera forma:
x2
2x2 + 2y 2
= 0
2
= 0
6x + 10y + 7 7 x + y 3x + 5y + 2 3x + 94 94 + y + 5y + 254 254 + 72 2
2
2
2
3 2
x
5 + y + 2
= 0
5 = 0
p
3 5 , k = y r = 5. 2 2 Segunda forma: Simpli…cando la ecuación original 7 x2 + y2 3x + 5y + = 0 2 donde D 3 h = = 2 2 E 5 k = = 2 2 7 2 2 (3) + 5 4 D2 + E 2 4F 2 r = = =5 4 4 Alvaro Cabrera Javier 162 GEOMETRIA ANALITICA donde h =
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
y -5
-4
-3
-2
1
-1
0
0
1
2
3
4
5
x 7
6
-1
-2
-3
-4
-5
2. 4x2 + 4y2 + 28x Solución.
8y + 53 = 0. 4x2 + 4y 2 + 28x
8y + 53 53 x + y + 7x 2y + 4 49 49 53 + 7x + + y 2y + 1 1 + 4 4 4 2
x2
2
2
= 0 = 0 = 0
2
7 x+ 2
2
= 0
64x + 8y + 177 1 177 x + y 4x + y + 2 16 4x + 4 4 + y + 12 y + 161 161 + 177 16
= 0
+ (y
1)
No representa una circunferencia. 3. 16x2 + 16y2 Solución.
64x + 8y + 177 = 0.
Primera forma:
16x2 + 16y2 2
x2
2
2
(x segunda forma: x2 + y2 h k
=
7
=0 4x + 12 y + 177 16
D2 = 2 E 1 = = 2 4 =
2
r
1 2) + y + 4
= 0
2
2
= 0
=
2
D + E 4
4F =
2
( 4) +
2
1 2
4
177 16
4
=
7
No representa una circunferencia. 4. Hallar el área del círculo cuya ecuación es Alvaro Cabrera Javier
9x2 + 9y2 + 72x 163
12y + 103 = 0.
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 16 Solución.
Reduciendo la ecuación =0 43 y + 103 9
x2 + y2 + 8x
2
D2 + E 2 4 el área está dado por: r
=
4F =
(8) +
2
4 3
4
103 9
4
=5
A = r2 = 25 3
y
2.5 2 1.5 1 0.5 0 -6.25
-5
-3.75
-2.5
-1.25
0 -0.5
x
-1 -1.5 -2
5. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es 25x2 + 25y 2 + 30x Solución.
20y 62 = 0.
Simpli…cando la ecuación 6 x2 + y2 + x 5
=0 45 y 62 25
Necesitamos el radio del círculo 2
r =
2
D + E 4
4F =
2
2
6 5
+
4 5
+4
62 25
4
=3
la longitud de la circunferencia está dado por L = 2r = 6 y 2
1
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3 x
-1
Alvaro Cabrera Javier
164
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
6. Demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y 2 12y2 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.
Solución.
Para:
2
16x + 12y + 13 = 0 y 12x
+
Para la primera ecuación
x2 + y2 h = 2 k =
4x + 3y + 134 = 0
x2 + y2
Para:
h = 2
32
k =
4x + 3y + 55 =0 12
32
ambas circunferencias tienen el mismo centro, por tanto son concéntricas.
y
-3
-2
-1
1
0
0
1
2
3
4
x 6
5
-1
-2
-3
7. Demostrar que las circunferencias x2 + y 2 + 4x + 6y 8x 10y + 25 = 0 son tangentes.
23 = 0
y x2 + y 2
Solución.
y 7.5
5
2.5 0 -15
-10
-5
0
5
10
15 x
-2.5
-5
-7.5
-10
8. Demostrar, por dos métodos, que las circunferencias x2 + y 2 + 2x no se cortan. Alvaro Cabrera Javier
2
8y + 13 = 0 y 4x 165
+ 4y2
40x + 8y + 79 = 0
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 16 Solución. y
8
6
4
2
0 -7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10 x
-2
-4
En cada uno de los ejercicios 9 - 11, determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados, usando el método del ejemplo 1, Artículo 41. 9. (0; 0), (3; 6) y (7; 0). Solución.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 sustituyendo
8< :
F = 0 32 + 62 + 3D + 6E + F = 0 72 + 7D + F = 0
resolviendo el sistema: F = 0, D = x2 + y2
7 y E = 4, sustituyendo 7x 4y = 0
y 6 5 4 3 2 1 0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
7
8
9
10 x
-2
10. (2; 2), ( 1; 4) y (4; 6).
Solución.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 sustituyendo
Alvaro Cabrera Javier
22 + ( 2)2 + 2D 2E + F = 0 ( 1)2 + 42 D + 4E + F = 0 42 + 62 + 4D + 6E + F = 0 166 GEOMETRIA ANALITICA
8< :
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
resolviendo el sistema: F =
173 , D = 163 y E = 256 , sustituyendo
6x2 + 6y 2
32x 25y 34 = 0
y 6 5 4 3 2 1 0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
10 x
-2
11. (4; 1), (0; 7) y ( 2; 3).
Solución.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 sustituyendo 42 + ( 1)2 + 4D E + F = 0 ( 7)2 7E + F = 0 ( 2)2 + ( 3)2 2D 3E + F = 0
8< :
22 52 resolviendo el sistema: F = 3, D = y E = , sustituyendo 7 7 7x2 + 7y 2
22x + 52y + 21 = 0 x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
12. Resolver el ejercicio 9 por el método del ejemplo del Artículo 39. Solución.
Sea los puntos: A (0; 0), B (3; 6) y C (7; 0). Hallamos el punto medio de AB 3 D ;3 2
Hallamos la pendiente de AB Alvaro Cabrera Javier
mAB = 2 167
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 16
por condición de perpendicularidad mDO =
12
por condición punto pendiente, la recta sobre DO y
1 2
3=
3 2
x
la recta sobre EO 2x + 4y Ahora punto medio de B C
15 = 0
E (5; 3) hallamos la pendiente de BC mBC =
0 6 = 3 73 2
por condición de perpendicularidad
2 3 aplicando punto pendiente, hallamos la recta sobre E O mEO =
3 = 32 (x 5)
y la recta sobre EO
2x resolviendo el sistema
3y 1 = 0
2x + 4y 15 = 0 2x 3y 1 = 0
7 la solución es: x = y y = 2, que es el centro de la circunferencia. Ahora 2 hallamos el radio r =
s
2
7 2
0
+ (2
2
0)
=
p
1 65 2
la ecuación de la circunferencia 2
7 2
x
y
+ (y
2
2)
=
65 4
6.25
5
3.75
2.5
1.25 0 -5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10 x
-1.25
-2.5
Alvaro Cabrera Javier
168
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
13. Resolver el ejercicio 10 por el método del ejemplo 2, Artículo 41. Solución.
Sea los puntos (2; 2), ( 1; 4) y (4; 6), sustituyendo en la ecuación x + y + Dx + Ey + F = 0 2
2
8< :
22 + ( 2)2 + 2D 2E + F = 0 ( 1)2 + 42 D + 4E + F = 0 42 + 62 + 4D + 6E + F = 0
17 16 resolviendo el sistema, se tiene: F = , D = y E = 3 3 do 6x2 + 6y 2 32x 25y 34 = 0
256 , sustituyen-
y 6 5 4 3 2 1 0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
10 x
-2
14. Resolver el ejercicio 11 usando el determinante del teorema 3, Artículo 41. Solución.
Sea los puntos (4; 1), (0; 7) y ( 2; 3). Utilizando el determi-
nante
sustituyendo
resolviendo:
x2 + y 2 x y x21 + y12 x1 y1 x22 + y22 x2 y2 x23 + y32 x3 y3 x2 + y2 17 49 13
7x2 + 7y 2
x 4 0 2
y 1 7 3
1 1 1 1 1 1 1 1
=0
=0
22x + 52y + 21 = 0 x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
Alvaro Cabrera Javier
169
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 16
15. Por medio del teorema 3, Artículo 41, demostrar que los cuatro puntos ( 1; 1), (2; 8), (5; 7), (7; 3) son concíclicos.
Solución.
Sustituyendo los puntos
2 68 74 58
1 1 2 5 7
8 7 3
1 1 1 1
= 0
0 = 0
16. Resolver el ejercicio 15 hallando la ecuación de la circunferencia que pasa por tres cualesquiera de los puntos y demostrando después que las coordenadas del cuarto punto satisfacen esta ecuación. Aplicando la ecuación x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, sustituyendo tres puntos Solución.
( 1)2 + ( 1)2 D E + F = 0 22 + 82 + 2D + 8E + F = 0 52 + 72 + 5D + 7E + F = 0
8< :
resolviendo el sistema, se tiene: F = ecuación de la circunferencia x2 + y 2
12, D = 4 y E = 6, entonces la
4x 6y 12 = 0
y 7.5 6.25 5 3.75 2.5 1.25 0 -7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
-1.25
7.5
10 x
-2.5
17. Las ecuaciones de dos circunferencias diferentes son x2 + y2 + D1 x + E 1 y + F 1 = 0 y x2 + y2 + D2 x + E 2 y + F 2 = 0. Hallar las condiciones que deben satisfacer los coe…cientes para que sean concéntricas. 18. La ecuación de una circunferencia es 4x2 + 4y2 16x + 20y + 25 = 0. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntricas que es tangente a la recta 5x 12y = 1. Alvaro Cabrera Javier 170 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA Solución.
Sea la ecuación 4x2 + 4y2
16x + 20y + 25 25 x + y 4x + 5y + 4 4x + 4 4 + y + 5y + 254 254 + 254 2
x2
2
2
(x
5 2) + y + 2
= 0 = 0
2
2
= 0
= 22
el centro está en C 2;
5 y el radio está dado por 2 5(2)
r =
12 52 p 5 + 12 2
1 =3
2
entonces la ecuación buscada es (x
5 2) + y + 2 2
-8
-6
2
2
-4
y
1 0 0
-2
= 32
2
4
6
x 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
19. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 + y 2 + 2x
2y 39 = 0
en el punto (4; 5). Solución.
Transformando nuestra ecuación x2 + y2 + 2x
x2
2y 39 + 2x + 1 1 + y 2y + 1 1 39 (x + 1) + (y 1) 41 2
2
2
= 0 = 0 = 0
Sea la ecuación de la tangente y = mx + b, sustituyendo valores y distancia de un punto a una recta, tenemos:
Alvaro Cabrera Javier
8< : p
5 = 4m + b m ( 1) 1 + b 41 = 2 171 m + 1 GEOMETRIA ANALITICA
p
GRUPO 16
54 , sustituyendo
la solución del sistema es: b = 10 y m = y = y
54 x + 10
8
6
4
2 0 -7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10
12.5 x
-2
-4
-6
20. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (11; 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y2 8x 6y = 0. (Dos soluciones). Solución.
Transformando la ecuación de la circunferencia x2 + y2
2
x
8x 6y 8x + 16 16 + y 6y + 9 9 (x 4) + (y 3) 2
2
2
= 0 = 0 = 52
dada la forma de la ecuación tangente a la circunferencia y = mx + b, sustituyendo el punto 4 = 11m + b y la distancia de un punto (centro circunferencia) a la recta 4m 3 + b m2 + 1 3 49 4 y b1 = ; m2 = y b2 = 4 4 3
5= resolviendo este sistema m1 = tuyendo tenemos las ecuaciones
p
323 , susti-
34 x + 494 4 32 y = x 3 3
L1 : y = L2 : y
8 7 6 5 4 3 2 1 0
-2
0
2
4
6
-1
8
10
12
14 x
-2
Alvaro Cabrera Javier
172
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
21. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( 1; 4), (2; 1) y cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0.
Solución.
Sea la forma de la ecuación de la circunferencia (x
2
h)
+ (y
2
= r 2
k)
sustituyendo los puntos 2
( 1
h) (2 h)
+( 4
2
= r2
2
= r2
k) + (1 k)
2
y como la recta pasa por el centro satisface 4h + 7k + 5 = 0 resolviendo este sistema tenemos: h = estos valores en la ecuación (x + 3)2 + (y
3, k = 1 y r = p 29, sustituyendo 2
1)
= 29 y
7 6 5 4 3 2 1 0 -12
-10
-8
-6
-4
-2
0 -1
2
4
6
8 x
-2 -3 -4 -5
22. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x punto (3; 2). Hallar su ecuación. (Dos soluciones). Solución.
Sea la forma de la ecuación (x
los valores (3
2
h)
+ (2
2
h)
k)
2
+(y
2
k)
4y 1 = 0 en el = r 2 , sustituyendo
= 25
y distancia de un punto (centro de la circunferencia) a una recta 5=
3h
p 44k+3 1 2
2
resolviendo el sistema para la raíz positiva, tenemos: h = 6 y k = sustituyendo en nuestra ecuación (x
2
6)
2,
+ (y + 2) 2 = 52
lo mismo cuando la raíz es negativa Alvaro Cabrera Javier
x2 + (y 6)2 = 52 173 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 16
y 10 8 6 4 2 0 -12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-2
16 x
-4 -6
Nota.
Al aplicar distancia de un punto a una recta, cuando el punto y el origen están de lados opuestos la raíz es positiva y cuando están del mismo lado es negativa. 23. Una circunferencia de radio
p 13 es tangente a la circunferencia
x2 + y 2
4x + 2y 47 = 0
en el punto (6; 5). Hallar su ecuación. (Dos soluciones). Solución.
Transformando la ecuación de la circunferencia x2 + y2
4x + 2y 47 (x 2) + (y + 1) 2
= 0
2
=
p
p
2
2 13
la distancia total entre los dos centros es 3 13
p
13 =
q (h
2)2 + (k + 1) 2
y la ecuación de la circunferencia (6
2
h)
+ (5
k)
2
= 13
la solución del sistema es: h = 4 y k = 2. La ecuación de la circunferencia es: (x
2
4)
+ (y
2
2)
=
p
2
13
Como (6; 5) es el punto medio entre las circunferencias, el otro centro es C (8; 8) entonces la otra circunferencia es
Alvaro Cabrera Javier
(x
2
8)
+ (x 8)2 = 174
p
2
13 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
y
12 10 8 6 4 2 0
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-2
x
-4 -6 -8
24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1; 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el punto ( 2; 1). Solución.
Transformando la ecuación de la circunferencia x2 + y 2 + 6x + 2y + 5 = 0 (x + 3)2 + (y + 1) 2 = 5
la ecuación que pasa por el centro el punto de tangencia es y 2x
1
1 1 (x + 2) 3 + 2
=
y+5
= 0
esta ecuación pasa por los centros, entonces 2h
k + 5 = 0
y como pasa por dos puntos la circunferencia (1 ( 2
h) h)
2
+ (4 2 + (1
2
2
2
2
k) = r k) = r p resolviendo este sistema, se tiene: h = 1, k = 3 y r = 5, entonces la ecuación de la circunferencia es:
(x + 1)2 + (y
2
=5
2
3
3)
y 5 4 3 2 1 0 -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1
1
4
5
6
7
8 x
-2 -3
Alvaro Cabrera Javier
175
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 16
25. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5; 9) y es tangente a la recta x + 2y 3 = 0 en el punto (1; 1).
Solución.
Utilizando la ecuación de la circunferencia (x
2
h)
+ (y
2
k)
= r 2
sustituyendo estos puntos 2
(5
h) (1 h)
+ (9
2
= r2
2
= r2
k) + (1 k)
2
y aplicando distancia de un punto (centro a una recta) r =
h + 2k 3 1+4
p
p
resolviendo estas ecuaciones, tenemos que h = 3, k = 5 y r = 2 5; sustituyendo en la ecuación de la circunferencia (x y
2
3)
+ (y
2
5)
= 20
10
8
6
4
2
0 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12 x
-2
26. Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0; 2), (7; 3). Hállese su ecuación. (Dos soluciones). Solución.
Utilizando la ecuación de la circunferencia (x
2
h)
+ (y
2
k)
= r 2
sustituyendo estos puntos 2
(0
h) (7 h)
2
+ (2
2
= 25
2
= 25
k) + (3 k)
resolviendo este sistema, tenemos: h1 = 3, k1 = 6 y h2 = 4, k2 = 1, sustituyendo (x 3)2 + (y 6)2 = 25 (x 4)2 + (y + 1) 2 = 25 Alvaro Cabrera Javier 176 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
y 10 8 6 4 2 0 -12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-2
18 x
-4 -6
27. Demostrar, analíticamente, que cualquier recta que pasa por el punto ( 1; 5) no puede ser tangente a la circunferencia x2 +y 2 +4x 6y +6 = 0. Interpretar el resultado geométricamente.
Solución.
Sea la ecuación de la circunferencia x2 + y 2 + 4x (x + 2)
2
6y + 6 + (y 3)
= 0
2
= 7
Sea la ecuación de la tangente de la forma: y = mx + b, entonces aplicando distancia de un punto a una recta m ( 2) (3) + b 7= (1) m2 + 1 y como el punto ( 1; 5) satisface esta ecuación
p
p
5=
m + b
(2)
resolviendo este sistema de (2): b = m + 5, sustituyendo en (1)
p p
7 (m2 + 1) = 2
7 (m2 + 1)
=
7m2 + 7 =
2m 3 + m + 5 (2 m) 4 4m + m 2
2
6m2 + 4m + 3 = 0 estudiando el discriminante = b2
4ac = 16 4(6)(3) 56
podemos observar que el discriminante es negativo por lo que tiene una solución imaginaria, grá…camente podemos observar 6
y
5
4
3
2
1 0 -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 x
Alvaro Cabrera Javier
177
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 16
28. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta 7x 2y 1 = 0 y que es tangente a cada una de las rectas 5x 12y + 5 = 0 y 4x + 3y 3 = 0. (Dos soluciones).
Solución.
Como la primera ecuación para por el centro, entonces 7h
2k 1 = 0
y las dos últimas son tangentes, aplicando distancia de un punto a una recta 5h
5 p 512k + + 12 4h + 3k 3 p 4 + 3
r =
2
r =
2
2
2
resolviendo este sistema cuando el origen y el punto (centro) están de lados opuestos, tenemos: h = 1, k = 3 y r = 2, la ecuación de la circunferencia es (x
2
1)
+ (y
2
3)
=4
ahora resolvemos el sistema cuando el origen y el punto (centro) están del 227 421 14 mismo lado, tenemos: h = , k = y r = , la ecuación de la 747 747 747 circunferencia está dado por 2
2
2
x
227 747
421 747
+ y
=
14 747
esta circunferencia es muy pequeña. y
5
4
3
2
1 0 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6 x
-1
29. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son 4x 3y = 0, 4x + 3y 8 = 0, y = 0.
Solución.
Aplicando distancia de un punto a una recta
8> < >:
4h 3k p 4 +3 4h + 3k 8 r = p 4 +3 r =
2
2
2
2
r = k
antes de resolver vemos que la segunda ecuación el punto (centro) y el origen están del mismo lado por lo tanto la raíz es negativa, según esto la solución Alvaro Cabrera Javier 178 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
1 1 del sistema: h = 1, k = y r = , sustituyendo en la ecuación de la 2 2 circunferencia 1 1 2 2 (x 1) + y = 2 2
y
2
1.5
1
0.5 0 -3
-2
-1
0
1
2
3 x
-0.5
-1
30. Una circunferencia que es tangente a un lado de un triángulo y a las prolongaciones de los otros dos lados se llama exinscrita al triángulo. Hallar las ecuaciones de las tres circunferencias exinscritas al triángulo del ejercicio 29. (Véase el ejercicio 16 del grupo 12). Solución.
Sea las ecuaciones: 4x 3y = 0, 4x + 3y 8 = 0, y = 0. Hallamos la ecuación de la bisectriz de las dos primeras ecuaciones
4x
3y = y =) x 2y = 0 5
y las bisectrices de los ángulos exteriores opuestos 4x
3y = 4x + 3y 8 =) 3y 4 = 0 5
5
el centro de la circunferencia es la intersección de estas ecuaciones
x 2y = 0 3y 4 = 0
8 4 esto es: h = , y = y el radio podemos hallarlo por la distancia de un 3 3 punto a una recta 8 4 4 +3 8 4 3 3 r = = 5 3 las ecuaciones de las circunferencias están dados por:
8 3
2
2 x+ 3
2
2
+ y
4 3
2
+ y
4 3
2
=
4 3
2
=
4 3
x
Alvaro Cabrera Javier
(x
2
+ (y + 2) 2 = 4 179 GEOMETRIA ANALITICA
1)
GRUPO 16
y
3
2
1 0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8 x
-1
-2
-3
-4
31. Determinar el valor de la constante k para que la recta 2x + 3y + k = 0 sea tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 4y = 0. Solución.
Transformando la ecuación de la circunferencia x2 + y2 + 6x + 4y = 0 (x + 3)2 + (y + 2) 2 = 13
aplicando distancia de un punto (centro) a una recta
p
13 =
2 ( 3) + 3 ( 2) + k 22 + 3 2
p
resolviendo la ecuación se tiene que k = 25. 2 -12
-10
-8
-6
-4
-2
y
0 0
2
4
x
-2
-4
-6
-8
32. Hallar las ecuaciones de las rectas que tienen de pendiente 5 y son tangentes a la circunferencia x2 + y2 8x + 2y 9 = 0. Solución.
Sea la ecuación de la recta y = mx+b y transformando la ecuación de la circunferencia x2 + y2 (x
8x + 2y 9 2
4)
+ (y + 1)
2
= 0 = 26
aplicando distancia de un punto a una recta
p
26 =
Alvaro Cabrera Javier
(5) (4)
p 5 (+1)1 + b 180 GEOMETRIA ANALITICA 2
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
resolviendo la ecuación b = 5. Y para una raíz negativa b = las ecuaciones de la recta son
47. Entonces
y = 5x + 5 y = 5x
47
y 4
2
0 -6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14 x
-2
-4
-6
33. Desde el punto A ( 2; 1) se traza una tangente a la circunferencia x 2 +y2 6x 4y 3 = 0. Si B es el punto de contacto, hallar la longitud del segmento AB.
Solución.
Transformando la ecuación de la circunferencia x2 + y2
6x 4y 3 (x 3) + (y 2) 2
= 0
2
= 16
sabemos que un cateto es el radio y la hipotenusa es la distancia del centro de la circunferencia hacia el punto d =
p
q
(3 + 2)2 + (2 + 1)2 =
34
entonces la distancia entre AB es
r p
p
2
AB =
34
42 = 3 2
34. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6; 1) y es tangente a cada una de las rectas 4x 3y + 6 = 0, 12x + 5y 2 = 0. (Dos soluciones).
Solución.
Sea la ecuación de la circunferencia 2
+ (y
k)
2
+ (1
k)
(x
h)
(6
h)
2
= r 2
2
= r 2
sustituyendo el punto
y aplicando distancia de un punto a una recta r = r = Alvaro Cabrera Javier
4h
6 p 4 3k + +3 12h + 5k 2 p 2
2
2 2 181 12 + 5 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 16
resolviendo el sistema se tiene (x (x
2
3)
+ (y
2
1)
= 9 2
37 48) + y + 8 2
=
339 8
20
25
y 10 7.5 5 2.5 0 0
5
10
15
30
-2.5
35 x
-5 -7.5 -10
35. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( 3; 1) y (5; 3) y es tangente a la recta x + 2y 13 = 0. (Dos soluciones).
Solución.
Sea la forma de la ecuación de la circunferencia (x
2
h)
+ (y
2
k)
= r 2
sustituyendo los puntos 2
( 3
2
= r2
2
= r2
h) + (1 k) (5 h) + (3 k) 2
y la distancia de un punto (centro) a la recta h + 2k 13 1 + 22
p
r =
h)2 + ( 1 k)2 = r 2 h)2 + (3 k)2 = r 2 h + 2k 13 r = 1 + 22
8>< >: ( 3 (5
p
p
19 resolviendo el sistema se tiene: h1 = 1, k1 = 1, r1 = 2 5 y h2 = , 4 13 17 k2 = , r 2 = 5, las ecuaciones de las circunferencias son 2 4
p
(x
2
+ (y
2
= 20
2
1445 = 16 GEOMETRIA ANALITICA
1)
x
Alvaro Cabrera Javier
2
1)
19 4
13 + y + 2 182
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
y 6 4 -12 -10 -8
-6
-4
2 0 0
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
x 24
-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16
GRUPO 17 Dibujar una …gura para cada ejercicio. 1. Escribir la ecuación de la familia de circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto ( 3; 5). Dibujar tres elementos de la familia, especi…cando el valor del parámetro en cada caso.
Solución.
Sea la ecuación de la circunferencia (x
2
h)
2
= r 2
2
= r 2
+ (y
k)
(x + 3)2 + (y
5)
sustituyendo el punto
entonces el parámetro es r, para r = 3, 5 y 10. 16
y
14 12 10 8 6 4 2 0 -20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2
8
10
12
14 x
-4 -6
2. Escribir la ecuación de la familia de circunferencias cuyo centro están sobre el eje y. Desígnense los dos parámetros por k1 y k2 . Dibújense tres elementos de la familia conservando a k1 constante y asignando a k 2 tres valores diferentes. Dibújense otros tres miembros de la familia haciendo que k2 permanezca constante y asignando a k 1 tres valoes diferentes. Solución.
Sea la ecuación de la circunferencia (x
2
h)
+ (y
2
k)
= r 2
según la condición del problema Alvaro Cabrera Javier
x2 + (y k1 )2 = k 22 183 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 17
para k 1 = 2 y k 2 = 3, 6 y 9. x2 + (y
2
2)
= 25
y 10 7.5
5 2.5 0 -15
-10
-5
0
5
10
15 x
-2.5 -5 -7.5
ahora para k2 = 5 y k1 = 2, 4 y 6. y 10
7.5 5 2.5 0 -15
-10
-5
0
5
10
15 x
-2.5 -5 -7.5
3. Escribir la ecuación de la familia de todas las circunferencias que pasan por el origen. Dibujar seis elementos de la familia asignando valores a los dos parámetros como en el ejercicio 2. Solución.
Sea la forma de la ecuación de la circunferencia (x
2
h)
+ (y
2
k)
= r 2
según la condición del problema h2 + k2 = r 2 Para:
h = 2; h = 0; h = 6; h = 0; h = 10; h = 0; Alvaro Cabrera Javier
k = k = k = k = k = k =
0
4 0 8 0
12
= = = = = = 184
) ) ) ) ) )
r2 r2 r2 r2 r2 r2
=4: (x 2)2 + y2 = 4 = 16 : x2 + (y + 4) 2 = 16 = 36 : (x + 6)2 + y2 = 36 = 64 : x2 + (y 8)2 = 64 = 100 : (x 10)2 + y 2 = 100 = 144 x2 + (y + 12)2 = 144 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
y
10 8 6 4 2 0
-17.5
-15
-12.5
-10
-7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
-2
17.5 x
-4 -6 -8 -10
4. Determinar la ecuación de la familia de circunferencias, cada una de las cuales pasa por el origen y el punto (1; 3). Dibujar tres elementos de la familia, especi…cando el valor del parámetro en cada caso. 5. Dibujar las dos circunferencias cuyas ecuaciones son C 1 : x 2 + y 2 + 4x
8y + 7 = 0 y C : x 2
2
+ y2
16x 4y + 3 = 0.
También dibujar tres elementos de la familia C 1 + kC 2 = 0 para valores de k diferentes de 0 y 1, y demostrar que sus centros están sobre la recta de los centros de C 1 y C 2 .
6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A ( 8; 5) y por las intersecciones de las circunferencias x2 + y 2 8x 6y + 17 = 0 y x2 + y2 18x 4y + 67 = 0.
7. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje x y pasa por las intersecciones de las dos circunferencias dadas en el ejercicio 6. 8. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje y y pasa por las intersecciones de las dos circunferencias dadas en el ejercicio 6. 9. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta 2x + y 14 = 0 y que pasa por las intersecciones de las circunferencias
x2 + y 2
10.
2
8x 4y + 11 = 0 y x
+ y2
4x + 4y 8 = 0. 5 p Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 2 y que pasa por las 2 intersecciones de las circunferencias x + y + 2x 6y 16 = 0 y x + y 2
2
2
2
6x + 2y = 0. (Dos soluciones).
11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de las circunferencias x 2 + y2 6x + 4 = 0, x 2 + y2 2 = 0, y que es tangente a la recta x + 3y 14 = 0. (Dos soluciones).
12. La ecuación de la familia de circunferencias dada en el teorema 4 del Artículo 42 no incluye a la ecuación de C 2 . Usando dos parámetros k 1 y k 2 , escríbase la ecuación de la familia de tal manera que incluya a C 2 . (Véase la ecuación [6] del Artículo 36) ¿A qué restricciones deben someterse los parámetros k1 y k2 ? ¿Qué relación debe existir entre k1 y k2 para obtener la ecuación de una línea recta? Alvaro Cabrera Javier 185 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 17
13. Demostrar que las circunferencias C 1 : x2 + y 2 3x 6y + 10 = 0 y C 2 : x2 +y2 5 = 0, son tangentes. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C 1 y C 2 en su punto común y que pasa por el punto A (7; 2). Demostrar que el centro de esta circunferencia está sobre la recta de los centros de C 1 y C 2 .
14. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C 1 y C 2 del ejercicio 13 en su punto común y cuyo centro está sobre la recta 3x + y + 5 = 0. 15. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C 1 y C 2 del ejercicio 13 en 3 su punto común y cuyo radio es igual a 5. (Dos soluciones). 2
p
16. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C 1 y C 2 del ejercicio 13 en su punto común y que es tangente a la recta x 2y 1 = 0. (Dos soluciones).
17. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A ( 10; 2) y por las intersecciones de la circunferencia x2 + y2 + 2x 2y 32 = 0 y a la recta x y + 4 = 0.
18. Demostrar que las circunferencias C 1 : x2 + y 2 2x 2y 2 = 0 y C 2 : x2 + y 2 + 10x 6y + 33 = 0 no se cortan. Demostrar que para k = 2 el elemento correspondiente de la familia C 1 + kC 2 = 0 es una circunferencia que no corta a ninguna de las dos circunferencias C 1 y C 2 , y cuyo centro está sobre la recta de los centros de C 1 y C 2 . Demuéstrese, también, que no existe ninguna circunferencia real si k toma uno cualquiera de los valores 1, 2 y 3. Hállense otros valores de k para los cuales no exista circunferencia real.
19. Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias x2 + y2
2
2x 10y + 10 = 0 y 4x
+ 4y2
32x 12y + 37 = 0
y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros. 20. Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias 9x2 + 9y 2
54x 48y + 64 = 0 y x
2
+ y2 + 8x
10y + 37 = 0,
y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros. 21. Hallar la ecuación de la longitud de la cuerda común de las circunferencias x2 + y2 8y + 6 = 0 y x2 + y2 14x 6y + 38 = 0.
22. Demostrar analíticamente que si dos circunferencias diferentes son concéntricas, su eje radical no existe. 23. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto P (3; 4) a la circunferencia 3x2 + 3y2 + 12x + 4y 35 = 0.
24. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto P ( 1; 3) a la circunferencia 3x2 + 3y2 14x 15y + 23 = 0.
25. Obtener las coordenadas de un punto que se encuentre sobre el eje radical del ejercicio 19, y demostrar que las longitudes de las tangentes trazadas de ese punto a las dos circunferencias son iguales. Alvaro Cabrera Javier 186 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
26. Las ecuaciones de dos circunferencias no concéntricas son C 1 = 0 y C 2 = 0. Demuéstrese que el eje radical de cualquier par de circunferencias de la familia C 1 + kC 2 = 0 es el mismo que el eje radical de C 1 y C 2 . 27. Las ecuaciones de tres circunferencias son x2 + y 2 + Di x + E i y + F i = 0, i = 1; 2; 3. Suponiendo que entre ellas no hay dos que sean concéntricas, hállense las ecuaciones de sus ejes radicales. Si las tres circunferencias no tienen una recta de centro común, demuéstrese que sus ejes radicales se encuentran en un punto común (el centro radical). 28. Hallar las coordenadas del centro radical de las tres circunferencias x 2 + y 2 + 2x 4y 6 = 0, x2 + y2 4x 2y = 0 y x 2 + y 2 + 2x + 12y + 36 = 0.
29. Hallar las longitudes de las tangentes trazadas del centro radical a las tres circunferencias del ejercicio 28, y demostrar que son iguales. 30. Demostrar que las tres circunferencias x2 + y 2 + 10x + 2y + 17 = 0, x2 + y2 + 4x 4y + 4 = 0 y x 2 + y2 8x 16y + 71 = 0 no tienen centro radical. Explicar el resultado.
GRUPO 18 Dibujar una …gura para cada ejercicio. Los ejercicios 1 - 7 deben resolverse usando la condición de tangencia estudiada en el Artículo 44. 1. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 + y 2
2x 6y 3 = 0
en el punto ( 1; 6).
Solución.
Se da la ecuación de la familia de recta tangentes que pasa por ( 1; 6) : y 6 = m (x + 1), sustituyendo en la ecuación de la circunferencia
x2 + (mx + m + 6)2 2
2
2
x +m x
2
1+m
el discriminante
2
2x 6 (mx + m + 6) 3 + 2m x + 6mx 2x + m + 6m 3 + 2m + 6m 2 x + m + 6m 3 2
x
2m2 + 6m
la solución es m =
Alvaro Cabrera Javier
2
2
2 4
1 + m2
= 0
2
= 0
m2 + 6m 2
9m
= 0
2
3
12m + 4
= 0 = 0
2 , sustituyendo 3 2x
3y + 20 = 0 187
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 18
y
8 7 6 5 4 3 2 1 0
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
9 x
-2
2. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia 4x2 + 4y 2 + 8x + 4y que tengan de pendiente
32 .
47 = 0
3. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto ( 2; 7) a la circunferencia x2 + y2 + 2x 8y + 12 = 0.
4. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x 2 + y2 el punto (6; 3).
8x + 3 = 0 en
5. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia x2 + y2 + 4x que son paralelas a la recta 5x
10y + 21 = 0
5y + 31 = 0.
6. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia x2 + y2 + 6x que son perpendiculares a la recta 4x
8= 0
y + 31 = 0.
7. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (6; 4) a la circunferencia x2 + y2 + 2x 2y 35 = 0.
8. Resolver el ejercicio 4 recordando que la tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto. 9. Resolver los ejemplos 1, 2 y 3 del Artículo 45 por el método indicado en el ejercicio 8. 10. Demostrar que la ecuación de la tangente a la circunferencia x 2 + y2 = r 2 en el punto de contacto P 1 (x1 ; y1 ) es x 1 x + y1 y = r 2 . Sugestión: Usese el hecho de que x 21 + y12 = r 2 . y1 Solución. La pendiente de la normal es mn = , su perpendicular mt = x1 x1 , sustituyendo en la ecuación de la tangente y1 x1 y = x+b y1 x1 x + y1 y = by1 (1) Alvaro Cabrera Javier 188 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
sustituyendo en la ecaución de la circunferencia x 1 2 x = r2 y1 2 2 2bx1 y1 x + y1 b r 2 y12 = 0
2
x + b
x21 + y12 x2 4b2 x21 y12
4y12 x21 + y12
2
2 1
2 1
b x
2 1
x + y
b2
r2
= 0
2
2
= 0
b
r2 y12 + r2 x21
r
2
2 1
b y
= 0
b2 y12 = r2 y12 + x21
como x21 + y12 = r 2 b2 y12 = r 4 sustituyendo en (1) x1 x + y1 y = r 2 .
) by = r
2
1
11. Por dos métodos diferentes, hallar las ecuaciones de las tangentes a la cir1 cunferencia 0x2 + 9y 2 + 18x 12y 32 = 0, cuya pendiente sea . 2
12. Por dos métodos diferentes, hállense las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (6; 4) a la circunferencia 2x2 + 2y2 8x 4y 15 = 0.
13. Por el punto ( 5; 4) se trazan tangentes a la circunferencia x + y 10x + 7 = 0. 2
2
Hallar el ángulo agudo que forman estas tangentes. 14. Dada la circunferencia x 2 + y2 = 5, hallar los valores de k para los cuales las rectas de la familia x 2y + k = 0:
a ) cortan a la circunferencia en dos puntos diferentes; b ) son tangentes; c ) no tienen ningún punto común con la circunferencia.
15. Dada la circunferencia x 2 + y 2 6x 2y +6 = 0, hallar los valores de m para los cuales las rectas de la familia y = mx + 3:
a ) cortan a la circunferencia en dos puntos diferentes; b ) son tangentes; c ) no tienen ningún punto común con la circunferencia.
16. Demostrar que las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la circunferencia x2 + y2 = r 2 son y = mx 1 + m2 .
p
17. Hallar la ecuación de la normal a la circunferencia x2 + y2
6x + 10y + 21 = 0
en el punto (6; 3), y demostrar que pasa por el centro de la circunferencia.
En cada uno de los ejercicios 18-20 hallar las ecuaciones de la tangente y normal y las longitudes de la tangente, normal y subtangente y subnormal, para cada circunferencia y punto de contacto dados. Alvaro Cabrera Javier 189 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 19
18. x2 + y2 = 34; (3; 5). 19. x2 + y2 20. x2 + y2
2x + 2y 15 = 0; (0; 3). 10x + 2y 39 = 0; ( 2; 3).
21. Hallar el ángulo agudo que forman las circunferencias x2 + y 2 = 17 y x2 + y2 12x 4y + 11 = 0 en su intersección.
22. Hallar el ángulo agudo que forman la recta 2x+3y 6 = 0 y la circunferencia x2 + y2 + 2x 4y 3 = 0 al cortarse.
23. Demostrar que las circunferencias x2 + y2 + 2x
2
4y = 0 y x
+ y2 + 4x + 2y = 0
se cortan ortogonalmente. 24. Demostrar, analíticamente, que las trayectorias ortogonales de una familia de circunferencias concéntricas están dadas por la familia de rectas que pasan por su centro común. 25. Si de un punto exterior P se trazan tangentes a una circunferencia, el segmento que une los puntos de contacto se llama cuerda de contacto de P . Si P 1 (x1 ; y1 ) es un punto exterior a la circunferencia x 2 + y2 = r 2 , demuéstrese que la ecuación de una cuerda de contacto de P 1 es x1 x + y 1 y = r2 (Ver ejercicio 10). GRUPO 19 Dibujar una …gura para cada ejercicio Todos los teoremas enunciados en los siguientes ejercicios deben demostrarse analíticamente. De manera semejante, todos los problemas de lugares geométricos deben resolverse analíticamente. 1. Las longitudes de las dos tangentes trazadas a una circunferencia desde un punto exterior son iguales. Sea la ecuación de la circunferencia x2 + y 2 = a2 y P (b; 0) un punto exterior a la circunferencia, teniendo el radio como cateto (a) y la hipotenusa (b), la distancia del punto a la circunferencia es: Solución.
CP = C P = 0
y
x2 + y2 = a 2
p b2
a2
C a
O(0; 0)
P (b; 0) x
C
0
Se establece por de…nición de tangencia que el radio y la recta tangente forman un ángulo de 90 o , por tanto se cumple el teorema de pitágoras. Alvaro Cabrera Javier 190 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
2. Si de un punto cualquiera de una circunferencia se traza una perpendicular a un diámetro, la longitud de la perpendicular es media proporcional entre las longitudes de los dos segmentos en los que divide al diámetro. Solución.
y
x
la distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al diámetro está dado por: 2
2
y + b = a
2
) y =
la media proporcional, está dado por
p
(a + b) (a
b) =
p a2
b2
p
b2
a2
3. Todo diámetro perpendicular a una cuerda la divide en dos partes iguales. Solución.
y
x
4. En dos circunferencias secantes la recta de los centros es perpendicular a su cuerda común en su punto medio. Solución.
5. Si por los extremos de un diámetro se trazan dos cuerdas paralelas, estas son iguales. Alvaro Cabrera Javier 191 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 19 Solución. y
x
6. Se tiene una circunferencia circunscrita a cualquier triángulo dado. Demostrar que el producto de las longitudes de dos lados cualesquiera del triángulo es igual al producto de la longitud del diámetro por la longitud de la altura trazada al tercer lado. Solución. y
x
el producto de los lados L2 = a 2 + a2 = 2a2 el producto del diámetro por la altura (2a) (a) = 2a2 7. Un punto se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (2; 0) y ( 1; 0) es siempre igual a 5. Hallar e identi…car la ecuación de su lugar geométrico.
Solución.
q (x
2
2
2) + (y
2
q
2
2
2
0) + (x + 1) + (y 0) x 4x + 4 + y + x + 2x + 1 + y 2
2
2
2
Alvaro Cabrera Javier
192
2
2
= 5 = 5
x +y +x = 0 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
1
y
0.5
0 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1 x
-0.5
-1
8. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto (4; 2) es siempre igual al doble de su distancia del punto ( 1; 3). Hallar e identi…car la ecuación de su lugar geométrico.
Solución.
q (x
2
= 2 (x + 1)2 + (y
2
2
=
2) (x 4) + (y 2) x 8x + 16 + y 4y + 4 3x + 3y + 16x 20y + 20
4) + (y
2
2
2
q
2
2
=
2
3) 4 (x + 1) + 4 (y 3) 4x + 8x + 4 + 4y 24y + 36 2
2
2
2
= 0
7
y
6 5 4
3 2 1 0 -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
-1
9. Un punto se mueve de tal manera que su distancia del punto (2; 2) es siempre igual a un tercio de su distancia del punto (4; 1). Hallar e identi…car la ecuación de su lugar geométrico.
Solución.
1 (x 2) + (y + 2) = (x 4)2 + (y 1)2 3 2 2 9 (x 2) + 9 (y + 2) = (x 4)2 + (y 1)2 36x + 36y + 9y2 + 72 = x2 8x + y 2 2y + 17
q
2
9x
2
8x + 8y 2 Alvaro Cabrera Javier
2
q
2
28x + 38y + 55 193
= 0
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 19
y
2
1
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6 x
-1
-2
-3
-4
10. Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia del punto (1; 2) es siempre igual al doble de su distancia de la recta 3x + 4y 1 = 0. Hallar e identi…car la ecuación de su lugar geométrico.
Solución.
q (x
2
1) + (y 2
5 (x
5x2 2
5x
2
2
2) + 5 (y 2)
2
1) 20y 10x + 5y + 25 + 5y 16x 28y + 27 2
2
3x + 4y = 2 5 = 2 (3x + 4y = 6x + 8y = 0
1
1)
2
y 5
4
3
2
1 0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7 x
-1
11. Un punto se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias de los tres puntos (0; 3), (3; 0) y ( 2; 2) es siempre igual a 30. Hallar e identi…car la ecuación de su lugar geométrico.
Solución.
q (x
2
2
0) + (y
Alvaro Cabrera Javier
2
3)
q +
(x
194
2
2
3) + (y
2
0)
q +
2
2
(x + 2) + (y + 2)
3x2 + 3y2 2x 2y GEOMETRIA ANALITICA
2
4
= 30 = 0
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
y 3
2
1
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
-1
-2
12. Un punto P se mueve de tal manera que su distancia de un punto …jo es siempre igual a k veces su distancia de otro punto …jo. Demostrar que el lugar geométrico de P es una circunferencia para valores apropiados de k. Solución.
q (x
x2 + y2
2 1
2 1
2
2
2
2
2
2
x1 ) + (y
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2 2
2 1
2
2 2
13. Un punto P se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia de la base de un triángulo isósceles es siempre igual al producto de sus distancias de los otros dos lados. Demostrar que el lugar geométrico de P es una circunferencia. Solución.
x + y + a = 0 x
y x2 + y2 Para a = 4 : x 2
2
ya
=
2
= 0 x + y + a 2
p
2ay a = 0 + y 8y 16 = 0
p x
y a 2
2
y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 x
-2
Alvaro Cabrera Javier
195
GEOMETRIA ANALITICA
2
= k
2 2
= 0
2 1
= 0
y ) k y 1
2
2x x 2y y + x + y k x k y + 2k x x + 2k y y k x 1 k x + 1 k y 2 x k x x 2 y + k y y + x k x k y + y es una circunferencia para k = 6 1. 1
2
2 2
q (x
GRUPO 19
14. Desde un punto P , se trazan tangentes a las circunferencias C 1 : x 2 + y 2
9 = 0 y C : x 2
2
+ y2
8x + 12 = 0.
Si la longitud de la tangente trazada a C 1 es siempre igual al doble de la longitud de la tangente trazada a C 2 , hallar y construir el lugar geométrico de P . Solución.
15. Un punto P se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a las dos rectas 3x y + 4 = 0, x + 3y 7 = 0 es siempre igual a 2. Hallar, identi…car y trazar el lugar geométrico de P .
Solución.
16. Desde un punto …jo de una circunferencia dada se trazan cuerdas. Demostrar que el lugar geométrico de los puntos medios de estas cuerdas es una circunferencia. Solución.
17. Se han trazado dos tangentes a una circunferencia, paralelas entre sí, que cortan a una tercera tangente en los puntos A y B. Demostrar que las rectas que unen A y B con el centro son perpendiculares entre sí. Solución.
18. Desde un punto exterior P , se trazan una tangente a una secante y una circunferencia dada, siendo A y B los puntos de intersección de la secante con la circunferencia. Demostrar que la longitud de la tangente es media proporcional entre la longitud P B de la secante y la longitud P A de su segmento externo. Solución.
19. Por medio del teorema del ejercicio 18, resolver el ejercicio 35 del grupo 16. Solución.
20. Demostrar que si desde cualquier punto P de la circunferencia circunscrita a un triángulo, se bajan perpendiculares a los lados del triángulo, los pies de estas perpendiculares son colinales. La recta que determina se llama recta de Simpson para el punto P . Solución. y
x
Alvaro Cabrera Javier
196
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
21. Demostrar que el punto P (7; 3) está sobre la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son ( 1; 1), (2; 8), (5; 7), y hallar la ecuación de la recta de Simpson para el punto P .
Solución.
4x 3y + 1 = 0 = 3x + 4y 33 = 0
) P
1
19 27 ; 5 5
3x y + 2 = 0 =) P (1; 5) x + 3y 16 = 0 x + 3y 26 = 0 =) P (8; 6) 3x y 18 = 0 2
3
Se demuestra que son colinales si tienen una misma pendiente los tres puntos, esto es 27 5 5 6 1 5 = = 19 1 8 7 1 5 la ecuación de la recta se Simpson
x y
7y + 34 = 0
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 x
-2 -3
22. Demostrar el recíproco del teorema del ejercicio 20; es decir, demostrar que, si el punto P se mueve de tal manera que los pies de las perpendiculares bajadas desde él a los lados de un triángulo cualquiera son colineales, el lugar geométrico de P es la circunferencia circunscrita al triángulo. Solución.
23. Demostrar que en un triángulo cualquiera los pies de las alturas, los pies de las medianas, y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro (punto de intersección de las alturas) a los vértices son concíclicos. Esta circunferencia se llama con toda propiedad la circunferencia de los nueve puntos del triángulo.
Solución. Bastará
con demostrar que FIJE es un rectángulo y puesto que la suma de sus ángulos opuestos es un ángulo llano, sus vértices están inscritos Alvaro Cabrera Javier 197 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 19
en la circunferencia. y
C (c; d) D
L
K
P J
E F
I
A(0; 0)
G H
B(a; 0)
x
El punto E es el punto medio de AC , esto es: E
c d ; , el punto J es el 2 2
a + c d punto medio entre BC , esto es J ; . La pendiente de E J , es 2 2 mEJ = 0 Ahora hallamos el punto P , que es la intersección de las alturas, para estos vamos a hacer sistemas primero la ecuación de la recta AK : y = a c x, y la ecuación de la recta CH : x = c, resolviendo se tiene el punto d c c d P c; (a c) . El punto medio entre P A, es F , esto es F ; (a c) d 2 2d a+c c y el punto medio de la recta P B, es I , esto es I ; (a c) , la 2 2d pendiente de F I , es mF I = 0
Por lo que EJ == FI . La pendiente de E F : mEF =
1
mIJ =
1
y la pendiente de IJ : por lo que EF == IJ , como EF es una recta vertical y F I una recta horizontal, el ángulo entre ellos es un recto y también dicho de otro modo E J JI , como los ángulo opuestos de este cuadrilátero es un ángulo llano, los vértices del cuadrilátero están inscritos en la circunferencia. Lo mismo para los cuadriláteros EGIL y GJLF .
?
24. Hallar la ecuación de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo cuyos vértices son (3; 7), (1; 1) y (7; 3) obteniendo la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados, demostrando que los otros seis puntos están sobre la circunferencia.
Solución.
Alvaro Cabrera Javier
1 7 mAB = =4 1 3 198 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
la ecuación de la perpendicular y
3 4y 12 x + 4y 19 y 4x
14 (x 7) x + 7
= =
= 0
7
= 4 (x
12 y + 7 = 0 4x y 5 = 0 x + 4y 19 = 0 4x y 5 = 0
3)
39 71 La solución es: x = ; y = : 17 17 pendiente AC mAC =
3 7
y
3 y3 x + y 10
7 = 1 3
= =
(x 7) x + 7
= 0
la perpendicular y + 1 = x x
y2
= 0
1
x + y 10 = 0 x y 2=0
La solución es: [x = 6; y = 4] Pendiente de BC 3+1 2 = 7 1 3 2 y + 1 = (x 1) 3 3y + 3 = 2x 2 mBC =
2x
3y 5
= 0
la perpendicular :
7 = 32 (x 3) 2y 14 = 3x + 9 3x + 2y 23 = 0 2x 3y 5 = 0 3x + 2y 23 = 0 199 GEOMETRIA ANALITICA y
Alvaro Cabrera Javier
GRUPO 19
79 31 La solución es: x = ; y = 13 13 El ortocentro 3x + 2y 23 = 0 x y 2=0
27 17 La solución es: x = ; y = 5 5 Los puntos medios del ortocentro a un vértice 27 +1 16 5 = 2 5 17 1 6 5 = 2 5
x =
y =
27 +3 21 5 = 2 5 17 +7 26 5 = 2 5
x = y =
27 +7 31 5 = 2 5 17 +3 16 5 = 2 5
x = y = sea la ecuación de la circunferencia
x2 + y2 + Cx + Dy + E = 0 sustituyendo los tres puntos de la base de las medianas
8< :
22 + 32 + 2C + 3D + E = 0 42 + 12 + 4C + D + E = 0 = 52 + 52 + 5C + 5D + E = 0
la solución es: C =
8< ):
2C + 3D + E + 13 = 0 4C + D + E + 17 = 0 5C + 5D + E + 50 = 0
415 , D = 315 y E = 22, sustituyendo 5x + 5y 41x 31y + 110 = 0 2
2
y 7 6 5 4 3 2 1 0 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
Alvaro Cabrera Javier
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
200
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 4. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
25. Demostrar que en un triángulo cualquiera el centro de la circunferencia de los nueve puntos está sobre la recta de Euler (ver el ejercicio 26 del grupo 10).
Alvaro Cabrera Javier
201
GEOMETRIA ANALITICA
