LUGARES GEOMETRICOS
Martes 3 de Mayo del 2011
LABORATORIO Nº 9 DE CIRCUITOS ELECTRICOS II
LUGARES GEOMETRICOS
DOCENTE: SINCHI YUPANQUI, Francisco Edilberto ALUMNO: RENGIFO PECHE, José Miguel HORARIO: sábados de 9:40 – 11:20am AULA: E – 403
2011 – I FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA
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LUGARES GEOMETRICOS
INTRODUCCION
Hemos trabajado con los circuitos en régimen permanente y el lugar geométrico del extremo de cualquier vector rotativo era una circunferencia con centro en el origen y la variable era el tiempo. Ahora usaremos ese diagrama vectorial también en régimen permanente pero extendido de forma que cubra un margen de condiciones mayor permitiendo que el vector describa un lugar geométrico al variar la frecuencia. Este método es conveniente puesto que se prueba que, en la mayoría de los casos, este diagrama es un círculo o una recta. Estos diagramas circulares, como se les llama, se usan tanto en sistemas de suministro de energía como en comunicaciones.
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LUGARES GEOMETRICOS
INDICE
Pagina INTRODUCCION……………………………………………………………………………………………………………………..2
MARCO TEORICO LUGARES GEOMETRICOS EN RESPUESTA A LA FRECUENCIA
OSCILOGRAMA…………………………………………………………………………………………………………4
LUGARES GEOMÉTRICOS DE LAS TENSIONES Y DE LAS CORRIENTES…………………………….5
PROCEDIMIENTO ANALÍTICO DE INVERSIÓN GEOMÉTRICA……………………………………………………….6
PROCEDIMIENTO………………………………………………………………………………………………………………….…..8
TABLA COMPARATIVA (VALORES EXPERIMENTALES – TEORICOS)……………………………………………14
CUESTIONARIO…………………………………………………………………………………………………………………………16
OBSERVACIONES………………………………………………………………………………………………………………………20
BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………………………………………………..21
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LUGARES GEOMETRICOS
MARCO TEORICO LUGARES GEOMETRICOS CON RESPUESTA EN FRECUENCIA I).- RELACIONES TENSIÓN-CORRIENTE I.1).-OSCILOGRAMA. En muchos casos las condiciones instantáneas de terminales de una red se estudian de manera más conveniente en función de una relación explícita entre la tensión y la corriente. Por ejemplo, si tenemos: e)
i(t) = Imáx cos ( t + i) Existe entre ellas una relación definida que se puede explicitar eliminando el tiempo. Resulta así una gráfica que podemos analizar en un osciloscopio, una deflexión alimentada por la tensión y la otra proporcional a la corriente, la curva obtenida es la resultante de eliminar el tiempo en las dos expresiones. Elegimos como referencia la tensión: e
i(t) = Imáx cos ( t + )
= 0)
@(1)
( i= )
i(t) = Imáx cos cos t + Imáx sen sen t i(t) = ia(t) + ib(t) ia
@(2)
ib De la tensión obtenemos: @(3) y de la corriente en cuadratura: ib(t)/(Imáx sen ) = sen t
@(4)
de @(3) podemos poner: ia(t) = [(Imáx 2
2
ia(t) = [ R /(R + X )] e(t) Sumando las expresiones @(3) y @(4) elevadas al cuadrado se tiene: 2
2
2
2
[e (t)/Emáx] + [ib (t)/(Imáx sen
)] = 1
Ecuación de una elipse normal cuyos semiejes son Emáx e Imáx sen
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Página 4
LUGARES GEOMETRICOS Como la corriente total es la suma de ambas, su representación gráfica es una elipse inclinada hacia la recta. Tiene su centro en el origen de coordenadas pero sus ejes no coinciden con los del sistema. Está inscripta en el rectángulo de 2Emáx por 2Imáx y es tangente al mismo en cuatro puntos que corresponden a los valores máximos de e(t) y de i(t), puntos que se pueden expresar en función del ángulo de la impedancia. Si este ángulo es positivo (inductiva) la corriente atrasa respecto de la tensión y la elipse se traza en sentido antihorario. El eje de la elipse no coincide ni con la recta ia(t) ni con la diagonal del rectángulo que la circunscribe. a(t) es nula y se obtiene la elipse normal. Si el factor de potencia es unitario resulta nula la componente en cuadratura ib(t) y la gráfica se reduce a la recta ia(t)
I.2).- LUGARES GEOMÉTRICOS DE LAS TENSIONES Y DE LAS CORRIENTES.
Hemos trabajado con los circuitos en régimen permanente y el lugar geométrico del extremo de cualquier vector rotativo era una circunferencia con centro en el origen y la variable era el tiempo. Ahora usaremos ese diagrama vectorial también en régimen permanente pero extendido de forma que cubra un margen de condiciones mayor permitiendo que el vector describa un lugar geométrico al variar la frecuencia. Este método es conveniente puesto que se prueba que, en la mayoría de los casos, este diagrama es un círculo o una recta. Estos diagramas circulares, como se les llama, se usan tanto en sistemas de suministro de energía como en comunicaciones.
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Página 5
LUGARES GEOMETRICOS I.3).- PROCEDIMIENTO ANALÍTICO DE INVERSIÓN GEOMÉTRICA. Ejemplo: Se desea obtener el lugar geométrico de la corriente en un circuito serie R-L cuando se varía la frecuencia de una fuente de amplitud de tensión constante. El procedimiento general es: a) representar el lugar geométrico del vector impedancia compleja Z, b) determinar mediante la inversión de Z el lugar del vector admitancia Y correspondiente, c) multiplicar el lugar geométrico de Y por la tensión vectorial E obteniendo el lugar geométrico de la corriente I.
b) Trazar Y = 1/Z Lo trataremos como un problema de geometría analítica. Teniendo: Z(u) = R(u) + jX(u) Hallar un lugar geométrico recíproco gráficamente. Si representamos Z(u) en un sistema cartesiano R-X el plano determinado se llama "plano Z" y el lugar geométrico de Z al variar u podría tener la forma siguiente:
Deseamos hallar: Y = 1/Z(u) = 1/[R(u) + jX(u)]
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LUGARES GEOMETRICOS
Abandonando la notación funcional por simplicidad: 2
2
Y = 1/Z = 1/(R + jX) = (R - jX)/(R + X ) = G + jB con: 2
2
G = R/(R + X )
2
2
B = -X/(R + X )
El lugar geométrico de Y al variar u se representa en el plano G-B llamado "plano Y" y este lugar es la inversión compleja del lugar Z(u). Tomando el recíproco de Y se podrían obtener R y X en función de G y de B: 2
2
Z = 1/Y = 1/(G + jB) = (G - jB)/(G + B ) = R + jX con: 2
2
R = G/(G + B )
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2
2
X = -B/(G + B )
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LUGARES GEOMETRICOS PROCEDIMIENTO 1) Armar el siguiente circuito que se muestra en la figura adjunta. I
I
1 ---------->
3 ----------> ------->
I
2
+
V
Vrms = 45V
RC
+ RL
R1
V
+
+ C
-
100R
-
60 Hz
RV1
V
V
C1 -
28uF
L
L1
75R
100mH
-
2) Verifique las conexiones y luego encienda el circuito. 3) Haciendo variar el valor de RL tomar los valores que señala la figura.
+716
+537
AC mA
AC mA
+326
+
AC mA
RV1 +40.2
V
Vrms = 45V
+
+
V
RC
RL
R1 100R
-
75R
AC Volts
+32.6 AC Volts
60 Hz
-
V
+
+ C
-
C1
+30.9
28uF
AC Volts
V
L1 +20.3
L
100mH
AC Volts
-
+541
+291
AC mA
AC mA
+326
+
AC mA
RV1 +43.7
V
Vrms = 45V
+
+
V
RC
RL
R1 100R
-
150R
AC Volts
+32.6 AC Volts
60 Hz
-
V
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA
+
+ C
-
C1
+30.9
28uF
AC Volts
V
L1 +11.1
L
100mH
AC Volts
-
Página 8
LUGARES GEOMETRICOS +472
+197
AC mA
AC mA
+326
+
AC mA
RV1 +44.4
V
Vrms = 45V
+
RL
+
V
R1
RC
100R
-
225R
AC Volts
+32.6 AC Volts
60 Hz
-
V
+
+ C
-
C1
+30.9
28uF
AC Volts
V
L1 +7.52
L
100mH
AC Volts
-
+436
+149
AC mA
AC mA
+326
+
AC mA
RV1 +44.7
V
Vrms = 45V
+
+
V
RC
RL
R1 100R
-
300R
AC Volts
+32.6 AC Volts
60 Hz
-
V
+
+ C
-
V
C1
+30.9
28uF
AC Volts
L1 +5.68
L
100mH
AC Volts
-
+414
+119
AC mA
AC mA
+326
+
AC mA
RV1 +44.8
V
Vrms = 45V
+
+
V
RC
RL
R1 100R
-
375R
AC Volts
+32.6 AC Volts
60 Hz
-
V
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA
+
+ C
-
C1
+30.9
28uF
AC Volts
V
L1 +4.56
L
100mH
AC Volts
-
Página 9
LUGARES GEOMETRICOS +400
+99.7
AC mA
AC mA
+326
+
AC mA
RV1 +44.8
V
Vrms = 45V
+
RL
+
V
R1
RC
100R
AC Volts
450R
-
+32.6 AC Volts
60 Hz
-
V
+
+ C
-
C1
+30.9
28uF
AC Volts
V
L1 +3.81
L
100mH
AC Volts
-
+389
+85.5
AC mA
AC mA
+326
+
AC mA
RV1 +44.9
V
Vrms = 45V
+
RL
+
V
R1
RC
100R
AC Volts
525R
-
+32.6 AC Volts
60 Hz
-
V
+
+ C
-
C1
+30.9
28uF
AC Volts
V
L1 +3.27
L
100mH
AC Volts
-
+381
+74.8
AC mA
AC mA
+326
+
AC mA
RV1 +44.9
V
Vrms = 45V
+
+
V
RC
RL
R1 100R
-
600R
AC Volts
+32.6 AC Volts
60 Hz
-
V
+
+ C
-
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA
C1
+30.9
28uF
AC Volts
V
L1 +2.86
L
100mH
AC Volts
-
Página 10
LUGARES GEOMETRICOS 4) Armar el siguiente circuito que se muestra en la figura adjunta. I1 -------->
I2 --------> +
V -------->
Vrms = 45V
+
60 Hz
RL
+
R1
RC -
-
I
R2
V
100R
50R
3
-
V
+ L
+
L1
V
100mH
-
C1 C -
CAP-VAR
5) Verifique las conexiones y luego encienda el circuito. 6) Haciendo variar el valor de RC tomar los valores que señala la figura.
+407
+68.6
AC mA
AC mA
+422
+
AC mA
V
Vrms = 45V
+
+
V
RL
RC -
R1 100R
R2
+3.43
50R
AC Volts
+42.2 AC Volts
60 Hz
-
V
+
+
L1
V
100mH +16.0
L
-
C
C1
+44.9
4uF
AC Volts
AC Volts
-
+413
+136
AC mA
AC mA
+422
+
AC mA
V
Vrms = 45V
+
+
V
RL
RC -
R1 100R
R2
+6.79
50R
AC Volts
+42.2 AC Volts
60 Hz
-
V
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA
+ L
+
L1 100mH +16.0
-
V
C
C1
+44.5
8uF
AC Volts
AC Volts
-
Página 11
LUGARES GEOMETRICOS +439
+201
AC mA
AC mA
+422
+
AC mA
V
Vrms = 45V
+
+
V
RL
RC -
R1
R2
+10.0
50R
AC Volts
+42.2
100R
AC Volts
60 Hz
-
V
+ L
+
L1
V
100mH +16.0
-
C
C1
+43.9
12uF
AC Volts
AC Volts
-
+479
+262
AC mA
AC mA
+422
+
AC mA
V
Vrms = 45V
+
+
V
RC -
R1
RL
R2
+13.1
50R
AC Volts
+42.2
100R
AC Volts
60 Hz
-
V
+
+ L
L1
V
100mH +16.0
-
C
C1
+43.1
16uF
AC Volts
AC Volts
-
+527
+320
AC mA
AC mA
+422
+
AC mA
V
Vrms = 45V
+
+
V
RL
RC -
R1 100R
R2
+16.0
50R
AC Volts
+42.2 AC Volts
60 Hz
-
V
+ L
+
L1 100mH +16.0
-
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA
V
C
C1
+42.2
20uF
AC Volts
AC Volts
-
Página 12
LUGARES GEOMETRICOS
+579
+373
AC mA
AC mA
+422
+
AC mA
V
Vrms = 45V
+
+
V
RL
RC -
R1 100R
R2
+18.7
50R
AC Volts
+42.2 AC Volts
60 Hz
-
V
+
+
L1
V
100mH +16.0
L
-
C
C1
+41.0
24uF
AC Volts
AC Volts
-
+631
+422
AC mA
AC mA
+422
+
AC mA
V
Vrms = 45V
+
+
V
RL
RC -
R1 100R
R2
+21.1
50R
AC Volts
+42.2 AC Volts
60 Hz
-
V
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA
+ L
+
L1 100mH +16.0
-
V
C
C1
+39.8
28uF
AC Volts
AC Volts
-
Página 13
LUGARES GEOMETRICOS
TABLA COMPARATIVA ENTRE LOS VALORES EXPERIMENTALES Y LOS TEORICOS: CIRCUITO Nº1: VALORES EXPERIMENTALES
75
712.31
321.56
533.12
32.72
31.05
40.57
20.89
150
538.39
322.78
288.56
32.66
30.89
42.53
11.96
225
470.48
322.67
195.32
32.51
30.94
43.43
8.33
300
435.87
322.72
145.88
32.71
30.52
43.51
5.92
375
412.68
322.68
116.56
32.63
30.67
43.61
3.99
450
399.86
322.59
100.05
32.58
30.78
43.84
3.62
525
385.52
322.61
86.79
32.42
30.94
43.92
3.21
600
379.63
322.68
72.88
32.52
30.86
43.99
2.61
VALORES TEORICOS
75
716
326
537
32.6
30.9
40.2
20.3
150
541
326
291
32.6
30.9
43.7
11.1
225
472
326
197
32.6
30.9
44.4
7.52
300
436
326
149
32.6
30.9
44.7
5.68
375
414
326
119
32.6
30.9
44.8
4.56
450
400
326
99.7
32.6
30.9
49.8
3.81
525
389
326
85.5
32.6
30.9
44.9
3.27
600
381
326
74.8
32.6
30.9
44.9
2.86
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA
Página 14
LUGARES GEOMETRICOS
CIRCUITO Nº2
VALORES EXPERIMENTALES
4
409.23
419.89
65.66
43.1
17.62
3.38
44.87
8
416.31
425.07
139.2
43.1
17.87
7.62
44.49
12
442.12
419.08
198.55
42.8
16.92
9.72
43.89
16
478.63
421.08
257.8
42.7
16.88
12.48
43.09
20
526.34
422.03
316.4
42.5
16.12
15.77
42.10
24
582.7
422.05
375.92
42.9
16.13
18.54
41.3
28
460.53
421.03
225.64
42.5
16.43
20.03
41.5
VALORES TEORICOS
4
407
422
68.6
42.2
16
3.43
44.9
8
413
422
136
42.2
16
6.79
44.5
12
439
422
201
42.2
16
10
43.9
16
479
422
262
42.2
16
13.1
43.1
20
527
422
320
42.2
16
16
42.2
24
579
422
373
42.2
16
18.7
41
28
631
422
422
42.2
16
21.1
39.8
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA
Página 15
LUGARES GEOMETRICOS CUESTIONARIO
1) ¿Por qué se dice que el lugar geométrico de admitancia es similar al lugar geométrico de las corrientes? El lugar geométrico de la admitancia Y (inversa de Z) será una circunferencia (la inversa geométrica de una recta). A esta circunferencia es a la que se conoce como Diagrama del círculo. Si a la admitancia Y la multiplicamos por la tensión entre fase y neutro obtenemos la corriente I, cuyo lugar geométrico también es una circunferencia.
2) ¿Por qué se dice que el lugar geométrico de la potencia compleja es similar al lugar geométrico de la admitancia? Si a la admitancia Y la multiplicamos por la tensión entre fase y neutro obtenemos la corriente I, si multiplicamos de nuevo por tres veces la tensión entre fase y neutro obtenemos la potencia aparente S = P + jQ, cuyo lugar geométrico también es una circunferencia. La siguiente figura representa este diagrama del círculo:
3) ¿Qué aplicaciones prácticas, de los lugares geométricos encuentra usted en la práctica? Para comprobar experimentalmente la obtención del diagrama del círculo en el Laboratorio de Circuitos Eléctricos II realizado el siguiente montaje: Hemos procedido a arrancar el modulo, posteriormente se ha añadido carga mecánica, y a continuación se ha hecho trabajar a él modulo como generador mediante otro motor de arrastre que llevará a la máquina por encima de su velocidad síncrona. I
I
1 ---------->
3 ---------->
Vrms = 45V
------->
I
2
+
V
RC
RL
R1
V
+
+ C
C1 -
RV1
-
100R
-
60 Hz
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+
V
28uF
V
L
L1
75R
100mH
-
Página 16
LUGARES GEOMETRICOS
4) Si usted tiene un circuito serie paralelo, ¿Cómo determina usted el lugar geométrico? Circuito serie RL (Resistencia Inductancia)
R
L
Examinaremos ahora el comportamiento del circuito a través del análisis del valor absoluto de la impedancia y de su ángulo de fase 2
2 ½
|Z| = [R + (wL) ]
θz= arctg (wL/R) para generalizar el estudio podemos tomar la impedancia relativa: 2 ½
]
De esta manera vemos que tanto la impedancia relativa como su ángulo de fase son funciones de podemos obtener un gráfico universal o normalizado.
|Z|/R
Z 3
|Z| /R
2
2
Z
1 0
1
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T
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LUGARES GEOMETRICOS
5) En la experiencia del laboratorio se mantuvo una frecuencia de 60 Hz… determine usted como se construye el lugar geométrico cuando la frecuencia es variable.
Manteniendo constante un RL = 100mH (en el primer circuito) y C = 20uF (en el segundo circuito).
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Página 18
LUGARES GEOMETRICOS
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Página 19
LUGARES GEOMETRICOS
OBSERVACIONES
Dentro de la realización de está practica se pudo observar la importancia que se le tiene que dar al uso del osciloscopio ya nos indica como varia el lugar geométrico del circuito conforme varia la frecuencia.
Hemos podido dar un reconocimiento físico en el osciloscopio, pudiendo darnos cuenta de lo siguiente:
o
En el circuito Nº1; de la forma inicial (ovalo), conforme elevamos la frecuencia dicho ovalo tiende a convertirse a una recta.
o
En cuanto al circuito Nº2; de la forma inicial (aprox. Recta), conforme elevamos la frecuencia tiende a convertirse a un ovalo.
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LUGARES GEOMETRICOS
BIBLIOGRAFÍA
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Página 21
