Capitolul I - Comportamentul Agentului Consumator –

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar

1. Comportamentul agentului consumator- modelul static - Recapitulare succintă a conceptelor teoretice. Aplicaţii -

Ipotezele modelului static sunt : ¾ Pe piaţă există un consumator şi n bunuri ¾ Consumatorul nu poate influenţa preţurile bunurilor vândute şi nici venitul obţinut (preţurile şi venitul sunt exogene) ¾ Optimizarea se face pe un singur orizont de timp (o singură perioadă) ¾ Agentul consumator are obiective bine stabilite: maximizare utilităţii în condiţiile unui venit dat sau minimizarea cheltuielilor în condiţiile unui prag de utilitate prestabilit ce determină un anumit program (o anumită structură) de consum ¾ Agentul consumator este raţional ¾ Agentul consumator este solvabil ¾ Bunurile ce fac obiectul alegerii sunt infinit divizibile Relaţia dintre cantităţile de bunuri consumate şi utilitatea obţinută de consumator este dată de o anumită funcţie de utilitate. Funcţia de utilitate este definită astfel: U : ℜ n+ → ℜ , U = U (q1 , q 2 , K, q n ) , unde qi reprezintă cantitatea consumată din bunul i.

Proprietăţile funcţiilor de utilitate: 1. Continue1, crescătoare – utilitatea creşte pe măsură ce consumul creşte2 2. Derivabile de ordinul 2 3. Funcţii concave (Matricea hessiană este negativ definită) – fiecare unitate consumată dintr-un anumit bun aduce o utilitate marginală mai mică decât unitatea precedentă ⎛ ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ⎞ .... ⎜ ⎟ ∂q1∂qn ⎟ ⎜ ∂q1∂q1 ∂q1∂q2 ⎛ U11 U12 .... U1n ⎞ ⎜ ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ⎟ ⎜ ⎟ .... ⎜ ⎟ ⎜ U 21 U 22 .... U 2 n ⎟ H = ⎜ ∂q2 ∂q1 ∂q2 ∂q2 ∂q2 ∂qn ⎟ = ⎜ .... .... .... .... ⎟ ⎜ .... .... .... .... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ U n1 U n 2 .... U nn ⎠ ⎜ ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ⎟ .... ⎜ ⎟ ∂qn ∂qn ⎠ ⎝ ∂qn ∂q1 ∂qn ∂q2

Pentru ca matricea hessiană să fie negativ definită minorii trebuie să fie alternativ negativi şi pozitivi: 1

Deoarece bunurile consumate sunt infinit divizibile, utilitatea poate fi considerată o funcţie continuă în cantităţile consumate 2 În ipoteza în care agentul este raţional, el nu mai consumă un bun dacă acesta nu-i aduce o utilitate pozitivă

1


( −1) × i

U11 ... U1i ... ... ... > 0 U i1 ... U ii

1.1. Rezolvarea problemei de optim pe caz general Problema consumatorului: Consumatorul doreşte i) să îşi maximizeze utilitatea generată de consumarea setului de bunuri (q1 , q 2 ,K , q n ) , fără a depăşi însă venitul pe care îl are la dispoziţie V. Rezultatul rezolvării problemei consumatorului: consumatorul determină ce cantitate să consume din fiecare bun de pe piaţă (adică determină funcţia sa de cerere pentru fiecare bun în parte) şi utilitatea maximă pe care o poate obţine. A. Formularea matematică a problemei:

⎧⎪max U ( q1 , q2 ,....., qn ) q q ⎨ 1,K, n ⎪⎩ ∑ pi × qi ≤ V

Problema consumatorului este o problemă de optimizare cu o restricţie care se rezolvă prin metoda Kuhn-Tucker. Prima etapă a acestei metode este construirea funcţiei de tip Lagrange. B. Construirea Lagrangeanului: asigură transformarea problemei de maximizare cu o restricţie ce avea n parametrii într-o problemă de maximizare fără restricţii dar cu n+1 parametrii. L = U ( q1 , q2 ,....., qn ) − λ ( ∑ pi × qi − V ) ⇒ max L 1442443 1442443 q1 ,K,qn ,λ ceea ce dorim sa optimizam

restrictia

După construirea Lagrangeanului, condiţiile de optim se obţin prin egalarea primei derivate a acesteia cu 03:

3

Punctele în care prima derivată a unei funcţii se anulează sunt puncte critice. Dacă a doua derivată a funcţiei calculată în punctul critic e pozitivă, punctul e un punct de minim; dacă a doua derivată e zero, este punct de inflexiune, iar dacă a doua derivată este negativă, punctul e punct de maxim.

2

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar ⎧ ∂L ∂U ⎪ ∂q = 0 ⎧ − λ p1 = 0 ⎪ ∂q1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ∂L ∂U ⎪ = 0 ∂U ∂U ∂U ⎪ ∂q − λ p2 = 0 ⎪ ⎪⎪ 2 ∂ q ∂q ∂q ∂q 2 ⎪ ⇒ 1 = 2 = .... = n = λ ⎨ .... ⇒ ⎨ .... p1 p2 pn ⎪ ⎪ ∂ L ⎪ ∂U =0 ⎪ − λ pn = 0 ⎪ ∂qn ⎪ ∂ q n ⎪ ⎪ ⎪ ∂L = 0 ⎪∑ pi × qi − V = 0 (2) ⎩ ⎪⎩ ∂λ

(1)

Folosind egalitatea (1), se substituie toate cantităţile q2, …, qn în funcţie de q1 în relaţia (2). Din relaţia (2) se obţine o formulă pentru q1 în funcţie de preţuri şi de venit. Având relaţia pentru q1 se foloseşte din nou egalitatea (1) pentru a obţine formule pentru toate cantităţile: ⎧ q1* = f1 ( p1 , p2 ,..., pn ,V ) ⎪ * ⎪ q2 = f 2 ( p1 , p2 ,..., pn , V ) ⎨ ... ⎪ ⎪q* = f p , p ,..., p , V ) 2 n( 1 n ⎩ n

Aceste funcţii de cerere sunt de tip Marshall, sau funcţii de cerere necompensate. Înlocuind aceste cantităţile optime obţinute mai sus în funcţia de utilitate vom determina utilitatea maximă pe care o poate obţine consumatorul în condiţiile venitului curent pe care îl obţine şi în condiţiile preţurilor actuale de pe piaţă.

(

)

U q1* , q2* ,....., qn* = = U ( f1 ( p1 , p2 ,..., pn , V ) , f 2 ( p1 , p2 ,..., pn , V ) ,..., f n ( p1 , p2 ,..., pn , V ) ) = Z ( p1 , p2 ,..., pn , V )

Această utilitate maximă ce se poate obţine se numeşte şi funcţie de utilitate indirectă şi se notează cu Z. Proprietăţile funcţiei de utilitate indirectă - Z 1. este o funcţie descrescătoare în raport cu p este o funcţie crescătoare în raport cu V 2. este o funcţie omogenă de grad 0 în raport cu p şi V 3. este o funcţie continuă

3


1.2. Concepte şi definiţii uzuale a. Elasticitatea unei funcţii faţă de o variabilă

Mod de calcul: Δf f E fi / x j = i : i . Pentru modificări foarte mici ale variabilei, adică Δx j → 0 , raportul Δx j x j Δf i poate fi aproximat cu derivara funcţiei fi faţă de variabila xi adică elasticitatea Δx j

∂f i ( x1 , x2 ,..., x j ,..., xn ) fi ( x1 , x2 ,..., x j ,..., xn ) : (3) ∂x j xj Elasticitatea măsoară variaţia relativă a funcţiei f la o variaţie relativă a variabilei x.

devine egală cu: E fi / x j =

Considerând că f o funcţie de cerere, există mai multe tipuri de elasticităţi : Elasticitatea cererii faţă de preţ – directă ∈ ( −∞, −1) U (1, +∞ ) Bunuri cu cerere elastică (elasticitatea negativă – bunuri f /p i i normale; pozitivă – bunuri Giffen) E ∈ −1,1} Bunuri cu elasticitate unitară f /p { i i E ∈ ( −1,1) Bunuri cu cerere inelastică f /p i i E

Elasticitatea cererii faţă de preţ – încrucişată

E f i / p j > 0 si E f j / pi > 0 Bunuri substituibile E f i / p j < 0 si E f j / pi < 0 Bunuri complementare Elasticitatea cererii faţă de venit

E f i / V ∈ (− ∞,0 ) Bunuri inferioare E f i / V ∈ (0,1) Bunuri normale

E f i / V ∈ (1,+∞ ) Bunuri superioare

4

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar b. Rata marginală de substituţie

RMSi / j

∂U dq j ∂q = =− i ∂ U dqi ∂q j

(4)

Rata marginală de substituţie reprezintă cantitatea din bunul i necesară substituirii unei unităţi din bunul j astfel încât utilitatea să rămână constantă. Demonstraţie pentru formula (4) - Aplicând diferenţiala totală asupra funcţiei de utilitate obţinem : dU ( q1 , q2 ,..., qn ) =

∂U ∂U ∂U ∂U dq1 + ... + dqi + ... + dq j + ... + dqn ∂q1 ∂qi ∂q j ∂qn

Deoarece doar cantităţile i şi j se modifică, avem :

∂U dq j ∂q ∂U ∂U dqi + 0 + ... + dq j + 0 + ... + 0 = 0 ⇒ =− i 0 + 0 + ... + ∂U dqi ∂qi ∂q j ∂q j c. Funcţii omogene de grad n

O funcţie este omogenă de grad n dacă : f ( ap1 , ap2 ,...., apn , aV ) = a n f ( p1 , p2 ,...., pn , V ) Dacă este omogenă de grad n, se verifică următoarea relaţie : ∂f ∂f ∂f ∂f p1 + p2 + ... + pn + V = nf ( p1 , p2 ,...., pn , V ) (relaţia lui Euler) ∂p1 ∂p2 ∂pn ∂V Împărţind întreaga relaţie cu f obţinem : ∂f ∂f ∂f ∂f ∂pn ∂V ∂p1 ∂p2 + + ... + + = n ⇒ E f / p1 + E f / p2 + ... + E f / pn + E f /V = n (5) f f f f p1 p2 pn V Funcţiile de cerere sunt omogene de gradul 0 în p şi V (unde p este vectorul preţurilor: p = (p1, p2, …, pn). Ca urmare, relaţia (5) se rescrie ca: E f / p + E f / p + ... + E f / p + E f / V = 0 . Dacă preţurile şi veniturile se modifică 1

2

n

în aceeaşi măsură, programul de consum rămâne neschimbat, ceea ce înseamnă că agenţii consumatori nu au iluzie monetară.

5


d. Semnificaţia economică a lui λ

Aplicând diferenţiala totală asupra funcţiei de utilitate dar şi asupra restricţiei de buget obţinem : ∂U ∂U ∂U dU ( q1 , q2 ,..., qn ) = dq1 + dq2 + ... + dqn (6) ∂q1 ∂q2 ∂qn

∑ p × dq i

i

= dV

(7)

Se folosesc rezultatele derivării Lagrangeanului ⎧ ∂U ⎪ ∂q = λ p1 ⎪ 1 ⎪ ∂U = λ p2 ⎪ ⎨ ∂q2 ⎪... ⎪ ⎪ ∂U ⎪ ∂q = λ pn ⎩ n care se introduc în (3). Se observă că, în urma substituţiei, diferenţiala totală a funcţiei de utilitate egalează dV – din (4) – iar relaţia (3) se poate rescrie astfel:

dU (q1 , q2 ,..., qn ) = λ (∑ pi × dqi ) ⇒ λ =

dU dV

(8)

⇒ λ reprezintă utilitatea marginală a venitului (creşterea utilităţii la o creştere cu o unitate a venitului). e. Tipuri de funcţii de utilitate U (q1 , q 2 ) = q1α q 2β

(

U (q1 , q 2 ) = aq1−α + bq 2−α

Cobb – Douglas (1928, propusă de Wicksell4)

)

−1 / α

CES (Constant Elasticity of Substitution). ⎧ C 1−α (Arrow, Chenery, Minhas, and Solow, 1961) , α ≠1 ⎪U (C ) = De obicei a + − 1 α ⎨ ⎪U (C ) = ln(C ), α = 1 b = 1. ⎩ Bernoulli (sec. XVII – XVIII)

4

Efectul Matei (propus de Stephen Stigler şi Robert Merton): multe din invenţiile sau rezultatele matematice celebre ce poartă numele celui ce le-a inventat/obţinut oficial au fost, de fapt, inventate sau obţinute de o altă persoană (după citatul biblic: „Căci cei ce au vor primi în abundenţă, iar celui ce nu are i se va lua şi ceea ce a avut” – Matei XXV:29 – sursa: Wikipedia)

6


1.3. Rezolvarea problemei duale de optim pe caz general a. Formularea matematică a problemei duale: Consumatorul doreşte să îşi minimizeze cheltuielile generate de cumpărarea setului de bunuri (q1 , q 2 , K, q n ) în condiţiile obţinerii unei utilităţi cel puţin egale cu o utilitate considerată ţintă u. ⎧⎪U ( q1 , q2 ,....., qn ) ≥ u ⎨ min p ×q ⎪⎩ q1 ,K,qn ∑ i i Problema de optim se rezolvă tot prin metoda Kuhn-Tucker, iar prima etapă constă tot în construirea funcţiei de tip Lagrange: L = ∑ pi × qi − λ (U ( q1 , q2 ,....., qn ) − u )

După construirea Lagrangeanului condiţiile de optim se scriu astfel : ⎧ ∂L ⎪ ∂q = 0 ⎧ p1 − λ ∂U = 0 ⎪ ∂q1 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ∂L ∂U ∂U ∂U ⎪ ∂q = 0 ⎪ p2 − λ ∂U = 0 ⎪ ⎪⎪ 2 ∂ q ∂q ∂q ∂q 1 2 ⎪ ⇒ 1 = 2 = .... = n = ⎨ .... ⇒ ⎨ λ p1 p2 pn ⎪ ⎪.... ∂ L ⎪ ∂U =0 ⎪ =0 ⎪ ∂qn ⎪ pn − λ ∂ q n ⎪ ⎪ ⎪ ∂L = 0 ⎪U ( q1 , q2 ,....., qn ) − u = 0 ⎩ ⎩⎪ ∂λ După obţinerea relaţiilor între cantităţi, acestea se introduc în ultima ecuaţie obţinându-se cantităţile q1,q2,...,qn doar funcţie de preţuri şi utilitate. ⎧ q1* = h1 ( p1 , p2 ,..., pn , u ) ⎪ * ⎪ q2 = h2 ( p1 , p2 ,..., pn , u ) ⎨ ... ⎪ ⎪q* = h p , p ,..., p , u ) n( 1 n 2 ⎩ n Aceste funcţii de cerere sunt de tip Hicks, sau funcţii de cerere compensate. Înlocuind cantităţile optime consumate în funcţia de cheltuieli se obţine nivelul minim al cheltuielilor care poate fi obţinut în condiţiile obţinerii unei utilităţi egale cu u şi în condiţiile preţurilor existente pe piaţă. n

n

∑ p × q = ∑ p × h ( p , p ,..., p , u ) = e ( p , p ,..., p , u ) i =1

i

* i

i =1

i

i

1

2

n

1

2

n

- e se numeşte funcţia de cheltuieli minime.

7

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar Proprietăţile funcţiei e 1. este o funcţie crescătoare în raport cu p 2. este o funcţie omogenă de grad 1 în raport cu p 3. este o funcţie continuă

1.4. Legătura dintre problema consumatorului şi duala sa - Relaţii fundamentale a. Lema lui Shephard (1953)5: Între funcţia e şi funcţiile de cerere de tip Hicks există următoarea relaţie. ∂e ( p1 , p2 ,..., pn , u ) hi ( p1 , p2 ,..., pn , u ) = ∂pi b. Relaţii între funcţiile Z şi e

Între funcţiile Z şi e există următoarele relaţii : Z ( p, e ( p, u ) ) = u (1.4.b.1) utilitatea maximă ce poate fi obţinută cu costuri

minime este chiar pragul minim de utilitate ales e ( p, Z ( p, V ) ) = V (1.4.b.2) cheltuielile minime necesare pentru a obţine utilitatea maximă posibil a fi obţinută reprezintă întreg venitul disponibil fi ( p, V ) = hi ( p, Z ( p,V ) ) (1.4.b.3) cerea de tip Marshall (f) este egală cu cererea de tip Hicks (h) în condiţiile în care utilitatea căutată este cea maximă posibilă hi ( p, u ) = f i ( p, e ( p, u ) ) (1.4.b.4) cererea de tip Hicks este egală cu cererea de tip Marshall în condiţiile efectuării unor cheltuieli minime unde p = ( p1 , p2 ,..., pn ) este vectorul de preţuri

b. Identitatea lui Roy

Identitatea lui Roy face legătura între cerere, utilitatea optimă, preţ şi venit. ∂Z ( p,V ) → senzitivitatea utilitatii optime in raport cu pretul ∂pi f i ( p, V ) = − ∂Z ( p,V ) → senzitivitatea utilitatii optime in raport cu venitul ∂V

5

Folosită deja de Hicks (1939) şi Samuleson (1947)

8

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar Demonstraţie:

Z ( p, V ) = U ( f ( p, V ) ) ∂Z ( p,V ) ∂pi

∂f j ( p, V ) ∂U ∂f j ( p,V ) n × = ∑λ × pj × ∂pi ∂pi j =1 ∂q j j =1 n

=∑

(9)

Relaţia de buget se rescrie în funcţie de fj n

n

j =1

j =1

∑ p j q j = V ⇒ ∑ p j f j ( p, V ) = V Derivând ambii membri în funcţie de pi se obţine: n n ∂f j ( p, V ) ∂f j ( p, V ) f i ( p, V ) + ∑ p j = 0 ⇒ ∑ pj = − fi ( p, V ) (10) ∂pi ∂pi j =1 j =1 Înlocuind (10) în (9) se ajunge la : ∂Z ( p,V ) = −λ fi ( p, V ) (11) ∂pi Derivând în funcţie de V: Z ( p, V ) = U ( f ( p, V ) ) ∂Z ( p,V ) ∂V

∂f j ( p, V ) ∂U ∂f j ( p, V ) n × = ∑λ × pj × ∂V ∂V j =1 ∂q j j =1 n

=∑

(12)

şi derivând relaţia de buget în funcţie de V se obţine: n ∂f j ( p,V ) pj = 1 (13) ∑ ∂V j =1 Înlocuind (13) în (12) se ajunge la : ∂Z ( p, V ) = λ (14) ∂V Împărţind (11) la (14) se obţine identitatea lui Roy: ∂Z ( p, V ) ∂pi f i ( p, V ) = − ∂Z ( p, V ) ∂V

9

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar c. Ecuaţia lui Slutsky

Ecuaţia lui Slutsky descompune efectul modificării preţurilor asupra cererii pe două componente : efectul de venit şi efectul de substituţie. Pentru clarificare să presupunem că preţul bunului 1 creşte. Cum reacţionează consumatorul? i) îşi reduce consumul din bunul 1, dar pentru a păstra acelaşi nivel de utilitate îşi măreşte consumul dintr-un alt bun – efect de substituţie. ii) ∂f j ( p, V ) ∂pi

Efect de substituţie

Efectul preţului asupra cererii

=

∂h j ( p, Z ( p, V ) ) ∂pi

−

∂f j ( p, V ) ∂V

× f i ( p, V )

Efect de venit

Demonstraţie: În relaţia (1.4.b.4) h j ( p, u ) = f j ( p, e ( p, u ) ) se derivează ambii termeni funcţie de pi :

∂h j ( p, u ) ∂pi

=

∂f j ( p,V ) ∂pi

+

∂f j ( p, V ) ∂e ( p,V ) × ∂V ∂pi

Folosind lema lui Shephard pentru

∂e ( p, V ) ∂pi

şi trecând termenul în membrul stâng, se

obţine ecuaţia lui Slutsky: ∂f j ( p, V ) ∂h j ( p, Z ( p, V ) ) ∂f j ( p, V ) = − × f i ( p, V ) ∂pi ∂pi ∂V

10


1.5. Aplicaţii 1. Fie funcţia de utilitate

U (q1 , q 2 ) = q1α q 12−α şi restricţia bugetară

∑ p ×q i

i

=V

Cerinţe: a) verificaţi proprietăţile funcţiei de utilitate b) găsiţi funcţiile de cerere de tip Marshall c) verificaţi dacă acestea sunt omogene de grad 0 în preţuri şi venituri d) calculaţi elasticităţile în funcţie de preţ şi venit e) verificaţi proprietăţile funcţiilor omogene Rezolvare: a) Faptul că funcţia U este continuă este evident. Mai trebuie să punem condiţia ca funcţia U să fie crescătoare şi concavă. Funcţia U este crescătoare dacă derivatele parţiale ale funcţiei sunt pozitive ∂U ∂U ≥ 0 ⇒ αq1α −1 q 12−α ≥ 0 ⇔ α ≥ 0 şi ≥ 0 ⇒ (1 − α )q1α q 2−α ≥ 0 ⇔ α ≤ 1 . ∂q1 ∂q 2 Pentru a stabili dacă funcţia este concavă, determinăm matricea Hessiană: ⎛ α (1 − α )q1a −2 q2a α 2 q1a −1q2a −1 ⎞ ⎟ H (U (q )) = ⎜⎜ 2 a −1 a −1 α (1 − α )q1α q2α −2 ⎟⎠ ⎝ α q1 q 2

Minorul de ordinul 1 Δ 1 = (−1)α (1 − α )q1a − 2 q 2a ≥ 0 ⇒ α ∈ [0,1] Δ = (−1) 2 [α 2 (1 − α ) 2 q12 a − 2 q 22 a − 2 − α 4 q12 a − 2 q 22 a − 2 ] ≥ 0 ⇒ Minorul de ordinul 2 22 2 a − 2 2 a − 2 α q1 q 2 (1 − 2α ) ≥ 0 ⇒ α ∈ [0,1 / 2] În concluzie, U este funcţie de utilitate doar dacă α ∈ [0,1 / 2] . b) pentru a determina funcţiile de tip Marshall, vom rezolva problema de optim a consumatorului. Problema de optim:

max U (q1 , q 2 ) = q1α q 12−α

p1 q1 + p 2 q 2 ≤ V Funcţia tip Lagrange:

L(q1 , q 2 ,V ) = U − λ[ p1 q1 + p 2 q 2 − V ] = q1α q 12−α − λ[ p1 q1 + p 2 q 2 − V ] Condiţiile de optim: ∂L = 0 ⇒ αq1α −1 q 12−α − λp1 = 0 ⇒ αq1α −1 q 12−α = λp1 (1) ∂q1 ∂L = 0 ⇒ (1 − α )q1α q 2−α − λp 2 = 0 ⇒ (1 − α )q1α q 2−α = λp 2 ∂q 2 ∂L = 0 ⇒ p1 q1 + p 2 q 2 = V ∂λ

( 2)

(3)

11


p p α 1 − α q1 = 2 ⇒ q1 = q 2 2 ( 4) α q 2 p1 p1 1 − α Înlocuind relaţia (4) în (3) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 2: V (1 − α ) q 2* = f 2 ( p1 , p 2 ,V ) = (5) . p2 Înlocuind relaţia (5) în (4) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1: Vα q1* = f1 ( p1 , p 2 ,V ) = . p1 h ⋅V ⋅ α V ⋅ α = = h 0 f 1 ( p1 , p 2 ,V ) ⇒ funcţie omogenă de grad 0. c) f1 (h ⋅ p1 , h ⋅ p 2 , h ⋅ V ) = h ⋅ p1 p1 ∂f p d) E f1 / p1 = 1 ⋅ 1 = −1 ∂p1 f 1 ∂f p E f1 / p2 = 1 ⋅ 2 = 0 ∂p 2 f1 ∂f V E f1 / V = 1 ⋅ = 1 ∂V f 1 e) E f1 / p1 + E f1 / p2 + E f1 / V = −1 + 0 + 1 = 0

Împărţind relaţia (2) la (1) obţinem:

2. Aceleaşi cerinţe pentru următoarele funcţii de utilitate: 2 a. U (q1 , q2 ) = q1 + q2

(

)

b. U (q1 , q2 ) = α ln q1 + (1 − α ) ln q2 c. U (q1 , q2 ) = q1 × q2 d. U ( q1 , q2 ) = q1α q2β 1 −ρ −ρ − ⎛ ⎞ + (1 − δ )q ) ρ e. U ⎜⎜ q , q ⎟⎟ = (δq 1 2 ⎝ 1 2⎠

3. Pentru fiecare din funcţiile de utilitate de mai sus, fie problema duală de optim ⎧⎪U ( q1 , q2 ,....., qn ) = u ⎨ ⎪⎩ min ∑ pi × qi

Cerinţe: 12

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar a) b) c) d)

funcţiile de cerere de tip Hicks – verificaţi dacă sunt omogene de grad 0 în preţuri construiţi funcţia Z – verificaţi dacă este omogenă de grad 0 în raport cu p şi V construiţi funcţia e – verificaţi dacă este omogenă de grad 1 în raport cu p verificaţi identitatea lui Roy şi ecuaţia lui Slutsky

Rezolvare: a) Problema de optim: min p1q1 + p2 q2 U (q1 , q2 ) = q1α q12−α = u

Funcţia tip Lagrange: L(q1 , q2 , λ ) = p1q1 + p2 q2 + λ[u − U (q1 , q2 )] = p1q1 + p2 q2 + λ[u − q1α q12−α ] Condiţiile de optim: ∂L = 0 ⇒ p1 − λα q1α −1q12−α = 0 ⇒ λα q1α −1q12−α = p1 (1) ∂q1 ∂L = 0 ⇒ p2 − λ (1 − α )q1α q2−α = 0 ⇒ λ (1 − α )q1α q2−α = p2 ∂q2 ∂L = 0 ⇒ q1α q12−α = u ∂λ

(2)

(3)

p p α 1 − α q1 ( 4) = 2 ⇒ q1 = q 2 2 α q 2 p1 p1 1 − α Înlocuind relaţia (4) în (3) vom obţine funcţia de cerere Hicks pentru bunul 2:

Împărţind relaţia (2) la (1) obţinem:

(1 − α ) = h ( p , p ,u ) = u

α

α

⎛ p1 ⎞ q ⎜ ⎟ (5) . 2 1 2 a α ⎝ p2 ⎠ Înlocuind relaţia (5) în (4) vom obţine funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1: α −1 α −1 1 − α ) ⎛ p1 ⎞ ( * q1 = h1 ( p1 , p2 , u ) = u ⎜ ⎟ . α a −1 ⎝ p2 ⎠ Demonstrăm că funcţia Hicks h1 este omogenă de gradul 0 în preţuri, ceea ce înseamnă conform definiţiei funcţiilor omogene: * 2

(1 − α ) h1 (λ p1 , λ p2 , u ) = λ h1 ( p1 , p2 , u ) ⇔ h1 (λ p1 , λ p2 , u ) = u a −1

α −1

0

α

α −1

⎛ λ p1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ λ p2 ⎠

(1 − α ) =u

α −1

α a −1

α −1

⎛ p1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ p2 ⎠

= h1 ( p1 , p2 , u )

b) funcţia Z (funcţia de utilitate indirectă) reprezintă utilitatea maximă ce poate fi atinsă în condiţiile încadrării în venitul disponibil V. Deci Z se obţine înlocuind în funcţia de utilitate cantităţile cu valorile lor optime, adică cu funcţiile de cerere Marshall: α

⎛ Vα ⎞ ⎛ V (1 − α ) ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ Z ( p1 , p 2 ,V ) = U (q , q ) = U ( f1 , f 2 ) = f1 f = ⎜⎜ p p 2 ⎝ 1⎠ ⎝ ⎠ Z este omogenă de grad 0 în raport cu p şi V dacă şi numai dacă * 1

* 2

α

1−α 2

1−α

Vα α (1 − α ) = p1α p12−α

1−α

13


Z (λp1 , λp 2 , λV ) = λ0 Z ( p1 , p 2 ,V ) ⇒ Z (λp1 , λp 2 , λV ) =

λVα α (1 − α )1−α Vα α (1 − α )1−α = = Z ( p1 , p 2 ,V ) (λp1 ) α (λp 2 )1−α p1α p 12−α

c) e reprezintă cheltuielile minime ce pot fi realizate în condiţiile obţinerii unei utilităţi egale cu u. Deci e se obţine înlocuind în funcţia de cheltuieli cantităţile cu valorile lor optime, adică cu funcţiile de cerere Hicks:

(1 − α ) = pu

α −1

e( p1 , p2 , u ) = p q + p q = p1h1 + p2 h2 = p1h1 + p2 h2 * 1 1

(1 − α ) +p u

* 2 2

α

1

α

α a −1

α −1

⎛ p1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ p2 ⎠

+ α

⎛ p1 ⎞ (1 − α ) ⎛ p1 ⎞ ⎡ p α p2 + p ⎤ = u (1 − α ) ⎛ p1 ⎞ p2 u = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2⎥ α a ⎝ p2 ⎠ α a ⎝ p2 ⎠ ⎣⎢ 1 1 − α p1 α a ⎝ p2 ⎠ 1 − α ⎦ Funcţia e este omogenă de grad 1 în raport cu p dacă şi numai dacă: α α α α 1 − α ) ⎛ λ p1 ⎞ λ p2 1 − α ) ⎛ p1 ⎞ p2 ( ( = λu = λ e( p1 , p2 , u ) e(λ p1 , λ p2 , u ) = u ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ α a ⎝ λ p2 ⎠ 1 − α α a ⎝ p2 ⎠ 1 − α α

α

α

4. Se consideră funcţia de utilitate U (C , L) = ln C + ln(1 − L) cu restricţia de buget p ⋅ C = L ⋅ w unde L=munca prestată (ore lucrate), w=salariul, p=preţul bunurilor şi serviciilor, C=cantitatea de bunuri şi servicii consumate. Să se determine: a) cererea de tip Marshall; b) funcţia de utilitate indirectă. Rezolvare: a) Problema de optim: max ln C + ln(1 − L) pC = Lw Funcţia de tip Lagrange l(C , L, λ ) = ln C + ln(1 − L) − λ ( pC − Lw) Condiţiile de optim: ∂l 1 1 = 0 ⇒ − λp = 0 ⇒ = λp (1) C C ∂C ∂l 1 1 (2) =0⇒− + λw = 0 ⇒ λw = ∂L 1− L 1− L ∂l = 0 ⇒ pC = Lw (3) ∂λ w C pC ⇒ L = 1− Împărţim relaţia (2) la (1): = p 1− L w

(4)

w (5) . 2p Pentru a obţine numărul de ore lucrate optim înlocuim consumul optim în relaţia 4: 1 L= . 2

Înlocuind relaţia (4) în restricţie (relaţia (3)) obţinem: C * =

14

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar 5. Un consumator are funcţia de cheltuieli minime egală cu e( p1 , p2 , u ) = 2u p1 p2 .

a) cum se modifică venitul minim necesar pentru a atinge o utilitate U dacă preţurile cresc cu 10%. Explicaţie. b) să se determine funcţia de utilitate indirectă Z ( p1 , p 2 , V ) c) să se determine funcţiile de cerere Marshall f1 ( p1 , p 2 , V ), f 2 ( p1 , p 2 , V ) d) să se determine funcţiile de cerere Hicks h1 ( p1 , p2 , u ), h2 ( p1 , p2 , u ) e) să se determine funcţia de utilitate a consumatorului U (Q1 , Q2 ) . Rezolvare: a) Faptul că preţurile cresc cu 10% se scrie p1′ = 1,1 p1 şi p 2′ = 1,1 p 2 . De aici funcţia de cheltuieli minime se modifică astfel: e′( p1 , p 2 , u ) = 2u p1′ p 2′ = 2u 1,1 p11,1 p 2 = 1,1 ⋅ 2 p1 p 2 = 1,1e( p1 , p 2 , V ) Acest lucru înseamnă că atunci când preţurile cresc cu 10 % şi cheltuielile minime cresc cu 10%, deci şi veniturile minime pentru a obţine o utilitate u trebuie să crească tot cu 10%! b) se foloseşte identitatea: V e( p1 , p 2 ,ν ( p1 , p 2 ,V )) = V ⇒ 2ν ( p1 , p 2 ,V ) p1 p 2 = V ⇒ ν ( p1 , p 2 ,V ) = 2 p1 p 2 ! Punctele c şi d se pot rezolva prin 2 metode: - se aplică identitatea lui Roy pt a determina funcţiile Marshall şi pentru funcţiile Hicks se utilizează identitatea fi ( p1 , p2 , e( p1 , p2 , u )) = hi ( p1 , p2 , u ) -se aplică lema lui Shepard pentru a determina funcţiile Hicks şi pentru funcţiile Marshall se utilizează identitatea hi ( p1 , p 2 ,ν ( p1 , p 2 , V )) = f i ( p1 , p 2 , V )

Să urmăm prima metodă. c) Scriem identitatea lui Roy pentru funcţiile Marshall f1 , f 2 V ∂ V 2 p1 p 2 ∂ν ( p1 , p 2 , V ) f1 = −

4p p p ∂p1 ∂p1 V =− =− 1 1 2 = 1 ∂ν ( p1 , p 2 , V ) V 2 p1 ∂ ∂V 2 p1 p 2 2 p1 p 2 V ∂ 2 p1 p 2

V 2 p2 d) folosim relaţia fi ( p1 , p2 , e( p1 , p2 , u )) = hi ( p1 , p2 , u ) Analog pentru cealaltă funcţie Marshall f 2 =

h1 ( p1 , p2 , u ) = f1 ( p1 , p2 , e( p1 , p2 , u )) =

e( p1 , p2 , u ) 2u p1 p2 = =u 2 p1 2 p1

p2 p1

Analog 15


h2 ( p1 , p2 , u ) = f 2 ( p1 , p2 , e( p1 , p2 , u )) =

e( p1 , p2 , u ) 2u p1 p2 = =u 2 p2 2 p2

p1 p2

6. Funcţia de utilitate a unui consumator este U (q1 , q 2 ) = q1α q 2β , iar venitul său este egal cu V. Ştiind că preţurile celor două bunuri sunt p1 , respectiv p 2 se cere: i) funcţiile de cerere pentru bunurile 1 şi 2 care asigură maximizarea utilităţii consumatorului. ii) să se precizeze cu cât se modifică cantitatea optimă consumată dacă: 1. Venitul creşte cu 20%, 2. preţurile scad simultan cu 20%, 3. atât venitul cât şi preţurile cresc cu 20%, 4. elasticităţile α şi β cresc cu câte 10%. iii) să se determine cantităţile optime consumate dacă α = 0,6 β = 0,4 V=5000 p1 = 12 p 2 = 15 7. Un consumator poate achiziţiona două bunuri, în cantitaţile q1 şi respectiv q2. Preţul unitar al primului bun este egal cu 3, iar preţul celui de al doilea este egal cu 2. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţia de utilitate: ⎛ ⎞ U ⎜⎜ q , q ⎟⎟ = (q + 4)(q + q ) 1 1 2 ⎝ 1 2⎠ Se cere: a. Functiile de cerere Marshall pentru cele doua bunuri daca consumatorul obtine un venit egal cu V. b. Cu cat de modifica utilitatea maxima obtinuta de consumator daca venitul creste cu o unitate monetara? c. Determinati functia de utilitate indirecta (functia de utilitate maxima). 8. Într-o economie există N+M consumatori (fiecare consumator are un venit egal cu V) şi două bunuri ale căror preţuri sunt în prezent p1 şi p 2 . N consumatori sunt caracterizaţi

de o funcţie de utilitate egală cu u1 ( x1 , x 2 ) = x10, 4 x 20,6 , iar M consumatori sunt caracterizaţi de o funcţie de utilitate egală cu u 2 ( x1 , x 2 ) = 0,3 ln x1 + 0,7 ln x 2 , unde x1 reprezintă cantitatea consumată din bunul 1, iar x 2 reprezintă cantitatea consumată din bunul 2. Să se determine: a) funcţiile de cerere agregată (la nivelul întregii economii) pentru bunurile 1 şi 2; b) cu cât se modifică cantitatea cerută din cele două bunuri dacă preţul lor creşte cu 10%? Rezultate: a)Funcţiile Marshall pentru agenţii cu funcţia de utilitate u1 ( x) V V f11 ( p1 , p 2 ,V ) = 0,4 , f 21 ( p1 , p 2 , V ) = 0,6 p1 p2 Funcţiile Marshall pentru agenţii cu funcţia de utilitate u 2 ( x)

16

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar V V , f 22 ( p1 , p 2 , V ) = 0,7 p1 p2 Funcţiile de cerere agregate V V V V f1 ( p1 , p 2 ,V ) = 0,4 N + 0,3 M , f 2 ( p1 , p 2 ,V ) = 0,6 N + 0,7 M p1 p1 p2 p2 b) se calculează elasticitatea lui f1 şi f 2 faţă de p1 şi p 2 . Se obţine -1 ceea ce înseamnă că cantitatea cerută din ambele bunuri scade cu 10%. f12 ( p1 , p 2 , V ) = 0,3

9. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului: ⎛ ⎞ U ⎜⎜ q , q ⎟⎟ = ln q + 3 ln q , q > 0, q > 0 unde q1, q2 reprezintă cantităţile consumate 1 2 1 2 ⎝ 1 2⎠ din bunul 1, respectiv bunul 2 iar vectorul de preţuri unitare este p = (1,1) . Se ştie că venitul de care dispune consumatorul este V=12 u.m. a) Să se arate dacă funcţia este sau nu concavă; b) Să se determine cererea Hicks pentru un nivel dat al utilităţii, u=k > 0 ; c) Dacă funcţia de utilitate indirectă este :

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3V ⎟ V ⎟ ⎜ ⎜ ν ( p , p ,V ) = ln⎜ ⎟ + 3 ln⎜ ⎟ ,să se deducă funcţia de cerere Marshall pentru bunul 1. 1 2 ⎜⎜ 4 p ⎟⎟ ⎜⎜ 4 p ⎟⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ 10. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor (C,H) consum, respectiv timp liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:

φ

U (C , H ) = C H

1−φ

, C > 0, H > 0

(timp liber, H şi timp de lucru, L ). Singurul venit de care dispune gospodăria este constituit din salariu cu o rată brută w, şi care este taxat cu o rată de impozitare θ , 0<θ <1. Gospodăria dispune deci de un venit egal cu (1-θ )wL. Preţul bunului de consum este egal cu p. Se cere: a) Determinaţi oferta de muncă a gospodăriei (L) şi funcţia de cerere pentru bunuri de consum (C) . Comentaţi relaţia existentă între aceste funcţii şi parametrii w şi θ . b) Să se deducă rata marginală de substituţie dintre timpul liber şi muncă. Să se interpreteze rezultatele obţinute. 11. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor (C,R) consum, respectiv timp liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:

U (C , R ) = C + R

1/ 2

, C > 0, R > 0

Timpul total, T, (timp liber, R şi timp de lucru, L ) este presupus egal cu 4. Singurul venit de care dispune gospodăria este constituit din salariu cu o rată brută w, w > 1/4 şi care este taxat cu o rată de impozitare θ , 0<θ <1. Gospodăria dispune deci de un venit egal cu (1-θ )wL. Preţul bunului de consum este egal cu unitatea.

17


Se cere: a) Determinaţi oferta de munca (L) şi funcţia de cerere de bunuri şi servicii (C ) a gospodăriei. Comentaţi relaţia existentă între aceste oferte şi parametrii w şi θ , dacă restricţia bugetară a gospodăriei se scrie: pC=(1-θ )wL. b) Se presupune că w=1. Care este suma totală a impozitului plătit?

12. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv, pentru a cumpăra două bunuri notate q1 şi q2. Preţurile celor două bunuri, p1 şi p2, sunt presupuse strict pozitive. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de utilitate, ⎛ ⎞ U ⎜⎜ q , q ⎟⎟ = ( q q ), q > 0, q > 0 unde q1 şi q2 sunt cantităţile consumate din cele 1 2 1 2 ⎝ 1 2⎠ două bunuri. Venitul acestuia este de 12 u.m. iar vectorul de preţuri este p =(2 1). Se cere: a) Să se determine cererea Marshall din cele două bunuri; b) Dacă p2 şi V sunt constante iar p1 scade cu o unitate, să se determine natura bunului 1; c) Dacă p1 şi p2 rămân constante iar venitul creşte la 16 u.m., să se determine natura bunurilor.

18


2. Comportamentul optim al agentului consumator - modelul dinamic Exemplul 1:

Se consideră că agenţii economici consumatori determină cantitatea pe care o vor consuma dintr-un coş de bunuri atât în momentul prezent (notat cu 1) şi într-un moment viitor (notat cu 2), precum şi economiile pe care le vor face în prezent. Funcţia de utilitate are următoarea formă : 1 U ( C1 , C2 ) = U ( C1 ) + U ( C2 ) 1+ δ unde U(Ci) reprezintă utilitatea adusă de consumul Ci. Ci este consumul agregat din perioada i. δ reprezintă o rată de actualizare subiectivă a utilităţii viitoare şi are o valoare pozitivă. Cu cât δ este mai mic, cu atât consumatorul acordă o importanţă mai mare consumului din a doua perioadă. Consumatorii ţin cont de veniturile pe care le obţin în fiecare moment de timp şi de nivelul preţurilor asociat acelui coş de bunuri. Acestea sunt variabile pe care nu le poate influenţa. Ca urmare, consumatorii au câte o restricţie bugetară pentru fiecare moment: ⎧ p1C1 + E1 = V1 ⎨ ⎩ p2C2 = V2 + E1 (1 + r ) unde E - economii ; r - rata nominală a dobânzii. Deoarece veniturile sunt exogene, în momentul curent consumatorii au de făcut următoarea alegere: să consume mai mult şi, ca urmare, să facă economii mai mici ceea ce îi va reduce consumul viitor sau să mai mult şi, ca urmare, să facă economii mai mari ceea ce îi va creşte consumul viitor. Consumatorii pot folosi mai mult decît ceea ce le permite venitul curent dacă aplează la credite, adică în prezent nu fac economii ci se împrumută E1 < 0 . Fie funcţia de utilitate :

U (C1 ) = ln(C1 )

Se cere: a) Stabiliţi în ce condiţii consumul prezent este mai mare decât consumul viitor ( C1 > C2 )? b) Calculaţi C1 şi C2 . c) Calculaţi economiile realizate şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E1>0. d) Ce efect are asupra consumului curent o creştere a ratei dobânzii nominale?

19

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar a) Matematic, problema dinamică de optim a consumatorului se scrie astfel: 1 max U ( C1 , C2 ) = U ( C1 ) + U ( C2 ) C1 ,C2 , E1 1+ δ ⎧ p1C1 + E1 = V1 ⎨ ⎩ p2C2 = V2 + E1 (1 + r ) Modul de rezolvare al problemei de optim ar trebui să fie acelaşi ca şi în cazul modelului consumatorului static numai că în acest caz avem două restricţii bugetare. Avem două opţiuni: i) putem folosi doi multiplicatori Lagrange sau ii) putem transforma cele două restricţii în una singură şi astfel să folosim un singur multiplicator Lagrange ca şi în cazul problemei statice. Alegem varianta ii): p1C1 + E1 = V1 ⎧ ⋅ (1 + r ) pC V ⇒ p1C1 (1 + r ) + p2C2 − V1 (1 + r ) − V2 = 0 ⇒ p1C1 + 2 2 = V1 + 2 ⎨ 1+ r 1+ r ⎩ p2C2 = V2 + E1 (1 + r ) În acest fel, problema de optim a consumatorului devine: 1 max U ( C1 , C2 ) = U ( C1 ) + U ( C2 ) C1 ,C2 1+ δ pC V p1C1 + 2 2 = V1 + 2 1+ r 1+ r O vom rezolva ca şi în cazul consumatorului static: 1 pC V ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ L = ⎢ ln ( C1 ) + ln ( C2 ) ⎥ − λ ⎢ p1C1 + 2 2 − V1 − 2 ⎥ 1+ δ 1+ r 1+ r ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

Condiţii de optim : ⎧1 ⎧ ∂L ⎧1 0 = p 1 r 0 λ − + = ( ) 1 ⎪ ⎪ ∂C ⎪ C = λ p1 (1 + r ) (1) C 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ 1 1 ⎪ ∂L ⎪ 1 1 =0 ⎪ − λ p2 = 0 = λ p2 (2) ⎪ ⎪ ⇒ ⎨1 + δ C 2 ⇒ ⎨1 + δ C 2 ⎨ ∂C2 ⎪ ∂L ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p1C1 + p2C2 − V1 − V2 = 0 ⎪ p1C1 + p2C2 = V1 + V2 =0 1+ r 1+ r 1+ r 1+ r ⎪ ∂λ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩

(3)

20


1 + r p1 1+ r 1 1+ r 1 1+ i , unde π este rata = C1 = C1 = C1 p2 1 + δ + π 1+ δ 1 + δ p2 1{ 1+ δ relatia Fisher p1 C 1 + i notatie inflaţiei, i este rata reală a dobânzii ⇒ 2 = = 1 + c (4) C1 1 + δ (2):(1) ⇒ C2 = C1

În cele de mai sus am folosit faptul că raportul a doi indici de preţuri este 1+ rata inflaţiei p adică 2 = 1 + π şi relaţia lui Fisher pentru legătura dintre rata nominală de dobândă şi rata p1 1+ r reală, adică = 1 + i . S-a notat cu c ritmul de creştere al consumului. 1+ π Din relaţia 4 se pot trage următoarele concluzii: dacă i>δ => rata dobânzii mai mare decât coeficientul de actualizare al utilităţii conduce la o scădere a consumului în prima perioadă şi la translatarea acestuia în a doua perioadă. Consumatorul preferă să economisească în prima perioadă o parte din venitul V1 şi să o aloce consumului din a doua perioadă => C2>C1 dacă i=δ => C2=C1 dacă i<δ => C2
V1 +

⎞ V2 ⎟ ⎟ = V1 + 1 + r ⇒ ⎟ ⎠

1+ δ C1* = 2+δ

V1 +

1 V2 1+ r p1

1 V2 , 1+ r p1

c) Introducând în prima restricţie de buget rezultatele anterioare se obţine valoarea economiilor:

E1 =

V1 −

(1 + δ )V2

1+ r 2 + ( δ)

E1>0 este echivalent cu:

21


(1 + δ ) V ⇒ 1 + δ (1 + r ) 2 1 + r

V2 notatie = 1 + v unde v este ritmul de crestere al veniturilor. V1 Folosind relaţia (4) de mai sus obţinem: 1 + c > 1 + v ⇒ c > v . Consumatorii fac economii dacă ritmul de creştere a consumului este mai mare decât ritmul de creştere al veniturilor, adică fac economii pentru a-şi susţine consumul viitor. Desigur E1 < 0, adică consumatorii aplează la credite dacă c < v - ritmul de creştere al consumului este mai mic decât ritmul de creştere al venitului. V1 >

>

d) pentru a răspunde la această întrebare vom determina senzitivitatea consumului curent la modificarea ratei dobănzii adică vom calcula V2 ⎞ ⎛ ⎜ 2 + δ V1 + 1 + r ⎟ ∂⎜ ⎟ p1 ⎜ 1+ δ ⎟ ⎞ V2 ∂C1 ⎝ ⎠ = 2 + δ ⎛⎜ − ⎟ < 0 , adică relaţia dintre consumul curent = 1 + δ ⎜ (1 + r )2 p1 ⎟ ∂r ∂r ⎝ ⎠ şi rata dobânzii este negativă. Cum se poate explica economic acest rezultat? Să presupunem că rata dobânzii creşte, consumatorii vor prefera să economisească în prezent. Cum venitul din perioada curentă este fixat, consumatorii nu au altă soluţie decât să îşi reducă consumul. Exemplul 2:

Considerăm că agenţii economici consumatori au un orizont de previziune de 2 perioade, iar funcţia de utilitate are următoarea formă : 1 U ( C1 ,1 − l1 , C2 ,1 − l2 ) = U ( C1 ,1 − l1 ) + U ( C2 ,1 − l2 ) 1+ δ unde l1 este timpul lucrat în prima perioadă, iar l2 este timpul lucrat în cea de-a doua perioadă. Timpul lucrat este exprimat ca o fracţiune din timpul total (1 sau 100%). Ca urmare, 1-li reprezintă timpul liber din perioada i. Se observă că utilitatea consumatorului depinde atât de cantitatea consumată din coşul de bunuri cât şi de timpul liber de care dispun consumatorii. Restricţia bugetară va evidenţia faptul că, în această problemă, consumatorii nu au de ales numai între cât să consume în prezent şi cât să consume în viitor, dar au de ales pentru fiecare moment de timpul liber pe care îl doresc. Cu cât au mai mult timp liber, utilitatea lor creşte, dar muncind mai puţin veniturile se diminuează şi au la dispoziţie o sumă mai mică destinată consumului. Pe scurt, restricţiile bugetare se scriu astfel: ⎧ p1C1 + E1 = w1l1 ⎨ ⎩ p2C2 = w2l2 + E1 (1 + r ) w1 şi w2 reprezintă salariile pe care agenţii consumatori le-ar câştiga dacă ar munci întreg timpul disponibil. Deoarece ei optează să muncească doar o fracţiune din timpul total (l1 şi, respectiv, l2) veniturile încasate de ei sunt w1l1 şi respectiv w2 l2.

22

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar Pentru

funcţia

de

U ( Ci , li ) = α ln ( Ci ) + β ln (1 − li )

utilitate

se cere: a) Determinaţi C1, C2 b) Calculaţi E1 şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E1>0 a) Matematic problema de optim se scrie: max

C1 ,C2 ,1− l1 ,1−l2 , E1

U ( C1 ,1 − l1 , C2 ,1 − l2 ) = U ( C1 ,1 − l1 ) +

1 U ( C2 ,1 − l2 ) 1+ δ

⎧ p1C1 + E1 = w1l1 ⎨ ⎩ p2C2 = w2l2 + E1 (1 + r ) Transformăm cele două restricţii bugetare în una singură: ⎧ p1C1 + E1 = w1l1 1 1 ⇒ p1C1 + p2C2 = w1l1 + w2l2 ⎨ 1+ r 1+ r ⎩ p2C2 = w2l2 + E1 (1 + r ) : (1 + r ) În aceste condiţii problema de optim devine:

max

C1 ,C2 ,1− l1 ,1−l2

p1C1 +

U ( C1 ,1 − l1 , C2 ,1 − l2 ) = U ( C1 ,1 − l1 ) +

1 U ( C2 ,1 − l2 ) 1+ δ

1 1 p2C2 = w1l1 + w2l2 1+ r 1+ r

Se scrie Lagrangeanul: 1 1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ α ln (C2 ) + β ln (1 − l2 )⎥ − λ ⎢ p1C1 + L = ⎢α ln (C1 ) + β ln (1 − l1 ) + p2C2 − w1l1 − w2l2 ⎥ 1+ r 1+ r 1+ δ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Prin derivare se obţin condiţiile de optim: α ⎧ ∂L ⎧ ⎪ ∂C = 0 ⎪λ = p C 1 1 1 ⎪ ⎪ L ∂ r α + 1 ⎪ ⎪λ = =0 ⎪ ∂C2 ⎪ 1 + δ p2 C 2 ⎪⎪ ∂L ⎪⎪ β = 0 ⇒ ⎨λ = ⎨ (1 − l1 )w1 ⎪ ∂ (1 − l1 ) ⎪ L ∂ β 1 +r ⎪ ⎪ = 0 λ = ⎪ ∂ (1 − l ) ⎪ 1 + δ (1 − l2 )w2 2 ⎪ ⎪ L ∂ ⎪ ⎪ p1C1 + 1 p2C 2 − w1l1 − 1 =0 1+ r 1+ r ⎩⎪ ⎩⎪ ∂λ

(12) (13) (14) (15) w2l2 = 0 (16)

Împărţind (12) la (13) şi (14) la (15) se obţin: p 1+ r C2 = C1 1 (17) şi p2 1 + δ 23

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar l2 = 1 − (1 − l1 )

w1 1 + r (18) w2 1 + δ

Împărţind (12) la (14) rezultă

p1C1 =

α (1 − l1 ) w1 (19) β

Înlocuind C2, l2 şi l1 din (17), (18) şi (19) în (16) se obţin C1 şi C2: 1 1 w + w w + w 1+ δ 1 1+ r 2 1+ r 1 1+ r 2 C1 = , C2 = 2+δ 2+δ p2 p1

Probleme propuse

1. Refaceţi exemplul 1 pentru cazul în care funcţia de utilitate este U (C ) =

Cα

α

.

2. Pentru modelul dinamic al consumatorului se cunoaşte funcţia de utilitate intertemporală: U (C 0 , C1 ) = C 0α C1β , α , β ∈ (0,1) , rata nominală a dobânzii este r, rata inflaţiei este π , iar rata de creştere a veniturilor este egală cu γ . Se cere: C a) să se exprime indicele de creştere a consumului optim 1 în funcţie de rata reală de C0 dobândă şi de elasticitatea funcţiei de utilitate. b) să se stabilească volumul optim al economiilor. c) să se discute semnul volumului optim al economiilor în funcţie de parametrii modelului. Interpretare economică. 3. Se cunoaşte faptul că utilitatea individului consumator este modelat prin funcţia de 1 −ν C , venitul disponibil al consumatorului în cele două utilitate CRRA : U (C ) = 1 −ν perioade este V0, respectiv V1. Preţul bunurilor care fac obiectul consumului sunt p1, respectiv p2. Individul consumă cantiatea C0 în momentul 0 şi C1 în momentul 1, iar în momentul 1 face economii în valoare de E. 1 Cunoscând faptul că aversiunea relativă la risc a individului consummator este ν = : 2 a) Să se descrie problema de optimizare intertemporală şi să se deducă funcţiile de cerere pentru bunuri şi servicii în momentele 0 şi 1. b) Să se studieze semnul economiilor.

24

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar 4. Agenţii consumatori din economie îşi fundamentează consumul de bunuri perisabile (Cp) şi consumul de bunuri duarbile (Cd) pentru momentul prezent (notat cu 1) şi momentul viitor (notat cu 2). Funcţia de utilitate intertemporală este dată de: 1 1 U ( Cp, Cd ) = ln ( Cp ) + ln ( Cd ) 2 2 Restricţiile consumatorului în cele două perioade sunt: ⎧ p p1Cp1 + pd 1Cd1 + E = V1 ⎨ ⎩ p p 2Cp2 + pd 2Cd 2 = V2 + E (1 + r )

Unde p p este preţul bunurilor perisabile, iar pd este preţul bunurilor durabile. Restul variabilelor au notaţiile consacrate. Să se determine: a) consumul de bunuri perisabile şi durabile din fiecare perioada; b) economiile făcute de consumatori; c) care este efectul modificării ratei dobânzii asupra economiilor? 5. Considerăm un consumator care trăieşte două perioade, perioada 0 şi perioada 1. Utilitatea lui este dată de funcţia: b 1 ⎛ b 2 φ 2⎞ φ U = C 0 − C 02 − l 02 + ⎜ C1 − C1 − l1 ⎟ 2 2 1+ δ ⎝ 2 2 ⎠ Unde C este cantitatea consumată dintr-un coş de bunuri, iar l este munca depusă de consumator. Restricţiile bugetare în cele două perioade sunt: p 0 C 0 + S 0 = p0 w0 l 0

p1C1 = p1 w1l1 + S 0 (1 + r ) Unde p este indicele preţurilor pentru coşul de bunuri, w este salariul real, iar S economiile. a) În ce condiţii consumul şi munca sunt staţionare ( C1 = C 0 , l1 = l 0 )? b) Se ştie că r = δ . Să se determine consumul şi munca în cele două perioade şi economiile.

25

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar 3. Extensii ale modelului dinamic al consumatorului –perioadă infinită 1. Se consideră următorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit: ∞

max ∑ β tU (Ct ,1 − lt ) t =0

Restricţia bugetară a consumatorului este următoarea: PC t t + Bt = Wt lt + (1 + rt −1 ) Bt −1 Unde Pt este nivelul preţurilor, Ct este nivelul consumului, Bt reprezintă volumul economiilor realizate sub forma cumpărării de obligaţiuni, Wt salariul nominal, lt este munca depusă, rt este rata nominală a dobânzii, iar β este un factor de discount 1 subiectiv ce se poate scrie şi sub forma . 1+ δ Ştiind că funcţia de utilitate are următoarea formă: U (C ,1 − l ) = α ln C + γ ln(1 − l ) să se determine: a) O relaţie de recurenţă pentru nivelul consumului. Să se stabilească în ce condiţii consumul este crescător ( Ct +1 > Ct ), descrescător ( Ct +1 < Ct ), staţionar ( Ct +1 = Ct ). b) O relaţie de recurenţă pentru timpul liber. Să se stabilească în ce condiţii timpul liber este crescător ( 1 − lt +1 > 1 − lt ), descrescător ( 1 − lt +1 < 1 − lt ), staţionar ( 1 − lt +1 = 1 − lt ). c) Dacă rata reală a dobânzii este constantă ( it +1 = it ∀t ), să se calculeze lim Ct . t →∞

d) Dacă rata de creştere a venitului real este constantă ( vt +1 = vt ∀t ) şi rata reală a dobânzii este constantă ( it +1 = it ∀t ), să se calculeze lim(1 − lt ) . t →∞

Rezolvare:

a) Problema consumatorului pe orizont infinit poate fi rezumată astfel: ∞ ⎧ t ⎪ max ∑ β U (Ct ,1 − lt ) ⎨ t =0 ⎪ PC + B = W l + (1 + r ) B t t t t −1 t −1 ⎩ t t Înainte de a forma Lagrangean-ul şi de a pune condiţiile de ordinul I, vom transforma restricţia astfel încât ea să fie exprimată în variabile reale – vom împărţi prin nivelul preţurilor la momentul t: Bt Wt lt (1 + rt −1 ) Bt −1 PC = + ⇒ t t + Bt = Wt lt + (1 + rt −1 ) Bt −1 ⇒ Ct + Pt Pt Pt

Bt −1 (1 + rt −1 ) 1 + rt −1 ⇒ Ct + bt = wt lt + bt −1 = wt lt + bt −1 (1 + it −1 ) Pt Pt −1 1+ πt Pt −1 În cele de mai sus am notat cu bt valoarea reală a economiilor, cu wt salariul real, iar cu it rata reală a dobânzii. Ct + bt = wt lt +

26

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar Formăm Lagrangean-ul modificat pentru orizont infinit: ∞

L(Ct , bt , lt , λt ) = ∑ β t [U (Ct ,1 − lt ) − λt (Ct + bt − wt lt − bt −1 (1 + it −1 ))] = t =0

∞

= ∑ β t [α ln Ct + γ ln(1 − lt ) − λt (Ct + bt − wt lt − bt −1 (1 + it −1 ))] = t =0

... + β t [α ln Ct + γ ln(1 − lt ) − λt (Ct + bt − wt lt − bt −1 (1 + it −1 ))] + + β t +1[α ln Ct +1 + γ ln(1 − lt +1 ) − λt +1 (Ct +1 + bt +1 − wt +1lt +1 − bt (1 + it ))] + ... Punem condiţiile de ordinul I derivând Lagrangean-ul în toate argumentele sale: ∂L α ⎧ =0⇒ = λt (1) ⎪ ∂Ct Ct ⎪ λt ⎪ ∂L ⎪ ∂b = 0 ⇒ λt = βλt +1 (1 + it ) ( 2 ) ⇒ λ = β (1 + it ) ⎪ t t +1 ⎨ ∂L γ ⎪ =0⇒ = λt wt (3) ⎪ 1 − lt ∂lt ⎪ ∂L ⎪ = 0 ⇒ Ct + bt = wt lt + bt −1 (1 + it −1 ) ( 4 ) ⎪⎩ ∂λt a) scriem relaţia (1) la momentul t şi la momentul t+1 şi împărţim cele 2 relaţii: ⎫ = λt ⎪ Ct λ C ⎪ Ct +1 = t ⇒ t +1 = β (1 + it ) ( 5 ) Am folosit relaţia (2) de mai sus. ⎬⇒ α λt +1 Ct Ct = λt +1 ⎪ ⎪⎭ Ct +1 În aceste condiţii: 1 -consumul este staţionar Ct +1 = Ct dacă β (1 + it ) = 1 ⇒ it = − 1 = constant ∀t

α

β

-consumul este crescător Ct +1 > Ct dacă β (1 + it ) > 1 ⇒ it >

1

β

− 1 ∀t

-consumul este descrescător Ct +1 < Ct dacă β (1 + it ) < 1 ⇒ it <

1

β

− 1 ∀t

Pentru a determina relaţia de recurenţă scriem relaţia (5) pentru t = 0, ∞ : C1 = β (1 + i1 ) C0 C2 = β (1 + i2 ) C1 K Ct −1 = β (1 + it − 2 ) Ct − 2

27

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar Ct = β (1 + it −1 ) Ct −1 Înmulţind relaţiile de mai sus membru cu membru obţinem relaţia de recurenţă a consumului: t −1

Ct = C0 β t (1 + i1 )(1 + i2 )K (1 + it −1 ) = C0 β t ∏ (1 + ik ) k =0

b) scriem relaţia (3) la momentul t şi la momentul t+1 şi împărţim cele 2 relaţii: γ ⎫ = λt wt ⎪ 1 − lt 1 − lt +1 β (1 + it ) 1 − lt +1 β (1 + it ) ⎪ 1 − lt +1 λt wt = ⇒ = ⇒ = (6) ⎬⇒ wt +1 γ 1 − lt 1 − lt 1 − lt 1 + vt +1 λt +1 wt +1 ⎪ = λt +1wt +1 wt 1 − lt +1 ⎭⎪ Am folosit relaţia (2) de mai sus şi am notat

wt +1 = 1 + vt , vt rata de creştere a veniturilor wt

reale

Ct +1 1 − lt +1 1 − lt +1 1 + ct +1 1 Ct +1 = β (1 + it ) ⇒ = ⇒ = (7) . Ct 1 − lt 1 + vt +1 Ct 1 − lt 1 + vt +1 Am notat rata de creştere a consumului cu ct . În aceste condiţii: 1 + ct +1 = 1 ⇒ ct +1 = vt +1 ∀t , adică rata de -timpul liber este staţionar 1 − lt +1 = 1 − lt dacă 1 + vt +1 creştere a consumului este aceeaşi cu rata de creştere a venitului real; 1 + ct +1 -timpul liber este crescător 1 − lt +1 > 1 − lt dacă > 1 ⇒ ct +1 > vt +1 ∀t 1 + vt +1 1 + ct +1 -timpul liber este descrescător 1 − lt +1 < 1 − lt dacă < 1 ⇒ ct +1 < vt +1 ∀t 1 + vt +1 Pentru a determina realaţia de recurenţă pentru timpul liber se foloseşte relaţia (6) rescrisă astfel: (1 − lt +1 ) = (1 − lt ) β (1 + it ) 1 + vt +1 Dar din relaţia (5) ştim că

Pentru a determina relaţia de recurenţă scriem relaţia de mai sus pentru t = 0, ∞ : (1 − lt ) = (1 − lt −1 ) β (1 + it −1 ) 1 + vt

(1 − lt −1 ) = (1 − lt − 2 ) β (1 + it − 2 ) 1 + vt −1

K

(1 − l1 ) = (1 − l0 ) β (1 + it 0 )

1 + v1 Înmulţim relaţiile membru cu membru şi obţinem:

28


(1 − lt ) = (1 − l0 )β t ∏ (1 + ik ) t

(8) 1 + vk +1 c) în relaţia de recurenţă a consumului se înlocuieşte ik = i şi se obţine k =0

Ct = C0 β t (1 + i )t = C0 [ β (1 + i )]t . Putem calcula limita astfel: ⎧ 0, β (1 + i ) < 1 ⎪ lim Ct = ⎨C0 , β (1 + i ) = 1 t →∞ ⎪ ∞, β (1 + i ) > 1 ⎩

d) Dacă rata de creştere a venitului real este constantă ( vt +1 = vt ∀t ) şi rata reală a dobânzii este constantă ( it +1 = it ∀t ) atunci relaţia (8) devine: t

⎛ β (1 + i ) ⎞ ⎟⎟ 1 − lt = (1 − l0 )⎜⎜ ⎝ (1 + v) ⎠ . Putem calcula limita astfel: ⎧ β (1 + i ) <1 ⎪ 0, (1 + v) ⎪ β (1 + i ) ⎪ lim(1 − lt ) = ⎨1 − l0 , =1 t →∞ ( 1 ) + v ⎪ ⎪ ∞, β (1 + i ) > 1 ⎪ (1 + v) ⎩

2. Se consideră următorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit: ∞

max

∑ β U (C ,1 − l , m ) t

t

t

t

t =0

Restricţia bugetară a consumatorului este următoarea: Pt Ct + Bt + M t = Wt lt + (1 + rt −1 ) Bt −1 + M t −1

unde M t reprezintă cantitatea de avere păstrată sub forma numerarului, iar mt reprezintă masa monetară exprimată în termeni reali, mt =

Mt . Pt

Ştiind că funcţia de utilitate are următoarea formă: U (C ,1 − l , m) =

1 1 1− μ 1 1−b C 1−ν − α ⋅ l +γ ⋅ mt 1 −ν 1− μ 1− b

Să se răspundă la următoarele cerinţe: a) Să se scrie restricţia bugetară în termeni reali (se notează cu bt valoarea reală a economiilor deţinute sub formă de obligaţiuni şi cu wt salariul real. În cazul în care prin

29

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar Pt se măsoară indicele preţurilor de la începutul perioadei t, sfârşitul perioadei t-1, Pt = 1 + π t −1 ). Pt −1

b) Să se arate că elasticitatea utilităţii marginale a consumului este constantă şi să se interpreteze rezultatul în raport cu atitudinea consumatorului faţă de risc. c) Să se arate că elasticitatea funcţiei de utilitate în raport cu timpul lucrat şi respectiv cu masa monetară reală depinde în mod direct de − α şi respectiv de γ . d) Să se determine ecuaţia de dinamică pentru consum; e) Ecuaţia de dinamică pentru timpul lucrat; f) Să se arate că între oferta de muncă şi consum există o legătură directă, iar relaţia dintre oferta de muncă şi masa monetară este, de asemenea, directă. Explicaţi.

g) h) i) j)

Pentru cazul în care rata reală a dobânzii şi rata de creştere a venitului real sunt constante: Să se determine traiectoria de evoluţie a consumului ( Ct în funcţie de C0 ); Să se determine traiectoria de evoluţie a timpului lucrat ( lt în funcţie de l0 ); În cazul în care singura destinaţie a PIB este consumul, să se determine şi să se interpreteze în cheie keynesistă ecuaţia de cerere de monedă. Să se verifice dacă regula de politică monetară este una de tip Friedman.

Rezolvare: a) Se împarte restricţia bugetară la indicele preţurilor Pt , Pt Ct + Bt + M t = Wt lt + (1 + rt −1 ) Bt −1 + M t −1 şi se obţine: (1 + rt −1 ) Bt −1 M t −1 + . Pt Pt (1 + rt −1 ) Bt −1 (1 + rt −1 ) Bt −1 Pt −1 P 1 = ⋅ = (1 + rt −1 )bt −1 ⋅ t −1 = (1 + rt −1 )bt −1 ⋅ = (1 + rreal ,t −1 )bt −1 Dar Pt Pt −1 Pt Pt 1 + π t −1 M m Analog, t −1 = t −1 Pt 1 + π t −1 Ct + bt + mt = wt lt +

Restricţia este deci următoarea: Ct + bt + mt = wt lt + (1 + rreal ,t −1 )bt −1 +

mt −1 . 1 + π t −1

b) Utilitatea marginală a consumului la momentul t este: U mg =

∂U −ν = Ct . ∂Ct

Elasticitatea unei funcţii în raport cu x are următoarea formulă: Ex f =

∂f x ⋅ . ∂x f

Elasticitatea utilităţii marginale la momentul t în raport cu consumul este:

30

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar ∂U mg

−ν

Ct C C ∂C −ν −1 = t ⋅ −tν = −ν ⋅ Ct ⋅ −tν = −ν şi este constantă, ∀t . ∂Ct U mg ∂Ct Ct Ct Interpretarea acestei elasticităţi este următoarea: ECt U mg este egală cu aversiunea relativă ECt U mg =

⋅

la risc. Faptul că aceasta este constantă ne arată că indiferent de cantitatea consumată, agentul are aceeaşi atitudine faţă de risc. − μ −1

c) Elt U =

l ∂U lt −μ l ⋅ = −α ⋅ lt ⋅ t = −α ⋅ t U U ∂lt U

, unde

− b −1

E mt U =

m ∂U mt −b m ⋅ = γ ⋅ mt ⋅ t = γ ⋅ t ∂mt U U U

lt

− μ −1

U

≥0.

− b −1

, unde

mt U

≥0.

d) Există două posibilităţi de a rezolva următoarele subpuncte ale problemei: pentru a forma Lagrangeanul, se poate obţine din toate restricţiile una singură, sau se poate introduce în Lagrangean fiecare restricţie de la fiecare moment în mod separat, cu un multiplicator λ ataşat. Vom prezenta în continuare a doua metodă, întrucât prima a fost discutată la seminar. L = β 0U (C0 ,1 − l0 , m0 ) + β 1U (C1 ,1 − l1 , m1 ) + ... + β t −1U (Ct −1 ,1 − lt −1 , mt −1 ) + β tU (Ct ,1 − lt , mt ) + ..... −

− λ0 ( C0 + b0 + m0 − wt l0 ) - λ1 ( C1 + b1 + m1 − w1l1 − (1 + rreal ,0 )b0 − − λt −1 (Ct −1 + bt −1 + mt −1 − wt −1lt −1 − (1 + rreal ,t −2 )bt −2 − − λt (Ct + bt + mt − wt lt − (1 + rreal ,t −1 )bt −1 −

m0 )-…1+ π 0

mt −2 )1 + π t −2

mt −1 ) -..... 1 + π t −1

Sau, altfel scris: L=

∞

⎡

⎛

∑ ⎢⎢β U (C ,1 − l , m ) − λ ⎜⎜⎝ C t =0

⎣

t

t

t

t

t

t

+ bt + mt − wt lt − (1 + rreal ,t −1 )bt −1 −

Funcţia obiectiv de la momentul t

mt −1 ⎞⎤ ⎟⎥ 1 + π t −1 ⎟⎠⎦⎥

Restricţia de la momentul t

Mai trebuie menţionat că lim bt = 0 . t →∞

Condiţiile de optim:

31

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar ∂L ∂U −ν = βt − λt = 0 ⇒ β t ⋅ C t = λ t ∂Ct ∂Ct

(10 )

∂L ∂U −ν = β t −1 − λt −1 = β t −1 ⋅ Ct −1 = λt −1 ∂Ct −1 ∂Ct −1

(10 ) : (2 0 ) ⇒ β

Ct

−ν

Ct −1

−ν

(2 0 )

⎛ 1 λt ⎞ λ ⎟⎟ = t ⇒ Ct = Ct −1 ⋅ ⎜⎜ λt −1 ⎝ β λt −1 ⎠

−

1

ν

.

Dar λ este o necunoscută în această problemă, deci traiectoria consumului nu este identificată prin ecuaţia de mai sus. λ ∂L = 0. Pentru a afla raportul t folosim următoarea ecuaţie: λt −1 ∂bt −1 λ ∂L 1 = 0 ⇒ −λt −1 + λt (1 + rreal ,t −1 ) = 0 ⇒ λt −1 = λt (1 + rreal ,t −1 ) ⇒ t = ∂bt −1 λt −1 1 + rreal ,t −1 −

1

⎛1 ⎞ ν 1 ⎟ Prin urmare, Ct = Ct −1 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎟ ⎝ β 1 + rreal ,t −1 ⎠ ∂L ∂U −μ e) = βt + λt wt = 0 ⇒ −α ⋅ β t ⋅ lt = −λt wt ∂lt ∂lt ∂L ∂U −μ = β t −1 + λt −1 wt −1 = −α ⋅ β t −1 ⋅ lt −1 = −λt −1 wt −1 ∂lt −1 ∂lt −1

(10 ) : (2 0 ) ⇒ β

lt

−μ

lt −1

−μ

=

λt wt

λt −1 wt −1

(10 )

(2 0 )

⎛ 1 λt wt ⎞ ⎟⎟ ⇒ lt = lt −1 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎝ β λt −1 wt −1 ⎠

−

1

μ

⎛1 w ⎞ 1 = lt −1 ⎜ ⋅ ⋅ t ⎟ ⎜ β 1+ r ⎟ real ,t −1 wt −1 ⎠ ⎝

−

1

μ

Pentru a evidenţia relaţia dintre lt şi Ct vom folosi următoarele două ecuaţii:

f)

∂L ∂L = 0 şi =0. ∂lt ∂Ct

∂L ∂U −μ = βt + λt wt = 0 ⇒ −α ⋅ β t ⋅ lt = −λt wt ∂lt ∂lt ∂L ∂U −ν = βt − λt = 0 ⇒ β t ⋅ C t = λ t ( 2 0 ) ∂Ct ∂Ct (1 ) : (2 ) ⇒ α 0

0

lt

−μ

Ct

−ν

= wt ⇒ lt =

ν Ct μ

⎛w ⎞ ⋅⎜ t ⎟ ⎝α ⎠

−

1

μ

(10 )

⎛w ⎞ unde ⎜ t ⎟ ⎝α ⎠

−

1 μ

≥ 0.

32

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar ∂L = 0 și ∂lt

Pentru a evidenţia relaţia dintre lt şi mt vom folosi următoarele două ecuaţii: ∂L = 0. ∂mt ∂L ∂U −μ = βt + λt wt = 0 ⇒ −α ⋅ β t ⋅ lt = −λt wt (10 ) ∂lt ∂lt λt ∂L ∂U 1 1 −b = βt − λt + λt +1 ⋅ = 0 ⇒ γ ⋅ β t ⋅ mt = λ t − ⋅ ∂mt ∂mt 1+ π t 1 + rreal ,t 1 + π t

(2 0 )

λt +1 λt 1 = ⇒ λt +1 = λt 1 + rreal ,t 1 + rreal ,t

α lt − μ = (1 ) : (2 ) ⇒ γ mt −b 1 − 0

wt

0

b

1 1 ⋅ 1 + rreal ,t 1 + π t

⇒ lt = mt μ

1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

−

⎛1 1 = C0 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎝ β 1 + rreal

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ 1 − ⎜ wt ⎛γ ⎞ μ⎜ ⋅⎜ ⎟ ⎜ 1 1 ⎝α ⎠ ⋅ ⎜⎜ 1 − ⎝ 1 + rreal ,t 1 + π t

μ

unde

1 1 1 1 1 . ⋅ = ⋅ = 1 + r 1 + rreal ,t 1 + π t 1 + π t 1 + rt t 1+ π t

⎛ 1 − ⎜ ν μ wt γ ⎛ ⎞ lt = mt b ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ α ⎠ ⎜1− 1 ⎜ ⎝ 1 + rt

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

−

1

μ

.

⎛ 1 − ⎜ wt 1 1 ⎛γ ⎞ μ 1 + rt ≥ 1 ⇒ ≤ 1 ⇒ 1− ≥0⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1 1 + rt 1 + rt ⎝α ⎠ ⎜1− + 1 rt ⎝

g)

⎛1 ⎞ 1 ⎟ ştim că Ct = Ct −1 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎟ β 1 r + real ,t −1 ⎠ ⎝

⎛1 1 În acest caz, Ct = Ct −1 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎝ β 1 + rreal −

⎛1 1 C1 = C0 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎝ β 1 + rreal

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛1 1 C 2 = C1 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎝ β 1 + rreal

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎞ ⎟⎟ ⎠

−

−

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

−

1

μ

≥ 0.

1

ν

.

1

ν

1

ν

−

1

ν

⎛1 1 = C 0 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎝ β 1 + rreal

⎞ ⎟⎟ ⎠

−

1

ν

⎛1 1 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎝ β 1 + rreal

⎞ ⎟⎟ ⎠

−

1

ν

−

2

ν

.

. 33

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar . . Prin inducţie: ⎛1 1 Ct = C0 ⋅ ⎜⎜ ⋅ ⎝ β 1 + rreal

h)

⎞ ⎟⎟ ⎠

−

t

ν

⎛1 w ⎞ 1 ştim că lt = lt −1 ⎜⎜ ⋅ ⋅ t ⎟ ⎟ ⎝ β 1 + rreal ,t −1 wt −1 ⎠

−

1

μ

.

Dacă rata de creştere a venitului real (o putem nota cu wreal ), este constantă. wt = wt −1 (1 + wreal ) . ⎛1 ⎞ 1 ⋅ (1 + wreal ) ⎟⎟ lt = lt −1 ⎜⎜ ⋅ ⎝ β 1 + rreal ⎠

−

1

μ

⎛1 ⎞ 1 ⇒ lt = l0 ⎜⎜ ⋅ ⋅ (1 + wreal ) ⎟⎟ ⎝ β 1 + rreal ⎠

−

t

μ

.

În cazul extrem în care consumul este singura destinaţie a PIB, Ct = Yt .

i)

Vom utiliza următoarele ecuaţii:

∂L ∂L = 0 și =0 ∂mt ∂Ct

λt ∂L ∂U 1 1 −b = βt − λt + λt +1 ⋅ = 0 ⇒ γ ⋅ β t ⋅ mt = λt − ⋅ ∂m t ∂m t 1+ π 1 + rreal 1 + π ⎛ ⎝

γ ⋅ β t ⋅ mt −b = λt ⎜1 −

1 ⎞ ⎟ 1+ r ⎠

(10 )

∂L ∂U −ν = βt − λt = 0 ⇒ β t ⋅ Ct = λt ∂Ct ∂Ct

(1 ) : (2 ) ⇒ γ 0

0

mt Ct

−b −ν

(2 0 )

1 1 ν = 1− ⇒ mt = ⋅ Yt b 1+ r γ

1 ⎞ ⎛ ⋅ ⎜1 − ⎟ 1 r⎠ + ⎝

−

1 b

(30 )

Se observă că oferta reală de monedă depinde pozitiv de nivelul venitului şi negativ de rata dobânzii. În cazul în care nu se observă imediat realţia inversă între oferta reală de monedă şi rata dobânzii, trebuie verificat semnul următoarei derivate: ∂mt 1 ν ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = ⋅ Yt b ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎟ ∂r γ ⎝ b ⎠ ⎝ 1+ r ⎠

1 − −1 b

2

⎛ 1 ⎞ ⋅⎜ ⎟ ≤0 ⎝1+ r ⎠

Relaţia (30 ) confirmă teoria keynesistă conform căreia cererea de monedă (egală la echilibru cu oferta reală de monedă) este o funcţie crescătoare în raport cu venitul şi descrescătoare în raport cu rata dobânzii.

j) Milton Friedman a propus ca regulă de politică monetară alegerea unei rate constante pentru creșterea masei monetare, ceea ce implica o atitudine pasivă a băncii centrale. Rata de creştere a masei monetare se poate nota cu μ M

34

Capitolul I - Comportamentul agentului consumator – suport de seminar M t = M t −1 (1 + μ M )

Regula Friedman ⇔ μ M = constant ⇔

Mt = constant M t −1

Mt M P P m Mt = constant = t ⋅ t −1 ⋅ t = t ⋅ (1 + π ) M t −1 M t −1 Pt M t −1 Pt −1 mt −1 Mt m m = constant ⇔ t ⋅ (1 + π ) = constant , π = constant ⇔ t = constant . mt −1 M t −1 mt −1

Pentru a analiza raportul

mt ∂L ∂L = 0 şi = 0: vom folosi următoarele ecuaţii ∂mt ∂mt −1 mt −1

λt ∂L ∂U 1 1 −b = βt − λt + λt +1 ⋅ = 0 ⇒ γ ⋅ β t ⋅ mt = λt − ⋅ ∂m t ∂m t 1+ π 1 + rreal 1 + π λt −1 ∂U 1 1 ∂L −b − λt −1 + λt ⋅ = 0 ⇒ γ ⋅ β t −1 ⋅ mt −1 = λt −1 − ⋅ = β t −1 ∂mt −1 1+ π 1 + rreal 1 + π ∂mt −1

⎛ m ⎞ β ⎜⎜ t ⎟⎟ ⎝ mt −1 ⎠

−b

⎛1 m λ 1 1 = t = ⇒ t = ⎜⎜ ⋅ mt −1 ⎝ β 1 + rreal λt -1 1 + rreal

⎞ ⎟⎟ ⎠

−

1 b

= con tan t ⇒

Regula de politică monetară este de tip Friedman. Întrebare: În cazul în care rata inflaţiei este 5%, rata nominală este 7%, b=0.5, iar factorul β =0.97, cât este rata de creştere a masei monetare? de actualizare,

1 + rreal =

1 + 7% = 1.019 1 + 5%

mt 1 ⎞ ⎛ 1 =⎜ ⋅ ⎟ mt −1 ⎝ 0.97 1.019 ⎠

−

1 0.5

= 0.97699

Mt m = t ⋅ (1 + π ) = 0.97699 ⋅ 1.05 = 1.0258 M t −1 mt −1

Rata de creştere a masei monetare este 2.58%.

35

Capitolul I - Comportamentul Agentului Consumator –

Recommend Documents