CAPÍTULO 10 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares
•
Hallar el área de una regin li!itada por una grá"ica polar. Hallar los puntos de interseccin de dos grá"icas polares. Hallar la longitud de arco de una grá"ica polar. Hallar el área de una super"icie de re#olucin $"or!a polar%.
Área de una regin polar El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar se asemeja al del área de una región en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), pero en lugar de rectángulos se usan sectores circulares como elementos básicos del área. En la figura 10.49, obsérese !ue el área de un sector circular de radio r es
1 2 θ r 2
"onsi "onsidér déres ese e la func funció ión n dada dada por por
siempre !ue θ esté dado en radianes.
r = f ( ( θ ) , donde es continua # no negatia en el interalo
$a región región limita limitada da por la gráfic gráfica a de f # las las rect rectas as radial radiales es θ= α # θ= β se muestra en la figura 10.%0 a. &ara encontrar el área de esta región, se 'ace una partición del interalo [ α , β ] en n subinteralos iguales α =θ0 <θ1 < θ 2< … <θn−1 < θn α≤θ≤β.
continuación, se aproima el área de la región por medio de la suma de las áreas de los sectores, como se muestra en la figura 10.%0 b.
n
&igura 10.50 *adio del i +ésimo +ésimo sector ¿ f ( θi) β − α ngulo central del i +ésimo +ésimo sector ¿ n = ∆ θ 1 ∑ ( 2 ) ∆ θ [ f ( (θ )] = n
A ≈
2
i
i 1
-omando el lmite cuando n → ∞ se obtiene 1 A = lim n→ ∞ 2
n
∑ [ f (θ )] = i
i 1
2
1 ∆θ= 2
β
∫ [ f ( θ )] dθ 2
α
lo cual conduce al teorema siguiente.
T'O(')A 10.1* Á('A '+ COO(,'+A,A- POLA('/i f es continua continua # no negatia en el interalo interalo [ α , β ] , 0 < β − α ≤ 2 π , entonces el área de la región limitada (o acotada) por la gráfica r = f (θ ) de entre las rectas radiales θ= α # θ= β está dada por 1 A = 2
β
∫ [ f (θ )] α
2
1 dθ = 2
β
∫r
2
dθ 0 < β −α ≤ 2 π
α
+ota $a misma fórmula se puede usar para 'allar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no positiva. /in embargo, embargo, la fórmula fórmula no es necesariamente necesariamente álida si f toma alores tanto positios como negatios en el interalo [ α , β ] .
&igura 10.50 *adio del i +ésimo +ésimo sector ¿ f ( θi) β − α ngulo central del i +ésimo +ésimo sector ¿ n = ∆ θ 1 ∑ ( 2 ) ∆ θ [ f ( (θ )] = n
A ≈
2
i
i 1
-omando el lmite cuando n → ∞ se obtiene 1 A = lim n→ ∞ 2
n
∑ [ f (θ )] = i
i 1
2
1 ∆θ= 2
β
∫ [ f ( θ )] dθ 2
α
lo cual conduce al teorema siguiente.
T'O(')A 10.1* Á('A '+ COO(,'+A,A- POLA('/i f es continua continua # no negatia en el interalo interalo [ α , β ] , 0 < β − α ≤ 2 π , entonces el área de la región limitada (o acotada) por la gráfica r = f (θ ) de entre las rectas radiales θ= α # θ= β está dada por 1 A = 2
β
∫ [ f (θ )] α
2
1 dθ = 2
β
∫r
2
dθ 0 < β −α ≤ 2 π
α
+ota $a misma fórmula se puede usar para 'allar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no positiva. /in embargo, embargo, la fórmula fórmula no es necesariamente necesariamente álida si f toma alores tanto positios como negatios en el interalo [ α , β ] .
EJEMPLO 1 'ncontrar el área de una regin polar Encontrar el área de un pétalo de la cura rosa dada por
r =3cos3 θ
-olucin En la figura 10.%1 se puede er !ue el pétalo al lado derec'o se recorre a medida !ue aumenta de −π / 6 a π / 6 . &or tanto, el área es
1 A = 2
θ
π / 6
β
1 r dθ = ( 3cos3 θ )2 dθ Fórmula Fórmula para parael el área área en coordenada coordenadass polares polares 2 α −π / 6
∫
2
∫
π / 6
1 1 + cos6 θ A = dθ Idenidad Idenidad ri!onom"rica ri!onom"rica 2 −π /6 2
∫
A =
[
9 sen 6 θ θ+ 4 6
]
[ ]
π / 6 = 9 π + π =3 π −π / 6 4 6 6
+ota &ara 'allar el área de la región comprendida dentro de los tres pétalos de la cura rosa del ejemplo 1, no se puede simplemente integrar entre 0 # 2 π . /i se 'ace as, se obtiene 9 π / 2 !ue es el doble del área de los tres pétalos. Esta duplicación ocurre debido a !ue la cura rosa es traada dos eces cuando θ aumenta de 0 a 2 π . EJEMPLO 2 Hallar el área li!itada por una sola cur#a allar el área de la región comprendida entre los laos interior # eterior del caracol
r =1 −2 senθ.
-olucin En la figura 10.%2, obsérese !ue el lao interior es traado a medida !ue de π / 6 a 5 π / 6 &or tanto, el área comprendida por el lazo interior es A 1=
1
β
∫r 2
2
dθ =
1 A 1= 2
1 A 1= 2
A 1=
1 2
5 π / 6
∫ (1−2 senθ ) dθ Fórmula para el áreaen coordenadas polares 2 2
π /6
α
1 A 1= 2
1
θ aumenta
5 π / 6
∫ (1− 4 senθ +4 sen θ ) dθ 2
π / 6
5 π / 6
∫
π / 6
[
1 −4 senθ + 4
(− 1
cos2 θ 2
)]
dθ Idenidad ri!onomerica
5 π / 6
∫ [ 3 −4 senθ +2cos2 θ ] dθ #implificación π / 6
( 2 π −3 √ 3 )= π − 3 √ 3 2
3e manera similar, se puede integrar de comprendida por el lazo exterior es
5 π / 6
( )
A 2=2 π +
3 √ 3 . 2
dos laos es la diferencia entre A 2 # A 1 .
(
A = A 2− A1= 2 π +
3 √ 3 2
)(
)
3 3 − π − √ = π + 3 √ 3 ≈ 8.34 2
Puntos de interseccin de grá"icas polares
a
13 π / 6
para 'allar !ue el área de la región
El área de la región comprendida entre los
3ebido a !ue un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras, 'a# !ue tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas. &or ejemplo, considérense los puntos de intersección de las gráficas de r =1 −2 cosθ # r =1 mostradas en la figura 10.%. /i, como se 'ace con ecuaciones rectangulares, se trata de 'allar los puntos de intersección resoliendo las dos ecuaciones en forma simultánea, se obtiene r =1 −2 cosθ &rimera ecuación. 1=1− 2 cosθ /ustitución de r =1 de la segunda ecuación en la primera ecuación. cosθ =0 π 3 π θ= , 2
2
/implificación.
3espejar π
$os puntos de intersección correspondientes son (1, 2 )
#
( 1,
3 π ) 2
. /in embargo, en la figura
10.% se e !ue 'a# un tercer punto de intersección !ue no apareció al resoler simultáneamente las dos ecuaciones polares. (5sta es una de las raones por las !ue es necesario traar una gráfica cuando se busca el área de una región polar.) $a raón por la !ue el tercer punto no se encontró es !ue no aparece con las mismas coordenadas en ambas gráficas. En la gráfica de r =1, el punto se encuentra en las coordenadas ( 1, π ) , mientras !ue en la gráfica de r =1 −cosθ, el punto se encuentra en las coordenadas (−1, 0 ) . El problema de 'allar los puntos de intersección de dos gráficas polares se puede comparar con el problema de encontrar puntos de colisión de dos satélites cu#as órbitas alrededor de la -ierra se cortan, como se ilustra en la figura 10.%4. $os satélites no colisionan mientras lleguen a los puntos de intersección en momentos diferentes (alores de θ ). $as colisiones sólo ocurren en los puntos de intersección !ue sean 6puntos simultáneos7, puntos a los !ue llegan al mismo tiempo (alor de
θ
).
PARA MAYOR INFORMACIÓN &ara más información sobre el uso de la tecnologa para encontrar puntos de intersección, consultar el artculo 68inding &oints of ntersection of &olar+"oordinate :rap's7 de ;arren ;. Est# en Mathematics Teacher .
+ota< &uesto !ue el polo puede representarse mediante ( 0, θ ) donde θ es cualquier ángulo, el polo debe erificarse por separado cuando se buscan puntos de intersección EJEMPLO 3 Hallar el área de la regin entre dos cur#as allar el área de la región com=n a las dos regiones limitadas por las curas siguientes. r =−6 cosθ $ircunferencia
r =2 −2 cosθ $ardiode
-olucin 3ebido a !ue ambas curas son simétricas respecto al eje x , se puede trabajar con la mitad superior del plano (o semiplano superior), como se ilustra en la figura 10.%%. $a región sombreada en gris se encuentra entre la circunferencia # la recta radial θ= 2 π / 3. &uesto !ue la π
circunferencia tiene coordenadas (0, 2 )
en el polo, se puede integrar entre π / 2 #
2 π / 3
para
obtener el área de esta región. $a región sombreada en rojo está limitada por las rectas radiales θ= 2 π / 3 # θ= π # la cardioide. &or tanto, el área de esta segunda región se puede encontrar por integración entre 2 π / 3 # π . $a suma de estas dos integrales da el área de la región com=n !ue se encuentra sobre la recta radial θ= π .
−6 cosθ ¿ ¿ ¿2 ¿ 2 2−2 cosθ ¿ ¿ ¿ A 2
=
2 π / 3
1
∫¿
2
π /2
2
2
4 −8 cosθ + 4cos θ ¿
A 2
A 2
¿ ¿
2 π /3
=18 ∫
2
cos θ dθ +
π / 2
2 π / 3
π
π / 2
2 π / 3
1
π
∫¿
2 2 π /3
=9 ∫ (1 + cos2 θ ) dθ + ∫ ( 3 −4 cosθ + 4cos2 θ ) dθ
A 2
[
sen 2 θ
=9
(
=9 θ +
A 2
2
2 π 3
] / +[ π 2
− √ 3 − 4
A 2
π 2
=
2 π / 3 3 θ− 4 senθ +
)+(
sen 2 θ 2
3 π −2 π + 2 √ 3 +
]
π 2 π / 3
√ 3 4
)
5 π ≈ 7.85 2
&or =ltimo, multiplicando por 2 se conclu#e !ue el área total es
5π .
>ota< &ara erificar !ue el resultado obtenido en el ejemplo es raonable, adiértase !ue el área de 2 la región circular es π r =9 π . &or tanto, parece raonable !ue el área de la región !ue se encuentra dentro de la circunferencia # dentro de la cardioide sea
5π .
&ara apreciar la entaja de las coordenadas polares al encontrar el área del ejemplo , considérese la integral siguiente, !ue da el área en coordenadas rectangulares (o cartesianas). A 2
−3/ 2
= ∫ −4
0
1 √ − % 2−6 % d% √ 2 √ 1−2 % − % −2 % +2 d% + 2 −3/ 2 2
∫
Emplear las funciones de integración de una 'erramienta de graficación para comprobar !ue se obtiene la misma área encontrada en el ejemplo .
Longitud de arco en "or!a polar $a fórmula para la longitud de un arco en coordenadas polares se obtiene a partir de la fórmula para la longitud de arco de una cura descrita mediante ecuaciones paramétricas. (?er el ejercicio @9.) T'O(')A 10.1 LO+/TU, ,' A(CO ,' U+A CU(A POLA( /ea f una función cu#a deriada es continua en un interalo de r = f (θ ) , desde θ= α 'asta θ= β es β
β
∫ √ [ f (θ )] +[ f & (θ )] dθ =∫ 2
#=
2
α
α
α ≤ θ ≤ β . $a longitud de la gráfica
√ ( )
2
dr r + dθ dθ 2
EJEMPLO 4 'ncontrar la longitud de una cur#a polar Encontrar la longitud del arco !ue a de θ= 0 a θ= 2 π en la cardioide r = f ( θ )=2 −2 cosθ !ue se muestra en la figura 10.%A
-olucin "omo f & ( θ ) =2 senθ se puede encontrar la longitud de arco de la siguiente manera. β
∫ √ [ f (θ )] +[ f & (θ )] dθ Fórmula parala lon!iud dearco deuna cur'a polar 2
#=
2
α
2 senθ 2 π
∫ √ [ 2−2 cosθ ] + [ ¿ ] dθ 2
#=
0
2
2 π
∫ √ 1− cosθ dθ #implificación
# =2 √ 2
0 2 π
∫
# =2 √ 2
0
√
2 sen
2
θ 2
dθ Idenidad ri!onom"rica
2 π
#= 4
∫ sen θ2 dθsen θ2 ( 0 para 0 ≤θ ≤ 2 π 0
[
# =8 −cos
]
θ 2 π =8 ( 1+ 1 )=16 2
0
En el !uinto paso de la solución, es legtimo escribir
√ () | 2
2 sen
θ
2
θ
|
=√ 2 sen( ) 2
en lugar de
√ ( )= | 2
2 sen
&or!ue
θ
2
θ
|
√ 2 sen ( )
θ sen ( ) ( 0 2
2
0 ≤θ ≤ 2 π .
para
+ota Empleando la figura 10.%A se puede er !ue esta respuesta es raonable mediante comparación con la circunferencia de un crculo. &or ejemplo, un crculo con radio %B2 tiene una circunferencia de 5 π ≈ 15.7 . Área de una super"icie de re#olucin $a ersión, en coordenadas polares, de las fórmulas para el área de una superficie de reolución se puede obtener a partir de las ersiones paramétricas dadas en el teorema 10.9, usando las ecuaciones % =rcosθ # ) =rsenθ .
T'O(')A 10.15 Á('A ,' U+A -UP'(&C' ,' ('OLUC2+ /ea f una función cu#a deriada es continua en un interalo α ≤ θ ≤ β . El área de la superficie generada por reolución de la gráfica de r = f (θ ) , desde θ= α a 'asta θ= β , alrededor de la recta indicada es la siguiente. β
∫ f ( θ ) senθ √ [ f (θ )] +[ f & ( θ) ] dθ Alrededor del e*e polar
1. # =2 π
α
2
2
β
∫ f ( θ ) cosθ √ [ f (θ )] + [ f & (θ )] dθ Alrededor dela recaθ = π 2 . 2
2. # =2 π
2
α
+ota. l aplicar el teorema 10.1%, 'a# !ue erificar !ue la gráfica de
r = f ( θ ) se recorra una sola
e en el interalo α ≤ θ ≤ β . &or ejemplo, la circunferencia dada por
r = cosθ
e en el interalo
se recorre sólo una
0 ≤θ≤ π.
EJEMPLO 5 Hallar el área de una super"icie de re#olucin allar el área de la superficie obtenida por reolución de la circunferencia de la recta θ= π / 2 como se ilustra en la figura 10.%C.
-olucin /e puede usar la segunda fórmula dada en el teorema 10.1% con
r = f ( θ )= cosθ alrededor
f & ( θ ) =−senθ . &uesto
!ue la circunferencia se recorre sólo una e cuando θ aumenta de 0 a π , se tiene β
# =2 π f ( θ ) cosθ √ [ f ( θ ) ] + [ f & ( θ ) ] dθ Fórmula parael área se una dere' .
∫
2
2
α π
∫
# =2 π cosθcosθ √ cos θ + sen θ dθ 2
2
0
π
∫
2
# =2 π cos θ dθ Idenidad ri!onom"rica 0
.
[
# = π θ +
]
sen 2 θ π 2 = π 2
0
10.5 '3ercicios 'n los e3ercicios 1 a 4 dar una integral ue represente el área de la regin so!6reada ue se !uestra en la "igura. +o e#aluar la integral.
/olución<
/olución<
/olución<
/olución<
'n los e3ercicios 5 a 174 8allar el área de la regin. 5. nterior de r =6 senθ. /olución< 7. nterior de r =3 cosθ. /olución< 9. Dn pétalo de r =2cos2 θ . /olución<
:. Dn pétalo de r = 4 sen 3 θ /olución< ;. Dn pétalo de r = sen 2 θ /olución<
10. Dn pétalo de r = cos5 θ /olución<
11. nterior de r =1 −senθ /olución<
1<. nterior de r =1 −senθ (arriba del eje polar) /olución<
1*. nterior de r =5 + 2 senθ /olución< 1. nterior de r = 4 −4 cosθ /olución<
2 15. nterior de r = 4cos2 θ /olución<
2 17. nterior de r =6 sen 2 θ /olución<
'n los e3ercicios 19 a <4 e!plear una 8erra!ienta de gra"icacin para representar la ecuacin polar y encontrar el área de la regin indicada. 19. $ao interior de r =1 + 2 cosθ /olución<
1:. $ao interior de r =2 −4 cosθ /olución< 1;. $ao interior de r =1 + 2 senθ /olución< <0. $ao interior de r = 4 −6 cosθ /olución<
<1. Entre los laos de r =1 + 2 cosθ /olución<
<<. Entre los laos de r =2 ( 1+ 2 senθ ) /olución<
<*. Entre los laos de r =3 −6 senθ /olución< <. Entre los laos de /olución<
1
r = + cosθ 2
'n los e3ercicios <5 a *4 8allar los puntos de interseccin de las grá"icas de las ecuaciones. 2%. r =1 + cosθ r =1 −cosθ
/olución<
2A. r =3 (1+ senθ ) r =3 ( 1− senθ )
/olución<
2C. r =1 + cosθ r =1 −senθ
/olución<
2@. r =2 −3 cosθ r = cosθ
/olución<
29. r = 4 −5 senθ r =3 senθ /olución<
0. r =1 + cosθ r =3 cosθ /olución<
1. r =θ / 2 r =2 /olución<
2. θ= π / 4 r =2 /olución<
. r = 4 sen 2 θ r =1 /olución<
4. r =3 + senθ r =2 csc θ /olución<
'n los e3ercicios *5 y *74 e!plear una 8erra!ienta de gra"icacin para apro=i!ar los puntos de interseccin de las grá"icas de las ecuaciones polares. Con"ir!ar los resultados en "or!a anal>tica. %. r =2 +3cos θ r=
secθ
/olución<
2
A. r =3 (1−cos θ ) r=
6 1− cosθ
/olución<
Redacción 'n los e3ercicios *9 y *:4 usar una 8erra!ienta de gra"icacin para 8allar los puntos de interseccin de las grá"icas de las ecuaciones polares. 'n la #entana4 o6ser#ar c!o se #an tra?ando las grá"icas. '=plicar por u@ el polo no es un punto de interseccin ue se o6tenga al resol#er las ecuaciones en "or!a si!ultánea. C. r = cos θ r =2 −3 senθ /olución<
@. r = 4 senθ r =2 ( 1+ senθ ) /olución<
'n los e3ercicios *; a 74 e!plear una 8erra!ienta de gra"icacin para representar las ecuaciones polares y 8allar el área de la regin dada. *;. nterior com=n a r = 4 sen 2 θ # r =2 /olución<
0. nterior com=n a r =3 ( 1 +cosθ ) ) r =2 (1− cosθ ) /olución<
1. nterior com=n a r =3 −2 senθ # r =−3 + 2 senθ /olución<
<. nterior com=n a r =5 −3 senθ # r =5 −3 cosθ /olución<
*. nterior com=n a r = 4 senθ # r =2 /olución<
. nterior com=n de r =2 cosθ # r =2 senθ /olución<
5. nterior r =2 cosθ # eterior r =1 /olución< 7. nterior r =3 senθ # eterior r =1 + senθ /olución< 'n los e3ercicios 9 a 504 8allar el área de la regin. 9. En el interior de r = a (1 + cosθ ) # en el eterior de r = acosθ /olución< :. En el interior de r =2 acosθ # en el eterior de r = a . /olución< ;. nterior com=n a r = a (1 +cosθ ) # r = asenθ /olución<
50. nterior com=n a r = acosθ # a r = asenθ donde a >0 /olución<
51. Radiación de una antena $a radiación proeniente de una antena de transmisión no es uniforme en todas direcciones. $a intensidad de la transmisión proeniente de una determinada 2 antena se describe por medio del modelo r = a cos θ . a) -ransformar la ecuación polar a la forma rectangular. 6. b) Dtiliar una 'erramienta de graficación para traar el modelo con a =4 # a = c ) allar el área de la región geográfica !ue se encuentra entre las dos curas del inciso b). /olución< 5<. Área El área en el interior de una o más de las tres circunferencias entrelaadas r =2 acosθ ,r =2 asenθ, ) r =a está diidida en siete regiones. allar el área de cada región. /olución< 5*. Cn!etura allar el área de la región limitada por r = acos ( nθ ) , para n % 1, 2, , . . . "on base en los resultados formular una conjetura acerca del área limitada por la función cuando n es par # cuando n es impar. /olución<
5. Área 3ibujar la estrofoide π π r = secθ −2 cosθ, − < θ < 2
2
-ransformar estas ecuaciones a coordenadas rectangulares (o cartesianas). Encontrar el área comprendida en el lao. /olución<
'n los e3ercicios 55 a 704 8allar la longitud de la cur#a so6re el inter#alo indicado Ecuación polar
Intervalo
55. r =8 0 ≤θ ≤ 2 π
/olución< 56 . r =a 0 ≤ θ ≤ 2 π
/olución< 57 . r =4 senθ 0 ≤ θ ≤ 2 π
/olución< π
π
58 .r =2 acosθ − ≤ θ ≤ 2 2
/olución< 59 .r =1 + senθ 0 ≤θ ≤ 2 π
/olución< 60 . r =8 ( 1 + cosθ ) 0 ≤ θ ≤ 2 π
/olución<
'n los e3ercicios 71 a 774 utili?ar una 8erra!ienta de gra"icacin para representar la ecuacin polar so6re el inter#alo dado. '!plear las "unciones de integracin de una 8erra!ienta de gra"icacin para esti!ar la longitud de la cur#a con una precisin de dos deci!ales. 61 .r =2 θ 0 ≤ θ ≤
π 2
/olución< 62 .r =secθ 0 ≤θ ≤
π 3
/olución< 1 63 . r = π ≤ θ ≤ 2 π
θ
/olución< θ
64 . r = e 0 ≤ θ ≤ π
/olución< 65 . r = sen ( 3 cosθ ) , 0 ≤ θ ≤ π
/olución< 66 . r =2 sen ( 2 cosθ ) , 0 ≤ θ ≤ π
/olución<
'n los e3ercicios 79 a 904 encontrar el área de la super"icie generada por re#olucin de la cur#a en torno a la recta dada. +cuación polar Iner'alo +*e de re'olución π
67 . r =6 cosθ 0 ≤θ ≤ +*e polar 3
/olución< 68 . r =acosθ 0 ≤ θ ≤
π 2
θ=
π 2
/olución<
aθ
69 .r =e 0 ≤ θ ≤
π 2
θ=
π 2
/olución< 70 .r =a ( 1 + cosθ ) 0 ≤ θ ≤ π e*e polar
/olución<
'n los e3ercicios 91 y 9<4 usar las "unciones de integracin de una 8erra!ienta de gra"icacin para esti!ar4 con una precisin de dos ci"ras deci!ales4 el área de la super"icie generada por re#olucin de la cur#a alrededor del e3e polar. 71. r =cos2 θ , 0 ≤θ ≤
/olución< 72. r =θ , 0 ≤ θ ≤ π
/olución<
π 4
,esarrollo de conceptos 9*. Eplicar por !ué para encontrar puntos de intersección de gráficas polares es necesario efectuar un análisis además de resoler dos ecuaciones en forma simultánea. /olución< 9. "uál de las integrales da la longitud de arco de integrales son incorrectas
r =3 ( 1 cos2 θ ) - 3ecir por !ué las otras
2 π
a¿3
∫ √ ( 1 −cos2 θ ) + 4 sen 2 θ d θ 2
2
0
/olución< π / 4
¿ 12
∫ √ ( 1−cos2 θ ) +4 sen 2 θ d θ 2
2
0
/olución< π
c ¿3
∫ √ ( 1−cos 2 θ ) + 4 sen 2 θ d θ 2
2
0
/olución< π / 2
d ¿3
∫ √ ( 1− cos2 θ ) + 4 sen 2 θ d θ 2
2
0
/olución<
95. 3ar las fórmulas de las integrales para el área de una superficie de reolución generada por la gráfica de r = f (θ ) alrededor a) del eje x # b) del eje y . /olución< Para discusin 97. &ara cada ecuación polar, dibujar su gráfica, determinar el interalo !ue traa la gráfica sólo una e # encontrar el área de la región acotada por la gráfica utiliando una fórmula geométrica e integración. a ¿ r =10 cosθ
/olución< ¿ r =5 senθ
/olución<
99. Área de "a #u$er%icie de un tr allar el área de la superficie del toro generado por reolución de la circunferencia r =2 alrededor de la recta r =5 secθ. /olución< 9:. Área de "a #u$er%icie de un tr allar el área de la superficie del toro generado por reolución de la circunferencia r = a en torno a la recta r = secθ, donde 0
c ) Emplear la tabla del inciso b) para aproimar los alores de
contiene
1 1 , 4 2
3 4
#
θ
para los cuales el sector circular
del área total de la circunferencia.
d ) Dsar una 'erramienta de graficación para aproimar, con una precisión de dos cifras decimales,
los ángulos
θ
1 1
para los cuales el sector circular contiene
,
4 2
#
3 4
del área total de la
circunferencia. e) 3ependen los resultados del inciso d ) del radio del crculoF Eplicar la respuesta. /olución<
:0. Área a$r&i'ada 3ado el crculo r =3 senθ. a) allar el área de la circunferencia correspondiente. b) "ompletar la tabla dando las áreas A de los sectores circulares comprendidos entre θ= 0 # los alores de θ dados en la tabla.
c) Dtiliar la tabla del inciso b) para aproimar los alores de θ para los cuales el sector circular representa
1 1 , 8 4
#
1 2
del área total de la circunferencia.
d ) Dsar una 'erramienta de graficación para aproimar, con una precisión de dos cifras decimales,
los ángulos
θ
para los !ue el sector circular representa
1 1 , 8 4
#
1 2
del área total del crculo.
/olución<
:1. Gué sección cónica representa la siguiente ecuación polarF r = asenθ + cosθ /olución<
:<. Área allar el área del crculo dado por r = senθ + cosθ. "omprobar el resultado transformando la ecuación polar a la forma rectangular # usando después la fórmula para el área del crculo /olución< :*. E#$ira" de Ar)u*'ede# $a cura representada por la ecuación constante, se llama espiral de r!umedes. a) Emplear una 'erramienta de graficación para traar la gráfica de
r = aθ , donde a es una
r =θ
donde θ ( 0 Gué
ocurre con la gráfica de r = aθ a medida !ue a aumentaF Gué pasa si θ ≤ 0 F b) 3eterminar los puntos de la espiral r = aθ ( a >0, θ ≤ 0 ) , en los !ue la cura crua el eje polar. c ) allar la longitud de
r =θ sobre el interalo
d ) allar el área bajo la cura
r =θ
para
0 ≤θ ≤ 2 π .
0 ≤θ ≤ 2 π .
/olución< θ :. E#$ira" "+ar*t'ica $a cura descrita por la ecuación r = a e , donde a # b son constantes, se
denomina espiral logar>t!ica. $a figura siguiente muestra la gráfica de allar el área de la ona sombreada.
/olución<
θ /2
r= e
,−2 π ≤ θ ≤ 2 π
