Cap. 3 - Líneas de Influencia

ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA

3.1.- Introducción

Las líneas líneas de influen influencia cia son gráficos que se realizan a escala , los cuales nos permiten calcular los esfuerzos normales, cortante y el momento flector, en una sección sección determi determinad nada a de la estruct estructura ura, principalmente cuando la estructura es sometida al paso de una carga unitaria. Las líneas de influencia se las determina, cuando se hace circular a lo largo de un elemento estructural una carga puntual unitaria, esto nos permite determinar

un gráfico de esfuerzos unitarios para la sección considerada, posteriormente se debe buscar la sección más critica en la cual se presenten los máximos esfuerzos, ubicada esta sección se debe proceder a determinar su línea de influencia, después de estar estar graf grafica icada da la líne líneaa de inf influe luenc ncia, ia, se proc procede ede aplica aplicando ndo en la línea línea de influencia las cargas puntuales o distriuidas de las cargas muertas o !i!as , su incidencia de estas cargas en la sección más crítica, nos permiten encontrar los má"imos esfuerzos de normales, cortante y del momento flector. $%1

&3

&1

&'

&1

&'

&3

Las cargas que generalmente inciden en una línea de influencia, son la carga puntual y la distriuida, las cuales para propósitos de diseño se las debe ubicar en

las secciones más críticas del elemento que se este considerando, esto con el objetivo de poder determinar los máximos esfuerzos tanto positivos como negativos.

#n otras palaras las líneas de influencia es un herramienta de cálculo que nos permite determinar los má"imos esfuerzos para la sección más crítica de la estructu estructura ra que se este analiza analizando ndo.. sta !erramienta es mu" utilizada en los

puentes para la determinación de los máximos esfuerzos por carga viva# sin embargo también se la puede utilizar para todo tipo de estructuras, como por ejemplo edificios, losas de fundación, etc.

$%&'( )*+ -

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


3.'.- Líneas de Influencia para #structuras Isostáticas $%1 &

$67

carga unitaria constante

&&

(ección fija en la cual se pretende determinar su L*.

&

$osición variable de la carga h

Las líneas de influencia se las define como un diagrama donde las asisas 4 5 son medidas longitudinales ubicadas a lo largo de la estructura, las cuales definen la posición de la carga unitaria " las ordenadas 4 h5 en el diagrama son trazadas trazadas a una cierta escala, estas representan el valor de un esfuerzo o de una reacción, la cual fue calculada para una sección determinada, cuando la carga unitaria móvil $ 6 7 adopta diferentes posiciones en la estructura. 3.'.1.- Línea de Influencia para cargas puntuales $1

$'

$3

 

# 1

'

 6 sfuerzo calculado mediante la líne líneaa de infl influe uenc ncia ia,, en un unaa secc secció iónn de dete term rmin inad ada, a, cuan cuando do circula en la estructura una carga unitaria $ 67

3

n

# % $1

1

( $'

'

())).( $n

n

# %

$i

i

i=1

sta fórmula significa que cuando las cargas externas que inciden en la estructura son son carg cargas as pu punt ntua uale les, s, los los esfu esfuer erzo zos s de la líne línea a de infl influe uenc ncia ia sean sean esto estos s esfu esfuer erzo zos s norm normal ales es,, cort cortan ante tes s o mome moment ntos os flec flecto tore res, s, se multiplicando la ordenada * h+ por la carga $ puntual solicitante.

$%&'( )*+ -

dete determ rmin inan an

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.

P


3.'.- Líneas de Influencia para #structuras Isostáticas $%1 &

$67

carga unitaria constante

&&

(ección fija en la cual se pretende determinar su L*.

&

$osición variable de la carga h

Las líneas de influencia se las define como un diagrama donde las asisas 4 5 son medidas longitudinales ubicadas a lo largo de la estructura, las cuales definen la posición de la carga unitaria " las ordenadas 4 h5 en el diagrama son trazadas trazadas a una cierta escala, estas representan el valor de un esfuerzo o de una reacción, la cual fue calculada para una sección determinada, cuando la carga unitaria móvil $ 6 7 adopta diferentes posiciones en la estructura. 3.'.1.- Línea de Influencia para cargas puntuales $1

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$3

 

# 1

'

 6 sfuerzo calculado mediante la líne líneaa de infl influe uenc ncia ia,, en un unaa secc secció iónn de dete term rmin inad ada, a, cuan cuando do circula en la estructura una carga unitaria $ 67

3

n

# % $1

1

( $'

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())).( $n

n

# %

$i

i

i=1

sta fórmula significa que cuando las cargas externas que inciden en la estructura son son carg cargas as pu punt ntua uale les, s, los los esfu esfuer erzo zos s de la líne línea a de infl influe uenc ncia ia sean sean esto estos s esfu esfuer erzo zos s norm normal ales es,, cort cortan ante tes s o mome moment ntos os flec flecto tore res, s, se multiplicando la ordenada * h+ por la carga $ puntual solicitante.

$%&'( )*+ -

dete determ rmin inan an

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.

P


3.'.'.- Línea de Influencia para cargas uniformemente repartidas d

q

q6 

/ 6 (uperficie de la línea de influencia

d6 % q d

/

d 6  d1 6 

6

en la zona cargada

 6 sfuerzo calculado mediante la línea de influencia, en una sección determi erminnada da,, cua uanndo circ ircula en la estructura una carga unitaria $ 67

 % f*+



)arga uniformemente repartida

q d 6 f 4 5 q d

8zona cargada d 6 8z9c q f45 dξ 6 q 8z9c f45 dξ

# % q */ zona cargada+

sta fórmula significa que cuando la carga externa es una carga uniformemente distribuida 0q, el esfuerzo total en una sección determinada es igual al !alor de la carga 0q multiplic multiplicada ada por la superficie superficie 0/ de la línea de influencia influencia en toda la zona cargada.

3.'.3.- Línea de Influencia para carga uniformemente !ariale

d 6  d1 6  q d

q45

q % f 1 * + % a (  d





a





d 6 f 4ξ5 f 74ξ5 dξ d 6 f 4ξ5 4aξ ; b5 dξ

d6 % q d

1

CG

%f ' *+

/

 6 8z.c d 6 8zc f  4ξ5 4aξ ; b5 d ξ  6 a 8zc ξ f 4ξ5 dξ ;b 8zc f 4ξ5 dξ 7icación del centro de gra!edad de la LI

'omando 'omando momentos con respecto al punto punto 7 4 aplicando el teorema de 2arigon 2arigon 5 0 ξ) 6 8zc :ξ ξ dξ 6 8zc ξ f 4ξ5 dξ ⇒  6 a ξ) 0 ; b 0 6 4a ξ) ; b5 0 6< 6 f 7 4ξ)5 0 # % q45 */+ zona cargada

$%&'( )*+ -

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.

P


sta fórmula significa que cuando la carga externa es una carga uniformemente variable = qx =, el !alor total del esfuerzo en una sección considerada, es igual a la superficie de la línea de influencia */+, multiplicada por el !alor de la carga a la altura del centro de gra!edad de la línea de influencia *q 45+

3.'.8.- Línea de Influencia para una carga distriuida que tenga una función de orden superior

s importante indicar que en estructuras isostáticas, las líneas de influencia están limitadas solamente por trazos rectos, por lo tanto las líneas de influencia solamente pueden ser funciones de 7 er orden 4rectas5. q % f 1 * + dξ

función de grado superior

d 6 h d1 6 h q d 6 f  4 5 f 7 4 5 d









45

a

d  6 4a ; b5 f 745 d  d6 % q d

 6 8zc 4aξ ; b5 f 7 4x5 dξ

6

 6 a 8zc ξ f 7 4x5 ; b 8zc f 7 4x5 dξ

CGR

 h

6 7icación de la ordenada h6

% f ' * + % a (  *función 1 er orden+

6 8zc ξ d1 6 8zc ξ.q? dξ 6 8zc ξ f 74ξ5 dξ

/plicando el teorema de 2arigon >

1

 6 a 1 )1 ; b 0q

pero

0q 6 1

 6 a 1 )1 ; b 1

 6 4a )1 ; b54 15 6 f  45 1

)1

# % 6 h6

sta formula significa que cuando la carga distribuida es una función de orden superior, la línea de influencia es solamente una función de primer orden 4recta5, para este caso el esfuerzo total es igual a la resultante de la carga multiplicado por la ordenada de la línea de influencia a la altura de la resultante n

#sfuerzo total

#%

6i h6i i %1

n el caso de que la carga se dividiera por tramos, entonces se presentaría sumatoria de resultantes " ordenadas

3.'.9.- Línea de Influencia para la reacción en los apoyos $%&'( )*+ -

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.

una


)uando al circular una carga unitaria en el elemento isostático, esta carga se ubica en los apo"os 4 x % : y cuando x % L5, entonces se puede determinar su línea de influencia para la reacción en los apo"os, conocida también como fuerza cortante inicial en la viga isostática, este cálculo se indica a continuación> $%1

6/

6; 2alor de 6 /

(1

LI 6/

(

LI 6; 2alor de 6 ; (1 (

L

ξ

Σ 3 0 6@

1A 4L5 6 475 4 x5

6; %

Σ 3A 6@

1 0 4L5 6 475 4L9 x5

6/ %

$ara

x %

:

6/ % 1

6; % :

$ara

x %

L

6/ % :

6; % 1

L L − ξ

L

3.'.<.- Línea de Influencia para el esfuerzo 4ortante

La línea de influencia del esfuerzo cortante para una sección cualquiera 4 =s5 en una viga isostática, se determina de la siguiente manera> x $%&'( )*+ -

$%1 *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


&

6/

& a

6;

L-a L LI =s

(1

L − a

L − ξ

(

L

L

-

−

a L

-1 L

$ara cuando la carga $% 1 este en el tramo :> x > a $ara

x %

:

1 0 6 7

$ara

x %

a

1 0 6

=a izq 6 1 0 97 6

$ara

x %

L

1A 6 @

L − a

1A 6

L

L − a L

−16

1 0 6 @

Bs 6 7 C 7 6 @

=s % :

a L

L − a − L

=a izq %

L

Bs 6 9 $

−

a L

=s % - 1

$ara cuando la carga $% 1 este en el tramo a > x > L $ara

x %

:

1 0 6 7

$ara

x %

a

1 0 6

Ba der 6 1 0 6 $%&'( )*+ -

L − a L

1A 6 @

L − a L

Bs 6 1 0 1A 6

=s % 1

a L

=a der %

L − a L

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


$ara

x 6

L

1 0 6 @

Bs 6 @

=s % :

3.'.?.- Línea de Influencia para el @omento Alector

La línea de influencia del momento flector 4 @s5 en una viga isostática, se determina de la siguiente manera> x

$%1 & &

6/

6;

a

(

a( L − ξ )

a( L − a )

(

L

L

a

L-a

L

LI @s

L-a

L

$ara cuando la carga $% 1 este en el tramo :> x > a $ara

x %

:

1 0 6 7

$ara

x %

a

1 0 6

1A 6 @

L − a

3s 6 7 C 7 6 @

3s 6 1 0 4a5 97 4a9 x5 6 4 3s 6 1A 4L9a5 6 4 $ara $%&'( )*+ -

x

1 0 6

L − ξ L

a L

1A 6

L

a L

L − a L

54L9a5 1A 6

@s % :

54a5 @s % @s %

a( L − a ) L a( L − a ) L

ξ L *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


3x 6 1 0 4a5 C 7 4a9 x5 $ara

1 0 6 @

x=L

ξ ( L − a )

@s %

L

1A 6 7

3s 6 9 7 4a C x5 6 9a ; x

@s % L - a

$ara cuando la carga $% 1 este en el tramo a> x > L $ara

x %

:

$ara

x %

a

1 0 6 7 1 0 6

1A 6 @ L − a

3s 6 1 0 4a5 1A 6

L

3s 6 1 0 4a5 6 4

L − a L

3s 6 1A 4L9a5 6 4 $ara

1 0 6

x

54a5

@s %

54L9a5 @s %

L − ξ L

a L a( L − a ) L

a( L − a ) L

ξ L

1A 6

L

1 0 6 @

x=L

a L

L − ξ

3x 6 1 0 4a5 6 4 $ara

@s % a

54a5

@s %

a( L − ξ ) L

1A 6 7

3s 6 1 0 4a5

@s % :

> Determinar la línea de influencia del momento flector " el cortante, para una viga simplemente apo"ada, que tiene una longitud de 7 metros, la línea de influencia será calculada para cada sección ubicada cada  metros " determinar la línea de influencia del momento flector " del cortante en la sección central de la viga. #Bemplo

$%1 x

1

61

a

b

' 1

3 2

8 3

E

9 4

5

? 6

6?

L % 1' m L % 1' m $%1

1er #stado de 4arga 1

Elem 1

NI = 1

$%&'( )*+ -

M1 = 0

Q1 = 1

? 2

3

4

5

6

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


NF = 2

M2 = 0

Q2 = 5/6

NI =2 NF = 3

M2 = 0 M3 = 0

Q2 = 5/6 Q3 = 2/3

NI = 3 NF = 4

M3 = 0 M4 = 0

Q3 = 2/3 Q4 = 1/2

Elem 4

NI = 4 NF = 5

M4 = 0 M5 = 0

Q4 = 1/2 Q5 = 1/3

Elem 5

NI = 5 NF = 6

M4 = 0 M5 = 0

Q5 = 1/3 Q6 = 1/6

Elem 6

NI = 6 NF = 7

M4 = 0 M5 = 0

Q6 = 1/6 Q7 = 0

Elem 2

Elem 3

Elem 2

:.9

1

NI = 1 NF = 2

M1 = 0 M2 = 5/3

Q1 = 5/6 Q2 = 1/6

NI =2 NF = 3

M2 = 5/3 M3 = 4/3

Q2 = 1/6 Q3 = 1/6

LI =

(

LI @ %:

x=2m

'do estado de 4arga Elem 1

:

1

$%1 ?

1 2

3

4

5

6

1D<

9D< 5/6

(

1/6

-

Elem 3

NI = 3 NF = 4

M3 = 4/3 M4 = 1

Q3 = 1/6 Q4 = 1/6

M4 = 1 M5 = 2/3

Q4 = 1/6 Q5 = 1/6

NI = 1 NF = 2

M1 = 0 M2 = 4/3

Q1 = 2/3 Q2 = 2/3

NI =2 NF = 3

M2 = 4/3 M3 = 8/3

Q2 = 2/3 Q3 = 1/3

Elem 4

NI = 4 NF = 5 3C #stado de 4arga Elem 1

Elem 2

5/3 4/3

1

2/3

1/3

( $%1

x=4m

1

? 2

3

4

5

6

1D3

'D3

2/3

(

1/3

-

Elem 3

Elem 4

NI = 3 NF = 4

M3 = 8/3 M4 = 2

Q3 = 1/3 Q4 = 1/3

NI = 4 NF = 5

M4 = 2 M5 = 4/3

Q4 = 1/3 Q5 = 1/3

4/3

2

4/3

2/3

(

x=6m

8C #stado de 4arga 1 $%&'( )*+ -

8/3

$%1 ?

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


Elem 1

Elem 2

Elem 3

Elem 4

NI = 1 NF = 2

M1 = 0 M2 = 1

Q1 = 1/2 Q2 = 1/2

NI =2 NF = 3

M2 = 1 M3 = 2

Q2 = 1/2 Q3 = 1/2

NI = 3 NF = 4

M3 = 2 M4 = 3

Q3 = 1/2 Q4 = 1/2

NI = 4 NF = 5

M4 = 3 M5 = 2

Q4 = 1/2 Q5 = 1/2

2

3

4

6

5

1D'

1D' (

0.5

0.5

1

2

3

2

1

Línea de Influencia @omento Alector y 4ortante en la sección central de su luz

L.I. @omento en el #Be de la !iga 1

2

3

4

5

1

6

1D<

7

h%LD8%

'

L.I. 4ortante en el #Be de la !iga 1D'

1D3

1D'

1'D8% 3

#Bemplo>

n la viga isostática que se muestra en la figura, actFan la carga muerta " la carga viva, la carga muerta esta conformada por una carga uniformemente distribuida de  tnGm, una carga puntual de H tn " una carga trapezoidal con una carga uniformemente variable que va de  tnGm a ItnGm, la carga viva consiste en un tren tipo de un camión compuesta por tres cargas conforme se indica en los gráficos. &e pide determinar la reacción má"ima en /. 4arga @uerta 3 tn 8tnDm ' tnDm /

;

Em 3m

$%&'( )*+ -

'tnDm

:.9 :.9

8m *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


4arga 2i!a 8 tn

3 tn

9 tn

' m.

/

3 m.

;

Em

La línea de influencia cuando circula una carga unitaria en esta viga isostática es> $%1

x

/

;

Em

$ara

: > x > E m

Σ 3A 6

@

1 0 4J5 6 7 4J 9 x5

Σ 3 0 6

@

1A 4J5 6 7 4 x5 6; %

6/ %

8 − ξ 8

ξ

$ara x 6 @ m

6/ % 1

$ara x 6 J m.

6/ % :

$ara x 6 @ m.

8

6; % :

$ara x 6 J m.

6; % 1

Feterminación de las reacciones 6/ para el estado de 4arga @uerta 3 tn 8tnDm ' tnDm /

'tnDm ;

Em 3m

:.9 :.9

8m

LI 6/ (1

/1

$%&'( )*+ -

1

'

3

/' *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


#sfuerzos Internos 4argas $untuales

# %

$i

4arga 7niformemente Fistriuida

# % q */ zona cargada+

4arga 7niformemente 2ariale

#%q

i

*/+zona cargada

cg

4álculo de los 0 h 1 8

=

η 1

1

=

η 1

=

η 3

8 1 8

=

5

5

4

η 2

4.5

=

η 3

4

5

1

8

8

⇒ η 1 = ⇒ η 1 = 0.625

=

η 2

4.5

⇒ η 2 = 4.5 ⇒ η 2 = 0.5625 8

4

⇒ η 3 = ⇒ η 3 = 0.5 8

4arga 7niformemente Fistriuida

07 6 47 ; @.E-G5 4 Hm5

(1

/1

07 6 .IHK- m 

Hm

4arga 7niformemente 2ariale 8 tnDm

q45

2tn/m

3

/'

$%&'( )*+ -

' tnDm "'

q ) 6  tnGm; q ′ 1

x7 6

q′

"1

:76 @.E-

3 2

x 6

3

q' 2 ( 4) 3 qCG

=

( 4 m)

6

( 4 m)

6

2

⇒

3q'

4

10

3

3

4

= 2+ =

8

4 3 8 3

m 6 7.HH m m 6 .EK m 2

4

4

3

= ⇒ q' = tn/m

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


Im

0 6

(η 3 )(4) 2

6

(0.5)(4) 2

0 6 7 m 4alculo de la reacción 6 /G por las cargas muertas

6/H % q */ zona cargada+ (

$i

i

(q

*/+zona cargada

cg

6/H % q /I ( $ h' ( q45 /' 10



6/ % ' tnDm *'.83?9m+ ( 3 tn *:.9<'9+ (  tn / m *1m+ 3  3

6/ % J.EJ< tn

4argas @uertas

Feterminación de las reacciones 6/ para el estado de 4arga 2i!a

8 tn

3 tn

' m.

9 tn

3 m.

/

;

Em

$rimera $osición

η 4 8

LI 6/ 8 % (1

/1

' m. $%&'( )*+ -

9

<

3 m.

=

hI 6 h- 6 hE 6

η 5 6

7

3 4 3 8

=

η 6 3

6 @.K 6 @.HK-

3 m. *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


9 tn

3 tn

3 m.

8 tn

' m.

/

;

Em

&egunda $osición

η 4 8

hI 6

LI 6/ 8 % (1

/1

?

3 m.

=

hK 6

E

hJ 6

' m.

η 7 5

7

5 8 3 8

=

η 8 3

6 @.E 6 @.HK-

3 m.

 6  $i h

$rimera $osición

i

1 0 6 I tn 4 hI5 ; H tn 4h-5 ; - tn 4hE5 1 0 6 I 475 ; H [email protected] ; - [email protected]

6/KK % E.1'9 tn



 6  $i h

&egunda $osición

i

1 0 6 - tn 4 hI5 ; H tn 4hK5 ; I tn 4hJ5 1 0 6 - 475 ; H [email protected]-5 ; I [email protected]



6/KK % E.3?9 tn

De acuerdo a los resultados obtenidos del tren tipo de la carga viva, se deberá escoger la ma"or reacción 41 0 max5 entre las dos posiciones de esta carga, nuevamente esta el criterio de utilizar la máxima carga que incida sobre la ordenada ma"or, es la que nos brindará como resultado el máximo esfuerzo. 6/KK % E.3?9 tn $%&'( )*+ -

4arga 2i!a *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


Minalmente obtenida la reacción máxima por carga muerta " por carga viva, la reacción final en 0, se obtendrá de la siguiente manera> 6/ % 6/H (6/HK 6/ % J.EJ< tn ( E.3?9 tn 6/ % 1E.'?1 tn

#Bemplo>

$ara la viga isostática que se muestra en la figura se pide determinar la línea de influencia para la reacción en los apo"os 1 0 " 1A, así mismo también se pide calcular la línea de influencia para los momentos flectores en las =sección aN " en la =sección bN 43 a " 3b 5 conforme se indica en la figura. $%1 

a

a

/

a

a

;

1m

'.9 m

'm

a+ Feterminación Línea de influencia para las 6eacciones en / y ; *6 / y 6;+ 1er 4aso

O3 0 6 @ $%&'( )*+ -

:≤

1A 4E5 6 $ 4?5

≤ < m.

1A 6 ξGE

ξ = 0 ξ = 6

6; % : 6; % 1

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


O3A 6 @

1 0 4E5 6 $ 4E 9 ?5
'do 4aso

O3 0 6 @

1 0 6 4E 9 ξ5GE

≤ E m.

1A 4E5 6 $ 4?5

1A 6 ξGE

ξ = 0 ξ = 6

6/ % 1 6/ % :

ξ = 0 ξ = 6

6; % : 6; % 1 6; % 8D3

ξ=8

O3A 6 @

1 0 4E5 6 9 $ 4? 9E5

ξ = 0 ξ = 6

1 0 6 9 4ξ 9 E5GE

ξ=8 /

6/ % 1 6/ % : 6/ % -1D3

;

-

-1D3

LI 6/

(

(1

(1

(

(8D3

LI 6;

+ Feterminación Línea de influencia para los @omentos flectores @a y @ $ara el @omento Alector @a 1er 4aso

:≤

≤ '.9: m.

ξ

3a 4por derec!a5 6 1 A 4H.-m5 6 'do 4aso

'.9: m. ≤

6

< m. ≤

ξ=0 ξ = 2.5

@a % : @a % 1.89E3

ξ = 2.5 ξ=6

@a % 1.89E3 @a % :

≤ < m.

3a 4por izquierda5 6 1 0 4.-m5 6 3er 4aso

43.55 = 0.583ξ

6

−

ξ

6

( 2.5)

≤ E m.

3a4 por izquierda5 6 1 0 4.-5 6 −

( ξ − 6 6

( 2.5)

ξ=6 ξ=8

@a % : @a % - :.E333

$ara el @omento Alector @ $%&'( )*+ -

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


:≤

1er 4aso

≤ < m.

Debido a que la carga unitaria en este intervalo no pasa por la sección

@ % :

< m. ≤

'do 4aso

≤ E m.

3b 4izq5 6 1 04K5 ; 1A 475 6 −

/

( ξ − 6) 6

ξ=6 ξ=7 ξ=8

ξ  ( 7) +    1 − P ( 7 − ξ )  6 

;

a a

@ % : @ % : @ % -1

 

'.9m - :.E3

-

LI @a

(

'.9m

1.89E3 -1

-

LI @ 1m

#Bemplo>

Determinar el máximo momento flector " la máxima fuerza cortante, para la viga simplemente apo"ada que se muestra en la figura, la cual tiene una luz de @ metros, aplicar la carga del tren móvil de un camión trailer que se indica en la figura. ':::g 8:::g $'

$1

<:::g

6

8.9 m

3m

Σ$

$3

9.9 m

%6

6 % '::: ( 8::: ( <::: g 6 % 1'::: g

1: m

1

' A

B

C

': m

$osición de la 6esultante

O3A 6 @

4con respecto al tren tipo5

@@@4H5 C E@@@47@5 9 14x5 6 @

" % 8.9 m.

1ra $osición. 9 4uando el punto medio de la luz de la !iga este entre / y 6 *@ ma" /+ 3.75 m

6.25 m

$1 $%&'( )*+ -

1

3.75 m

$' 3m

6.25 m

6 10 m

$3

L%

4.5m + 3m % 3.?9 m 2

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


' A

C

B

61

': m

6'

O3 6 @

17 4@m5 6 7@@@ Pg 4E.-m5

⇒

61 % 3?9: g

O3 0 4izq5

3 0 6 HK-@ Pg 4E.-m5

⇒

@/ % '383?.9: g.m.

'da $osición. 9 4uando el punto medio de la luz de la !iga este entre ; y 6 *@ ma" ;+ 4.5 m

7.75 m

$1

7.75 m

$'

4.75 m

6 2.25

3m

2.25

$3 2.25

5.5 m

1

L%

4 .5m 2

% '.'9 m

' A

B

C

61

6'

': m

O3 6 @

17 4@ m5 6 7@@@ Pg 4K.K- m5

⇒

61 % 8<9: g

O3A 4izq5

3A 6 IE-@ Pg 4K.K- m5

⇒

@; % 3::3?.9: g.m.

3ra $osición. 9 4uando el punto medio de la luz de la !iga este entre 4 y 6 *@ ma" 4+ 2.75 m 2.75 m

7.50 m

$1

A

L%

6

$'

3m

7.25 m

$3

)on esta situación una de las cargas $1 esta fuera de la viga.

10 m

B

61

C

$%&'( )*+ -

6'

': m

1a 6 $ ; $H 6 I@@@ Pg ; E@@@ Pg

5 .5 m % '.?9 m 2

)uando se presente esta situación se deberá calcular una nueva resultante

6a % 1:::: Mg. *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


$osición de la nue!a 6esultante

O3A 6 @

4con respecto al tren tipo compuesto por A " )5

E@@@ Pg 47@m5 C 1a 4x5 6 @ 2m

8.00 m

2m

8.00 m

6a

$'

$3

6m

2m

" % <.:: m.

10 m

1

' B

C

61

6'

': m

O37 6 @

1 4@ m5 6 7@@@@ Pg 4J m5

⇒

6' % 8::: g

O3) 4der5

3) 6 I@@@ Pg 4J m5

⇒

@4 % 3'::: g.m.

Ntra @etodología de 4álculo 1ra $osición. 9 $rocedimiento para determinar el @ ma" en el punto / $' % 8::: g

$1 % '::: Mg

"

3m

$3 % <::: g

10 m

'

1 A

61

O37 6 @

': m

$%&'( )*+ -

6'

1 4@5 6 @@@ x ; I@@@ 4x;H5 ; E@@@ 4x;7H5 R 2

O3 6 @

C

B

=

2000 x + 4000( x + 3) + 6000( x + 13) 20

6' % <:: " ( 89::

17 4@5 6 @@@ 4@9x5 ; I@@@4@9x9H5 ; E@@@4@9x9H97@5 *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


0.12m

R1

=

2000( 20 − x) + 4000(17 − x) + 6000(7 − x)

61 % ?9:: - <:: "

20

dM A

3 0 6 174x5 6 K-@@ x C E@@ x 

dx

0.40m 0.38m

= 7500 − 1200x = 0

" % <.'9 m

1eemplazando este valor obtenemos el 3 max en 0. 3 0 6 K-@@ Pg 4E.-m5 C E@@ 4E.-m5 

6<

@/ % '383?.9: g.m

'da $osición. 9 $rocedimiento para determinar el @ ma" en el punto ;

3A 6 4K-@@ 9 E@@x5 4x;H5 C @@@ 4H5 dM

3A 6 9 E@@ x ; -K@@ x ;7E-@@

dx

= −1200 x + 5700 = 0

" % 8.?9 m

1eemplazando este valor obtenemos el 3 max en A 3A 6 9 E@@ 4I.K-m5  ; -K@@ 4I.K-m5 ;7E-@@

@; % 3::3?.9: g. m.

3ra $osición. 9 $rocedimiento para determinar el @ ma" en el punto 4

3) 6 4K-@@ 9 E@@x5 4x;7H5 C @@@ 47H5 9 4I@@@5 47@5 dM

3A 6 9 E@@ x 9 H@@ x ; H7-@@

dx

= −1200 x − 300 = 0

" % - :.'9 m

l signo negativo de la absisa, significa que la carga $1 del tren tipo esta fuera de la viga por @.- metros, por lo tanto para encontrar el máximo momento para el punto =)N se deberá solamente considerar las cargas $' " $3 en la viga, conforme se indica a continuación. $' % 8::: g "'

$3% <::: g 10 m

1

' B

61 $%&'( )*+ -

C

': m

6' *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


O37 6 @

1 4@5 6 I@@@ 4x 5 ; E@@@ 4x ;7@5 R2

O3 6 @

=

4000( x 2 ) + 6000( x 2

+ 10)

6' % 9:: " ' ( 3:::

20

17 4@5 6 I@@@4@9x 5 ; E@@@4@9x 97@5 R1

=

4000(20 − x 2 ) + 6000(10 − x 2 )

61 % - 9:: " ' (?:::

20

3c 6 147@ 9 x5 6 4-@@ x  ;H@@@5 47@ 9 x 5 3c 6 9 -@@ x  ; @@@ x  ; H@@@@ dM c dx

= −1000 x 2 + 2000 = 0

"' % ' m

1eemplazando este valor obtenemos el 3 max en ). 3) 6 9-@@ 4m5 ; @@@ 4m5 ; H@@@@

6<

@4 % 3'::: g.m

Determinar el má"imo momento flector por carga !i!a, para una viga simplemente apo"ada que tiene una luz de ':: pies , considerar como carga viva el camión tipo O& ':-88 segFn las normas 00(Q'2. #Bemplo.-

1- 4onsiderando el teorema de ;arrP

'9.8E9 m

8.3: m

$ $D8

L % <1 m % ':: pies

8.3: m

'<.J19 m

$

1.83m '.E?m

:.?19 m

:.?19m

6

3:.9: m

3:.9: m

<1.:: m

$%&'( )*+ -

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


1

3 '

'J.?E9 m

η 2

=

M

=

x( L − x ) L P

4

=

31.'19 m

( 29.785)( 61 − 29.785) 61

:7 6 7H.@I :H 6 7H.7I

⇒ η 2 = 15.24

(13.04 ) + P (15.24 ) + P (13.14) ⇒

4amión O& ':-88 $ % ?'<: g

@ % 31.<8 $

@omento por una fila de ruedas ⇒ @ % ''J.?1 tn-m

(uponiendo un f I % 1.9:

@omento má"imo sore la !iga

3max 6 f *.3 6 47.-54R.K75

@ma" % 388.9< tn-m

⇒

'.- 4onsiderando las Qalas de //&OQN

L 6 @@ pies 4E7m5 M

=

4.100 .00000 Lb

anc!o de vía 6 H.@- m −

pie

0.4536kg =

1 Lb

x

0.3048m =

1 pie

566 .855 kgm

@ % 9<<.E9

tn m @omento por metro lineal de Losa

M

1  = 56685   ⇒  3.05 


@omento @á"imo sore la !iga M ma!

=   

56685tn.m   x ( f I ) ⇒ 2ruedas 

@ma" % 1E9.E9 tn mDm

@ma" % 8'9.18 tn m L6@@ pies 4E7m5 0nc!o de vía 6 H.@-m

3.- 4onsiderando la 4arga #qui!alente

η =

P . L 4

=

61m 4

= 15.25

$@ %E1<9 g M

q % J9' gDm $%&'( )*+ -

= 952 15 .25 61  + 8165[15 .25 ] 2  

3 6 -EKH7-.-*&. Pg.m /%0& )01L2( 32/*)0 0. @ % 9

%$LD8 3:.9:m

3:.9:m

@omento por metro lineal de losa M ma!

1  = 567 .32tn.m    3.05 


@omento @á"imo sore la !iga M ma!

0.12m

@ma" % 1E<.:1 tn m

567 .32tn.m  =    x ( f I ) = ( 283 .66tn.m )(1.50 )  2 ruedas 

@ma" % 8'9.8J tn m

4onclusión.- (e

demuestra con este ejemplo que para esta luz de E7 metros, gobierna el diseño la carga equivalente, también queda demostrado que el valor encontrado en tabla de la norma 00(Q'2 coincide con el determinado mediante el método de la carga equivalente. $rácticoR

Determinar la luz de una viga simplemente apo"ada de un puente carretero, de tal manera que se cumpla que el momento por carga viva del camión Q( @9II, determinado por el método del tren tipo, sea igual al determinado por el método de la carga equivalente. 1.-

Determinar en una viga simplemente apo"ada, !asta que longitud de viga gobierna el diseño por carga viva el tren tipo " la carga equivalente 4utilizar para su demostración el camión tipo Q( @9II5 '.-

Qren Qipo 8.3: m

8.3: m

$

$

$D8

L

$%&'( )*+ -

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.

0.40m 0.38m


$@

4arga #qui!alente

q

L

3.3.- Líneas de Influencia para #structuras Oiperestáticas $%1 &&

$%1

6

)arga unitaria móvil constante (ección fija de interés donde se desea calcular la línea de influencia Define la posición variable de la carga

& F 4

A

# &

@& % @&&A - m&F *@FA+ - m&# *@#A+

; $%1

@F %1

S /

%

$%&'( )*+ -

S

;=

S

S

*-@FA+

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.

(


&istema AiBo S

&istema F

@# %1 *-@#A+

S

(

4on!ención de signos

@# % ( &istema # @& 6 2rdenada de la Línea de *nfluencia del 3omento Mlector en la sección (9( @&&A 6 3omento Mlector en la sección (9( calculado para

el (istema Mijo

m&F 6 3omentos Mlectores en la sección (9( calculado para el (istema D m&# 6 3omentos Mlectores en la sección (9( calculado para el (istema  @FA 6 3omentos Mijos producidos por $67 en el nudo D @F# 6 3omentos Mijos producidos por $67 en el nudo  #BemploR Determinar la línea de *nfluencia del momento flector para la sección (9( 

$%1 & ;

/

4

2I

2I

F

2I

2I

&

I # 4m

P=1

8m

8m

S

(istema Mijo $%&'( )*+ -

A

8m

S

6m

I

4m

S

=

*-@;A+

S

(istema A *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.

+


S

*-@4A+

S

+

M S

= M S SF − m BS ( M B F ) − m sc ( M C F )

(istema ) Feterminación de las 6igideces y de los Aactores de Fistriución K BA

= K C =

3 EI

K BC

= K CB =

4 EI

K BE

= K CF =

4 EI

=

L

=

L

=

L

3 E ( 2 I ) 8 4 E ( 2 I ) 8 4 E ( I ) 8

= 0.75

DA0 6 D)D 6

0.75 2.42

6 @.H7

= 1.00

DA) 6 D)A 6

1.00 2.42

6 @.I7

DA 6 D)M 6

0.67 2.42

6 @.J

= 0.67

SM % '.8' &I&Q#@/ 0;

S F % 1.::

@; % (1 :.3E8

@.@@7 @.@7H

@.@@7 9@.@@ @.@7K 9@.@I

:.31: :.31

:.81: :.81

:.3'8

:.1'<

' J ' . :

7 K @ 7 @ @ . . @ @

< 8 1 . :

@ @ @ . @

E @ @ . @

9@.@@I @.@@R 9@.@JI @.@-

9@.@@ 9@.@EI

:.81

:.31

E E ' ' . . : :

: < : . : -

H @ @ . @ 9

K @ . @ 9

@ I 7 . @

: 3 : . : -

7 @ @ . @ 9

R , @ . @ 9

:.:<<

E ' . :

4álculo de m &; % 3omento Mlector en la sección (9( calculado para el &istema ; $%&'( )*+ -

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


:.3E8

:.1'<

S

=

!

∑ M = 0.384 + 0.126 = 0.06375 8

L

4m

ms; % :.:<3?9*8+  :.3E8

S 0.06375

ms; % - :.1'J

0.06375

4$or simetría5

&I&Q#@/ 04

-:.:<<

@c % (1

:.1'<

:.3E8

:.3'8

: < : . -

' J ' . :

: 3 : . -

< 8 1 . :

4álculo de m &4 6 3omento Mlector en la sección (9( calculado para el &istema 4 :.1'<

:.3E8

S

m&4 % :.:<3?9*8+  :.1'<

4m

S

m&4 % ( :.1'J

0.06375

0.06375

Nrdenadas de la línea de Influencia @ &

@s % @s

0

1

2

3

4

5

6

;

$%&'( )*+ -

&A

( :.1'J @;A -:.1'J @4A

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

4

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


Feterminación del @;A y del @4A 4álculo del @ ;A

$osición : MBF

@;A % '



2 0

1

3AM 6 3 ménsula [email protected] 3AM 6 I [email protected]@5

$osición 1

@;A % '*:.9+ % 1

$osición '

@;A % :

"

#



3

4 5

a

MB



M B

F

F

= − Pab 4 L + a 5

a

2 LS

L

= 0.25

$osición 3 F

M B

=

2465 2485S

48 + 25 = −0.9375

M B

F

= − K 4 PL = 0.1172485 = −0.9376

$osición 8

3AM 6 9 TI$L 6 9 [email protected] 6<

@;A % -1.9

$osición 9

3AM 6 9 TI$L 6 9 [email protected] 6<

@;A % -1.31'E

$osición <

@;A % :

4álculo del @ ;A, @4A $%1



A ;

@ % MBF

a

3AM 6

( 2 )(6) 2 8

3)M 6 9 3 6 M A

$osición E

L2

2

Pa b @ % − 2 A 4

L

MCF



$osición ?

Pab 2

$%&'( )*+ -

2

( 2 ) 2 ( 6) 8

2

( 4)( 4 ) 2 8

2

@;A % 1.1'9 @4A % - :.3?9 @;A % 1 *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.

M

F


( 4 )( 4 ) 2

3 6 9 M )

8

@4A % - 1

2

4álculo del &istema AiBo @ &&A



M"F

P=1

P=1

M$

F



%

% 4m

M"F=

L − ξ

8m

M S

ξ

= ( x) +

M B

F

F

M B

F

+ M

M B

F

C

−

x' M B

L

$osición ?

M S

SF

$osición E

M S

SF

=

=

2 8

4 8

F

( 4) +

( 4) +

1.125 − 0.375 8

1−1 8

( 4 ) − 1.125

( 4) − 1

@&&A% :.'9

@&&A % :.9 *8+  1 % 1

Nrdenadas de la línea de Influencia @ &

@s % @s

&A

( :.1'J @;A -:.1'J @4A

- :.1J8

- :.1J8 0

1

&

'

'

2 3

4

6 5

7

8

9

"

$

&

&

'

10 11

' 12

14 13

15

16

& ( :.'9E

( :.'9E $%&'( )*+ -

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.

M

F

+ M

F

C

L

L

F

+ M

C

L

%

ξ L

L

SF

%

%

%

M$F=


( 1.'<'

$osición

@;A

@4A

@&&A

@&

:



@

@

(:.'9E

1

7

@

@

(:.1'J

'

@

@

@

:

3

[email protected]

@

@

-:.1'1

8

97.-

@

@

-:.1J8

9

97.H7H

@

@

-:.1
<

@

@

@

:

?

7.7-

[email protected]

;@.-

(:.8839

E

7

97

;7

(1.'<'

$ráctica R Determinar la Línea de *nfluencia del 3omento Mlector en la sección

(9(, para las características descritas en la viga continua que se indica en la figura. & /

;

4

1.5 I

Im

&

F

2I

2I

Em

-m

3.8.- Líneas de Influencia en 2igas de 6igidez Infinita

Las líneas de influencia que se calculan para las vigas de rigidez infinita 4 !igas diafragmas o !igas trans!ersales5 tienen una variación en su metodología de $%&'( )*+ -

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


cálculo con respecto a las líneas de influencias que se calcula con las vigas principales o vigas longitudinales# esto debido principalmente a las características que adquieren la vigas al ser consideradas como rígidas. $ara la determinación de las líneas de influencia de estas vigas transversales, utilizaremos el mPtodo de 4ouron , para determinar los máximos esfuerzos $%1



i(n

i(1

i

EI % L

∞

"i yi yi % a (*"i + *+ Mi

Mi

Mi

6i % *Mi+ *yi + 6 i(n

6

6i

i(1

&

'&

Las reacciones en estas vigas transversales son distintas# sin embargo se mantienen constantes la rigidez 4Ts5 del resorte. La reacción generalizada en estas vigas transversales será> 6 i % 6 $ n & i T

i

P   n + 1 − 2i  α  1 + 6    2 n  n − 1   S 

6 1eacción en el apo"o que se este considerando 6 )arga puntual unitaria 6 &Fmero de vigas principales 4apo"os5 6 (eparación entre ejes de las vigas principales 6 &Fmero del apo"o 4numerado de derec!a a izquierda5 6 0bscisa de la carga $ con respecto al centro de la viga

3.8.1.- Línea de Influencia para el 4ortante

$ara una mejor comprensión se tomara como ejemplo H vigas longitudinales, las cuales están separadas ( 6 .R@ metros, conforme se indica en la figura> $%&'( )*+ -

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


$%1

& % '.J:m



3

'

1

n % 3 !igas principales &

-& 63

6'

61

  2  α  3 α  P  1 + 6   1 R1 = x ⇒ +  3 3  2 s   3  s  α  P  P ( ) 1 + 6 0 ⇒ R2 = R 2 = 4constante5  3  3 s  3 α  P  P   2  α  ⇒ − R3 = R3 = x 1 + 6 −   1  3 3  2 s   8  s  R1

i %1 i%' i%3

=

P

% -s

% :

P=1

%s

P=1

P/3

5/6 P

' P/6

P/3

P/3

P/3

61% - $D< 6'% $D3 63% 9D< $

P=1

61% $D3 6'% $D3 63% $D3

'P/6 P

P/3

5/6P P/6

61% $9D< 6'% $D3 63% - $D<

n esta situación !acemos variar =UN en función de la sección crítica s Cs $%1

U

"

$ara " U T

s

=& % 61

s 6'

63

Línea de Influencia para " % s 0.97

1.93m

61

*= 1+ 2.90m

Distancia en que 17 6@ 9D<

$%&'( )*+ -

P  3 α  + 1 6@ 3  2 S  *&. /%0& 2 )01L2( 32/*)0 0. α = − S 3

2


1D3 -1D<

2/3 % 2.90m

2.90m

Línea de Influencia para " % -s *= 3+ 2.90m

2.90m

2/3 %

9D< 1D3 4.83m

$ara " > T

0.97

"

-1D<

$%1

s

U

=& % 61 - $

s 63

61

6'

Línea de Influencia para " % : *= '+ 1D3

1D3 2.90m

1D3 2.90m

$ara " ≈ d % 18: cm

Línea de Influencia para " % T *= V+ 2.90m

!

2.90'!

17 6 1/3

-1D<

61 -1D<

61-$

P  P  3 1.40m  3 α  1+ 6 1 +   3  2 S  3  2 2.90 m 

17 6 @.-K17 C $ 6 @.-K- C 7 6 9 @.I-

2.90m

"W 1D'

1D3 - 1D<

$%&'( )*+ -

1/ 2 2.90 m

= 1/ 3 V "

"X% 1.J3

m

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


1.93m

0.97

1.4

1/3

1.5m

:.9?9

-1D<

-1D<

-:.8'9 2.90m

2.90m

3.8.'.- Línea de Influencia para el @omento Alector

$ara una mejor comprensión se continuará con el ejemplo de considerar H vigas longitudinales, las cuales están separadas ( 6 .R@ metros, conforme se indica en la figura> $%1

& % '.J:m



3

'

1

n % 3 !igas principales &

-& 63

6'

61

3 α  P  1 + × ( s − x)  3 2 s 

$ara " U T

M = R1 ( s − x )

$ara " > T

M = R1 ( s − x) − P ( α − x)

=

=

P  3 α  + × ( s − x) 1 3  2 s 

− P ( α − x)

T%-&

@ % $D< *s-"+

T% :

@ % $D3 *s-"+

T% "

@ % $D3 1 +

T% &

@ % $D3  [ S − " ]  $*s-"+ % - $D<*s-"+ 2

 

3 "  2 S 

[ S − " ]

5

Línea de Influencia de 0@" $%&'( )*+ -

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


 

-1D3 1 +

-1D3*s-"+

-1D<*s-"+

3 "  2 S 

[ S − " ]

-1D<*s-"+

!

s

s

Línea de Influencia de 0@o *"%:+ -1D3*s+

-1D<*s+

-1D<*s+ s

s

Línea de Influencia para " % :.?E m 1

1

6 1

6 1

3

3

− ( s − x ) = − ( 2.90 − 0.78) = −0.353 − ( s − x ) = − ( 2.90 − 0.78) = 0.707 1  3( 0.78)  ( s − x ) = 1 +  ( 2.90 − 0.78) = 0.992 3 3  2( 2.90)  

1

:.JJ'

:.?:? - :.393

- :.393 0.97

1.93

0.78

1.56

0.56

1.06 2.90

=

0.707 xW

⇒ xW = 1.93m

!) 1.06

0.707 0.353

1.345 0.992

=

!( 0.992

$%&'( )*+ -

2.12

⇒ x* = 1.56m

1.345

*&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.


Línea de Influencia para " % :.J? m 1

1

− ( s − x ) = − ( 2.90 − 0.97 ) = −0.322 6

1 3

6

1

( s − x ) = − ( 2.90 − 0.97 ) = 0.643 3

1  3 x  1 +  ( s − x ) 3  2 s 

2.90m

1  3( 0.97)  = 1 +  ( 2.90 − 0.97) = 0.966 3  2( 2.90)  

2.90m

:.<83

:.J<<

- :.3''

- :.3'' 0.97

1.93

0.97

1.45

0.48

0.965 2.90

!) 0.643

0.965

=

xW

⇒ xW = 1.93m

1.288

2.12

0.353

0.643

1.93

=

0.966 xW

⇒ xW = 1.45m

!( 0.966

1.288

Línea de Influencia para " % : m 1 3

1

( s ) = ( 2.90 ) = 0.967 3

1

1

6

6

− ( s ) = − ( 2.90 ) = −0.483 2.90m

2.90m

:.J
- :.8E3 0.97

1.93

1.93

!)

$%&'( )*+ -

0.97

1.45 0.967

2.90

=

0.967 xW

⇒ xW = 1.93m *&. /%0& )01L2( 32/*)0 0.

Cap. 3 - Líneas de Influencia

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