Analisis de Sensibilidad Cap 3

Gerencia de Operaciones I

Ing. Oscar Mendoza Macías

3 Programación lineal: Análisis de sensibilidad y Resolución por computadora

En este capítulo se ofrece una introducción al análisis de sensibilidad y al uso de las computadoras para resolver problemas de programación lineal. El análisis de sensibilidad que se realiza sobre la solución óptima ofrece información complementaria que es valiosa para quien toma las decisiones. Después de mostrar cómo se puede llevar a cabo el análisis de sensibilidad utilizando un método gráfico, se ilustra cómo puede utilizarse The Management Sciantist, un paquete de programas (software) para microcomputadora que resuelve problemas de programación lineal, a fin de dar solución a los problemas de la empresas Par, Inc., y M&D Chemicals, que se presentaron en el cap. 2. Al analizar la resoluciónpor computadora de estos problemas, se destacará la interpretación de los resultados por computadora, que incluyen la solución óptima de información acerca del análisis de sensibilidad. El capítulo termina con un análisis de planteamiento, de la solución por computadora y del análisis de sensibilidad de un problema de programación lineal que tiene más de dos variables de decisión. En un apéndice del capítulo se describe la forma en que puede emplearse para resolver problemas de programación lineal el bien conocido paquete para microcomputadora Lindo/PC, elaborado por Linus Scharge, de la Universidad de Chicago.

3.1 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD El análisis de sensibilidad es el estudio de la forma en la que afectan a la solución óptima los cambios en los coeficientes de un programa lineal. Utilizando análisis de sensibilidad puede responderse a preguntas como las siguientes: 1. 2.

¿Cómo afectará a la solución óptima un cambio en un coeficiente

de la función objetivo? ¿Cómo afectará a la solución óptima un cambio en el valor del segundo miembro de una restricción?

Como el análisis de sensibilidad se ocupa de la forma en que los cambios anteriores afectan a la solución óptima, el análisis no comienza sino hasta que se obtiene tal solución al problema de

1



programación lineal original. Por este motivo, al análisis de sensibilidad con frecuencia se la denomina análisis de post-optimidad. La principal razón de la importancia del análisis mencionado para quienes toman las decisiones es que los problemas problemas reales ocurren en un medio ambiente dinámico. Los precios de las materias primas varían, la demanda fluctúa, las compañías adquieren máquinas nuevas para reemplazar a las antiguas, los mercados globales de mano de obra ocasionan cambios en los costos de producción, se tiene rotación en los empleos, etcétera. Si se ha utilizado un modelo de programación lineal en un entorno con estas características, puede esperarse que cambien en el tiempo algunos de los coeficientes. Los administradores desearán determinar la forma en que esos cambios afectan a la solución óptima del problema primitivo de programación lineal. El análisis de sensibilidad ofrece la información que se requiere para responder a esos cambios, sin que sea necesario obtener la solución completa de un programa lineal modificado. Recuerde el problema de la compañía Par, Inc., que se presentó en el capítulo 2. Max 10 x 1 + 9 x 2 Sujeto a (s.a) 7 1

10 x 1 +

1 x 2

2 x 1 +

5

1 x 1 1

+

2

10 x 1 +

x 1

,

x 2

6 x 2

3 x 2

≥

1

4

630

≤ ≤

708

≤

x 2

600

≤

135

Corte y teñido Costura Terminado Inspección y embalaje

0

La solución óptima x 1 = 540 bolsas de tipo estándar y x 2 = 252 bolsas de lujo, se basa en cifras de utilidades de $10 por bolsa estándar y $39 por bolsa de lujo. Sin embargo, supóngase que se sabe —posteriormente— que debido a una reducción en el precio, la contribución a las utilidades de las bolsas estándares se reduce a $7. Puede utilizarse el análisis de sensibilidad para determinar si el programa de de producción de 540 bolsas estándares y 252 bolsas de lujo sigue siendo la mejor solución. Si lo es, no habrá necesidad de resolver un programa lineal modificado que tenga 7 x 1 + 9 x 2 como función objetivo. Se puede utilizar también el análisis de sensibilidad para determinar cuáles de los coeficientes de un modelo de programación lineal son más críticos. Por ejemplo, supóngase que los administradores de la multicitada Par, Inc., consideran que una contribución a las utilidades de $9 para la bolsa de lujo es sólo una estimación burda de contribución que realmente se obtendrá. Si el análisis de sensibilidad muestra que la solución óptima son 540 bolsas estándares y 252 bolsas de lujo, siempre y cuando la 2



contribución a las utilidades de las bolsas de lujo sea entre $5 y $13, los administradores deben quedar acordes con la estimación aproximada de $9 por bolsa y con las cantidades de de producción que que se recomiendan. Si embargo, si el análisis de sensibilidad muestra que es óptima la solución óptima de 540 bolsas de tipo estándar y 252 bolsas de lujo sólo si la contribución a las utilidades para la bolsa de lujo se encuentra entre $8.90 y $9.25, es posible que deseen revisar la precisión de la utilidad esperada de $9 por bolsa. Otro aspecto del análisis de sensibilidad se refiere a los cambios en los lados derechos de las restricciones. Recuérdese que en el problema de Par, Inc., la solución óptima utilizaba todo el tiempo de corte y teñido y todo el tiempo de terminado. ¿De qué manera cambiaría la solución óptima y la utilidad total si la empresa pudiera obtener tiempo adicional para cualquiera de esas operaciones? El análisis de sensibilidad puede ayudar a determinar cuánto vale cada hora adicional y cuántas horas se pueden adicionar antes de que comiencen a ocurrir los rendimientos decrecientes.

3.2 ANÁLISIS GRÁFICO DE SENSIBILIDAD Se pueden utilizar métodos gráficos de solución para problemas de programación lineal con dos variables de decisión con el objeto de realizar análisis de sensibilidad sobre los coeficientes de la función objetivo y sobre los valores en el segundo miembro de las restricciones.

Coeficientes de la función objetivo Considérese cómo podrían afectarse los cambios de los coeficientes de la función objetivo a la solución óptima para el problema de Par, Inc. La actual contribución a las utilidades es $10 por unidad de la bolsa estándar y $9 por unidad para la bolsa de lujo. Parece evidente que un aumento en la contribución a las utilidades por parte de una de las bolsas para golf podría hacer que los administradores aumentaran la producción de ese artículo, y que una disminución en el aporte a las utilidades de una de las bolsas podría ocasionar que los administradores disminuyeran la producción de ese adminículo. Pero no resulta tan evidente tendría que cambiar la contribución a las utilidades para que los administradores desearan cambiar las cantidades de producción. La actual solución óptima para el problema de Par, Inc., indica la fabricación de 540 bolsas estándares y 252 bolsas de lujo. El intervalo de optimidad para cada coeficiente de la función objetivo muestra la gama de valores sobre los cuales la solución del momento sigue siendo óptima. La atención de los administradores se debe concentrar en los coeficientes de la función objetivo que tienen un 3



intervalo de optimizad estrecho y en los coeficientes en donde un cambio pequeño puede implicar la necesidad de modificar la solución óptima. Se procederá ahora a calcular los márgenes de optimizad para el problema de Par, Inc. En la Fig. 3.1 se muestra la solución gráfica del problema. Una inspección cuidadosa de la gráfica indica que mientras la pendiente de la función objetivo se encuentra entre la pendiente de la recta A (la cual coincide con la recta de restricción de corte y teñido) y la pendiente de la recta B (que coincide con la recta de restricción de 3acabado) el punto extremo 3 con x 1 = 540 y x 2 = 252 será el óptimo. Cambiar un coeficiente de la función objetivo para x 1 o x 2 tendrá como resultado variar la pendiente de la función objetivo. En la Fig.3.1, se observa que estos cambios ocasionan que la recta de la función objetivo gire sobre el punto extremo 3 . Sin embargo, en tanto que la recta mencionada permanezca dentro de la región sombreada, el punto extremo 3 seguirá siendo óptimo. Girar la recta de la función objetivo en sentido contrario al de reloj ocasiona que la pendiente se vuelva menos negativa y que, por ello, aumente la pendiente. Cuando dicha recta ha girado lo suficiente en sentido contrario al del reloj (aumento en la pendiente) para que coincida con la recta A, se obtienen óptimos alternos entre los puntos extremos y . 3 4 Si prosigue el giro de la recta de la función objetivo en sentido contrario a las manecillas del reloj, se ocasiona que el punto extremo Ya no sea óptimo. Así que la pendiente de la recta A fija un límite superior para la pendiente de la recta de la función objetivo. Girar la recta en el sentido de las manecillas del reloj hace que la pendiente se vuelva cada vez más negativa y que, por tanto, disminuya. Cuando se ha girado la recta de la función objetivo lo suficiente en el sentido del reloj( disminución de la pendiente) para que coincida con la recta B, se obtienen óptimos alternos entre los puntos extremos 3 y2 . Continuar Continuar el giro de la recta de la función objetivo en el sentido dextrorso ocasiona que el punto 3 extremo ya no sea óptimo. Por ello, la pendiente de la recta B fija un límite inferior para la pendiente de la recta citada. Del análisis anterior, debe resultar evidente que el punto extremo 3 será la solución óptima siempre y cuando. Pendiente de la recta B ≤ pendiente de la recta de la función objetivo ≤ pendiente de la recta A

4

3



FIGURA 3.1 Solución gráfica del problema de Par, Inc., en donde la pendiente de la función objetivo está entre las pendientes de las rectas A y B; el punto extremo 3 es óptimo. En la figura 3.1 se observa que la ecuación de la recta A, la recta de la restricción de corte y teñido, es la siguiente: 7

10 x 1

+

1

x 2

630

=

Despejando x 2 en la ecuación anterior, se puede escribir la ecuación de la recta A en su forma de pendiente ordenada y en el origen. origen. Esto da como resultado x 2

=

630

− 7 10 x 1 +

Pendiente de la recta A

Intersección de la recta A con el eje x 2

Por ello, la pendiente de la recta A vale 710 , y su intersección con el eje x 2 está en 630. La ecuación de la recta B de la figura 3.1 es 1 x 1

+

2

3 x 2

708

=

Despejando x 2 se obtiene la forma pendiente-intersección para la recta B . Haciendo esto se obtiene 2

3 x 2

x 2

=

=

−

1 x 1

+

− 3 2 x 1 +

708

1062

5



Por ello, la pendiente de la recta x 2

B

es - 32 , y su intersección con el eje

es 1062.

Ahora que se han calculado las pendientes de las rectas A y B 3 se observa que para que el punto extremo siga siendo óptimo, se debe cumplir que ,

- 32

≤

pendiente de la función objetivo ≤ - 710

(3.1)

considérese ahora la forma general de la pendiente de la función objetivo. Se utiliza c1 para representar la utilidad para una bolsa estándar, c 2 para la utilidad de una bolsa de lujo, y z para el valor de función objetivo. Con esta notación, puede escribirse la función objetivo de la siguiente manera z = c1 x 1 + c 2 x 2

Escribiendo esta ecuación en su forma de pendiente y ordenada al origen, se obtiene c 2 x 2 = − c1 x 1 + z

y x 2 = −

c1 c2

x 1 +

z c2

Por se observa que la pendiente de la función objetivo esta dada por - − c1 c en la expresión (3.1), se observa que el punto extremo 2

óp3 seguirá siendo óptimo siempre y cuando se satisfaga la siguiente expresión − 32 ≤ −

c1 c2

≤ − 7 10

Para calcular el intervalo de optimizad para la contribución a las utilidades por las bolsas estándares, se mantiene fija la contribución a las utilidades de las bolsas de lujo, en su valor inicial c 2 =9. Haciendo esto en (3.2), − 32 ≤ −

c1 c2

≤ − 7 10

Utilizando la desigualdad desigualdad del lado izquierdo, izquierdo,

6



c1 − 32 ≤ −

°

27

°

9

Por ello, 2 ≥ c1

3

2 ≥

c1

9

c1 ≤ 27 2 =

13.5

Haciendo uso de la desigualdad del lado derecho resulta −

Por ello,

c1

9

≤ − 7 10

o

o

c1 ≥ 6310

c1

9

≥ 7 10

c1 ≥

6.3

Combinando los límites anteriores para c1 se obtiene el siguiente intervalo de optimizad para la contribución a las utilidades de la bolsa estándar: 6.3 ≤ c1

≤ 13.5

En el problema original de Par, Inc., la bolsa estándar tenía una contribución a las utilidades de $10. La solución óptima resultante fue 540 bolsas de tipo estándar y 252 bolsas de lujo. El intervalo de optimizad para c1 indica a los administradores de la empresa que si no se cambian los demás coeficientes, la contribución a las utilidades de la bolsa estándar puede encontrarse en cualquier punto entre $6.30 y $13.50, y las cantidades de producción de 540 bolsas estándares y 252 bolsas de lujo seguirán siendo óptimas. Sin embargo, nótese que, -aunque las cantidades de producción no varían-, la contribución total debido al cambio en la contribución a las utilidades de la bolsa estándar. se pueden repetir los cambios anteriores, manteniendo constante en c1 =10 la contribución a las utilidades de las bolsas estándar. En este caso, es posible determinar el rango de optimizad para la contribución a las utilidades de las bolsas de lujo, c 2 . Verifique el lector que este rango es 6.67 ≤ c 2 ≤ 14.29 . En los casos en los que el giro de la recta de la función objetivo sobre un punto extremo óptimo ocasiona que la recta citada adopte una posición vertical, puede darse el caso de que exista límite superior o que no exista límite superior o que no exista límite inferior para la pendiente, según se puede apreciar en la forma de la expresión (3.2). A fin de observar la forma en la que puede presentarse esta situación especial en un análisis gráfico de sensibilidad, supóngase que la función objetivo para el problema de Par Inc., hubiera sido 18 x 1 + 9 x 2 ; en2 este caso, el punto extremo , Fig. 3.2, es el que ofrece la solución objetivo. Haciendo girar la recta de la función objetivo en sentido contrario al del reloj 2sobre el punto 7



extremo se obtiene un límite superior para la pendiente cuando la recta de la unción objetivo coincide con la recta B . Como y ase había visto antes que la pendiente del a recta B es - 3 2 , el límite superior para la pendiente del a recta del a función objetivo debe ser también - 3 2 . Sin embargo, girando la recta citada en el sentido del reloj se obtiene como resultad oque la pendiente se vuelva cada vez más negativa, aproximándose a u valor de menos infinito, conforme la función objetivo tiende a la verticalidad. En este caso, no existe límite inferior para la pendiente dela función objetivo. Utilizando el límite superior de - 3 2 , se puede escribir −

c1 c2

≤ − 32

Pendiente del a recta del a función objetivo Siguiendo el procedimiento anterior de mantener a en su valor original, c 2 = 9, se tiene −

c1

9

≤ − 32

o bien

c1

9

c2

constante

≥ 32

Número de bolsas estándares

FIFURA 3.2 Solución gráfica del problema de Par Inc., con la solución óptima en el punto extremo

Despejando

c1

2

.

se obtiene el siguiente resultado:

8


Ing. Oscar Mendoza Macías 13.5 ≤ c1

≤∞

Cambios simultáneos El intervalo de optimidad para los

coeficientes de la función objetivo es sólo aplicable para cambios que se hacen aun coeficiente a la vez. Se supone que todos los demás coeficientes permanecen fijos en sus valores iniciales. Si se varían en forma simultánea dos o más coeficientes de la función objetivo, es necesario realizar un análisis más detallado para determinar si cambia la solución óptima. Sin embargo, cuando se resuelve en forma gráfica problemas con dos variables, la desigualdad (3.2) indica una forma sencilla de determinar si cambios simultáneos en ambos coeficientes de la función objetivo ocasionan alteraciones en la solución óptima. Simplemente debe calcularse la pendiente del a función objetivo (− ) Para los nuevos valores del os coeficientes. Si este coeficiente es mayor o igual al límite inferior del a pendiente del a función objetivo y menor que o igual al límite superior, entonces los cambios que se realicen no ocasionarán variaciones en la solución óptima. En seguida se ilustra este procedimiento considerando cambios en ambos coeficientes del a función objetivo para el problema Par, Inc. Supóngase que se aumenta la contribución a las utilidades según las bolsas estándares hasta $13 y que, simultáneamente, se reduce a $8 la contribución a las utilidades del as bolsas de lujo. Recuérdese que los intervalos de optimidad para c1 y c 2 (ambos calculados en forma aislada) son c1

c2

6.3 ≤ c1

≤ 13.5

6.67 ≤ c 2

≤ 14.29

Dados estos intervalos de optimidad, puede concluirse que cambiar c1 hasta $13, o c 2 hasta $8 (pero no ambas cosas) no ocasionaria ningún cambio en la solución óptima de x 1 =540 y x 2 =252. Pero no se puede concluir, a partir del os márgenes de optimidad, que cambiar ambos coeficiente sen forma simultánea n oda como resultado un cambio en la solución óptima. En la expresión (3.2) se mostró que el punto extremo 3 sigue siendo óptimo siempre y cuando − 32 ≤ −

c1 c2

≤ − 7 10

Si se cambia c1 a 13 y, simultáneamente, se cambia pendiente del a nueva función objetivo estará dada por

c2

a 8, la

9



−

c1

=−

13

c2

8

= −1.625

Como este valor es menor que el límite inferior de − 3 2 , la solución actual de x 1 = 540 y x 2 = 252 y ano será óptima. Resolviendo el problema con c1 = 13 y c 2 = 8 , se encuentra que el punto extremo 2 es la nueva solución óptima. Observando los intervalos de opimidad, se concluye que cambiar c1 a $13, o bien c 2 a $8 (pero no ambas cosas) no ocasiona cambios en la solución óptima. Pero, al recalcular la pendiente del a función objetivo, con cambios simultáneo sen c1 y c 2 , se observó que la solución óptima si se alteró. Esto enfatiza el hecho de que el intervalo de optimidad en sí sólo puede ser utilizado para obtener conclusiones respecto a cambios que se realicen en los coeficientes de la función objetivo, de uno en uno.

Lados derechos (o segundos miembros) Se consideran ahora la forma en que un cambio en el lado derecho de una restricción puede afectar a la región factible y, posiblemente, ocasionar cambios en la solución óptima del problema. Por ejemplo, supóngase que se disponen de 10 horas adicionales de tiempo de producción en el departamento de corte y teñido de Par, Inc. El lado derecho de la restricción de corte y teñido cambia de 630 a 640, y rescribiendo la ecuación, queda de la siguiente manera: 7

10 x 1 +

x 2

≤

640

Al obtener 10 horas adicionales de corte y teñido, se amplía la región factible para el problema, como se muestra en la Fig. 3.3. Como se ha ampliado la región de factibilidad, se sabe que la solución actual sigue siendo factible. Pero es posible que y ano sea óptima. Se determina si alguna del as nuevas soluciones factibles ofrece un mejoramiento en el valor de la función objetivo. Aplicando un procedimiento gráfico de resolución al problema con la región factible más amplia, se muestra que el punto extremo que se encuentra en x 1 = 527.5 y x 2 = 270.75 es ahora la solución óptima. El nuevo valor para la función objetivo es 10(527.5)+9(270.75)=$7711.75; esto produce un aumento en la sutilidades de $7711.75 - $7668.00 = $43.75. Por ello, el aumento en la sutilidades se da una tasa tasa de $43.75/10horas = $4.375 por hora adicional. 10



Al cambio en el valor de la función objetivo por aumento unitario en el valor del lado derechos se le denomina precio sombra (o de sombra). Por ello, el precio de sombra para el tiempo de producción de corte y teñido es $4.375 por hora. Se consideran importantes los precios de sombra de las restricciones porque puede ser posible adquirir u obtener unidades adicionales de los recursos. Si no se ha deducido el costo del tiempo de corte y teñido al calcular los coeficientes de unidad, puede mostrarse que los administradores deberían estar dispuestos apagar hasta $4.375 por hora adicional de este recurso. Se debe tener cuidado porque el valor del precio de sombra puede ser aplicable solamente para cambios pequeños en el lado derecho. Conforme se obtienen cada vez más recursos, y conforme continúa aumentando el lado derecho, las demás restricciones se vuelven acotadoras o acotantes y se reduce la tasa de variación en el valor de la función objetivo. Por ejemplo, en algún momento en el problema de Par, Inc., se pueden añadir suficientes horas al departamento de corte y teñido de manera que la restricción y ano sea acotante. En este caso, la solución óptimas se encontraría en la intersección de la recta restrictiva de inspección y embalaje, y la de terminado. En este punto, otras horas adicionales para el departamento de corte y teñido ya no tendrían ningún valor. En la siguiente sección se analiza con mayor detalle el tema de cuánto puede cambiarse un lado derecho antes de que ya no sea deseable continuar haciéndolo. Se define el precio de sombra como el cambio unitario unitario en el valor de la función objetivo por aumento unitario en el lado derecho. Una restricción no limitante, la que tiene una cantidad positiva de holgura o excedente. Resulta claro, entonces, que un aumento pequeño en el lado derecho de las restricciones de este tipo sólo cambia la cantidad cantidad de holgura holgura o de excedente y no afecta el valor de la función de objetivo. Por ello, el precio de sombra para las restricciones no limitantes siempre será cero.

11



Numero de bolsas estándares

FIGURA 3.3

Efecto de un cambio de 10 unidades en el valor lado derecho de la restricción de corte y teñido.

Advertencia sobre la interpretación del los precios de sombra Como expresó antes, el precio de sombra es el cambio en el valor de la unción objetivo por aumento unitario en el lado derecho de una restricción. Cuando el lado derecho de la restricción representa la cantidad disponible de un recurso, con frecuencias e interpreta el correspondiente precio sombra como la cantidad que se debería estar dispuesto a pagar por una unidad adicional del recurso. Sin embargo, esa interpretación no siempre es correcta. Para ver por qué, es necesario comprender la diferencia entre costo irrelevante y costo relevante. El costo irrelevante (en inglés, sunk cost ) es aquél que no resulta afectado por la decisión que se tome. Se incurrirá incurrirá en él sin importar los valores que asuman las variables de decisión. Un costo relevante es el que depende de la solución adoptada. El monto de un costo relevante variará según los valores de las variables de decisión. Reconsidérese el problema de par, Inc. El tiempo disponible de corte y teñido es de 630 horas. El costo del tiempo disponible es un costo irrelevante, si es que se debe solventar sin que importe el número de bolsas estándares y de lujo que se fabriquen. Sería un costo relevante sólo si la afirma tuviera que pagar únicamente el 12



número de horas de corte y teñido que en realidad se utilizaran para fabricar las bolsas de golf. En la función objetivo de un programa lineal deben deducirse todos los costos relevantes. Los costos irrelevantes no deben reflejarse en la función objetivo. Para la compañía Par, Inc., se ha supuesto que debe pagar a sus empleados por el tiempo de la mano de obra, sin importar si es utilizado o no. Por lo tanto el costo del recurso de mano de obra para Par, Inc., es un costo irrelevante y no se ha reflejado en la función objetivo. Cuando el costo de un recurso es irrelevante, el precio de sombra se puede interpretar como el valor de una unidad adicional del recurso. Sería la cantidad que la compañía debe estar dispuesta a pagar por una unidad adicional del recurso. Cuando el costo de un recurso utilizado es relevante, puede interpretarse el precio de sombra como el monto en que el valor del recurso excede a su costo. Por ello, cuando el costo del recurso es relevante, se interpreta el precio de sombra como el sobreprecio máximo, con respecto al costo normal, que la compañía debe estar dispuesta apagar por una unidad del recurso.

NOTAS Y COMENTARIOS 1. Si cambian simultáneamente dos coeficientes de la función

objetivo es posible que ambos salgan de sus respectivos intervalos de optimidad y que no afecten a la solución óptima. Por ejemplo, en un programa lineal con dos variables, ambos coeficientes pueden duplicar su valor sin alterar la pendiente del a función objetivo. 2. El precio sombra da el cambio de valor de la función objetivo por cada aumento unitario en el lado derecho de una restricción. Un precio sombra positivo significa que aumentar el lado derecho ocasionará que se incremente el valor de la función objetivo. Por lo contrario un precio sombra negativo indica que disminuir el lado derecho ocasionará un aumento en el valor de la función objetivo. 3. Frecuentemente se solicita a los administradores una justificación económica para tecnologías nuevas. A menudo también se desarrolla no adquieren tecnologías nuevas para conservar recursos. Los precios sombra pueden ser útiles en estos casos porque se les puede utilizar para determinar losa horros que se pueden atribuir o tecnologías nuevas, al mostrar losa horros por unidad de recursos que se conserva.

13



3.3 RESOLUCIÓN DE PROGRAMAS LINEALES EN COMPUTADORA En la actualidad están ampliamente disponibles diversos programas de computación diseñados para resolver problemas de programación lineal. La mayoría de las grandes compañías, al igual que las universidades, tienen acceso a estos programas de cómputo. El desarrollo de “paquetes de programación” en gran escala proviene principalmente de los fabricantes de computadoras y/o de las compañías de servicio programático, tales como IBM, Control Data Y Ketron. Por lo general, después de un periodo breve de familarización con las características específicas del paquete, los usuarios pueden resolver problemas de programación lineal con no muchas dificultades. Ahora pueden resolverse en forma rutinaria problemas en que intervienen millares de variables y millares de restricciones utilizando paquetes computacionales. La mayor parte del os programas lineales se pueden resolver con sólo unos cuantos minutos de cómputo; los programas lineales pequeños por lo general requieren sólo unos cuantos segundos. En tiempos más recientes ha habido una virtual “explosión” de programas para microcomputadoras. Ahora se dispone de un gran número de programas de cómputo “amistosos” que pueden utilizarse para resolver programas lineales en microcomputadoras. Dichos programas, desarrollados por personal académico y por pequeñas compañías de programación, generalmente generalmente son fáciles de utilizar. La mayor parte de estos programas están diseñados para resolver programas lineales pequeños (con — cuando cuando mucho — unos cientos de variables). Por lo general se requieren paquetes programáticos diseñados para computadoras grandes, en la resolución resolució n de programas lineales en gran escala, que involucran varios millares de variables y de restricciones. The Management Scientist (TMS), TMS), un paquete de programas para microcomputadoras elaborado por los autores de este libro*, contiene un módulo de programación lineal. Enseguida se ilustra la forma que puede utilizarse el módulo de programación lineal para resolver el problema de la compañía Par, Inc. Como la introducción de datos a la computadora debe ser en valores con decimales, y no como fracciones, en seguida se replantea el problema de Par,Inc., con coeficientes decimales: max 10 Sujeto a

x 1

0 .7

+

9

x 2

x 1

+

1 x 2

0 . 5 x 1

+

. 83333

x 2

≤

600

1 .0

x 1

+

. 66667

x 2

≤

708

0 . 1 x 1

+

0 . 25

≤

135

,

≥

0

x 1

x 2

≤

630

x 2

Corte teñido Costura Terminado Inspección y embalaje

14



Obsérvese que en la forma anterior, el coeficiente de x 2 de la restricción de costura es escribe como .83333, que es el valor decimal de cinco posiciones más cercano a la fracción 5 6 . Se da un redondeo similar para el coeficiente de x 2 en la restricción de terminado, en la que se utiliza el decimal .66667 como valor a cinco cifras más cercano a la fracción 2 3 . Cuando se requiere este redondeo de los datos de entrada, puede esperarse que la solución obtenida por computadora sea ligeramente distinta que la solución obtenida manualmente con base en los valores fraccionarios exactos. Sin embargo ―tal como se verá―las dos soluciones están muy estrechamente cercanas y el ligero redondeo en los datos de entrada no ocasiona ningún problema grave. Después de que el usuario elige el módulo de programación lineal de The Management Scientist, aparece el menú de selección de problemas que se muestra en la Fig . 3.4 . En las siguientes figuras se muestran en tono gris las respuestas del usuario; la información que la computadora imprime aparece en negro. Obsérvese que el usuario ha seleccionado la opción 16 “Crear un problema nuevo”.* Después de hacer esta selección, se pide al usuario teclear la función objetivo y las restricciones. MENU DE SELECCIÓN DE PROBLEMAS Operaciones 1 2

Crear un problema nuevo Recuperar un problema almacenado anteriormente 3 Continuar con el problema actual 4 Elimina el problema almacenado anteriormente 5 Volver al menú principal HAGA SU SELECCIÓN Y OPRIMA RETURN 1

FIGURA 3.4 Menu de programación lineal de The Management

Scientist (TMS (TMS)) (las respuestas del usuario se presentan en tono gris). FUNCIÓN OBJETIVO: Max 10X1 + 9X2

RESTRICCIÓN RESTRICCIÓN RESTRICCIÓN RESTRICCIÓN

1: 2: 3: 4:

7X1 + 1X2 < 630 5X1 + .83333X2 < 600 1X1 + .66667X2 < 708 1X1 + .25X2 < 135

15



RESTRICCIÓN

5:

FIN

FIGURA 3.5 Entrada de datos del usuario para el problema de Par, Inc. Con el paquete TMS (o sea, The Managament Scientist).

MENÚ DE DISPOSICIÓN DE PROBLEMAS OPCIONES 1 2 3 4

Resolver el problema Almacenar el problema Visualizar/revisar y corregir el problema Volver al menú de selección de problemas HAGA SU SELECCIÓN Y OPRIMA RETURN FIGURA 3.6 El usuario adopta la opción 1 dando instrucciones a TMS para que resuelva el problema de Par, Inc. En la Fig. 3.5 se muestran las indicaciones de la computadora y la forma en la que el usuario teclea el problema. La computadora imprime “FUNCIÓN “FUNCIÓN OBJETIVO:”. OBJETIVO:”. Después, el usuario ha de teclear la función objetivo según se muestra ahí. Después oprimirá la tecla de “retorno” o “entrada”, y la máquina imprime “ RESTRICCIÓN 1:”. 1:”. Luego el usuario ingresa la restricción y vuelve a pulsar la tecla de “retorno”. Obsérvese que al símbolo < lo interpreta TMS como ≤. La computadora continúa solicitando las restricciones hasta que el usuario teclea FIN FIN.. La Fig.3.5 muestra que el usuario ya ha tecleado las 4 restricciones y también FIN cuando se le pide la restricción 5. Teclear FIN señala a TMS que ya se ha introducido el problema completo. En este punto, la computadora imprime el menú de resoluciones para el problema, como se ve en la Fig.3.6. En este punto, el usuario puede elegir: 1, para resolver el problema; 2, guardarlo para utilizarlo en el futuro;3, mostrar o modificar el problema, o bien 4 para resolver el menú de selección de problemas. Se elige el 1 y la solución que genera TMS es la que se muestra en la Fig. 3.7.

Interpretación de los resultados obtenidos por computadora Ahora se procederá a examinar el listado que produjo TMS (The Management Scientist) y que se presenta en la Fig. 3.7; se interpreta la solución por computadora que se ofrece ahí para el problema de Par, Inc. En primer lugar, obsérvese el número 7667.994100 que de la Valor de la función objetivo =

7667.994100 16



Variable valor costos reducidos -----------------------------------------------------------------------------X1 539.998410 0.000000 X2 252.001099 0.000000 Restricción Holgura/Excedente Precios duales -----------------------------------------------------------------------------1 0.000000 4.374956 2 120.000702 0.000000 3 0.000000 6.937531 4 17.999870 0.000000 INTERVALOS DE COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Variable Límite inferior Valor actual Límite superior -----------------------------------------------------------------------------X1 6.300000 10.000000 13.499931 X2 6.666700 9.000000 14.285715 INTERVALOS DE LOS LADOS DERECHOS Restricción Límite inferior Valor actual Límite superior -----------------------------------------------------------------------------1 495.600010 630.000000 682.363160 2 479.999300 600.000000 No hay limite superior 3 580.001460 708.000000 900.000000 4 117.000130 135.000000 No hay limite superior

FIGURA 3.7

Solución del problema de Par, Inc., utilizando TMS (The Management Scientist).

Aparece a la derecha de “Valor de la función objetivo”. Redondeando este valor, se puede concluir que la solución óptima para el problema de Par, Inc., ofrece una utilidad de $7.668. Directamente abajo del valor de la función objetivo se encuentran los valores de las variables de decisión y de la solución óptima. Por ello. Después de redondear, se tiene que las cantidades óptimas de producción son x 1 = 540 bolsas estándares y x 2 = 252 bolsas de lujo. La información en la columna que tiene como encabezado “Costos reducidos” indica cuánto tendría que mejorar el coeficiente de 17



la función objetivo de cada variable de decisión antes de que sea posible que tal variable asuma un valor positivo en la solución óptima. Si una variable de decisión ya es positiva en la solución óptima, su costo reducido es cero. Para el problema de Par, Inc., la solución es x 1 = 540 y x 2 = 252. Siendo que ambas variables tienen ya valores positivos, sus correspondientes costos reducidos son cero. En la Secc.3.4 se interpreta el costo reducido de una variable de decisión que no tiene un valor positivo en la solución óptima. Inmediatamente después de los valores óptimos de x 1 y x 2 y de la información acerca de los costos reducidos, el listado de computadora ofrece información con respecto al estado de las restricciones. Recuérdese que el problema de Par, Inc., tiene cuatro restricciones de menor que o igual a, correspondientes a las horas disponibles en cada uno de cuatro departamentos departamentos de producción. La información que se presenta en la columna con encabezado “Holgura/Excedente” proporciona el valor de la variable de Holgura para cada uno de los departamentos. Enseguida se resume resume esta información: Numero de Restricción 1 2 3 4

Nombre de la restricción

holgura

Corte y teñido Costura Terminado Inspección y embalaje

0 120 0 18

Se puede observar de la información anterior que las restricciones limitantes (las de corte y teñido, y de terminado) tienen holgura cero en la solución óptima. El departamento costura tiene 120 horas de holgura de capacidad no utilizada, y el departamento de inspección y embalaje tiene 18 horas de holgura o de capacidad no utilizada. La columna con el encabezado “Precios duales” contienen información respecto al valor de cada uno de los recursos en la solución óptima. Los precios duales se definen de la siguiente manera: El precio dual correspondiente a una restricción es el mejoramiento en el valor óptimo de la función función objetivo por cada aumento unitario en el lado derecho de la restricción.

18



De ahí se observa que los precios duales diferentes de cero 4.374956 para la restricción 1 (restricción de corte y teñido) y 6.937531 para la restricción 3 (terminado), señalan que una hora adicional de tiempo de corte y teñido mejora (aumenta) el valor de la función objetivo en $6.94.Por ello, si se aumentara el tiempo de corte y teñido de 630 a 631 horas, manteniendo constantes todos los demás coeficientes del problema, las utilidades de Par aumentarían en $4.37, para pasar de $7.668 a $7668 + $4.37 = $7672.37. Una interpretación similar para la restricción de terminado implica que un aumento en el tiempo disponible de acabado, de 708 a 709horas―manteniendo constantes todos los demás coeficientes del problema―aumentaría las utilidades de la compañía para $7668 + 6.94 = $7674.94. Como tanto la restricción de costura como la de inspección y embalaje tiene holgura o capacidad no utilizada disponible, los precios duales de cero señalan que aumentar las horas disponibles de estos dos recursos no mejora el valor de función objetivo. Como se recordará del análisis sobre los precios de sombra de la Secc.3.2, la información que aparece en la columna de “Precios duales” da los precios sombra para los cuatro recursos de la Par. De hecho, en el caso de un programa lineal de maximización, el precio dual es el mismo que el precio de sombra. Sin embargo, y según se verá más tarde, en los programas lineales de minimización, el precio dual es el negativo del correspondiente precio sombra. Haciendo referencia de nuevo al listado o salida de computadora de la Fig.3.7 se observa que después de la información referente a las variables de Holgura/excedente, y a los precios duales de las restricciones, The Management Scientist imprime los intervalos de los coeficientes de la función objetivo y de los segundos miembros de las restricciones. Considerando la información que se ofrece bajo el encabezamiento del listado “INTERVALOS “ INTERVALOS DE LOS COEFICIENTES OBJETIVO”, se observa que la variable x 1 , que tiene un coeficiente de utilidad actual de 10, tiene el siguiente intervalo de optimizad para c1

6.30 ≤

c1

≤

13.50

Esto indica que mientras se conserve la contribución a las utilidades de las bolsas de lujo entre $6.30 y $13.50, la fabricación de x 1 = 540 bolsas estándares y x 2 = 252 bolsas de lujo, seguirá siendo la solución óptima. Obsérvese que este es el intervalo de óptimidad que se obtuvo para c1 , en la Secc. 3.2, mediante el análisis gráfico de sensibilidad. Utilizando la información sobre los intervalos de los coeficientes de la función objetivo, y para las bolsas de lujo, se observa que The

19



Manegement Scientist (TMS (TMS))ha calculado el siguiente intervalo de optimizad: 6.67 ≤

c2

≤

14.29

Esto indica que mientras se conserve la contribución a las utilidades de las bolsas de lujo entre $6.67 y $14.29, la fabricación de x 1 = 540 bolsas estándares y x 2 = 252 bolsas de lujo seguirá siendo la solución óptima. La sección final del listado de computadora (“INTERVALOS DEL LADO DERECHO”) contiene la información de los márgenes para los segundos miembros de las restricciones se mantengan dentro de esos intervalos, el precio dual correspondiente da el mejoramiento del valor de la función objetivo por aumento unitario en el valor del lado derecho. Por ejemplo, considérese la restricción de corte y teñido, qu en estos momentos tiene un valor en el lado derecho de 630. Como el precio dual para esta restricción es $ 4.37, puede concluirse que las horas adicionales aumentarían la función objetivo en $ 4.37 por hora. También resulta cierto que una reducción en las horas disponibles, reduciría el valor de la función objetivo en la misma cantidad. A partir de la información sobre intervalos, se observa que el precio dual de $4.37 es válido para aumento de hasta 683.363160 y para disminuciones de hasta 495.600010. 495.600010. Una interpretación similar para el lado derecho de la restricción de acabado (restricción3), muestra que el precio real de $6.94 es aplicable para aumento de hasta 600 horas y para disminuciones de hasta 580.001460 horas. Como se mencionaba antes, los intervalos en los lados derechos dan los límites dentro de los cuales los precios duales son aplicables. Para cambios que quedan fuera de los márgenes, es necesario volver a resolver el problema para encontrar la nueva solución óptima y el nuevo precio real. Al intervalo sobre el cual es aplicable el precio dual se le denomina intervalo de factibilidad . En seguida se da un resumen de los márgenes de factibilidad para el problema de Par, Inc. Restricción Corte y teñido Costura superior Terminado Inspección y embalaje superior

LD Min

LD Máx

495.6 480.0

682.4 Sin

límite

580.0 117.0

900.0 Sin

límite

20



En tanto los valores en los segundos miembros se mantengan dentro de los márgenes anteriores, no varían los precios duales que se muestran en el listado de computadora. Los valores en los lados derechos que se encuentren fuera de estos límites darán como resultado cambios en la información sobre los precios duales. En este punto es importante observar que el análisis de sensibilidad que se presenta en el listado o salida de computadora se basa en la suposición de que los coeficientes se varían solo uno a la vez , y que se mantienen todos los demás coeficientes del problema según se plantearon en la forma original. La información sobre análisis de sensibilidad que se ofrece en el listado de computadora no se aplica a dos o más cambios simultáneos en el problema.

Cambios simultáneos Como se expreso antes, los intervalos de

los coeficientes de la función objetivo y de los lados derechos de las restricciones sólo coeficiente. Sin embargo, con el auxilio de la regla del 100% 2 , es posible realizar ciertos análisis sobre cambios simultáneos. Si se realzan dichos cambios en dos o más coeficientes de la función objetivo, la solución óptima no varía siempre y cuando se satisfaga la “regla del ciento por ciento”. Para aplicar la regla del 100%, se debe calcular, para cada coeficiente que se modifica, el porcentaje de aumento o decremento permisible que el cambio representa. Para un coeficiente de función objetivo, el aumento permisible es la cantidad máxima en que puede aumentarse el coeficiente sin exceder el límite superior del intervalo de optimizad. De manera similar, la disminución permisible es la cantidad máxima en que puede disminuirse el coeficiente sin caer por debajo del límite inferior del intervalo de optimizad. Para el lado derecho de una restricción, el aumento permisible es la cantidad máxima en que se puede incrementar el valor del lado derecho sin exceder el límite superior de su intervalo de factibilidad, y la disminución permisible es la cantidad máxima en que puede disminuirse el valor del lado derecho sin infringir el límite inferior del intervalo de factibilidad. En seguida se plantea la regla del 100%, según se aplica a cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo y a cambios simultáneos en los segundos miembros de las restricciones. Regla del 100% para coeficientes de la función objetivo Para todos los coeficientes de la función objetivo que cambian los porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles. Si la suma de los porcentajes no excede el 100%, entonces la solución óptima no cambiará. Regla del 100% para los lados derechos de las restricciones

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Para todos los lados derechos que cambian, súmence los porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles. Si la suma de los porcentajes no excede el 100% entonces los precios duales no cambiarán. Ahora se procede a ilustrar la regla del 100% considerando cambios simultáneos en los lados derechos para el problema de Par, Inc. Supóngase, por ejemplo, que se pudieran obtener 20 horas adicionales de tiempo de corte y teñido, y 100 horas adicionales de tiempo de terminado. El aumento permisibles para el tiempo de corte y teñido es 52.36316 = 682.36316 – 630.0, y el incremento permisible para el tiempo de terminado es 192.0 0 900.0 – 708.0 (véase la Fig. 3.7). Las 20 horas adicionales de tiempo de corte y teñido son el (20/52.363130)(100) = 38.19% del aumento permisible en le lado derecho de la restricción. Las 100 horas adicionales de tiempo de terminado son el (100/192)(100) = 52.08% del incremento permisible en el lado derecho de la restricción del tiempo de terminado. El porcentaje acumulado de cambio no excede el 100%, puede concluirse que los precios duales son aplicables, y que la función objetivo mejorará en (20)(4.37) + (100)(6.94) = 781.40.

Interpretación de los resultados computadora Un segundo ejemplo

por

―

Como otro ejemplo de la interpretación de los resultados por computadora, considérese el problema de minimización de la empresa M&D Chemicals que se presentó en la Sec. 2.7. En seguida se plantea de nuevo el modelo de programación lineal para este problema, en donde x 1 = número de galones del producto 1, y x 2 = número de galones del producto 2, y se desea minimizar el costo de producción. min 2 x 1 + 3x 2 sujeta a 1 x 1 ≥ 125 Demanda del producto 1 Demanda 1 x 1 + 1 x 2 ≥ 350 Requisito de la producción total 2 x 1 + 1 x 2 ≤ 600 Limitación del tiempo de x 1 , x 2 ≥ 0 procesamiento En la Fig. 3.8 se presenta la solución que se obtiene utilizando The Management Scientist. El listado de la computadora muestra que la solución de costo mínimo arroja un valor de la función objetivo de $800. Los valores de las variables de decisión señalan que la solución

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de costo mínimo se da con 250 galones del producto 1 ( x 1 = 250 ) y 100 galones del producto 2 ( x 2 = 100 ). La información sobre “Holgura/Excedente muestra que la restricción del ≥ para la demanda del producto 1(véase la restricción1) tiene un excedente de 125 unidades. Esto indica que la fabricación del producto 1 en la solución óptima excede la demanda en 125 galones. Los valores de “Holgura/Excedente” son cero para el requerimiento total de producción (restricción 2) y para la limitación del tiempo de procesamiento (restricción 3); esto indica que estas restricciones son limitantes en la solución óptima. De nueva cuenta, la columna “Precios Duales” muestra el mejoramiento que se da en la función objetivo por cada incremento unitario en el lado derecho de la restricción. Recalcando en primer lugar en el precio dual de 1.00 para la restricción del tiempo de procesamiento (restricción 3), se observa que si se puede incrementar el tiempo de procesamiento (restricción 3), se observa que si se puede incrementar el tiempo de procesamiento de 600 horas a 601, el valor de la función objetivo mejorará en $1. como el objetivo es minimizar costos, en este caso mejoramiento significa reducción de costo. Por ello, si existen disponibles 601 horas de procesamiento, el valor de la solución óptima mejoraría, para quedar en $800-$1 = $799. La sección de “INTERVALOS DEL LADO DERECHO” del listado, muestra que el límite superior para la restricción del tiempo de procesamiento (restricción 3) es 700 horas. Por ello, el precio dual de $1 por unidad sería aplicable para cada hora adicional de tiempo de procesamiento hasta un total de 700 horas. Valor de la función objetivo = 800.000000 Variable Valor ---------------------------------------- --- ------------------------------------------ --X1 250.000000 X2 100.000000

Costos reducidos ------------------------------------------- ----------

Restricción Holgura/Excedente ---------------------------------------- --- ------------------------------------------ --1 125.000000 2 0.000000 3 0.000000

Precios duales ------------------------------------------ --------0.000000 -4.000000 1.000000

0.000000 0.000000

INTERVALOS DE COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Variable Límite inferior Valor actual Límite superior ---------------------------------- - ----------------- ---------------- ------------------------------------- ---23


X1 X2


2.000000 2.000000 3.000000

No hay límite inferior

3.000000 No hay límite superior

INTERVALOS DE LOS LADOS DERECHOS Restricción --------------1 2 3

Límite inferior ------------------

valor actual ----------------

Límite superior --------------------

125.000000 250.000000 300.000000 350.000000 475.000000 475.000000 600.000000 700.000000 FIGURA 3.8 Solución del problema de M&D Chemicals obtenida mediante TMS (The Management Scientist). No hay límite superior

Volviendo de nuevo a la sección de “precios duales” del listado, y considerando el precio dual para la restricción de la producción total (restricción 2), el precio dual negativo indica que la función objetivo no mejoraría si se aumenta en una unidad el valor del segundo miembro. De hecho el precio dual de -4.00 indica que si se aumenta el lado derecho de la restricción de producción total de 350 a 351 unidades, el valor de la función objetivo empeorará en la cantidad de $4. Como empeorará en la cantidad de $4. Como empeorar significa un aumento en los costos, el valor de la función objetivo se convertiría en $800+$4 = $804, si se realiza el aumento de una unidad en el requerimiento de la producción total. Como el precio dual se refiere a un mejoramiento en el valor de la función objetivo por cada incremento unitario en el lado derecho, do debe aumentarse el lado derecho de una restricción que tenga un precio dual negativo. De hecho, si el precio dual fuera negativo, deben hacerse esfuerzos para reducir el lado derecho de la restricción. Si se disminuyera el lado derecho de la restricción de la producción total de 350 unidades a 349 unidades, el precio dual señala que se podría reducir el costo total en $4, para pasar a $800 - $4 = $796. La interpretación del precio dual es el mejoramiento que se da en la función objetivo por cada incremento unitario en el lado derecho de una restricción. Sin embargo, como se ha visto, la interpretación de un mejoramiento en el valor de una función objetivo depende de si se está resolviendo un problema de maximización o de minimización. El precio dual de una restricción de ≤ siempre será mayor que o igual a 0, porque aumentar el segundo miembro no puede hacer que empeore el valor de la función objetivo. De manera similar, el precio dual para una restricción de ≥ siempre será menor que o igual a 0, porque el incremento en el lado derecho no puede mejorar el valor de la función objetivo. Debe advertirse que la interpretación de los precios duales significa que para problemas de maximización, tales precios y los precios de sombra son la misma cosa; en problemas de minimización,

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tienen signos opuestos. Si se está utilizando un paquete de computación distinto, se debe verificar qué tipo de convención y terminología se está aplicando para este tipo de información sobre análisis de sensibilidad. Finalmente, considérense los intervalos para el lado derecho que se presentan en la Fig. 3.8. En seguida se resumen los intervalos de factibilidad para el problema de M&D Chemicals. Restricción

LD MIN

Demanda del producto 1 Ninguno Requisito de la producción total 300 Limitación del tiempo de procesamiento 475

LD Máx 250 475 700

En tantos se mantengan los lados derechos dentro de los intervalos anteriores, son aplicables los precios duales que se muestran en la lista de computadora. Se procederá ahora a revisar la solución por computadora y la interpretación de los listados (o salida) para un programa lineal con más de dos variables de decisión.

NOTAS Y COMENTARIOS 1. Hay muchos paquetes de programas computacionales disponibles para resolver programas lineales, la mayoría de ellos proporcionan la solución óptima, información sobre precios duales o precios sombra, el intervalo de optimizad para los coeficientes de la función objetivo y el intervalo de factibilidad para los lados derechos. Los encabezados que se utilizan para los citados intervalos de optimizad y factibilidad pueden variar, pero el significado es el mismo que se ha descrito aquí. 2. En los casos en que los segundos miembros sean el punto final de su intervalo de factibilidad, los precios duales y los precios sombra sólo ofrecen información unilateral. En este caso, solamente pronostican los cambios en el valor óptimo de la función objetivo para cambios hacia el interior del intervalo. 3. Una condición a la que se denomina degradación (o degeneración ) puede ocasionar una sutil diferencia en la forma en que se interpretan los cambios en los coeficientes de la función objetivo, más allá de los extremos de los intervalos de optimizad. Ocurre la degradación cuando el precio dual es igual a cero para una de las restricciones limitantes. La degradación no afecta la interpretación de los cambios hacia el interios del 25



intervalo de optimizad. Sin embargo, cuando se presenta la degeneración, los cambios más allá de los extremos del intervalo no necesariamente significan que la solución óptima será distinta. Desde un punto de vista práctico, es necesario resolver el problema cuando se dan cambios más allá de los extremos del intervalo de optimizad. 4. La regla del 100% permite realizar análisis sobre cambios múltiples en los lados derechos o sobre cambios múltiples en los coeficientes de la función objetivo. Pero esta regla del 100% no puede aplicarse a cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo y en los lados derechos. Con el objeto de considerar cambios simultáneos tanto en los valores de segundo miembro como en los coeficientes de la función objetivo, es necesario volver a resolver el problema.

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Analisis de Sensibilidad Cap 3

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