Cap 1 Elasticidad 156 168 fisica 2

Cuaderno de Actividades: FII

UNIVERSIDAD TEC NOLÓGICA DE LIMA SUR

UNTELS

Curso: Física 2 Docente: Percy Cañote Fajardo Código: 2013100117 Aluno: !Coronado Chancahuaña, Brandon Jefferson

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo

156


"# ELASTICIDAD


157


"# ELASTICIDAD Es la caacidad de un cuero de resentar defor!aciones, cuando se lo so!ete a fuer"as e#teriores, $ue ueden ocasionar $ue dichas defor!aciones sean irre%ersi&les, o &ien, adotar su for!a de ori'en, natural, cuando dichas fuer"as o potencia. e#teriores cesan su acci(n

"$"# Introducción Cuer%o el&stico) *$u+l $ue cuando desaarecen las fuer"as o !o!entos e#teriores recueran su for!a o ta!año ori'inal

Cuer%o inel&stico) *$u+l $ue cuando desaarecen las fuer"as o !o!entos no retorna erfecta!ente a su estado inicial

Co%ort'iento %l&stico) Cuando las fuer"as alicadas son 'randes y al cesar estas fuer"as el cuero no retorna a su estado inicial y tiene una defor!aci(n er!anente -os cueros reales ueden sufrir ca!&ios de for!a o de %olu!en .e incluso la rutura/ aun$ue la resultante de las fuer"as e#teriores sea cero -a defor!aci(n de estructuras .estira!ientos, acorta!ientos, fle#iones, retorceduras, etc/ de&ido a la acci(n de fuer"as i!lica la aarici(n de esfuer"os $ue ueden lle%ar hasta la rutura -a Elasticidad estudia la relaci(n entre las fuer"as y las defor!aciones, so&re todo en los cueros elsticos -a defor!aci(n est ínti!a!ente li'ada a las fuer"as e#istentes entre los to!os o !ol+culas ero a$uí se i'norar la naturale"a at(!ica o !olecular de la !ateria considerando el cuero co!o un continuo y tendre!os en cuenta las !a'nitudes !edi&les) fuer"as e#teriores y defor!aciones

Cueros ←


efor!a&les escrici(n adecuada

158


-a característica !s i!ortante del co!orta!iento elstico es $ue es re%ersi&le) si se suri!en las fuer"as $ue ro%ocan la defor!aci(n el s(lido %uel%e al estado inicial de antes de alicaci(n de las car'as

Es(uer)o De(or'ción

Y  Módulos el&sticos  S  B  R*gien el&stico

"+,# Es(uer)o - de(or'ción Es(uer)o: Es una !edida de la fuer"a or unidad de rea .en la $ue se alica/ $ue causa la defor!aci(n

Esfuerzo = s

=

F A

De(or'ción: Es el ca!&io en el ta!año o for!a de un cuero de&ido a esfuer"os internos roducidos or una o !s fuer"as alicadas so&re el !is!o o la ocurrencia de dilataci(n t+r!ica Deformación = e =


∆ L L

159


E.%erient'lente:

-i -

≡ -

*

F

*) secci(n trans%ersal

F F

∆-


160

Cuaderno de Actividades: FII -

F F

Se o/ser0':

→ -os ∆- %an a deender de las F y * { 4ie!re en r+'i!en elstico} → -os ∆- deenden de -

M(dulo elstico 5 Esfuer"o6Defor!aci(n

D

s 1 =   E → s ≡ Me → M ≡  M  e



E

8+'i!en elstico

 ∼ 10

10 N m2

12 3odr4' descri/ir cur0's s!e donde se uestren l's 5 ('ses: el&stic'$ %l&stic' - de ru%tur'+


161


Para defor!aciones sueriores al lí!ite de roorcionalidad, e#iste un cierto tra!o de la cur%a s9e donde el co!orta!iento del !aterial es elstico, aun$ue no e#iste roorcionalidad entre el esfuer"o y la defor!aci(n El lí!ite en el $ue el co!orta!iento del !aterial deja de ser elstico se deno!ina li!ite elstico, reresentado or el unto & de la cur%a en la fi'ura $ se uede areciar

12 3odr4' descri/ir cur0's s!e es%eci'les+


162

Cuaderno de Actividades: FII :eniendo en cuenta $ue e#isten %arios tios de fluidos y $ue cada uno tiene un co!orta!iento diferente, este co!orta!iento se uede 'raficar en un dia'ra!a %s du6d#, es decir, un dia'ra!a esfuer"o9defor!aci(n $ue indica $u+ tio de fluido es) ne;toniano, no ne;toniano, lstico ideal, seudo lstico o sustancia ti#otr(ica

"+5# Módulos el&sticos i# Modulo de 6oung$ 6 escri&e la resistencia del !aterial a las defor!aciones lon'itudinales

Y ≡

F / A

<6!2

∆ L / L

ii# Modulo de corte$ S escri&e la resistencia del !aterial al desla"a!iento de sus lanos or efecto de fuer"as alicadas se'=n sus caras .fuer"as tan'enciales o de corte/,

*

F h f

F

∆x

tg θ =

∆ x

h

h θ f


163


Para e$ueñas fuer"as F la cara de rea * se desla"a relati%a!ente una e$ueña distancia ∆# hasta $ue las fuer"as internas del cuero lo'ran e$uili&rar dicha fuer"a -a resistencia al desla"a!iento ∆# se descri&ir en &ase al !odelo 4,

S ≡

Esfuerzo de corte Deformación de corte

≡

F/A

∆x / h → S ≡

Fh A∆x

iii# Modulo 0olu*trico$ 7 escri&e la resistencia del !aterial a defor!aciones %olu!+tricas


164

Cuaderno de Actividades: FII 8

*

8

8

8

4uon'a!os $ue el cu&o de rea * esta so!etido a las fuer"as F so&re cada una de sus caras El cu&o est so!etido a co%resión, el !odulo %olu!+trico esta definido or,

B ≡ −

F / A

∆V / V

≡−

F/A

∆V / V

4i esta resi(n, p ≡ resi(n, ∆ p ,

B ≡ −

F A

, se escri&e co!o una %ariaci(n de

∆ p ∆V / V


165


En estas condiciones se introduce el >9 >ara o&tener un B ? 0

Co%resión) ∆ ? 0 ∧ ∆@ A 0→ B ? 0 Dil't'ción o e.%'nsión) ∆ A 0 ∧ ∆@ ? 0→ B ? 0

12 E.istir&n otros ódulos el&sticos+ Módulo de co%resi/ilid'd se desi'na usual!ente or  Est asociado con los ca!&ios de %olu!en $ue e#eri!enta un !aterial &ajo la acci(n de esfuer"os .'eneral!ente co!resores/ $ue act=an erendicular!ente a su suerficie
Módulo el&stico tr'ns0ers'l se desi'na usual!ente or  Est asociado con el ca!&io de for!a $ue e#eri!enta un !aterial &ajo la acci(n de esfuer"os cortantes
E9ercicio ": " Ide'l %2.0/ ≡ 0

y

!2 h2 ≡1! !1

D 8@

Polea ideal Cuerda ideal,

∃ m


166

Cuaderno de Actividades: FII !1,!2 , untuales - 5 2 !1 5 3, !2 5 

φ 5 G # 1093 HI t

, 3ole' re'l D a afectada D 5 .!,r/ , f ← olea

⇒ C8 ⇒ 8@ 5 Cuerd' re'l D efor!aci(n D C8 D 8@

;→"<# a ≡

g 4

t ≡HI

= 2,5 → t.y2 ≡0/ ≡I

y.t/ ≡y .0/K %.0/ t 9 0 ≡ 1+ 0 − t ≡

2,5 2

1 2

at2

t 2

2 2,5

=<→5# Considerando s(lo defor!aci(n de la cuerda, :5I, t5I *cero

;2 L : 5 !2 a : 5 ;2 L !2 a ≡ 0 L  # 2,


167

Cuaderno de Actividades: FII : ≡ 37,

Y

≡

F / A

∆ L / L

→ ∆L =

FL YA

¬ F=

T

Macero ≡ 20 # 1010 37,5 x 2

→ ∆ L ≡ t

20 x 1010 π ( 2 x 10 − 3 )

2

= 27,6 µ m

12 > ?+@;;

E9ercicio ,: -a defor!aci(n causada a la &arra de lon'itud -, #, !ediante la alicaci(n adecuada de la fuer"a F, es decir, el tra&ajo efectuado or F so&re el siste!a elstico, $ueda al!acenado co!o ener'ía otencial elstica en el siste!aN %ea!os $ue es asi,

* 9F 9-

F 0

#

#

ostrare!os $ue en el siste!a $ueda al!acenada ener'ía otencial elstica $ue uede e#resarse de esta !anera,

u≡

1 F AL  2 A

×

L

  unidad de !oumen   E p ,e

*l alicar la fuer"a F, tal co!o !uestra la fi'ura, roducir una defor!aci(n #, descrita or,


168


Y ≡

F / A x / L

→  

AY 

÷ x ≡ F

L 

e tal for!a $ue la fuer"a del siste!a ser,

→ Feast ≡ −

AY L

x En todo !o!ento la fuer"a alicada F es tan intensa co!o la resuesta elstica del siste!a, sie!re $ue el roceso se realice !uy lenta!ente, est'do cu'siest'cion'rio

*hora, calculando el tra&ajo de esta fuer"a,

≡ −∆E p ,e ≡ − E p ,e , f + E p, e,i ≡ − E p, e, f ≡ − E p, e

F e " {

"

AY  AY  1 x 2 / ∆ L ≡ −∆E ≡ −E ≡ ∫ 0  − x÷ ×dx ≡ −  p , e p , e 0 L 2   L  ∆ L

F e

→

AY 1 L

× ×∆ L2 ≡ E p,e 2

1 AY →   ∆ L2 ≡ E p ,e 2  L

1

A

2

L

→ ×

→

→

1 2

 F / A  2 ×  × ∆ L ≡ E p ,e  ∆ L / L

F ∆L ≡ E p ,e ¬ ×

1 F ∆L 2 AL

≡

E p ,e AL

1

AL

≡u


169


1 F ∆L → u ≡  ÷ ÷ 2  A L

1 2

s e ≡ u

12 A%lic'ciones tecnológic's de l' de(or'ción de los cuer%os en sus tres ('ses not'/les: el&stic'$ %l&stic' - de ru%tur'+

d62

62

F

F

-

S"3"?# 4e cuenta con una &arra troncoc(nica !aci"a cuya secci(n circular %aría unifor!e!ente a lo lar'o de su lon'itud -, entre los di!etros d y  -os e#tre!os estn sujetos a una fuer"a a#ial F, deter!ine la defor!aci(n unitaria ( esecífica de&ido a dicha fuer"a

SOLUCION: M &62 d62

*.#/ 62 -


d62 0

y

F

O

*#

# -

170


e

∆ L ≡

FL YA

→ dL ≡

Fdx Y π #

, # 2

d

( D − d )

2

2L

≡ +

x

      L  Fdx 2F  dx 2FL ≡→ ∆ ≡ ≡ dL ≡ L   2 2 Y π  ∫ 0 ( D − d )  ( D − d )  Y π dD Y π  d + L x  d + L  x  2  0  1 4 4 4 2 4 4 43   $ → $ ≡ ?

 D − d  x ÷  L 

u ≡ d +

 D − d  dx ÷  L 

du ≡ 

  D L  du ≡ L → $ ≡  d u 2 dD ( D − d ) ∫ {  $ *  → $ * ≡ −

→ ∆ L ≡

2 FL0

Y π dD

→

∆ L L

≡

 1 − 1 ≡  ÷ u ∫ d  d D 1

D

2 F

Y π dD

θ !


171


S"3@# na !asa de 1 ' cuel'a de un ca&le de acero de 2 ! de lon'itud .lon'itud sin estirar/ con un di!etro de 0,1 !! El siste!a es uesto en !o%i!iento co!o un +ndulo c(nico con un n'ulo θ en el %+rtice '# Calcule la defor!aci(n del ala!&re /# El eriodo del !o%i!iento rotacional cuando la tensi(n en el ala!&re en dos %eces el eso de la !asa .Macero 5 21 # 1010 Pa/

SOLUCION: C- .!/)

:

θ !

; atos) !51, l52, d5φ5109G, Macero 5 21# 1010

el e$uili&rio en la %ertical,

T cos θ ≡ mg

→ T ≡ mg sec θ ...α

M de la din!ica circular, 2

Fcp

≡ Tsenθ ≡ macp ≡ m

!t

%

¬ %≡

 ' senθ ,  '≡ + ∆  ...β

2

e Q y R,

mg tan θ ≡ m

!t

 ' senθ

...γ

'# el !odulo de Moun',


172


Y

≡

FL

∆ LA

∆ ≡

→Y ≡

T

  d   ∆ π  ÷    2  2

→ ∆ ≡

4T 2

2

Y π d

¬ T≡

mg secθ

4mg sec θ

Y π 2 d 2

/# : .eriodo/5I, con la condici(n T

T ( periodo) ≡

≡ 2mg → θ ≡

π 3

. :) tensi(n/

2π

&

-a frecuencia an'ular la o&tene!os de β,

Fcp

≡ Tsenθ ≡ 2 m g senθ ≡

→&≡

2 g

'

m  ' senθ &2

¬  '≡ + ∆ → &≡

2 g

 + ∆

Con lo $ue el : $ueda,

T ≡ 2π

 + ∆ 2 g

usando ∆ ≡ 0,0242 → T ≡ 0,6π

&arra -

2;


173


S"3"# -a &arra !ostrada, en la fi'ura tiene las si'uientes características) eso 5 ;, rea trans%ersal 5 *, lon'itud 5 - y !(dulo de Moun' 5 M 4i una esa de eso 2 ; es colocado en la arte inferior, halle la defor!aci(n de la &arra considerando la defor!aci(n or eso roio

SOLUCION: Pri!ero deter!inare!os la defor!aci(n causada or el eso roio de la &arra, ara lo cual to!a!os un ele!ento de la &arra de lon'itud infinitesi!al d#, co!o se !uestra en la fi'ura, so&re la cual act=a la fuer"a ;.#/, es decir, la fuer"a de&ido al eso del tro"o de &arra de lon'itud #,

X

dx w(x) x 0 w

w(x)

 & x ÷ L  

&( x) ≡ 

Esta fuer"a roducir un ele!ento de defor!aci(n dado or,

Y ≡

FL A∆ L

 & x { dx}  L ÷ &( x) { dx} → d (∆L) ≡ ≡   ≡ AY

AY

& LAY

xdx

Para calcular la defor!aci(n total inte'ra!os ara toda la &arra,

L

∆ L ≡ ∫ 0

& LAY

xdx → ∆ L ≡ ∆L1


≡

&L 2 AY 174


*hora, ara la defor!aci(n total, considera!os la defor!aci(n $ue roduce la esa 2;,

∆ L2 ≡

(2&) L

AY

≡

2&L

AY

Con lo $ue la defor!aci(n total es,

∆ L ≡

∆ L ≡ ∆L1 + ∆L2 ≡

&L 2 AY

+

2&L

AY

5&L 2 AY

S"3;# na %arilla de co&re de 1,G0 ! de lar'o y rea trans%ersal de 2,00 c! 2 se sujeta or un e#tre!o al e#tre!o de una %arilla de acero de lon'itud - y secci(n de 1,00 c!2 -a %arilla co!uesta se so!ete a tracciones i'uales y ouestas de S,00 # 10 G < en sus e#tre!os '# Calcule - si el alar'a!iento de a!&as %arillas es el !is!o /# HTu+ esfuer"o se alica a cada %arillaI c# HTu+ defor!aci(n sufre cada %arillaI odulos de Moun') Co&re) 11 # 1010 Pa *cero) 20 # 1010 Pa

SOLUCION: 8eresenta!os a la %arilla co!uesta en el si'uiente dia'ra!a,


175


F

*1

-1

-

*2

F

'# eter!ina!os - de la condici(n ∆ L1 ≡ ∆L2 ≡ ∆L  ostra!os C- de cada %arilla en la direcci(n de inter+s y alica!os la condici(n,

F

∆-1

F

F

∆ L1 ≡

FL1 AY 1 1

≡ ∆L2 ≡ ∆L ≡

Calculando, L ≡

L1 A2Y 2 AY 1 1

≡

F L A2Y 2

→ L ≡

(

)(

F

L1 A2Y 2 AY 1 1

( 1, 40 ) ( 1 × 10 −4 ) ( 20 × 1010 ) 2 × 10−4

∆-

11 × 1010

)

≡ 1,27

L ≡ 1,27

/# Calculando los esfuer"os,


176


s ≡

F A

→ s1 ≡

s2

s1

≡

F A1 F A2

≡

≡

6,00 × 104

≡ 3 × 108 ∧

2,00 × 10−4 6,00 × 10 1,00 × 10

4

−4

≡ 6,00 × 108

≡ 3 × 108 ∧ s2 ≡ 6 × 108

c# Calculando las defor!aciones,

Y

s

≡ ≡ e

s ∆ L

≡

s ∆L

L

L

∆ L1 ≡

s1L1

∆ L2 ≡

→ ∆L ≡

Y 1

s2 L2 Y 2

sL Y

( 3 ×10 ) ( 1, 40 ) 8

≡

11 × 10

10

( 6 × 10 ) ( 1, 27 )

≡ 3,81× 10−3

8

≡

20 × 10

10

≡ 3,81 ×10−3

∆ L1 ≡ ∆L2 ≡ 3,81× 10 −3

S"3";# 4i el esfuer"o de corte en el acero e#cede aro#i!ada!ente G,0 # 10 U, el acero se ro!e eter!ine la fuer"a de corte ara, '# cortar un erno de acero de 1 c! de di!etro, y /# hacer un hoyo de 1 c! de di!etro en una lancha de acero de 0,0 c! de esesor


177


SOLUCION: '#

eter!inaci(n de la fuer"a de corte, F

d

e la ecuaci(n del esfuer"o de corte,

s ≡

F

F A

≡

4 F 2

π d

→ F ≡

sπ d 4

( 4 × 10 ) π ( 1× 10 ) −2

8

2

→ F ≡

2

4

≡ 31,4 'N

Por lo tanto, una fuer"a !ayor $ue F cortara al erno

/#

*hora, deter!ina!os la fuer"a de corte ara hacer el hoyo,

B

d 8

s ≡

F A

≡

F

( π d &)

→ F ≡ sπ d &


178


→ F ≡ ( 4 ×108 ) π ( 1× 10−2 ) ( 0,5 ×10−2 ) F

≡ 62,8 'N

S"3,# na &arra ho!o'+nea de lon'itud -, rea *, !asa , !(dulo de Moun' M, 'ira li&re!ente con %elocidad an'ular ; 5 cte, so&re una !esa hori"ontal sin fricci(n y i%oteando en uno de sus e#tre!os ;

eter!ine) '# -a defor!aci(n roducida en la &arra /# En donde se roduce el esfuer"o !#i!o

SOLUCION:

-, d!

;

d8c% r

dr

V

'# dFcp

≡ dF ≡ { dm} &2 r

 M  dm ≡   dr  L dF ( r )

≡

M&2 L

rdr


179


∫

 F ( r )

Y ≡

FL A∆L

≡

M&2 2 L

r

AdL

M&2

L

→ ∆ L ≡ ∫0 dL ≡ ∫ 0

2 LAY

M&2 2 LAY

r 2 dr

r 2 dr

M&2 L2 6 AY M&2

b) e

≡ ! dF cp !

 M&2 2  ( 2 L r )dr   → dL ≡ →Y ≡  L

→ ∆ L ≡

2

s (r ) =

F A

≡

2 L A

r 2

≡

M&2 2LA

r 2

,

or lo tanto, en r5-,

s( L) ≡

2

M& L 2 A


180

Cap 1 Elasticidad 156 168 fisica 2

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