TEMA: Familias de la circunferencia INTRODUCCIÓN Las circunferencias son figuras de muy frecuente aparición en la vida cotidiana y que desde el punto de vista de las matemáticas se prestan a multitud de razonamientos que pueden servir para despertar la curiosidad y fomentar la creatividad de los estudiantes. Después de la recta, la línea más familiar estudiante es la circunferencia, pues la conoce desde sus primeros estudios de Geometría elemental. FUNDAMENTO TEÓRICO Definición. Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio. Familias de la circunferencia Una circunferencia que satisface menos de tres condiciones independientes no es, por lo
tanto, única. La ecuación de una circunferencia que satisface solamente a dos
condiciones, contiene una constante arbitraria llamada parámetro. Se dice entonces que tal ecuación representa una familia de circunferencias de un parámetro.
Por
ejemplo, la familia de todas las circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto (1, 2) tiene por ecuación.
En donde el parametro k es cualquier numero positivo. Consideremos ahora el caso importante de la familia de curvas que pasan por las intersecciones de dos circunferencias dadas. Sean diferentes dadas cualesquiera, cuyas ecuaciones son: C1:
(1)
C2:
(2)
De (1) y (2) se deduce la ecuación
C1
y C2 dos circunferencias
(
)=0
(3)
En donde el parámetro k puede tomar todos los valores reales. Supongamos que los círculos C1 y C2 se cortan en dos puntos distintos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). Como las coordenadas (x1, y1) de P1 satisfacen ambas ecuaciones ( 1 ) y (2) , también satisfacen a la ecuación (3), y esta se reduce entonces a la forma 0 + X* 0 = 0, que es verdadera para todos los valores de k. Análogamente , las coordenadas (x2, y2) de P2 que satisfacen ambas ecuaciones (1) y (2) satisfacen también a la ecuación (3) para todos los valores de k. Por tanto, la ecuación (3) representa a familia de curvas que pasan por las intersecciones de las circunferencias C1 y C2. Para determinar la naturaleza de las curvas de esta familia escribimos la ecuación (3) en la forma: (k+1)
+( k+1)
+(D1+kD2)x+(E1+kE2)y+F1+kF2=0
(4)
Si k = - 1, la ecuaci6n (4) se reduce a una de primer grado y, por lo tanto, representa una línea recta.
Pero, para cualquier otro valor de k, la ecuaci6n (4) representa una
circunferencia de acuerdo con el teorema 2. En particular, para k = 0, la ecuación (4) se reduce a la ecuación C1. La ecuación (3) es particularmente útil para obtener la ecuación de una curva que pasa por Ias intersecciones de las circunferencias dadas, ya que entonces no es necesario determinar las coordenadas de los pun tos de intersección. Son todas las circunferencias que pasan por el punto de la intersección de dos circunferencias, la ecuación de todas ellas está dado por: x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + K ( x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0 Esta expresión representa una circunferencia para los valores de K, excepto para K= -1. Para K=-1 la ecuación se reduce a una recta, que es la cuerda común de dichas circunferencias. EJE RADICAL Es la recta que pasa por la intersección de dos circunferencias. Sean las circunferencias x2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0
La ecuación del eje radical se obtiene restando las ecuaciones de las circunferencias. Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2,3) y (3,6) y sea tangente a la recta 2x+y-2=0 Calculando la pendiente con los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene:
Calculando la pendiente de la mediatriz que pasa pos los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene: Como la mediatriz es perpendicular al segmento formado al unir los puntos (2,3) y (3,6), por lo tanto la pendiente es la inversa negativa de 3, lo que da Calculando el punto medio de (2,3) y (3,6) se obtiene:
Calculando la ecuación de la mediatriz al segmento formado por los puntos (2,3) y (3,6) se obtiene:
Realizando un gráfico ilustrativo se tiene:
Reemplazando los puntos (2,3) y (3,6) en la ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene:
Igualando las 2 ecuaciones anteriores de r2
Dividiendo para 2
Que es la ecuación de la mediatriz calculada anteriormente Despejando h
Calculando la distancia del radio de la circunferencia aplicando la ecuación de distancia de un punto C (h, k) a la recta 2x+y-2=0 se tiene:
Elevando al cuadrado la ecuación anterior:
Igualando la ecuación (6) con la (1)
Reemplazando la ecuación (3) en la anterior se tiene:
Resolviendo la ecuación obtenida:
Reemplazando los valores de k obtenidos en la ecuación (3) se halla los valores de h
Por lo tanto el centro C (h,k) de las circunferencias son:
Reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (6) se calcula los radios:
Reemplazando los valores de h, k, y r en la ecuación ordinaria de la circunferencia se obtiene la solución al ejercicio
CONCLUSIONES
Para poder desarrollar adecuadamente los ejercicios de familia de la circunferencia es fundamental tener claros los conceptos de circunferencia, sus leyes así como también los teoremas que se puedan aplicar para una mejor desarrollo del ejercicio.
Debemos previamente conocer los elementos de la circunferencia, así como también sus ecuaciones y en qué condiciones podemos aplicar cada ecuación.
WEBGRAFÍA
[monografias.com]de:http://www.monografias.com/trabajos85/circunferencia/circunfere ncia.shtml#ixzz3HITdayoZ
