CAPÍ CAPÍTU TULO LO 2. GRAFIC GRAFICA A DE UNA UNA EC ECUA UACI CION ON Y LUGAR LUGARES ES GEOM GEOMET ETRI RICO COS S
Capít apítul ulo o 2 GRAFIC FICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS GRUPO 5 En cada uno de los ejercicios 1-25 discútase la ecuación estudiando las intersecciones, simetría y extensión. Después trácese la grá…ca correspondiente.
1. 5x + 4y 20 = 0. 0. Solución.
y
6 5 4 3 2 1 0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
-1 -2
2. 3x 2y = 0. Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0 -1
0.5
1
1.5
2
2.5
3 x
-2 -3 -4 -5
3. 3x2 + 3y2 10 = 0. 0. Alvaro Cabrera Javier
45
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 5 Solución.
y
2.5
1.25
0 -4
-2
0
2
4 x
-1.25
-2.5
4. 3x2 + 4y2 12 = 0. 0. Solución.
y
2
1
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 x
-1
-2
5. 4x2 + 3y2 12 = 0. 0. Solución.
y 2
1
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 x
-1
-2
6. 4x2 9y2 36 = 0. 0. Alvaro Cabrera Javier
46
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 5 Solución.
y
2.5
1.25
0 -4
-2
0
2
4 x
-1.25
-2.5
4. 3x2 + 4y2 12 = 0. 0. Solución.
y
2
1
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 x
-1
-2
5. 4x2 + 3y2 12 = 0. 0. Solución.
y 2
1
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 x
-1
-2
6. 4x2 9y2 36 = 0. 0. Alvaro Cabrera Javier
46
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍ CAPÍTU TULO LO 2. GRAFIC GRAFICA A DE UNA UNA EC ECUA UACI CION ON Y LUGAR LUGARES ES GEOM GEOMET ETRI RICO COS S Solución.
y
2.5 2 1.5 1 0.5 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-0.5
x
-1 -1.5 -2 -2.5
7. 9x2 4y2 36 = 0. 0. Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
-1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5 x
-2 -3 -4 -5
8. 16x2 y = 0. Solución.
y
5
3.75
2.5
1.25
0 -1
0
1 x
9. 16y2 x = 0. Alvaro Cabrera Javier
47
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 5 Solución.
y
1
0 -1
0
1
2
3
4
5 x
-1
10. x3 y3 9 = 0. Solución.
y 4 3 2 1 0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
4
5 x
-2 -3 -4 -5
11. y = x 3 + x2 9x 9. Solución.
y
75
50
25 0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
-25
-50
12. 8x3 y = 0. Alvaro Cabrera Javier
48
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-0.75
-0.625 -0.5
-0.375 -0.25
-0.125
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625 0.75
-1
x
-2 -3 -4 -5
13. x3 x y = 0. Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-1.75 -1.5
-1.25 -1
-0.75 -0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
-1
1.5
1.75 x
-2 -3 -4 -5
14. x4 9x2 y = 0. Solución.
y
-7.5
-5
5
-2.5
0
0
2.5
5
x 7.5
-5
-10
-15
-20
15. x y4 + 9y3 = 0. Alvaro Cabrera Javier
49
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 5 Solución.
y 0.75 0.625 0.5 0.375 0.25 0.125 0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-0.125 x
-0.25 -0.375 -0.5 -0.625 -0.75
16. x3 y3 = 0. Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
4
5 x
-2 -3 -4 -5
17. x2 + y2 4y = 0. Solución.
y
3.75
2.5
1.25
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
18. x2 6x + y 2 = 0. Alvaro Cabrera Javier
50
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS Solución.
y
4
2
0 0
2
4
6 x
-2
-4
19. x2 + y2 2x 2y = 14. Solución.
y 5
2.5
0 -5
-2.5
0
2.5
5
7.5 x
-2.5
20. x2 4x 4y + 16 = 0. Solución.
y
5 4.8 4.6 4.4 4.2 4 3.8 3.6 3.4 3.2 3
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 x
21. x2 + 4x + 3y + 1 = 0. Alvaro Cabrera Javier
51
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 5 Solución.
y
1.25 -5
-2.5
0 0
2.5
x
-1.25
-2.5
-3.75
-5
22. y3 2x 8y + 12 = 0. Solución.
y
5
2.5
0 -2.5
0
2.5
5
7.5
10 x
-2.5
-5
23. x2 + 4y2 2x 16y + 13 = 0. Solución.
y
4
3
2
1
0 -2.5
-1.25
0
1.25
2.5
3.75 x
24. 4x2 y2 2y = 2. Alvaro Cabrera Javier
52
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS Solución. y
2.5
0 -2.5
-1.25
0
1.25
2.5 x
-2.5
-5
25. y2 9x2 18x 8y 2 = 0. Solución. y -5
-2.5
0 0
2.5
x
-1.25
-2.5
-3.75
-5
26. Enunciar y demostrar el recíproco del teorema 1, Artículo 16. 27. Demostrar el teorema 2, Artículos 16. 28. Enunciar y demostrar el recíproco del teorema 3, Artículo 16. 29. Demostrar el siguiente teorema: Si la ecuación de una curva no se altera al sustituir la variable x por y y la variable y por x, la curva es simétrica con respecto a la recta que pasa por el origen y es bisectriz de los cuadrantes II y IV. GRUPO 6 En cada uno de los siguientes ejercicios, construir la curva correspondiente a la ecuación dada. 1. xy 2y 3 = 0. Solución.
y (x 2) 3 = 0 y
Alvaro Cabrera Javier
53
=
3 2 x GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 6
y
5
2.5
0 -2.5
0
2.5
5 x
-2.5
-5
2. xy 2x 1 = 0. Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
x
-2 -3 -4 -5
3. x4 + y4 = 16. Solución.
y 2.5
1.25
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
-1.25
-2.5
4. x3 + x y = 0. Alvaro Cabrera Javier
54
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-1.25
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
-1
1.5 x
-2 -3 -4 -5
5. xy 3y x = 0. Solución.
y 5
2.5
0 -2.5
0
2.5
5 x
-2.5
6. xy 3x y = 0. Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1
1
2
3
4
5 x
-2 -3 -4 -5
7. xy 2x 2y + 2 = 0. Alvaro Cabrera Javier
55
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 6 Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
x
-2 -3 -4 -5
8. x4 4x2 y = 0. Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1
x
-2 -3 -4
9. x2 + 2xy + y2 + 2x 2y 1 = 0. Solución.
5
y
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5 x
10. x2 2xy + y2 6x 6y + 3 = 0. Alvaro Cabrera Javier 56
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS Solución.
y
10
7.5
5
2.5
0 0
2.5
5
7.5
10 x
11. x3 + y3 4y + 4 = 0. Solución.
5
y
4 3 2 1 0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
4 x
-2 -3 -4 -5
12. y3 x2 + 3y 2 + 2x + 3y = 0. Solución.
y 4
2
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
-2
13. x3 3x2 y2 + 3x 2y 2 = 0. Alvaro Cabrera Javier 57
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 6 Solución. y
5
2.5
0 0
1.25
2.5
3.75
5 x
-2.5
-5
14. x2 y 4y x = 0. Solución.
x2 y 4y x = 0 y x2 4
y
= x =
x
(x 2) (x + 2)
, x 6 = 2 ^ x 6 = 2
y 5
2.5
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
-2.5
-5
15. xy2 9x y 1 = 0. Solución. y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1
1
2
3
4
5 x
-2 -3 -4 -5
Alvaro Cabrera Javier
58
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS
16. x2 y xy 2y 1 = 0. y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
x
-2 -3 -4 -5
17. xy2 + xy 2x 2 = 0. Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
x
-2 -3 -4 -5
18. x2 xy + 5 y = 0. Solución.
x -5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4 -4.5 -5
19. x2 y x2 4xy + 4 y = 0. Alvaro Cabrera Javier
59
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 6 Solución.
y
10
7.5
5
2.5
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
20. xy2 + 2xy y2 + x = 0 Solución..
y
10
5
0 0
2
4
6
8 x
-5
-10
21. x2 y x2 + xy + 3 x = 2. Solución.
y
7.5
5
2.5
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
22. xy2 y2 xy + y = 0. Alvaro Cabrera Javier
60
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS Solución.
y
5
2.5
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
-2.5
-5
23. x2 y2 4x2 4y 2 = 0. Solución.
y
10
5
0 -10
-5
0
5
10 x
-5
-10
24. x3 xy2 + 2y 2 = 0. Solución.
5
y
2.5
0 -10
-7.5
-5
-2.5
0 x
-2.5
-5
25. y3 + x2 y x3 = 0. Alvaro Cabrera Javier
61
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 7 Solución. y 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -5
-4
-3
-2
-1
-0.5
0
1
2
3
4
5 x
-1 -1.5 -2 -2.5 -3
GRUPO 7 En cada uno de los ejercicios 1-10, factorizar la ecuación correspondiente y trazar la grá…ca. 1. x2 4y2 = 0. Solución.
x2 4y2
= 0 (x 2y) (x + 2y ) = 0 x
y =
^ y =
2 y
x
2
2.5 2 1.5 1 0.5 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-0.5
x
-1 -1.5 -2 -2.5
2. 9x2 2y2 = 0. Solución. y
5 4 3 2 1 0
-2
-1.5
-1
-0.5
0 -1
0.5
1
1.5
2 x
-2 -3 -4 -5
Alvaro Cabrera Javier
62
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS
3. x3 x2 y 2xy 2 = 0. Solución. y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
x
-2 -3 -4 -5
4. x2 + 2xy + y2 = 1. Solución. y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
x
-2 -3 -4 -5
5. 6x2 + xy 2y2 + 7x + 7y 3 = 0. Solución. 5
y
4 3 2 1 0 -4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0 -1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5 x
-2 -3 -4 -5
6. x3 + y3 + x2 y + xy2 4x 4y = 0. Alvaro Cabrera Javier 63
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 7 Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
5 x
-2 -3 -4 -5
7. x3 x2 y xy + y2 = 0 Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
5 x
-2 -3 -4 -5
8. x2 y2 4x3 + 4xy 3 y4 = 0. Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1
1
2
3
4
5 x
-2 -3 -4 -5
9. x2 y + x2 xy2 + xy + 2 x = 0. Alvaro Cabrera Javier
64
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS Solución. y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
x
-2 -3 -4 -5
10. x3 + x2 + 2xy2 + 2y3 4x 4 = 0. Solución. 5
y
4 3 2 1 0 -4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-1
x
-2 -3 -4 -5
En cada uno de los ejercicios 11-20 hallar, analítica y grá…camente, los puntos de intersección, cuando los haya, para las curvas dadas. 11. 2x y 1 = 0; 3 x + y 9 = 0. Solución. y
5 4 3 2 1 0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5 x
-2 -3 -4 -5
12. x + 4y + 7 = 0; 2 x 2y 8 = 0. Alvaro Cabrera Javier 65
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 7 Solución.
y -5
-4
-3
-2
1 0.5 0 0
-1
x 5
1
2
3
4
1
2
3
4
-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4 -4.5 -5
13. x + y 5 = 0; 3 x + 3y + 7 = 0. Solución.
y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0 -1
5 x
-2 -3 -4 -5
14. y2 x = 0; 2x y 6 = 0. Solución.
y
4 3 2 1 0 0
0.5
1
1.5
2
-1
2.5
3
3.5
4
4.5
5 x
-2 -3 -4 -5
15. x2 y = 0; y2 x = 0. Alvaro Cabrera Javier
66
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS Solución.
y
5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
-2
-1.5
-1
-0.5 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 x
-1 -1.5 -2
16. x2 + y2 = 4; y 2 = 2x. Solución.
y 2.5
1.25
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
-1.25
-2.5
17. x2 + y2 = 8; y 2 = 2x. Solución.
y 2.5
1.25
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
-1.25
-2.5
18. x2 + y2 = 1; x 2 y2 = 4. Alvaro Cabrera Javier
67
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 8 Solución. y
5
2.5
0 -7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5 x
-2.5
-5
19. x2 + y2 = 13; xy = 6. Solución. y
5
2.5
0 -7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5 x
-2.5
-5
20. x2 + y2 4x 6y + 8 = 0; 3 x y 8 = 0. Solución. y
5
3.75
2.5
1.25
0 -5
-2.5
0
2.5
5 x
GRUPO 8 En cada uno de los ejercicios siguientes se recomienda al lector que, después de obtener la ecuación del lugar geométrico, construya la curva de acuerdo con lo dicho en el Artículo 19: Alvaro Cabrera Javier 68 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS
1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que: a) se conserva siempre a 2 unidades a la izquierda del eje y; b) está siempre 4 unidades arriba del eje x ; c) está siempre a igual distancia de los ejes x y y. Solución. (a) segun la condición del
problema: la distancia al eje y es siempre
2, esto es x 0 = 2 =) x = 2
(b) la distancia al eje x es siempre 4, esto es: y 0 = 4 =) y = 4
(c) según la condición del problema las distancias a los ejes son iguales: = d2 x 0 = y 0 =) y = x d1
y
5 4 3 2 1 0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
5
6
7
8 x
-2 -3 -4 -5
2. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que: a) su abscisa es siempre igual al doble de su ordenada; b) su ordenada es siempre igual a su abscisa incrementada en 2; c) su abscisa es siempre igual a la recíproca de su ordenada. Solución.
(a) Según la condición del problema x = 2y
(b) y = x + 2
(c) x =
1 y
y 2.5
1.25
0 -2.5
-1.25
0
1.25
2.5 x
-1.25
-2.5
Alvaro Cabrera Javier
69
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 8
3. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje y disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje x. Hallar la ecuación de su lugar geométrico y dar su interpretación geométrica. Solución.
q
2
q
2
(x 0) + (0 0) 3 = 2 (0 0)2 + (y 0)2 x 3 = 2y x 2y 3 = 0 y
3
2
1
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7 x
-1
-2
-3
4. Un punto se mueve de tal manera de su distancia al origen es siempre igual a 2. Hallar la ecuación de su lugar geométrico y dar su interpretación geométrica. Solución.
p
x2 + y 2 = 2 =) x 2 + y 2 = 4 y 2
1
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 x
-1
-2
5. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (2; 3) es siempre igual a 5. Hallar la ecuación de su lugar geométrico y dar su interpretación geométrica. Solución.
q
(x 2)2 + (y 3)2 = 5 =) (x 2)2 + (y 3)2 = 25
Alvaro Cabrera Javier
(5 2)2 + (y 3)2 = 25 70 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS
y 7.5 6.25 5 3.75 2.5 1.25 0 -7.5
-5
-2.5
0
2.5
5
7.5
10
-1.25
x
-2.5
6. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que se conserva siempre equidistante de los dos puntos A (1; 2) y B (5; 4). Identi…car el lugar geométrico, y construirlo grá…camente. Solución.
q
2
(x 1) + (y + 2)
2
q
(x 5)2 + (y 4)2
=
x2 2x + 1 + y 2 + 4y + 4
= x2 10x + 25 + y2 8y + 16 2x + 3y 9 = 0
y
5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
11 x
-2 -3 -4
7. Una recta contiene los dos puntos A (1; 5) y B (1; 3). Expresar analíticamente, el hecho de que un punto cualquiera P ( x; y) está sobre la recta. Deducir la ecuación de la recta. Solución.
Una recta tiene una pendiente única, por lo tanto m =
35 = 1 1+1
para un punto cualquiera y el punto A, se cumple también 1 =
Alvaro Cabrera Javier
y5 =) x + y 4 = 0 x + 171 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 8
y
6 5 4 3 2 1 0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
11 x
-2 -3
8. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al punto (4 ; 1) es siempre igual a su distancia del eje y. Solución. 2
q
2
2
(x 4) + (y 1)
= x0
x2 8x + 16 + y 2 2y + 1
= x x2 + y 2 9x 2y + 17 = 0
y 3
2
1
0 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8 x
-1
9. Una recta l, que pasa por el punto A (5; 1), es perpendicular a otra cuya pen1 diente es . Expresar, analíticamente, el hecho de que un punto cualquiera 2 P ( x; y) está sobre la recta l, y deducir, de aquí, su ecuación. Solución.
Por condición de perpendicularidad m2 = 2
entonces la ecuación que pasa por el punto A y tiene una pendiente m2 2 =
Alvaro Cabrera Javier
y1 =) 2 x + y + 9 = 0 x + 5 72 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS
-14
-12
-10
-8
-6
-4
y 2
01 0
-2
4
6
x 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
10. Una circunferencia de radio 3 tiene su centro en el punto C (3; 2). A partir de la de…nición, hallar la ecuación de esta circunferencia: Solución.
(x + 3)2 + (y + 2) 2 = 32 y 1 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0 0
1
x
2
-1
-2
-3
-4
-5
11. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje x es siempre igual a su distancia del punto A (0; 4). Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Solución.
q
2
2
(x x) + (y 0)
=
y2
q
(x 0)2 + (y 4)2
= x2 + y2 8y + 16 x2 8y + 16 = 0
y
7 6 5 4 3 2 1 0
-8
-6
-4
-2
0 -1
Alvaro Cabrera Javier
73
2
4
6
8 x
GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 8
12. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos A (3; 5) y B (4; 2) es siempre igual a 30 : Solución. 2
q
2
2
(x 3) + (y 5)
2
q +
2
2
(x + 4) + (y 2)
= 30
x2 6x + 9 + y 2 10y + 25 + x2 + 8x + 16 + y 2 4y + 4 = 30 x2 + y2 + x 7y + 12 = 0
y
5
4
3
2
1
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
13. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos A (2; 2) y B (4; 1) es siempre igual a 12. (Dos casos). Solución.
Primer caso:
q
2
q ( 2) + ( + 2) ( 4) + ( 8 + 16 + 4 + 4 + + 4 + 4 x
x2 x
2
2
y
y2
2
x
x2 x
y
2
1) 2 + 1
y
2
y2 y
= 12 = 12
simpli…cando L1 : 4x + 6y 21 = 0
Segundo caso:
q
2
q ( 2) + ( + 2) ( 4 8 + 16 + 2 + 1 x
x2 x
2
2
y
y2 y
2
4) + ( 1) + 4 + + 4 + 4 2
x
x2 x
y
y2
y
2
= 12 = 12
simpli…cando Alvaro Cabrera Javier
L2 : 4x + 6y + 3 = 0
74
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS
y
5
4
3
2
1 0 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6 x
-1
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (2; 4) es siempre igual a su distancia del eje y aumentada en 3. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Solución.
q q (
2
2
x 2) + (y 4)
q
(x 0)2 + (y y )2 + 3
=
2
2
2
(x 2) + (y 4)
= (x + 3)2
x2 4x + 4 + y 2 8y + 16 x2 6x 9 = 0 y2 8y 10x + 11 = 0
y
8
6
4
2
0 0
2
4
6
8
10
12 x
-2
15. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A (3; 0) y B (3; 0) es siempre igual a 8. Alvaro Cabrera Javier 75 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 8 Solución.
q
2
2
(x 3) + (y 0) +
q
(x
q
(x + 3)2 + (y 0)2 = 8
q 3) + + ( + 3) + q 2
y
2
2
x
y2
= 8
2
2
(x 3) + y
2
x2 6x + 9 + y2
(3x + 16)
2
=
2
q 8
2
(x + 3) + y
2
p
= x2 + y2 + 6x + 73 16 6x + x2 + y 2 + 9 =
2
4p 6
2
x+x +y
2
+9
9x2 + 96x + 256 = 16x2 + 16y 2 + 96x + 144 7x2 + 16y2 112 = 0 x2
16
y
+
y2
7
= 0
3
2
1
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
-1
-2
-3
16. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A (0; 3) y B (0; 3) es siempre igual a 8. Compárese el resultado con el obtenido en el ejercicio 15. Solución.
q
2
(x 0) + (y
q 3) + ( q 2
2
x 0) + (y + 3)
2
= 8
2
2
2
(x 0) + (y 3)
x2 + y2 6y + 9
(3y + 16)
2
=
2
q 8
2
(x 0) + (y + 3)
p
=
4p 6 + y
2
2
x +y
2
+9
16x2 + 7y2 112 = 0 Alvaro Cabrera Javier
76 7
+
y2
16
= x2 + y2 + 6y + 73 16 6y + x2 + y2 + 9
9y 2 + 96y + 256 = 16x2 + 16y 2 + 96y + 144 x2
2
= 1 GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS
y 4 3 2 1 0 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-1
x
-2 -3 -4
la disferencia está en la intersección con los ejes cartesianos. 17. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos A (3; 0) y B (3; 0) es siempre igual a 4. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Solución.
q
2
(x 3) + (y
q 0) ( + 3) + ( 0) q 2
2
x
2
y
= 4
2
2
2
(x 3) + (y 0)
2
q
=
4+
2
(x + 3) + y
x2 6x + y 2 + 9 = 6x + x2 + y2 + 8
(3x + 4)
2
2p 6
=
2
2
x+x +y
p 6
2
x + x2 + y2 + 9 + 25 2
+9
24x + 9x2 + 16 = 24x + 4x2 + 4y2 + 36 5x2 4y 2 20 = 0
y 4
2
0 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8 x
-2
-4
18. Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos A (0; 3) y B (0; 3) es siempre igual a 4. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Comparar el resultado con el obtenido en el ejercicio 17. Alvaro Cabrera Javier 77 GEOMETRIA ANALITICA
GRUPO 8 Solución.
q
2
(x 0) + (y
q 3) q ( 2
x 0)2 + (y + 3) 2
= 4
2
2
2
(x 0) + (y 3)
2
q 4+ + ( + 3) 2p 6 + + + 9 2
=
x
2
y
2
(3y + 4) 2 =
x2
y
y2
9y 2 + 24y + 16 24y 4x2 4y2 36 = 0
4x2 5y2 + 20 = 0 y
5 4 3 2 1 0
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-1
8
9 x
-2 -3 -4 -5
19. Un círculo de radio 4 tiene su centro en el punto C (1; 1). Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos sus radios. Solución.
(x 1)2 + (y + 1) 2 = 22 y
3 2 1 0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-1
10 x
-2 -3 -4 -5
20. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (3; 1) es siempre igual a la mitad de su distancia al eje y . Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Solución.
q ( q
2
2
x 3) + (y 1)
2 (x 3)2 + (y 1)2
=
q
(x 0)2 + (y y )2 2
2
= x2
3x2 24x 8y + 4 y 2 + 40 = 0 Alvaro Cabrera Javier 78
GEOMETRIA ANALITICA
CAPÍTULO 2. GRAFICA DE UNA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS
y
3
2
1
0 -1
0
1
2
3
4
5
6
7 x
-1
21. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (1; 2) es siempre el doble de su distancia al eje x. Hallar la ecuación de su lugar geométrico. 22. Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de los puntos extremos permanece siempre sobre el eje x y el otro permanece siempre sobre el eje y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento. Sugestión. Véase el ejercicio 5 del grupo 4. Art. 11. 23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos …jos A (1; 3) y B (5; 1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC . 24. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos …jos A (1; 0) y B (5; 0). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la diferencia entre las longitudes de los lados AC y BC es siempre igual a la mitad de la longitud del lado AB . 25. Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A (0; 0) y B (3; 0). Hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto C si se mueve de tal manera que el ángulo en la base CAB es siempre igual al doble del ángulo en la base CB A.
Alvaro Cabrera Javier
79
GEOMETRIA ANALITICA
